MODUL 3. LENTUR PADA BALOK PERSEGI (Tulangan Tunggal) Oleh Ir. Darmansyah Tjitradi, ST., MT.

(1)

Modul-3 1

LENTUR PADA BALOK PERSEGI (Tulangan Tunggal)

MODUL – 3

CAPAIAN PEMBELAJARAN MATAKULIAH:

• Mahasiswa mampu memahami momen nominal dan ultimit pada balok persegi

• Mahasiswa mampu menganalisis & mendesain balok/pelat bertulangan tunggal akibat momen lentur

• Mahasiswa mampu mengaplikasikan penulangan balok persegi pada kasus pelat satu arah

Oleh

Ir. Darmansyah Tjitradi, ST., MT.

(2)

Modul-3 2

ASUMSI DASAR DALAM PERENCANAAN

■

Analisis keseimbangan dlm perancangan - Keseimbangan Statis

- Kompatibilitas dari Regangan

■ Asumsi perhitungan M. Lentur Nominal (Mn):

- Regangan baja (_s) dan regangan beton (_c) dianggap berbanding lurus dengan jarak

terhadap garis netral (c)

- Regangan tekan beton ultimit pada serat tekan (_cu) = 0,003 → 0,0003 s/d 0,004

(3)

Modul-3 3

■ Penambahan akibat strain hardenning baja diabaikan

- _s < _y → f_s = E_s . _s - _s  _y → f_s = f_y

- _s < _y → T = A_s . f_s = A_s . E_s . _s - _s  _y → T = A_s . f_y

■ Modulus Elastisitas Baja E_s = 2,0 .10⁵ MPa

■ Kekuatan tarik beton diabaikan

f_y

_y f_s

_s

SNI

(4)

Modul-3 4

DIAGRAM

TEGANGAN-REGANGAN BAJA

(5)

5

Kuat Nominal, Kuat Rencana, dan Kuat Perlu

Kuat Nominal adalah kekuatan suatu komponen struktur penampang yang dihitung berdasarkan ketentuan dan asumsi metode perencanaan sebelum dikalikan dengan faktor reduksi kekuatan yang sesuai.

Kuat Nominal berupa Mn, Vn, Tn, dan Pn.

Kuat Rencana adalah kekuatan suatu komponen struktur atau penampang yang diperoleh dari hasil perkalian antara kuat nominal dengan faktor reduksi kekuatan yang sesuai.

Kuat Rencana berupa Mr, Vr, Tr, dan Pr.

Kuat Perlu adalah kekuatan gaya luar yang bekerja pada struktur akibat beban berfaktor.

Kuat Perlu berupa Mu, Vu, Tu, dan Pu.

Modul-3

(6)

Modul-3 6

KONSEP PERHITUNGAN BETON

DENGAN SNI-03-2847-2002

(7)

Modul-3 7

KONSEP PERHITUNGAN BETON

DENGAN SNI-03-2847-2002

(8)

Modul-3 8

KONSEP PERHITUNGAN BETON DENGAN SNI-03-2847-2002

Retak lentur

(9)

Modul-3 9

KONSEP PERHITUNGAN BETON

DENGAN SNI-03-2847-2002

(10)

Modul-3 10

KONSEP PERHITUNGAN BETON

DENGAN SNI-03-2847-2002

(11)

Modul-3 11

KONSEP PERHITUNGAN BETON DENGAN SNI 03-2847-1992

Momen Negatif Momen Positif

(12)

Modul-3 12

ANALISIS DIAGRAM

TEGANGAN-REGANGAN BETON

(13)

Modul-3 13

BLOK TEGANGAN SEGIEMPAT EKIVALEN CHARLES S. WHITNEY (ACI Journal 1937)

c

(14)

Modul-3 14

MOMEN NOMINAL (Mn) PENAMPANG SEGIEMPAT BERTULANGAN TUNGGAL BERDASARKAN

BLOK TEGANGAN EKIVALEN

(15)

Modul-3 15

c

(16)

Modul-3 16

Momen Nominal Penampang Balok:

M

_n

= C

_c

. (d - ½.a) = T (d – ½.a) M

_n

= 0,85

^.

f

_c

’

^.

b

^.

k

^.

d

^.

(d – ½

^.

k

^.

d)

M

_n

= 0,85

^.

f

_c

’

^.

b

^.

d

^2.

k

^.

(1 – ½

^.

k)

M

_n

= A

_s^.

f

_s^.

d

^.

(1 – ½

^.

k)

(17)

Modul-3 17

Tergantung nilai f

_s

, ada 3 keruntuhan yang mungkin terjadi, yaitu:

• Keruntuhan seimbang (balance failure)

→ Balanced reinforced

• Keruntuhan tarik (tension failure)

→ Under reinforced

• Keruntuhan tekan (compression failure)

→ Over reinforced

(18)

Modul-3 18

Keruntuhan Seimbang (Balanced reinforced)

• Merupakan kondisi yg ideal

• Tulangan baja tarik meleleh bersamaan dgn rusaknya beton

• Kondisi ideal ini susah dipenuhi dilapangan krn kualitas mutu beton dan baja serta

pelaksanaan dilapangan tidak tepat dipenuhi.

• Makanya perlu ditetapkan suatu kondisi yg dapat menjamin ketidakpastian/

keterbatsan agar balok dpt tetap berperilaku daktail.

(19)

Modul-3 19

Keruntuhan tarik (Under reinforced)

• Kekuatan baja lebih lemah dari beton maka oleh beban ultimit baja leleh/rusak lebih

dahulu.

• Ductile reinforcement design

• Rasio tulangan lebih sedikit dari rasio seimbang

• Pada beban ultimit tulangan akan leleh dan balok akan berotasi cukup besar yg ditandai lendutan yg disertai oleh retak lentur yg besar pd momen maksimumnya.

• Pada beban gempa, balok akan memancarkan energi gempa shg. amplitudo getaran oleh

gempa akan cepat berhenti.

(20)

Modul-3 20

Keruntuhan Tekan (Over reinforced)

• Pemasangan tulangan berlebih dapat menjadikan beton tekan akan rusak lebih dahulu (perilaku

getas).

• Beton didaerah tekan mendadak mengelupas/

meledak shg tdk memberikan kesempatan

pemakainya untuk menghindar dari bencana tsb.

• Tanda-tanda kerusakan tidak tampak jelas.

• Tanda-tanda awal berupa pengelupasan (spalling) pada sisi tekan sekitar momen

maksimumnya yg kemudian dilanjutkan dengan keruntuhan mendadak.

• Kekuatan tidak bertambah secara berarti

• Tidak memberikan manfaat secara ekonomi

(21)

Modul-3 21

ANALISIS BALOK SEGIEMPAT BERTULANGAN TUNGGAL PADA

KERUNTUHAN SEIMBANG

Baja tulangan mulai meleleh sedangkan

daerah tekan beton mencapai regangan tekan maksimum

• _s = _y → f_s = f_y dengan _y = f_y / E_s

• _c = _cu = ^0,003

•  = _b

(22)

Modul-3 22

y b

y cu

cu b

f d

c d f c

d c

= +

+

=

= +

600 600

000 . 003 200

, 0

003 , 0



y b

b

b b

k f

f k

d c

d k c

a

 +

=

= +

=



=



=

600 600 600

600

1 1 1



As_b

c_b a_b=₁^.c_b= k_b.d

(23)

Modul-3 23

Keseimbangan gaya:













 +

 

=

 

=

y y

c b

b y

c b

f f

f f k

f

600 600 '

85 , 0

' 85

, 0

1



y b

b c

y b

b c

y b

b c

c

f k

f

d f b

As d

f a

d f b

As a

b f

T C



=



 

=



 



=



=

 '

85 , 0

' 85

, 0

' 1 85

, 0

Rasio

Tulangan Seimbang

(24)

Modul-3 24

Momen Nominal Balok:

M

_n

= C

_c^.

(d - ½

^.

a

_b

) = C

_c^.

(d – ½

^.

k

_b^.

d) M

_n

= C

_c^.

d

^.

(1 – ½

^.

k

_b

)

M

_n

= 0,85

^.

f

_c

’

^.

b

^.

d

^2.

k

_b^.

(1 – ½

^.

k

_b

)

M

_n

= T

^.

(d – ½.a

_b

) = T

^.

d

^.

(1 – ½

^.

k

_b

)

M

_n

= A

_sb^.

f

_y^.

d

^.

(1 – ½

^.

k

_b

)

(25)

Modul-3 25

ANALISIS BALOK PERSEGI EMPAT BERTULANGAN TUNGGAL PADA

KERUNTUHAN TARIK

Tanda-tanda keruntuhan:

Lelehnya tulangan tarik diikuti lendutan yang besar

Sifat sifat keruntuhan tarik:

- Terjadi secara bertahap - Tidak mendadak/getas - Penampang daktail

(26)

Modul-3 26

a=₁^.c= k.d

(27)

Modul-3 27

(28)

Modul-3 28

Momen Nominal Balok:

M

_n

= C

_c^.

d

^.

(1 – ½

^.

k)

M

_n

= 0,85

^.

f

_c

’

^.

b

^.

d

^2.

k

^.

(1 – ½

^.

k) M

_n

= T

^.

d

^.

(1 – ½

^.

k)

M

_n

= A

_s^.

f

_y^.

d

^.

(1 – ½

^.

k)

(29)

Modul-3 29

Momen Nominal Balok:

M

_n

= 0,85

^.

f

_c

’

^.

b

^.

d

^{2 .}

k

^.

(1 - ½

^.

k) atau



 

= , _c'

y

f 85 0 k f











 



 



 

 

−





 



= , ' , ' , '

c y c

2 y

f 85 0

f 2

1 1 f

85 0 d f

b fc 85

0 Mn











 



 









−







= , '

c y y

2

f 59 f

0 1 f

d b Mn











 



 









−







 =

 , '

' ' _c

y c

2 f

59 f 0 f 1

f f

d b

Mn

(30)

Modul-3 30











 



 









−







 =

 , '

' ' _c

y c

2 f

59 f 0 f 1

f f

d b

Mn

Elstner 1961: pengujian thd 364 balok dengan keruntuhan tarik

0.025 ≤ .(f_y/f_c’) ≤ 0.230 Valid untuk:

(31)

Modul-3 31

Syarat penampang balok daktail:

Agar tidak terjadi keruntuhan getas, maka rasio

tulangan baja () harus ada pembatasan minimum &

maximum dgn harga :

_max = 0,75 ^. _b

 f_y dalam MPa

_min = 1,4 / f_y

• SNI-1992:

_max = 0,75 ^. _b

• SNI-2002, SNI-2013, dan ACI 318M-05:

(32)

Modul-3 32

Syarat penampang balok daktail SNI-2002, SNI-2013:

(33)

Modul-3 33

_t < _max

_t > _min

(34)

Modul-3 34

ANALISIS BALOK PERSEGI EMPAT BERTULANGAN TUNGGAL PADA

KERUNTUHAN TEKAN

• Keruntuhan diawali dengan hancurnya beton dan saat itu tegangan baja belum mencapai tegangan lelehnya.

 > _b dan



_c =



_cu = ^0,003,



_s <



_y

• Tidak terlihat tanda-tanda awal seperti terjadinya lendutan.

• Keruntuhan total terjadi secara mendadak dan dinamakan keruntuhan getas (brittle).

(35)

Modul-3 35

Berdasarkan diagram tegangan-regangan beton diatas didapat:



 



 −



=



=

→





 



 −



 =













 −

 =











 −



=

= 



 



 −

=

k Es k

E f

k k k

k c

cd d

d c k

c c d

y s s y

s

s s

cu s

1

1 1 1

003 , 0

003 , 0 1

003 , 0

; 1

003 , 0

,

 





 



 



a=₁^.c = k.d

(36)

Modul-3 36

Momen Nominal Balok:

M_n = C_c^.d^.(1 – ½^.a)

M_n = 0,85^.f_c’^.b^.d^2.k^.(1 - ½^.k) M_n = T^.d^.(1 – ½^.a)

M_n = A_s^.f_s^.d^.(1 – ½^.k)

(37)

Modul-3 37

Kesimpulan:

• Regangan Tekan Beton Ultimit (_cu = ^0,003)

• Regangan tulangan baja:

- Under Reinforced: _s  _y diambil _s = _y (leleh) - Balanced: _s= _y (leleh)

- Over Reinforced: _s< _y (belum leleh)

• Tegangan tulangan baja:

- Under Reinforced: f_s= f_y (leleh) - Balanced: f_s= f_y (leleh)

- Over Reinforced: f_s = E_s._s (belum leleh)

(38)

Modul-3 38

(39)

Modul-3 39

(40)

Modul-3 40

(41)

Modul-3 41

(42)

Modul-3 42

(43)

Modul-3 43

POSISI GARIS NETRAL (c) UNTUK BEBERAPA KONDISI PENULANGAN

(44)

Modul-3 44

Lanjutan Kesimpulan:

• Garis netral:

c₁ < c₂ < c₃

• Rasio tulangan:

- Under Reinforced:  < _b - Balanced:  = _b - Over Reinforced:  > _b

Peraturan SNI-02 telah membatasi rasio penulangan sbb.:

- Under Reinforced:  < 0,75._b - Balanced:  = _b

- Over Reinforced:  > 0,75._b

(45)

Modul-3 45

Lanjutan Kesimpulan:

Keruntuhan Tarik Keruntuhan Tekan Keruntuhan Seimbang

(46)

Modul-3 46

KONDISI PENULANGAN KURANG (UNDER REINFORCED)

Pola Retak beban 20 kN Pola Retak beban 25 kN

Pola Retak beban 30 kN Pola Retak Beban ultimit 33,8 kN

(47)

Modul-3 47

KONDISI PENULANGAN LEBIH (OVER REINFORCED)

Pola Retak beban 30 kN Pola Retak beban 45 kN

Pola Retak beban 60 kN Pola Retak Beban ultimit

(48)

Modul-3 48

M

_u

= .q

-- Kapasitas momen ultimit akibat beban berfaktor dari hasil ANALISA STRUKTUR

FORMAT KEAMANAN SNI-02

q_DL q_LL

q_u = 1,2.q_DL+1,6.q_LL

L

M

_u

= (1/8).q

_u

.L

² ^M^max ^=M^u

 > 1 -- lihat Code SNI/ ACI

(49)

Modul-3 49

M

_r

= .M

_n --- Kapasitas Momen Rencana Ultimit dari hasil ANALISA

PENAMPANG BETON→ CODE yg berlaku—SNI-2002/SNI-2013.

FORMAT KEAMANAN SNI-02

L

I

POT I-I

Syarat:

M _r ≥ M _u ^{---- AMAN}

(50)

Modul-3 50

ANALISIS PENULANGAN LENTUR BALOK PERSEGI BERTULANGAN TUNGGAL

Diketahui:, A_st, b, d, f_c’, f_y Ditanya: M_nt = ?, M_r =  ∙ M_nt Prosedur Desain :

1. Menghitung Koefisien Blok Stress (₁)

(51)

Modul-3 51

2. Menghitung Tinggi Efektif Balok (d)

d = h – ds-_s – ½._ut h

b

ds

_s

_ut

(52)

Modul-3 52

d = h – ds-_s – _ut- ½.25 h

b

ds

_s

_ut2

≥ 25 mm

_ut1

Untuk _ut1= _ut2

(53)

Modul-3 53

d = h – y_b h

b

ds

_s

_ut2

≥ 25 mm _ut1

y_b z₁ z₂

(54)

Modul-3 54

3. Menghitung Rasio Tulangan Terpasang (_t)

d b

A_st

t = 



4. Hitunglah nilai Rasio Tulangan Minimum

d b As_min =



_min  

(55)

Modul-3 55

5. Hitunglah nilai Rasio Tulangan Maksimum

b

maks



 = 75 0 , 













 +

 

=

y y

c

b f f

f

600 600 '

85 , 0

1



6. Ceklah Tipe Keruntuhan Balok

Jika _t < 0.75._b , maka Keruntuhan Tarik Jika _t = _b , maka Keruntuhan Seimbang Jika _t > 0.75._b , maka Keruntuhan Tekan

d b As_max =



_max  

(56)

Modul-3 56

7. Kapasitas Lentur Nominal (M_nt)

1 t

c y t

t

c y st t

c a

: Netral Garis

Tinggi d k a

: Stress Blok

Tinggi

' f 85 , 0 k f

d b ' f 85 , 0

f k A

= 



=

 



=



= 

- KASUS KERUNTUHAN TARIK (_t ≤ 0,75._b)

) (

80 , 0 ,

M M

: Balok Ultimit

Rencana Momen

)

½ - (1 d f A M

atau )

k

½ (1 k

d b ' f 0,85 M

: Balok Nominal

Momen

: Baja Tulangan

Tarik Regangan

nt r

y st nt

t t

2 c

nt

1

lentur k

E f k

k

t s y sy

t t cu

s

=



=



=



−



=

 











 −



=



 



(57)

Modul-3 57

1 b b

b b

y st

c a

: Netral Garis

Tinggi k a

: Stress Blok

Tinggi

' 85 , 0

f A b





=



=

 

=



= 

d

f k f

d b k f

c y b

b

c b

- KASUS KERUNTUHAN SEIMBANG (_t = _b)

) (

80 , 0 ,

M M

: Balok Ultimit

Rencana Momen

) k

½ - (1 d f A

M

atau )

k

½ (1 k

d b ' f 0,85 M

: Balok Nominal

Momen

: Baja Tulangan

Tarik Regangan

nt r

b y

st nt

b b

2 c

nt

1

b

lentur E

f k

k

s y sy

b b cu

s

=



=



=



−



=

 











 −



=



 



(58)

Modul-3 58

- KASUS KERUNTUHAN TEKAN (_t > 0,75._b)

1 t

2 t

1 1

cu s st

s st cu

s st

c

c a

: Netral Garis

Tinggi k a

: Stress Blok

Tinggi

2A

C A 4 B

k B

β β B

ε E A

C

0,003 E

ε A E A

B

d b ' f 0,85 A

= 



=



 + +

= −



=



=



=



=



=

d ( )

(lentur)

0,80 ,

M M

: Balok Ultimit

Rencana Momen

) k

½ - (1 d f A M

atau ) k

½ (1 k d b ' f 0,85 M

: Balok Nominal

Momen

f ε E

f

E ε f

k β k ε

ε

: Baja Tulangan Tarik

Regangan

nt r

t s

st nt

t t

2 c

nt

sy s

s s

s y sy

t t 1 cu s

=







=



=



−



=





=

 











 −



=

(59)

Modul-3 59

Faktor reduksi kekuatan

NO. JENIS KEKUATAN FAKTOR REDUKSI KEKUATAN ()

SNI-92 SNI-02 ACI 318-08 Usul Mac.G

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

1 Lentur murni 0,80 0,80 0,90 0,85

2 Aksial tarik, aksial tarik dan

lentur 0,80 0,80 0,90 0,70

3

Aksial tekan, aksial tekan dan lentur

a.dgn tulangan spiral b.dgn tulangan sengkang

0,70 0,65

0,75 0,70

0,70 0,65

4 Geser dan torsi 0,60 0,75 0,75 0,70

5 Tumpuan pada beton 0,70 0,65 0,65 0,60

PROVISI KEAMANAN STRUKTUR

(60)

Modul-3 60

(61)

Modul-3 61

(62)

Modul-3 62

Contoh soal 1:

Sebuah balok segiempat dengan ukuran lebar (b) = 300 mm, tinggi (h) = 500 mm

memiliki tulangan tarik 2D25, diameter tulangan geser 10 mm, selimut beton d_s = 40 mm, mutu baja f_y = 420 MPa, mutu beton f_c’ = 20 MPa, dan modulus elastisitas (E_s) = 2.10⁵ MPa.

Hitunglah Kapasitas Momen Nominal dan

Rencana Ultimit penampang balok tsb. menurut SNI 03-2847-2002.

(63)

Modul-3 63

Solusi:

(64)

Modul-3 64

Contoh soal 2:

memiliki tulangan tarik 4D29.0109439451685, diameter tulangan geser 10 mm, selimut beton d_s = 40 mm, mutu baja f_y = 420 MPa, mutu

beton f_c’ = 20 MPa, dan modulus elastisitas (E_s)

= 2.10⁵ MPa.

(65)

Modul-3 65

Solusi:

(66)

Modul-3 66

Contoh soal 3:

memiliki tulangan tarik 4D30, diameter tulangan geser 10 mm, selimut beton d_s = 40 mm, mutu baja f_y = 420 MPa, mutu beton f_c’ = 20 MPa, dan modulus elastisitas (E_s) = 2.10⁵ MPa.

(67)

Modul-3 67

Solusi:

(68)

Modul-3 68

Kesimpulan Soal 1 sd 3:

Keruntuhan Tarik:

_s = 0,01001

c = 95,11742 mm k = 0,196

Mn = 153,41923 kN.m Mr = 122,73538 kN.m Keruntuhan Seimbang:

_s = 0,0021

c = 256,17325 mm k = 0,5

Mn = 362,716111 kN.m Mr = 290,17289 kN.m Keruntuhan Tekan:

_s = 0,002

c = 260,96957 mm k = 0,50994

Mn = 366,64168 kN.m Mr = 293,31334 kN.m

(69)

Modul-3 69

Contoh soal 4:

Sebuah balok segiempat dengan ukuran lebar (b) = 250 mm, tinggi (h) = 500 mm,

selimut beton d_s = 50 mm, mutu baja f_y = 400 MPa, mutu beton f_c’ = 20 MPa, dan modulus elastisitas (E_s) = 2.10⁵ MPa.

Hitung Momen Nominal untuk kondisi:

 = 0,5 _b

 = 0,75 _b

 = _b

 = 1,25 _b

(70)

Modul-3 70

(71)

Modul-3 71



Kasus 1 Kasus 2 Kasus 3 Kasus 4

0,50._b _max=0,75._b _b 1,25._b

A_s (mm²) 1.219,219 1.828,828 2.438,438 3.048,047

 (%) 1,084 1,626 2,168 2,709

T = C_c (N) 487.687,50 731.531,25 975.375,00 1.037.288,22

k 0,255 0,383 0,510 0,542

j 0,873 0,809 0,745 0,729

M_n (kN.m) 191,478 266,232 326,994 340,195

M_n/M_b 0,59 0,81 1,00 1,04

Tabel Hasil Perhitungan

• Kasus 4:

A =1912500 N, B=1828828 N, C=1554504 N C_c= 0,85 f_c’.b.d.k= 1037288,22 N

M_n= C_c.d.j= 340,195 KN.m

(72)

Modul-3 72 0

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3

 (%) Mn(kN.m)

0,5 

 b

min = 0,350 0,75 

b

b 1,25 

b

Under Reinforced

Over Reinforced

Under Reinforced Over Reinforced SNI 1992/ SNI 2002/ ACI 99 Desain

Beban Gempa

Desain Beban Gravitasi

SNI 2013/ ACI 02

 0,71^.b

(73)

Modul-3 73

Resume:

1. Peningkatan tulangan tarik sd

melebihi 

_b

hanya memberikan sedikit kenaikan nilai momen nominal.

2. Peningkatan tulangan tarik

menyebabkan kapasitas rotasi/

lendutan balok mengecil sehingga

penampang menjadi getas.

(74)

Modul-3 74

DESAIN PENULANGAN LENTUR BALOK PERSEGI BERTULANGAN TUNGGAL

Diketahui: M_u, b, d, f_c’, f_y Ditanya: A_s = ?

Prosedur Desain :

(75)

Modul-3 75

DESAIN PENULANGAN LENTUR BALOK PERSEGI BERTULANGAN TUNGGAL

1. Menghitung Koefisien Blok Stress (₁)

(76)

Modul-3 76

^u M_n = M













 +



=

y b

maks k f

k 600

75 600 , 0 75

,

0 ₁

M_n1 = 0,85^.f_c’^.b^.d^2.k_maks^. (1 - ½^.k_maks )

Hitung selisih momen: M_n2= M = M_n – M_n1

• Jika M_n2 > 0 diperlukan tulangan rangkap

• Jika tulangan rangkap diperlukan, maka harus ada tulangan tekan

• Jika M_n2 < 0 cukup dipakai tulangan tunggal

3. Menghitung Momen Nominal (M_n)

----  = 0,80 utk lentur

4. Kontrol apakah balok perlu tulangan rangkap

(77)

Modul-3 77

5. Menghitung nilai k_perlu

2 2

2

' 85

, 0 1 2 )

1 (

' 2 85

, 0

2

2 2 1

' 85

, 0

d b f

k M

k d k

b f

M

k k d b f

M

c n perlu

perlu perlu

c n

perlu perlu

c n



− 

=

−



 =



 



 



 −



=

'

2

85 , 0 1 2

1 f b d

k M

c n perlu