PETUNJUK PRAKTIKUM METODE NUMERIK (MT318)

(1)

PETUNJUK PRAKTIKUM METODE NUMERIK (MT318)

Oleh :

Dewi Rachmatin, S.Si., M.Si.

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA

(2)

PRAKTIKUM1

Metode Grafik Tunggal dan Metode Grafik Ganda Aturan Tanda Descartes

Metode Tabulasi

1. MINGGU KE : 1

2. PERALATAN : LCD, Whiteboard, Komputer

3. SOFTWARE : Maple 7, Delphi 7, Turbo Pascal for Win Visual Basic

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat membuat estimasi pendahuluan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan penentuan akar persamaan tak linier, seperti menentukan selang akar dengan metode grafik tunggal, metode grafik ganda, aturan tanda descartes dan metode tabulasi. Dalam pengerjaannya untuk grafik mahasiswa dibantu dengan software Maple 7, sedangkan untuk metode tabulasi dapat menggunakan Delphi 7, Turbo Pascal for Win atau menggunakan Visual Basic.

5. TEORI PENGANTAR

Untuk fungsi-fungsi yang sederhana di mana grafik fungsinya dapat digambarkan dengan mudah, ada dua metode grafik yang dapat dilakukan untuk mendapatkan tebakan awal dari akar persamaan f(x)0, yaitu metode grafik tunggal dan metode grafik ganda.

Contoh : Tentukan lokasi akar dan tebakan awal untuk akar persamaan fungsi : 0

96 , 3 46 , 2 5 , 2 )

(x  x³ x²  x 

f .

(3)

Penyelesaian :

Grafik fungsi f(x) x³2,5x² 2,46x3,96.

Dari grafik dapat dilihat, tebakan awal untuk akar persamaan (2.1) dapat dipilih beberapa titik yang cukup dekat dengan akar persamaan seperti : -2, -1, 0 atau 2. Sedangkan salah satu akar diperoleh dari grafik yaitu x = 1.

Metode grafik ganda digunakan untuk persamaan fungsi f(x)0 yang penjabaran fungsi f(x)dapat didekomposisi menjadi pengurangan dua buah fungsi yaitu f(x) f₁(x) f₂(x)0.

Aturan Tanda Descartes

Untuk menentukan lokasi akar polinom yaitu akar dari persamaan berikut : 0

...

)

(x a x a _₁x ^¹ a₁xa₀ 

p _n ⁿ _n ⁿ

ada dua tahap pengerjaan yaitu : tahap pertama penentuan komposisi akar polinom dengan aturan tanda Descartes dan tahap kedua penentuan batas selang akar.

Untuk menentukan komposisi akar polinom, perhatikan langkah berikut.

Misalkan u adalah banyaknya pergantian tanda koefisien a_i dari polinom )

(x

p dan np adalah banyaknya akar riil positif, maka berlaku : (i) np  u

(ii) u - np = 0, 2, 4, …

Sedangkan untuk menentukan komposisi akar riil negatif, misalkan v adalah y = f(x)

X Y

(4)

(i) ng  v

(ii) v – ng = 0, 2, 4, …

Penentuan batas selang akar ditentukan oleh aturan berikut :











 





 n

k n

k a

maks a r

1

Sehingga selang akar yang dicari adalah [-r,r].

Metode Tabulasi

Untuk fungsi-fungsi yang kompleks atau tidak dengan mudah dapat dibuat grafiknya dapat digunakan metode tabulasi. Caranya yaitu dengan membuat tabulasi titik-titik di mana terdapat pergantian tanda pada nilai-nilai dari fungsi f.

Jika pada tabel yang dibuat terdapat suatu selang (a,b) di mana terdapat pergantian tanda dari f(a) ke f(b), dari + ke – atau sebaliknya maka akar persamaan yang dicari terdapat pada selang (a,b).

6. LANGKAH KERJA

Penulisan perintah dengan Maple7 untuk menggambar fungsi satu peubah pada bidang Cartesius :

> plot(f, h, v);

> plot(f, h, v,...);

di mana

f – fungsi yang digambar h – range horisontal v – range vertikal

color – warna grafik fungsi

Jika fungsi yang akan digambar ada 2 fungsi, maka lakukan perintah berikut:

> plot([f1, f2], h, v);

Jika fungsi yang akan digambar adalah fungsi implisit, lakukan :

> implicitplot(f,h,v);

(5)

Untuk aturan Descartes, langkah-langkahnya telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, dan metode tabulasi dapat dibuat sesuai algoritma untuk prosedur metode tabulasi yang telah dijelaskan.

7. TUGAS

Tentukan selang akar untuk masalah penentuan akar persamaan tak linier, dengan metode yang sesuai, bisa metode grafik tunggal atau metode grafik ganda, aturan Descartes yang dilanjutkan penentuan batas selang akar khusus untuk akar polinom, atau bisa metode tabulasi.

1. (a) xcos x 0 (b) x²sinx20 (c) e^^x sinx0 2. (a) 1xe^{ x}² 0

(b) 2xtanx0 (c) 2x² e^{ x} 0 .

Daftar Pustaka :

Atkinson, K. (1985). Elementary Numerical Analysis. New York : John Wiley &

Sons.

Chapra, S. & Canale. (1991). Numerical Methods for Engineers with Personal Computer Applications. MacGraw-Hill Book Company.

Conte, S. & Boor. (1992). Elementary Numerical Analysis, An Algorithmic Approach. 3rd Edition. MacGraw-Hills. Inc.

Epperson, J. (2002). Introduction to Numerical Methods and Analysis. New York John Wiley & Sons.

Mathews, J. (1993). Numerical Methods for Mathematics, Science and Engineering. 2nd Edition. London : Prentice-Hall Int.

Munir, R. (1997). Metode Numerik untuk Teknik Informatika. Institut Teknologi

(6)

Purcell, Edwin dan Dale Varberg. (1984). Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid1.

Edisi ke3. Jakarta : Penerbit Erlangga.

Rajaraman, V. (1981). Computer Oriented Numerical Methods. New Delhi : Prentice-Hall of India.

Ralston, A. (1965). A First Course in Numerical Analysis. McGraw-Hill.

Susila, Nyoman. (1994). Dasar-dasar Metode Numerik. Jakarta : DIKTI.

Walpole, R. & Myers. (1986). Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Bandung : Penerbit ITB.

Waterloo Maple Inc. (2001). Maple 7 Learning Guide. Canada.

(7)

PRAKTIKUM 2

Metode Bagidua dan Metode Posisi Palsu

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan metode bagidua dan metode posisi palsu untuk menentukan hampiran akar pada masalah penentuan akar persamaan tak linier, dengan bantuan software yang dikuasainya.

Metode bagidua (bisection method) memulai siklus iterasi dengan memilih dua tebakan awal yang dekat dengan akar persamaan. Dipilih dua tebakan awal x dan ₀ x yang cukup dekat dengan akar di mana nilai ₁ f(x₀)dan nilai f(x₁) berlawanan tanda. Pertama kali selang (x₀,x₁)dibagidua dan titik tengahnya dinamakan x₂, sehinggax₂ (x₀ x₁)/2.

Jika f(x₂)= 0 maka x₂adalah akar persamaan yang dicari. Bagaimana jika f(x₂)> 0 ? akar terletak antara x₀danx₂, dan x₁ digantikan oleh x₂. Selanjutnya akar ditentukan pada selang yang baru, yang panjangnya setengah dari selang terdahulu. Sekali lagi dihitung f(x₂)pada titik tengah dari selang yang baru ini. Pada selang yang baru ini f(x₂)< 0 sehingga akar terletak antara

x dan 2 x . Gantikan ₁ x dengan ₀ x dan sekali lagi bagidua selang yang baru. ₂ Pengulangan pembagiduaan membuat akar semakin dekat dengan selang yang dicari dan selang ini dibagidua dalam setiap iterasi.

(8)

Metode posisi palsu atau metode regula falsi ini dibuat untuk memperbaiki metode bagidua yaitu untuk mempercepat kekonvergenan metode bagidua.

Prosedur metode posisi palsu mulai dengan memilih dua tebakan awal yaitu x₀dan x₁ di mana nilai fungsinya pada kedua tebakan awal ini berbeda tanda. Hubungkan kedua titik yaitu (x₀,f(x₀))dan (x₁,f(x₁)) dengan garis lurus, dan tentukan titik perpotongan garis ini dengan sumbu X. Sebut absis titik perpotongan dengan x₂.

Jika f(x₂)dan f(x₀)berlawanan tanda maka gantikan x₁ dengan x₂. Kemudian gambarkan sebuah garis lurus yang menghubungkan titik

)) ( ,

(x₀ f x₀ dengan (x₂,f(x₂)) untuk menentukan titik perpotongan yang baru.

Tetapi jikaf(x₂)dan f(x₀)tidak berbeda tanda maka gantikan x₀ dengan x₂, kemudian tentukan titik perpotongan yang baru.

Misalkan tan  merupakan kemiringan garis yang menghubungkan ))

( ,

(x₀ f x₀ dan (x₁,f(x₁))sehingga diperoleh persamaan berikut.

tan  =

0 1

0

1) ( )

( x x

x f x f



 .

Dari sifat sudut-sudut sehadap diperoleh : tan  =

2 1

2

1) ( )

( x x

x f x f



 atau tan  =

2 1

1) (

x x

x f

 . Sehingga diperoleh :

) ( ) (

0 1

0 1 1 0

2 f x f x

x f x x f x x



  .

(9)

Untuk menentukan hampiran akar dengan metode bagidua dan metode posisi palsu ikuti algoritma-algoritma berikut :

Algoritma Metode Bagidua : Masukan : f(x),x₀, x₁,  Keluaran : akar (x₂) Langkah :

1 x₂ 



x₀x₁



/2

2 Jika f(x₀).f(x₁)0 maka cetak ‘proses gagal, tebakan awal tidak cocok’. Selesai

3 Jika f(x₀).f(x₂)0 maka x ₁ x₂, jika tidak x ₀ x₂ 4 Jika



x₁x₀



/ x₁   maka akar = x₂. Selesai

5 Ulangi kembali langkah 1

Algoritma Metode Posisi Palsu : Masukan : f(x), x , ₀ x ,  ₁ Keluaran : akar (x₂) Langkah :

1 y₀  f(x₀) ; y₁ f(x₁) 2 x₂ 



x₀y₁x₁y₀

 

/ y₁y₀



3 y ₂ f(x₂)

4 Jika y₂   maka akar = x₂. Selesai 5 Jika y₂.y₀ 0 maka x ₁ x₂, y ₁ y₂,

jika tidak x ₀ x₂, y ₀ y₂. 6 Ulangi langkah 2.

(10)

7. TUGAS

1. Tentukan hampiran akar persamaan berikut dengan menerapkan metode bagidua dan metode posisi palsu.

(a) e^^x lnx ; x₀=1, x₁=2 (b) x² lnx3 ; x₀=1, x₁=2 (c) e^x x⁴ x2 ; x = 0, ₀ x =1 ₁ (d) cosx1x0 ; x =0,8 , ₀ x =1,6 ₁

2. Tentukan dua akar dari persamaan berikut : f(x)xsinxcosx0 sampai tiga digit keberartian menggunakan :

(a) Metode bagidua (b) Metode posisi palsu

Daftar pustaka sama dengan daftar pustaka praktikum pertama.

(11)

PRAKTIKUM 3

METODE NEWTON-RAPHSON METODE SECANT

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan metode N-R dan metode Secant untuk menentukan hampiran akar pada masalah penentuan akar persamaan tak linier, dengan bantuan software yang dikuasainya.

Prosedur metode Newton-Raphson (metode N-R) mulai dari sebarang titik x yang cukup dekat dengan akar. ₀

Langkah 1 : Tentukan kemiringan dari fungsi f(x) pada x x₀. Namakan f (x₀).

Langkah 2 : Tentukan hampiran akar yaitu x dengan menggunakan persamaan ₁

1 0

0 0

) ) (

( x x

x x f

f   atau

) (

0 0 0

1 f x

x x f

x    .

Secara umum untuk memperoleh hampiran akar ke (i+1) digunakan rumus :

) (

1

i i i

i f x

x x f

x_    .

Langkah 3 : Hentikan iterasi bila dua hampiran akar yang berurutan cukup dekat.

(12)

Metode secant menghampiri turunan pertama fungsi f x( ) pada masalah penentuan hampiran akar persamaan f x ( ) 0, dengan :

1 1) ( ) ) (

(



 



i i

i x x

x f x x f

f

di manax_i dan x_i_₁ adalah dua hampiran akar untuk iterasi ke-i dan iterasi ke i-1.

Nilai hampiran akar pada iterasi ke i+1 diperoleh dari dua nilai hampiran akar sebelumnya yaitu x_i_₁ dan x_i yang diterapkan pada persamaan tersebut :

) ( ) (

1 1 1

1



 

 

i i

i i i i

i f x f x

x f x x f

x x

dengan x_i_₁ adalah absis titik perpotongan garis lurus yang menghubungkan dua titik yaitu (x_i_₁, f(x_i_₁))dengan (x_i,f(x_i)).

Untuk menentukan hampiran akar dengan metode N-R dan metode Secant ikuti algoritma-algoritma berikut :

Algoritma Metode Newton-Raphson : Masukan : f(x), f (x), x , delta, , n ₀ Keluaran : akar (x ) ₁

Langkah :

1 Iterasi = 1

2 Jika f₀  delta maka cetak kemiringan terlalu kecil. Selesai.

3 x₁ x₀



f₀/ f₀



4 Jika



x₁x₀



/ x₁   maka cetak akar =x . Selesai ₁ 5 x ₀ x₁

6 Iterasi = Iterasi + 1

7 Jika Iterasi < n, kembali ke langkah 2 8 Proses belum konvergen. Selesai.

(13)

Algoritma Secant :

Masukan : f(x), x , ₀ x₁, , delta, n Keluaran : akar (x₂)

Langkah :

1 Iterasi = 1

2 Jika f₁ f₀  delta maka cetak ’ f ₁ f₀ terlalukecil’.Selesai 3 x₂ 



x₀f₁x₁f₀

 

/ f₁ f₀



4 Jika f₂  e maka akar =x₂. Selesai 5 f ₀ f₁

6 f ₁ f₂ 7 x ₀ x₁ 8 x ₁ x₂

9 Iterasi = iterasi + 1

10 Jika Iterasi < n, kembali ke langkah 3 11 Proses belum konvergen. Selesai

7. TUGAS

Tentukan hampiran akar persamaan berikut dengan menerapkan metode N-R dan metode Secant.

1. e^^x lnx x =1. ₀ 2. x² lnx3 ; x₀=1.

3. e^x x⁴ x2 ; x₀= 0.

4. cosx1x0 ; x₀= 0,8.

(14)

PRAKTIKUM 4

METODE ITERASI TITIK TETAP

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan metode iterasi titik tetap untuk menentukan hampiran akar pada masalah penentuan akar persamaan tak linier, dengan bantuan software yang dikuasainya.

Pada metode iterasi titik tetap, persamaan f(x)0 secara aljabar dapat ditransformasi menjadi bentuk x g(x). Sehingga prosedur iterasi yang berpadanan dengan bentuk tersebut adalahx_n_₁ g(x_n).

Contoh :

Tentukan akar persamaan berikut : f(x) x²2x80. Penyelesaian :

Persamaan (2.10) dapat ditulis : x g₁(x) = 4 2 1 ₂

x  .

Sehingga x_n_₁  g₁(x_n) = 4 2 1 ₂

n 

x . Persamaan di atas juga dapat ditulis sebagai :

x x g

x 8

2 )

2(  



8 2 )

3(  

 g x x

x

dan x g₄(x) 2x8

(15)

Kekonvergenan metode ini bergantung pada kenyataan bahwa di sekitar akar, kurva g(x) kurang curamnya daripada garis lurus y = x atau kondisi

1 )

( 

g x merupakan syarat cukup untuk kekonvergenan.

Algoritma Metode Iterasi Titik Tetap : Masukan : g(x), x , , n ₀

Keluaran : akar (x ) ₁ Langkah :

1 Iterasi = 1 2 x ₁ g(x₀)

3 Jika



x₁x₀



/ x₁   maka akar =x₁. Selesai 4 x ₀ x₁

5 Iterasi = iterasi + 1

6 Jika Iterasi < n, kembali ke langkah 2 7 Proses belum konvergen. Selesai

7. TUGAS

Tentukan hampiran akar persamaan berikut dengan menerapkan metode Iterasi Titik Tetap.

1. e^^x lnx x₀=1.

2. x² lnx3 ; x =1. ₀ 3. e^x x⁴ x2 ; x₀= 0.

4. cosx1x0 ; x₀= 0,8.

(16)

PRAKTIKUM 5

INTERPOLASI BEDA MAJU NEWTON INTERPOLASI BEDA MUNDUR NEWTON

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menentukan hampiran nilai fungsi dari argumen-argumen yang ditabelkan dengan interpolasi beda maju dan beda mundur Newton.

Andaikan diberikan suatu tabel nilai-nilai numeris fj f(xj) dari suatu fungsi f pada titik - titik yang berjarak sama: x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, x3 = x0 + 3h, ..., dengan h > 0 tetap, dengan f( jx )mungkin berupa hasil suatu rumus atau mungkin diperoleh secara empiris dari percobaan. Andaikan pula

., . . , f , f , f , f ,

f_₂ _₁ ₀ ₁ ₂ adalah nilai-nilai dari f( jx ) masing-masing untuk .

. . , x , x , x , x ,

x_₂ _₁ ₀ ₁ ₂ .Maka ( f_₁ f_₂),(f₀  f_₁),( f₁ f₀),( f₂  f₁),...,disebut beda-beda dari fj f(xj).

Beda maju pertama dinotasikan dengan : fm

fm fm   

 1 ^.

Beda dari beda-beda maju pertama disebut beda-beda maju kedua dan dinotasikan:

fm fm

fm   

2 1 .

Dengan cara yang sama dapat dinotasikan beda-beda maju ketiga, keempat, dan seterusnya. Bentuk umumnya:

(17)

ⁿ⁺¹fm = ⁿfm+1 - ⁿfm untuk n = 0, 1, 2, ...

Beda - beda Mundur (Backward Difference)

Notasi yang dipakai dalam beda-beda mundur adalah sebagai berikut:

 f 0 = f 0 - f –1 ;  f –1 = f –1 - f 0 ;

dan seterusnya, disebut beda-beda mundur pertama. Secara umum ditulis:

 f m = f m - f m-1 .

Beda dari beda-beda mundur pertama disebut beda-beda mundur kedua dan dinotasikan:

2

f m =  f m -  f m-1 .

Dengan cara yang sama dapat dinotasikan beda-beda mundur ketiga, keempat, dan seterusnya. Bentuk umumnya:

ⁿ⁺¹fm = ⁿfm - ⁿfm-1 untuk n = 0, 1, 2, ...

Bentuk interpolasi yang paling sederhana adalah menghubungkan dua titik data dengan garis lurus. Teknik ini yang dinamakan interpolasi linier :

P1(x) = f0 + r.  f0 ; dengan x = x0 + rh , r = h

x x 0

, 0  r  n.

Jika tersedia tiga titik data (x0,f0), (x1,f1), dan (x2,f2), lebih baik digunakan polinom orde kedua (juga disebut polinom kuadrat atau parabola). Rumus interpolasi kuadrat dinyatakan :

p2(x) = f0 + r .  f0 + 2

) 1 ( r

r  ²f0 .

Interpolasi kuadrat lebih baik daripada interpolasi linier. Tentu akan lebih baik lagi bila kita memakai polinom yang derajatnya lebih tinggi lagi. Bila polinom interpolasi derajat n yang diinginkan, maka jumlah titik yang dibutuhkan harus (n+1) buah.

(18)

Polinom interpolasi derajat n diberikan dalam rumus interpolasi beda-maju Newton :

f(x)  Pn(x) = ^s ₀

0

f

s r

n

s





 









= f0 + r . f0 +

! 2

) 1 ( r

r ² f0

+ . . . +

!

1) n - (r . . . ) 1 (

n r

r  

ⁿ f0

dengan x = x0 + rh , r = h

x x 0

, 0  r  n.

Suatu rumus yang serupa dengan rumus tadi tetapi melibatkan beda- mundur adalah rumus interpolasi beda-mundur Newton :

f(x)  Pn(x) = f0 + r.  f0 +

! 2

) 1 ( r

r ² f0 + . .

+ !

) 1 (

. . . ) 1 (

n n r r

r   

ⁿ f0

dengan x = x0 + rh, r = (x – x0)/h , 0  r  n.

Algoritma setiap metode interpolasi pada topik praktikum ini ditugaskan untuk mahasiswa, dan diserahkan sebelum praktikum 5 dimulai.

(19)

7. TUGAS

1. Diberikan data berikut:

x 0 1 2 2,5 3 4

y 1,4 0,6 1,0 0,65 0,6 1,0

Memakai interpolasi Newton f1(x), f2(x), f3(x) dan f4(x), hitung nilai interpolasi di titik x = 0,75.

2. Taksirlah ln 2 dengan memakai interpolasi kuadrat bila diketahui ln 1 = 0, ln 4 = 1,3862944 dan ln 6 = 1,7917595.

(20)

PRAKTIKUM 6

INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan algoritma polinom beda terbagi Newton untuk menyelesaikan masalah penghampiran nilai fungsi.

Sebelum sampai kepada formula interpolasi beda terbagi Newton, didefinisikan terlebih dahulu beda-beda terbagi, yang secara iteratif dinyatakan oleh hubungan:

f[x0,x1] =

0 1

x - x

) x ( f ) x (

f 

f[x0,x1,x2] =

0 2

1 0 2

1

x - x

] x , x [ f ] x , x [

f 

. . . f[x0,x1, . . . ,xn] =

0

1 1 0 2

1

x

n-

n n

x

] x ,..., x , x [ f ] x ,..., x , x [

f  _

…(3.21)

Formula Interpolasi Ordo 1

Formula ini diperoleh dengan cara yang sama seperti formula interpolasi linier.

P1(x) = f(x0) +



( 1) ( 0)



x0 1-

0 f x f x

x x x



P1(x) = f(x0) + (x - x0) 









 

x0 1-

0) ( 1) (

x x f x f

(21)

P1(x) = f(x0) + (x - x0).f[x0,x1] Jadi diperoleh:

P1(x) = f0 + (x - x0). f[x0,x1]

Formula Interpolasi Ordo 2

Secara umum interpolasi ordo 2 dinyatakan dengan:

f(x)  P2(x) = a0 + a1x + a2x². Persamaan tersebut ekuivalen dengan polinomial P2(x) = b0 + b1(x - x0) + b2(x - x0) (x - x1).

P2(x2) = f0 + (x - x0) . f[x0,x1] + (x - x0)(x - x1) . f[x0,x1,x2]

Secara umum sampai dengan ordo n, kita peroleh formula interpolasi beda terbagi Newton sebagai berikut:

f(x) = Pn(x) = f0 + (x - x0) . f[x0,x1]

+ (x - x0)(x - x1) . f[x0,x1,x2] + . . . . + (x - x0)(x - x1) . . . (x - xn-1) . f[x0,x1, . . ., xn]

Algoritma Polinom Beda Terbagi Newton

Masukan : n, xi, f(xi) dengan i = 0, 1, 2, . . . , n. x ,  Keluaran : f(x)

Langkah-langkah:

1 b0 f(x0) = f0

2 pbagi b0

3 faktor 1

(22)

4 Untuk i = 1, 2, . . . , n, lakukan 5 bi f(xi)

6 Untuk j = i-1, i-2, . . . , 0 , lakukan 7 bj

xj xi

bj bj



1

8 faktor faktor . (x - xi-1) 9 suku b0 . faktor 10 pbagi pbagi + suku 11 Jika suku   , selesai.

7. TUGAS

Diketahui ln 1 = 0, ln 4 = 1,3862944 dan ln 6 = 1,7917595 dan ln 5 = 1,6094379.

Taksirlah ln 2 dengan memakai polinom interpolasi beda terbagi Newton ordo ketiga.

(23)

PRAKTIKUM 7

INTERPOLASI LAGRANGE

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan interpolasi Lagrange untuk menyelesaikan masalah penghampiran nilai fungsi.

5. TEORI PENGANTAR Polinom Interpolasi Lagrange

Polinom interpolasi Lagrange hanyalah perumusan ulang dari polinom Newton yang menghindari komputasi beda-beda terbagi. Dengan demikian, polinom interpolasi Lagrange dapat diturunkan langsung dari polinom interpolasi Newton tersebut.

Polinom Interpolasi Lagrange Ordo 1

Perhatikan kembali formula polinom interpolasi Newton ordo 1:

f(x)  P1(x) = f0 + (x - x0) . f[x0,x1] Untuk menurunkan bentuk Lagrange, beda-beda terbagi dirumuskan ulang

f[x0,x1] =

1 0

0 0

1 1

x x

f x

x f

 



Bentuk terakhir ini disubstitusikan ke persamaan pertama sehingga diperoleh:

P1(x) =













 



1

0 i

j x

x - x 0 j

1

i

i j

f

x .

(24)

Polinom Interpolasi Lagrange Ordo 2

Formula polinom interpolasi Newton ordo 2 adalah:

P2(x) = f0 + (x - x0) . f[x0,x1] + (x - x0) (x - x1) . f[x0,x1,x2] Beda-beda terbagi ordo 2 dirumuskan ulang

f[x0,x1,x2] =

2) )( 1

0 ( 1

1 2)

)( 0 1 ( 0

0

x x x x

f x

x x x

f



 



 ⁺( 2 0)( 2 1)

2 x x x x

f



Bentuk terakhir ini disubstitusikan ke formula interpolasi Newton ordo 2 sehingga diperoleh:

P2(x) =

























2

0 i

j x

x - x

i j

0 j

2

i

i j

f x .

Secara umum sampai dengan ordo n, kita peroleh formula interpolasi Lagrange sebagai berikut :

Pn(x) =

 























n

i

i i n

i

i j

f ).

x ( L f

x . ₀

0 i

j

x x - x

i j

0 j

n

.

Algoritma Polinom Interpolasi Lagrange

Masukan : n, x_i, f(x_i) dengan i = 0, 1, 2, . . . , n Keluaran : plag

Langkah-langkah:

1 plag 0

(25)

2 Untuk i = 0, 1, 2, . . . , n lakukan:

3 faktor 1 4 Untuk j = 0, 1, 2, . . . , n

5 Jika j  i , faktor faktor . xj xi

xj x



6 plag plag + faktor . f(xi)

7. TUGAS

1. Diberikan data berikut:

x 1 2 3 5 6

f(

x)

4,75 4 5,25 19,75 36

Hitung f(3,5) dengan memakai polinom Lagrange ordo 1 sampai ordo 3.

2. Diberikan titik-titik simpul x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3, dan x4 = 5. Memakai interpolasi polinom Lagrange tentukan interpolasi di titik x = 4 dan x = 3,5. Andaikan f(x) = 2 Sin (x/6).

(26)

PRAKTIKUM 8

METODE ELIMINASI GAUSS DAN PIVOTING PADA SISTEM PERSAMAAN LINIER

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan metode eliminasi Gauss dan Pivoting untuk menyelesaikan masalah-masalah pada sistem persamaan linier.

Bentuk-bentuk sistem persamaan linier sangat banyak muncul dalam aplikasi, misalnya dalam jaringan listrik, sehingga perlu dicari metode untuk menyelesaikannya. Pada bagian ini akan dibicarakan mengenai sistem persamaan linier saja yang dalam penyajiannya akan menggunakan bentuk matriks.

Pada prinsipnya untuk menyelesaikan sistem persamaan linier ada dua macam, yaitu:

1) Cara langsung, antara lain dengan eleminasi Gauss dan dekomposisi LU.

2) Cara tidak langsung (iteratif), antara lain dengan metode Jacobi dan metode Gauss-Seidel.

Sistem persamaan linier yang mempunyai matriks koefisien berupa matriks segitiga atas disebut sistem persamaan linier segitiga atas. Sistem persamaan linier seperti itu dapat dituliskan dalam bentuk :

(27)

n n

n , n n

n n

c x

a x

c x

a x

a

c x

a x

a

nn 1 1 1

1 - n 1, - n

2 2

2 22

1 1

2 12 1

11













 







Dengan asumsi elemen-elemen diagonal tak nol, akk  0 untuk k = 1, 2, ... , n, maka terdapat suatu solusi tunggal dari sistem persamaan linier di atas. Kondisi akk  0 ini sangat penting karena persamaan tersebut melibatkan pembagian oleh akk. Jika persyaratan ini tidak terpenuhi maka solusinya tidak ada atau terdapat takhingga banyaknya solusi. Untuk mengatasi hal tersebut dilakukan pengaturan kembali susunan sistem persamaannya sedemikian sehingga elemen diagonal yang dipakai sebagai tumpuan dipilih tidak sama dengan nol. Cara tersebut sering disebut eliminasi dengan pivoting.

Penyelesaian sistem persamaan linier segitiga atas mudah dicari dengan mempergunakan substitusi mundur (backward substitution). Proses inilah yang disebut eliminasi Gauss. Pada eliminasi Gauss, bilangan akk pada posisi (k,k) yang dipakai untuk mengeliminasi xk dalam baris-baris k+1, k+2, ..., n dinamakan elemen tumpuan (pivot) ke-k, dan k disebut baris tumpuan.

Metode eliminasi Gauss terdiri dari 3 macam, yaitu:

1) Eliminasi Gauss naif (= apa adanya, tidak mempedulikan nilai pivot).

2) Eliminasi Gauss pivoting parsial.

3) Elimnasi Gauss pivoting parsial terskala.

Sistem persamaan linier yang mempunyai matriks koefisien berupa matriks segitiga bawah disebut sistem persamaan linier segitiga bawah. Sistem persamaan linier seperti itu dapat dituliskan dalam bentuk:

n n nn n

n a x c

c c

x a





²

1

2 2

2 22

1 1

1 21

1 11





(28)

Metode Eliminasi Gauss Naif

Eliminasi Gauss naif termasuk hitungan langsung sehingga galatnya tidak dapat diatur (perambatan galat sulit dihindari). Selain itu juga, elemen tumpuan yang nol sulit dihindari. Untuk itulah diperbaiki dengan strategi pivoting.

Jika akk = 0, perlu mencari baris r, dengan ark  0 dan r > k, kemudian mempertukarkan baris k dengan baris r sehingga diperoleh elemen tumpuan tak nol.

Algoritma Substitusi Mundur untuk Matriks Segitiga Atas Masukan : n, aij, ci, i,j = 1, 2, ..., n.

Keluaran : xi , i = 1, 2, ..., n.

Langkah-langkah:

Algoritma Substitusi Maju untuk Matriks Segitiga Bawah ditugaskan kepada mahasiswa, dan harus dibawa ketika akan melaksanakan praktikum kedelapan.

xn = cn/ann

Untuk k = n-1, n-2, ..., 1 lakukan:

jumlah 0

Untuk j = k+1, k+2, ..., n lakukan:

jumlah jumlah + akj.xj

xk ( Ck – jumlah ) / akk

(29)

Algoritma Eliminasi Gauss Naif

Masukan : n, a(i,j), i = 1, 2, . . ., n j = 1, 2, . . ., n+1

Keluaran : x(i), i = 1, 2, . . ., n.

Langkah-langkah:

1. Untuk k = 1, 2, . . ., n-1, lakukan:

Jika akk  0 maka ke langkah 7 Jika tidak, maka baris k

2. Untuk i = k +1, k+2, . . ., n, lakukan:

Jika aik  0, maka ke langkah 4 Jika tidak, ke langkah 3

3. Cetak “Matriks Singular”, selesai 4. Baris i

5. Untuk i = k, k + 1, . . ., n+1, lakukan:

D aki

aki abaris, i

abaris,i D

6. Untuk i = k+1, k+2, . . ., n, lakukan:

P aik/akk

Untuk j = k+1, k+2, . . ., n+1, lakukan:

aij aij - P.akj

aik 0

8. Jika ann = 0, maka matriks singular. Selesai.

9. xn an,n+1/ann

10. Untuk k = n-1, n-2, . . ., 1, lakukan:

jumlah 0

Untuk j = k+1, k+2, . . ., n, lakukan:

jumlah jumlah + akj * xj

(30)

7. TUGAS

1. Selesaikan SPL segitiga atas berikut x1 + x2 + 2x3 - x4 = 2

2x2 - x3 + 2x4 = 9 3x3 + x4 = 6 -2x4 = -6

2. Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss naif dan eliminasi Gauss pivoting parsial.

a. x1 - 2x2 + x3 = 0 2x1 + x2 + x3 = 9 3x1 - x2 + 3x3 = 10

b. x1 + 4x2 + 7x3 - 2x4 = 10 4x1 + 8x2 + 4x3 = 8 x1 + 5x2 + 4x3 - 3x4 = - 4 x1 + 3x2 - 2x4 = 10

(31)

PRAKTIKUM 9 ITERASI JACOBI ITERASI GAUSS-SEIDEL

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menggunakan iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan linier.

Iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel merupakan metode penyelesaian SPL secara tak langsung. Dalam metode eliminasi Gauss melibatkan banyak galat pembulatan yang dapat menyebabkan solusi yang diperoleh jauh dari solusi sebenarnya. Dengan kedua metode iterasi ini galat pembulatan dapat diperkecil, karena iterasi dapat diteruskan sampai solusinya seteliti mungkin, sesuai dengan batas galat yang diinginkan.

SPL AX = C dapat diselesaikan dengan metode ini sehingga konvergen, apabila matriks koefisien A memenuhi syarat cukup yaitu dominan secara diagonal:









n

i j , j

ij

ii a

a

1

, untuk i = 1, 2, 3, . . . , n.

(32)

Pandang SPL:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

 

an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn

dengan matriks koefisiennya dominan secara diagonal. Untuk mencari hampiran solusinya disarankan bentuk-bentuk iteratif berikut:

x1 =

11

1 ) 3

13 2 ( 12 1

a

xn a n x

a x a

b   

x2 =

22

2 ) 3

23 1 ( 21 2

a

xn a n x

a x a

b   

 xn =

nn

n n , n n

n n

a

) x a x

a x a (

b  ₁ ₁ ₂ ₂  _₁ _₁

Misalkan diberikan nilai awal (x1,x2, . . ., xn), bentuk umum proses iteratif Jacobi adalah

,....

, , k dan n ,..., , i untuk a

x a b x

ii n

i j j

k j ij i

k

i 12 012

1

1  













Sedangkan bentuk umum proses iteratif Gauss-Seidel adalah

aii n

i j

k xj aij i

j

k xj aij bi

k xi











 

  1

1 1

1

1 untuk i = 1, 2, . . ., n dan k = 0, 1, 2, . .

Algoritma iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel ditugaskan kepada mahasiswa dan wajib diserahkan sebelum praktikum kesembilan dilaksanakan.

(33)

7. TUGAS

Carilah hampiran akar SPL berikut sampai iterasi ke 3 dengan iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel. Mulailah dengan nilai awal (x,y,z) = (0,0,0) sehingga konvergen ke penyelesaiannya.

1. 5x - y + z = 10 2x + 8y - z = 11 -x + y + 4z = 3

2. x1 + x2 + 3x3 = 10 3x1 - x2 + x3 = -2 x1 + 4x2 - x3 = 4

(34)

PRAKTIKUM 10

PENGHAMPIRAN FUNGSI DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL

(REGRESI LINIER)

1. MINGGU KE : 10

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menggunakan metode kuadrat terkecil untuk menghampiri nilai fungsi dengan model yang cocok.

Pada praktikum sebelumnya telah dipelajari teknik interpolasi untuk memperkirakan nilai sebuah fungsi untuk suatu argumen yang bukan anggota dari argumen-argumen yang ditabulasikan. Diasumsikan bahwa nilai-nilai yang ditabulasikan tidak mempunyai galat atau kesalahan. Jika nilai-nilai pada tabel diperoleh sebagai hasil pengamatan, nilai-nilai itu akan mempunyai galat hasil pengamatan. Galat hasil pengamatan ini adalah kuantitas yang acak dan dapat digambarkan hanya secara statistika saja. Galat-galat ini akan bervariasi atas sebuah rentangan dan beberapa galat kemungkinan cukup besar. Pada kasus seperti ini dapat dicocokkan sebuah hampiran kurva dengan tujuan memperoleh sebuah kurva yang secara statistika terbaik atau yang paling cocok.

Andaikan x₁, x₂,…,x_nadalah nilai-nilai dari sebuah peubah bebas X dan y1, y₂,…,y_nadalah nilai-nilai dari peubah tak bebas (terikat) Y yang bersesuaian dengan X. Misalkan y ˆ fˆ(x) adalah nilai hampiran atau taksiran untuk sebuah

(35)

fungsi f . Galat antara yˆ nilai-nilai hampiran untuk fungsi f dengan y nilai- nilai sebenarnya yang ditabulasikan adalah

d_i  y_iyˆ_i y_i f xˆ( )_i

Jika suatu data yang diplot mengumpul di sekitar sebuah garis lurus sehingga dapat dikatakan bahwa sebuah garis lurus menggambarkan situasi yang cukup masuk akal, sehingga dapat dinyatakan dengan persamaan :

x a a

yˆ ₀  ₁

yang menggambarkan sebuah garis lurus. Jumlah kuadrat simpangannya atau jumlah kuadrat galatnya adalah :

S =

     

2

1

1 0 2

1

ˆ













n

i

i i

n

i

i y y a a x

y .

Kita akan mendiskusikan sebuah metode penghitungan a dan ₀ a pada ₁ persamaan linier tadi dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat antara nilai- nilai yang diukur dan yang diberikan pada persamaan tersebut. Maka untuk meminimumkan S, diambil turunan parsial dari S terhadap a₀dan a₁ kemudian samakan dengan nol, hasilnya diperoleh persamaan yang disebut persamaan normal.

Metode kuadrat terkecil ini dapat diterapkan pada kasus-kasus yang lain seperti : fungsi polinom derajat 2 ”yˆa₀a₁xa₂x²”, fungsi eksponensial

”yˆ a e^^bx ”, fungsi hiperbol ”

bx y a

 1

ˆ “, kurva geometri ” yˆ ax^bc” dan fungsi trigonometri ”yˆ  Asin



x



”.

Algoritma untuk Regresi Linear Masukan : n, (x_i,y_i)untuk i=1,2…,n Keluaran : a dan ₀ a ₁

(36)

2 Jumlahy = 0 3 Jumlah xy = 0

4 Untuk i=1,2…,n lakukan : 5 baca x_i, y_i

6 jumlahx = jumlahx + x 7 jumlah xsq = jumlah xsq + x² 8 jumlah y = jumlah y + y 9 jumlahxy = jumlah xy + x . y 10 denom = n . jumlahxsq – jumlahx . jumlahx

11 a₀= (jumlahy . jumlah xsq – jumlahx.jumlahxy )/denom 12 a₁= (n . jumlahxy – jumlah x . jumlah y )/denom

13 cetak a₀, a₁ . Selesai.

7. TUGAS

1. Sebuah percobaan memberikan nilai-nilai pada tabel berikut untuk peubah tak bebas y untuk himpunan nilai-nilai x yang diberikan. Lakukan pencocokan kuadrat terkecil yang sesuai untuk data berikut.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y _5,5 _7,0 _9,6 11,5 12,6 14,4 17,6 19,5 20,5

2. Untuk data pada tabel berikut, plot y vs x . Dari plot tersebut tebak bentuk kurva yang cocok. Gunakan metode kuadrat terkecil untuk mencocokkan kurva.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y _7,6 13,2 27,4 33,0 62,5 86,4 115,1 147,0 182,2

(37)

PRAKTIKUM 11 INTEGRASI NUMERIK

(ATURAN KOMPOSISI TRAPESIUM)

1. MINGGU KE : 11

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan aturan komposisi trapesium untuk menyelesaikan masalah integrasi numerik.

Mengevaluasi suatu integral tertentu I =



b

a

dx ) x (

f untuk f(x) kontinu dalam selang [a,b], dengan metode analitik biasanya sulit bahkan ada yang tak dapat dievaluasi. Walaupun fungsi tersebut merupakan bentuk analitik yang relatif sederhana. Mengatasi persoalan ini dan persoalan integrasi yang lebih umum yang hanya mempunyai beberapa nilai dari f(x) (dengan argumen x = xi, i = 0, 1, 2, ..., n) dibutuhkan beberapa pendekatan. Pilihannya adalah mencari sebuah fungsi, misalnya g(x) yang sesuai untuk mengatasi kedua persoalan yaitu merupakan pendekatan dari f(x) yang mudah untuk diintegralkan secara analitik. Kemudian I =



b

a

dx ) x (

f dapat diperkirakan sebagai Ih =



b

a

dx ) x (

g .

Aturan Trapesium untuk menghampiri I adalah :

h



f(a) f(b)



dx ) x ( f

b





₂ dengan h = b - a.

(38)

Jika selang [a,b] dibagi menjadi n selang bagian dengan lebar selang : h =

n a

b  . Berdasarkan aturan trapesium diperoleh aturan komposisi trapesium

sebagai berikut :





 



  









 1

1

2 2

n

i i b

a

) x ( f )

b ( f ) a ( h f dx ) x (

f .

Algoritma untuk Komposisi Trapesium ditugaskan kepada mahasiswa, dan harus diserahkan ketika akan melaksanakan praktikum sebelas.

7. TUGAS

Diketahui f(x) = x²cos x², 1,5  x  2,5.

Hitunglah

2,5

1,5

( ) f x dx



aturan komposisi trapesium, jika selang [1,5 ; 2,5]

dibagi menjadi 4 selang bagian .

(39)

PRAKTIKUM 12 INTEGRASI NUMERIK (ATURAN KOMPOSISI SIMPSON)

1. MINGGU KE : 12

4. TUJUAN

Setelah selesai praktikum mahasiswa diharapkan dapat menerapkan aturan komposisi Simpson untuk menyelesaikan masalah integrasi numerik.

Integral numerik yang lain yaitu aturan Simpson. Aturan Simpson mirip dengan aturan trapesium yaitu keduanya membagi daerah yang akan diintegralkan dalam interval bagian yang kecil dan kemudian menjumlahkan semua integral dari daerah yang dibatasi oleh sumbu yang kecil tersebut. Hanya dalam aturan Simpson pendekatan fungsi f(x) diperoleh dari interpolasi polinomial derajat dua (parabola) yang melalui tiga ordinat dari dua selang yang berdampingan. Jadi aturan Simpson akan tepat untuk fungsi derajat dua atau lebih kecil.

Telah dikatakan bahwa, untuk memperoleh hampiran nilai integrasi yang lebih teliti, digunakan polinom interpolasi berderajat lebih tinggi. Apabila fungsi f(x) dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2, dibutuhkan 3 buah titik data misalkan (a, f(a)), (c,f(c)) dan (b,f(b)), di mana c = .

2 b a 

Aturan Simpson untuk menghampiri I adalah



4 1 2



3 1

h f f f

I  _o   .