BAB 2 RUANG BERNORM. 2.1 Norm dan Ruang `p. De nisi 2.1 Misalkan V ruang vektor atas R, Sebuah fungsi k:k : V! R yang memenuhi sifat-sifat berikut :

RUANG BERNORM

2.1 Norm dan Ruang `^p

De…nisi 2.1 Misalkan V ruang vektor atas R, Sebuah fungsi k:k : V ! R yang memenuhi sifat-sifat berikut :

[N1] kxk = 0 jika dan hanya jika x = 0 [N2] k xk = j j kxk untuk setiap 2 R [N3] kx + yk kxk + kyk

disebut norm pada V . Pasangan (V; k:k) disebut ruang vektor bernorm (selanjut- nya cukup disebut ruang bernorm).

Beberapa contoh ruang bernorm dapat dilihat di [Kreyzig, 60-61] : Salah satu con- toh yang penting dan merupakan topik dalam tesis ini adalah `<sup>p</sup> dengan 1 p 1. Anggota ruang `^p dengan 1 p < 1 adalah barisan x = (x¹; x₂; : : :)sehingga P1

j=1jx^jj^p <1. Sedangkan anggota ruang `¹ adalah barisan x = (x1; x₂; : : :) se- hingga sup

j=1;2; jx^jj < 1. Norm untuk `^p adalah kxkp =

X1 j=1

jx^jj^p

!¹_p

(2.1) jika 1 p <1 dan

kxk₁= sup

j=1;2; jx^jj :

Untuk menunjukkan `^p adalah ruang vektor dan (??) adalah norm diperlukan beberapa teorema berikut.

Teorema 2.2 (Ketaksamaan Hölder) Untuk setiap x 2 `<sup>p</sup> dan z 2 `^q dengan

1

p +¹_q = 1, maka

X1 j=1

jx^jzjj kxkpkzkq:

3

Bukti. Akan dibuktikan _p^{1 p}+¹_q ^q untuk setiap ; 0dengan ¹_p+¹_q = 1:

Jika = 0 atau = 0 maka ketaksamaan jelas berlaku. Sekarang untuk p > 1, y = x^{p 1} berarti x = y^{q 1}. Perhatikan bahwa

Z

0

x^{p 1}dx + Z

0

y^{q 1}dy 1 p

p+ 1 q

q:

Selanjutnya pilih ex 2 `<sup>p</sup> dan ez 2 `^q sedemikian sehingga P¹

j=1jex_jj^p = 1 dan P1

j=1jez_jj^q= 1; maka

jex_jez^jj 1

pjex_jj^p+1

q jez_jj^q , 8j = 1; 2; ::::

Kemudian dijumlahkan untuk semua j maka didapat X1

j=1

jex_jez^jj 1 p

X1 j=1

jex_jj^p+1 q

X1 j=1

jez_jj^q

= 1 p+ 1

q = 1:

Ambil sebarang 0 6= x = (x^j) 2 `<sup>p</sup> dan 0 6= z = (z<sup>j</sup>) 2 `^q. Pilih ex^j = ^xj

kxkp dan ez^j = _kzk^zj

q maka

X1 j=1

jex_jez^jj = X1

j=1

x_j kxkp

z_j kzkq

1 X1

j=1

jx^jz_jj kxkpkzkq:

Teorema 2.3 (Ketaksamaan Minkowski) Untuk setiap x; y 2 `^p maka kx + ykp kxkp +kykp:

Bukti. Untuk p = 1; ketaksamaan di atas benar berdasarkan ketaksamaan se- gitiga untuk bilangan. Misal p > 1 dan untuk menyederhanakan penulisan, tulis w = x + y. Selanjutnya jw^jj^p =jx^j + yjj jw^jj^{p 1}, berdasarkan ketaksamaan segitiga untuk bilangan maka

jw^jj^p (jx^jj + jy^jj) jw^jj^{p 1}:

Kemudian dijumlahkan untuk semua j = 1; 2; :::

X1 j=1

jw^jj^p

X1 j=1

jx^jj jw^jj^{p 1}+ X1

j=1

jy^jj jw^jj^{p 1}:

Selanjutnya kita gunakan ketaksamaan Hölder pada ruas kanan. Jadi, X1

j=1

jw^jj^p

2 4

X1 j=1

jx^jj^p

!¹_p +

X1 j=1

jy^jj^p

!¹_p3 5

X1 j=1

jw^jj^p

!¹_q

X1 j=1

jw^jj^p

!¹_{p 1}

X

j=1

jx^jj^p

!¹_p +

X1 j=1

jy^jj^p

!¹_p

kx + ykp kxkp+kykp:

Berdasarkan kedua teorema tersebut akan dibuktikan `<sup>p</sup> dengan 1 p < 1 adalah ruang vektor. Untuk itu hanya akan dibuktikan sifat tertutup terhadap penjumlahan sedangkan sifat yang lainnya mudah untuk dibuktikan. Ambil x = (x<sub>1</sub>; x<sub>2</sub>; : : :), y = (y1; y<sub>2</sub>; : : :) 2 `^p, maka berdasarkan Ketaksamaan Minkowski x + y = (x₁+ y₁; x₂+ y₂; : : :) 2 `^p. Selanjutnya, akan dibuktikan (??) adalah norm:

[N1] Jika x = 0 maka kxkp = P¹

j=1j0j^p

!¹_p

= 0. Sebaliknya, jika

kxkp = X1

j=1

jx^jj^p

!¹_p

= 0;

maka P¹

j=1jx^jj^p = 0. Karena jx^jj^p 0 untuk setiap j = 1; 2; : : : maka haruslah xj = 0 untuk setiap j = 1; 2; : : :. Jadi x = 0

[N2] Ambil 2 R dan x 2 `^p

k xkp =

X1 j=1

j x^jj^p

!¹_p

= X1

j=1

j j^pjx^jj^p

!¹_p

= j j^p X1

j=1

jx^jj^p

!_p¹

=j j X1

j=1

jx^jj^p

!¹_p

[N3] Ambil x; y 2 `^p maka berdasarkan Ketaksamaan Minkowski kx + ykp kxkp +kykp:

Dengan demikian, `<sup>p</sup>;kxkp adalah ruang bernorm. Dengan cara yang serupa dapat dibuktikan (`¹;kxk₁) adalah ruang bernorm.

De…nisi 2.4 Misalkan (V; k:k) adalah ruang bernorm. Barisan xⁿdi V dikatakan konvergen ke x 2 V jika untuk setiap " > 0 terdapat N 2 N sedemikian sehingga untuk setiap n N berlaku kxⁿ xk < ". Barisan xⁿ di V dikatakan barisan Cauchy jika untuk setiap " > 0 terdapat N 2 N sedemikian sehingga untuk setiap n; m N berlaku kxⁿ x_mk < ".

De…nisi 2.5 Ruang (V; k:k) dikatakan ruang yang lengkap (ruang Banach) jika setiap barisan Cauchy di V konvergen.

Teorema 2.6 Ruang `^p;k:kp adalah ruang Banach.

Bukti. Misalkan xn barisan Cauchy di `^p, maka untuk setiap " > 0 terdapat N 2 N sedemikian sehingga untuk setiap m; n N maka kxⁿ x_mkp < ". Tulis x_n = (xⁿ₁; xⁿ₂; :::). Karena xⁿ_j x^m_j kxⁿ x_mkp < " untuk setiap j = 1; 2; :::

maka xⁿ_j adalah barisan Cauchy di R. Karena R lengkap maka xⁿj ! x^j untuk setiap j = 1; 2; ::: . De…nisikan x = (x1; x₂; :::). Untuk setiap r 1kita punya

Xr j=1

xⁿ_j x^m_j ^p < "^p: Untuk m ! 1, maka

Xr j=1

xⁿ_j x_j ^p < "^p: Selanjutnya

Xr j=1

jx^jj^p

Xr j=1

x^N_j x_j ^p+ Xr

j=1

x^N_j ^p < "^p+ Xr

j=1

x^N_j ^p <1:

Karena r sebarang maka x 2 `<sup>p</sup>. Ambil r ! 1 maka kx<sup>n</sup> xkp < "untuk setiap n N. Ini menunjukkan bahwa xn ! x 2 `^p:

Dengan cara serupa, dapat dibuktikan (`¹;k:k₁)adalah ruang Banach.

2.2 Ruang Dual

Suatu pemetaan f dari ruang vektor V ke ruang skalarnya (R) disebut fungsional.

Fungsional f dikatakan linear jika untuk setiap x; y 2 V dan ; 2 R maka f ( x + y) = f (x) + f (y). Fungsional f dikatakan terbatas jika terdapat M > 0 sehingga jf (x)j Mkxk untuk setiap x 2 V . Jika f adalah fungsional yang linear dan terbatas, norm f dide…nisikan

kfk = sup

x2V; x6=0

jf (x)j kxk :

kfk adalah bilangan M terkecil sedemikian sehingga jf (x)j Mkxk untuk setiap x2 `^p.

De…nisi 2.7 Misalkan V ruang vektor atas R. Ruang V⁰ =ff : V ! R; f linear dan terbatasg disebut ruang dual dari V:

Selanjutnya, de…nisikan f + g dengan

(f + g) (x) = f (x) + g (x) , 8x 2 V dan untuk setiap 2 R, f dengan

( f ) (x) = f (x) , 8x 2 V:

Terhadap kedua operasi tersebut, V⁰ membentuk ruang vektor. Norm di V⁰ adalah

kfk = sup

x2V; x6=0

jf (x)j kxk : Jadi V⁰ membentuk ruang bernorm.

Teorema 2.8 Dual `<sup>p</sup> adalah `^q dengan ¹_p +¹_q = 1

Bukti. Misalkan x = (x1; x₂; :::) 2 `<sup>p</sup> dan f 2 (`^p)⁰ sebarang. Himpun ej vektor yang suku ke-j nya 1 dan lainnya 0. Tulis

s_n= Xn

j=1

x_je_j;

maka sn 2 `^p dan

kx s_nk^pp = X1 j=n+1

jx^jj^p ! 0 untuk n ! 1:

Jadi,

f (s_n) = f Xn

j=1

x_je_j

!

= Xn

j=1

x_jf (e_j) dan

jf(x) f (s_n)j = jf (x s_n)j kfk kx s_nkp ! 0 untuk n ! 1:

Oleh karena itu,

f (x) = X1

j=1

x_jf (e_j).

Tulis zj = f (e_j)dan z = (z1; z₂; :::). Akan ditunjukkan z 2 `^q. Pilih x dengan

x_j = 8<

:

jz^jj^{q 2}z_j , untuk zj 6= 0 0 , untuk zj = 0:

Untuk kasus tersebut, ksⁿk^pp =

Xn j=1

jx^jj^p = Xn

j=1

jz^jj^{p(q 1)}= Xn

j=1

jz^jj^q: Selanjutnya,

f (s_n) = Xn

j=1

x_jz_j = Xn

j=1

jz^jj^q dan

jf(sⁿ)j kfk Xn

j=1

jz^jj^q

!_p¹ : Oleh karena itu,

Xn j=1

jz^jj^q kfk Xn

j=1

jz^jj^q

!¹_p

atau

Xn j=1

jz^jj^q

!¹_q

kfk :

untuk setiap n: Ambil n ! 1 maka z 2 `^q dan kzkq kfk. Sebaliknya,

jf(x)j = Xn

j=1

xjzj kxkpkzkq

untuk setiap n, sehingga

kfk kzkq: Ini menunjukkan bahwa kfk = kzkq:

Teorema 2.9 (Representasi Riesz) Jika f 2 (`^p)⁰, maka terdapat suatu z 2

`^q sedemikian sehingga

f (x) = X1

j=1

x_jz_j , x 2 `^p dan kfk = kzkq:

Teorema 2.10 Misalkan V ruang vektor. Ruang V⁰ adalah ruang Banach (mes- kipun V bukan).

Bukti. Misalkan fn barisan Cauchy di V⁰, maka untuk setiap " > 0 terdapat N 2 N sedemikian sehingga untuk setiap m; n N maka kfⁿ f_mk < " atau ekuivalen dengan jfⁿ(x) f_m(x)j < " kxk untuk m; n N, x 2 V dan x 6= 0.

Jadi untuk setiap x 6= 0, fⁿ(x)adalah barisan Cauchy di R dan karena R lengkap maka fn(x)mempunyai limit cx yang bergantung pada x. De…nisikan f (x) = cx, maka f fungsional pada V . Fungsional f linear karena

f ( x + y) = lim f_n( x + y)

= lim [ f_n(x) + f_n(y)]

= lim f_n(x) + lim f_n(y)

= f (x) + f (y) : Fungsional f terbatas. Ambil n tetap dan m ! 1; maka

jfⁿ(x) f (x)j < " kxk , n N; x2 V:

Oleh karena itu,

jf(x)j "kxk + jfⁿ(x)j < (" + kfⁿk) kxk : Jadi f 2 V⁰. Sebelumnya kita punya

jfⁿ(x) f (x)j < " kxk :

Ini berarti

kfⁿ fk < " untuk n N:

Teorema ini dapat juga digunakan untuk membuktikan bahwa `<sup>p</sup> lengkap. Pem- buktiannya sederhana yaitu, dual dari `^qadalah `<sup>p</sup>dan karena dual selalu lengkap maka `^p lengkap.

De…nisi 2.11 Dua norm k:k dan k:k1 pada ruang bernorm V adalah ekuivalen jika dan hanya jika terdapat ; > 0 sedemikian sehingga

kxk kxk1 kxk untuk setiap x 2 V:

Berdasarkan de…nisi ekuivalensi norm, dua buah norm yang ekuivalen di suatu ruang vektor akan memberikan topologi yang sama. Subset dari V dikatakan buka dalam norm yang satu berarti buka juga dalam norm yang lain. Selain itu, suatu barisan yang konvergen dalam norm yang satu akan mengakibatkan konvergen dalam norm yang lain.

Akibat 2.12 Jika k:k dan k:k1 dua buah norm yang ekuivalen di V , maka suatu barisan xn di V konvergen dalam norm k:k jika dan hanya jika xⁿ konvergen dalam norm k:k :

Kesimpulan pada Akibat 2.12 selanjutnya digunakan untuk mende…nisikan ’ekui- valensi lemah’dari dua buah norm di suatu ruang vektor.