BAB 2 LANDASAN TEORI. Universitas Sumatera Utara

(1)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Himpunan dan Operasi Himpunan 2.1.1 Definisi

Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Misalnya mahasiswa-mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, buku-buku yang dijual dalam suatu toko, hewan-hewan yang ada di kebun binatang, dan lain-lain. Himpunan dinotasikan dengan huruf besar seperti A, B, C,… Objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan, yang disimbolkan dengan huruf kecil.

Ada dua cara untuk menyatakan himpunan yaitu :

a. Menuliskan tiap-tiap anggota himpunan diantara dua kurung kurawal. Misalkan A = {a, i, e, u, o} menyatakan himpunan A yang mempunyai elemen-elemen a,i, e, u, o.

b. Menuliskan sifat-sifat yang ada pada semua anggota himpunan diantara dua kurung kurawal.

Misalkan B = {x | x adalah bilangan bulat ,x>0} menyatakan B adalah himpunan dari x sedemikian hingga x adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 0.

Suatu himpunan hanya menyatakan objek-objek yang berbeda dan tidak tergantung dari urutan penulisan elemen-elemennya. Jadi {a, b, c}, {b, c, a} dan {b, a, b, c, a} menyatakan himpunan yang sama.

2.1.2 Kesamaan Himpunan Definisi :

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A adalah elemen B dan setiap elemen B adalah elemen A. Dalam simbol matematika ditulis dengan :

(2)

2.1.3 Himpunan Kosong Definisi :

Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong diberi simbol Ø atau { }.

Misalkan dalam suatu fakultas sastra, B adalah himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit. Maka B = Ø, karena tidak ada mahasiswa fakultas sastra yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit.

2.1.4 Himpunan Semesta Definisi :

Anggota-anggota dari semua himpunan yang diamati biasanya merupakan anggota dari suatu himpunan besar tertentu yang disebut himpunan semesta atau semesta pembicaraan.

Misalkan dalam suatu fakultas sastra, himpunan A menyatakan mahasiswa yang berkacamata, maka sebagai himpunan semesta S diambil himpunan semua mahasiswa fakultas sastra. Maka A = {x∈S | x adalah mahasiswa yang berkacamata}.

2.1.5 Himpunan Bagian Definisi :

Jika A dan B adalah himpunan-himpunan, maka A disebut himpunan bagian (subset) dari B bila dan hanya bila setiap anggota A juga merupakan anggota B. Dalam simbol matematika ditulis dengan :

A ⊆ B ⇔((∀x) x∈A ⇒ x∈B).

Jika A adalah himpunan bagian B, maka B memuat A (simbol B ⊇

A)

A B

(3)

Bila suatu himpunan memuat n elemen, maka jumlah seluruh himpunan bagiannya adalah 2n. Misalkan fi menyatakan angka yang tampak pada sisi suatu dadu. Angka pada sisi ini adalah elemen himpunan A = {f1, f2, f3, f4, f5, f6}. Dalam keadaan ini, n = 6, maka A mempunyai 26

= 64 himpunan bagian .

2.1.6 Diagram Venn

Seorang ahli matematika Inggris bernama John Venn menemukan cara untuk menggambarkan keadaan himpunan-himpunan. Gambar tersebut dinamakan Diagram Venn. Diagram Venn adalah suatu perwakilan gambar dari himpunan-himpunan berupa titik-titik dalam bidang. Himpunan semesta S diwakili oleh bagian dalam suatu persegi, dan himpunan-himpunan yang lain diwakili oleh cakram-cakram dalam persegi. Himpunan S = {x,y} dapat dinyatakan dengan diagram venn sebagai berikut :

2.2 Operasi Himpunan 2.2.1 Gabungan (union) Definisi :

Gabungan dua buah himpunan A dan B, dinyatakan dengan A∪B, adalah himpunan semua elemen A atau B.

B

A∪ = {x : x∈A atau x∈B}

Jika dinyatakan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan himpunan

B A∪ .

S

X Y

(4)

2.2.2 Irisan (Interseksi) Definisi :

Irisan dua buah himpunan A dan B, dinyatakan dengan A∩B, adalah himpunan yang elemen-elemennya merupakan anggota dari A dan B.

B

A∩ = {x : x∈A dan x∈B}

Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir merupakan himpunan

B A∩

2.2.3 Komplemen Definisi :

Komplemen dari himpunan A, dinyatakan dengan .

A

c, adalah himpunan dari elemen-elemen yang merupakan anggota semesta tetapi bukan anggota A.

A

c = {x : x ∈ S, x ∉ A}

Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir adalah himpunan

A

c.

2.2.4 Selisih Definisi :

Selisih himpunan B dari himpunan A dinyatakan dengan A-B adalah himpunan dari elemen-elemen yang merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.

A B

(5)

Jika digambarkan pada diagram Venn maka daerah yang diarsir adalah himpunan A-B.

2.3 Probabilitas 2.3.1 Definisi

Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang tidak pasti (uncertain event). P(A) = 0,99 artinya probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi sebesar 99% dan probabilitas A tidak terjadi adalah sebesar 1%.

Nilai probabilitas dapat dihitung berdasarkan nilai hasil observasi (sifatnya subyektif) atau berdasarkan pertimbangan pembuat keputusan atau tenaga ahli dalam bidangnya secara subyektif.

Besarnya nilai kemungkinan bagi munculnya suatu kejadian adalah selalu diantara nol dan satu. Pernyataan ini dapat dituliskan sebagai 0≤P

( )

A ≥1, di mana P(A) menyatakan nilai kemungkinan bagi munculnya kejadian A. Sedangkan jumlah nilai kemungkinan dari seluruh hasil yang mungkin muncul adalah satu. Jadi bila W menyatakan ruang hasil yang bersifat lengkap maka jumlah kemungkinan seluruh anggota ruang hasil tersebut adalah satu. Pernyataan ini dapat dituliskan sebagai

( )

=1

∑

i i

W

P

( )

n X A P =

atau P(W) = 1 di mana Wi menyatakan anggota ruang hasil.

Untuk menghitung nilai probabilitas suatu kejadian adalah dengan cara mencari banyaknya anggota kejadian, dibandingkan dengan banyaknya anggota ruang sampelnya.

(6)

Contoh :

Di dalam kegiatan pengendalian mutu produk, ada 100 buah barang yang diperiksa, ternyata ada 15 buah yang cacat atau rusak. Kalau kebetulan di ambil secara acak satu saja, berapa probabilitasnya bahwa yang di ambil adalah barang yang rusak.

Dari soal diketahui bahwa : n = 100 buah barang

X = 15 buah barang yang rusak A = barang yang di ambil secara acak Jadi probabilitas memperoleh barang yang rusak adalah :

( )

n X A P =

( )

0,15 10015 = = A P

Jika X = 0, berarti tidak ada barang yang rusak, P

( )

A = 0 =n 0,kejadian ini disebut

impossible event (tidak mungkin terjadi). Tetapi jika X = n = 100, berarti semua

barang rusak, P

( )

A =100100 =1

1. Bila A dan B mutually exclusive (kejadian yang terpisah), maka : ,kejadian ini disebut sure event (pasti terjadi).

2.4 Kejadian Majemuk 2.4.1 Teorema

(

A B

)

P

( )

A P

( )

B

P ∪ = +

2. Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka :

(

A B

)

P

( )

A P

( )

B P

(

A B

)

P ∪ = + − ∩

3. Bila ada K kejadian yaitu A1, A2,…,Ai,…,Ak yang mutually exclusive dan membentuk kejadian A, maka :

(7)

( )

(

)

( )

1 ... ... 1 2 1 = = ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ =

∑

= A P P A P P A P k i i k i

A

4. Bila A dan B independent (bebas), maka :

(

A B

)

P

( ) ( )

A P B

P ∩ =

5. Bila A dan B dependent (tidak bebas), maka :

(

A∩ B

)

=

P _P(A)P(B|A)

(

A∩ B

)

=

P _{P(B)P(A|B), di mana P(A)}_{≠ 0, P(B) ≠ 0.}

2.5 Probabilitas Bersyarat 2.5.1 Definisi

Peluang terjadinya suatu kejadian A bila diketahui bahwa kejadian B telah terjadi disebut peluang bersyarat dan dinyatakan dengan P(A|B).

P(A|B) =

(

)

( )

B P B A P ∩

Sama halnya dengan peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi dan dinyatakan dengan P(B|A).

P(B|A) =

(

)

( )

A P B A P ∩

Dengan mengkombinasikan kedua persamaan maka diperoleh : P(A|B)P(B) = P

(

A∩B

)

= P(B|A)P(A) P(A|B) =

(

)

( )

B P B A P ∩ =

( )

B P A P A B P

Dari 100 orang mahasiswa yang mengikuti mata kuliah statistik, 20 orang diantaranya mendapat nilai A, 30 orang mendapat nilai B, 30 orang mendapat nilai C, dan 20 Contoh :

(8)

orang mendapat nilai D. Tetapi ternyata tidak semua mahasiswa tersebut tercatat secara resmi dalam daftar pengikut mata kuliah tersebut. Perbandingan jumlah mahasiswa yang terdaftar dan tidak terdaftar dapat dilihat pada tabel berikut :

Tabel 2.1 Daftar Nilai Mata Kuliah Statistik Nilai Terdaftar (T) Tidak Terdaftar (T Jumlah ) A 20 0 20 B 15 15 30 C 25 5 30 D 5 15 20 Jumlah 65 35 100 Pertanyaan :

a. Berapakah kemungkinan seorang mahasiswa yang terdaftar mendapatkan nilai B ?

b. Berapakah kemungkinan seorang mahasiswa yang mendapatkan nilai C adalah mahasiswa yang tidak terdaftar ?

Dari pertanyaan (a) kita telah mengetahui bahwa mahasiswa yang dimaksud adalah mahasiswa yang terdaftar dan menanyakan berapakah kemungkinan seorang mahasiswa yang terdaftar mendapat nilai B. Sesuai dengan definisi kemungkinan bersyarat, maka maksud dari pertanyaan tersebut adalah berapakah kemungkinan seorang mahasiswa mendapatkan nilai B bila telah diketahui bahwa ia termasuk mahasiswa yang terdaftar.

Maka penyelesaiannya adalah :

(9)

( )

(

_{( )}

)

13 3 100 65 100 15 = = ∩ = T P T B P T B P

b. Kemungkinan seorang mahasiswa yang mendapat nilai C adalah mahasiswa yang tidak terdaftar adalah :

( ) (

_{( )}

)

6 1 100 30 100 5 = = ∩ = C P C T P C T P

Dari perhitungan di atas maka diperoleh kemungkinan bahwa seorang mahasiswa yang terdaftar mendapat nilai B adalah sebesar 0,23 atau 23%, sedangkan kemungkinan bahwa seorang mahasiswa yang mendapat nilai C adalah mahasiswa yang tidak terdaftar adalah sebesar 0,16 atau 16%.

2.6 Teorema Bayes

Teorema Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta presbyterian Inggris pada tahun 1763 yang bernama Thomas Bayes . Teorema Bayes ini kemudian disepurnakan oleh Laplace. Teorema Bayes digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peistiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.

Teorema ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa A dengan syarat peristiwa B telah terjadi dan probabilitas terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A telah terjadi. Teorema ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas.

(10)

Misalkan {B1, B2,…,Bn} suatu himpunan kejadian yang merupakan suatu sekatan runag sampel S dengan P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1, 2,…n. Dan misalkan A suatu kejadian sembarang dalam S dengan P(A) ≠ 0.

( )

(

)

(

)

( ) (

)

( )

∑

= =       = ∩ ∩ = n i i i i i n i i i i

B

A

B

P P A P P A P A P A P 1 1 Bukti

( )

(

_{( )}

)

(

)

(

) (

)

(

)

( )

(

)

( )

( ) (

)

∑

= = = ∩ = ∩ + + ∩ + ∩ ∩ = ∩ = n i i i i i n i i i i n i i i

B

A P P A P P A P A P P A P A P A P A P A P A P A P 1 1 2 1 .... :

Menurut definisi Peluang bersyarat :

Contoh 1:

Di sebuah sekolah terdapat 60% pelajar laki-laki dan 40% pelajar perempuan. Pelajar perempuan mengenakan pantalon atau rok dalam angka yang sama sedangkan pelajar laki-laki semuanya mengenakan pantalon. Seorang pengamat melihat seorang pelajar secara acak dari jauh, mereka semua dapat melihat bahwa pelajar ini mengenakan pantalon. Berapa peluang bahwa pelajar ini adalah seorang anak perempuan ?

(11)

Jelas bahwa peluangnya adalah kurang dari 40%, tetapi seberapa banyak ? Apakah setengahnya, karena hanya setengah pelajar perempuan yang mengenakan pantalon. Jawaban yang benar dapat dihitung dengan menggunakan teorema Bayes.

Andaikan kejadian A adalah pelajar yang diamati adalah perempuan, dan kejadian B adalah pelajar yang diamati mengenakan pantalon. Untuk menghitung P(A|B), terlebih dahulu kita harus mengetahui :

a. P(A), atau peluang bahwa pelajar adalah seorang anak perempuan dengan mengabaikan informasi lain. Karena pengamat melihat seorang pelajar secara acak, maksudnya adalah bahwa semua pelajar mempunyai peluang yang sama untuk diamati dan peluangnya adalah 0,4.

b. P(A’), atau peluang bahwa pelajar adalah seorang anak laki-laki dengan mengabaikan informasi lain. A’ adalah peristiwa yang komplementer untuk A. Peluangnya adalah 0,6.

c. P(B|A), atau peluang pelajar yang mengenakan pantalon dengan syarat pelajar itu adalah seorang anak perempuan. Peluangnya adalah 0,5.

d. P(B|A’), atau peluang pelajar yang mengenakan pantalon dengan syarat pelajar itu adalah seorang anak laki-laki. Peluangnya adalah 1.

e. P(B), atau peluang pelajar yang mengenakan pantalon dengan mengabaikan informasi lain.

Tabel 2.2 Daftar Pelajar

Pelajar Perempuan Pelajar laki-laki Jumlah Pantalon 20 60 80

Rok 20 0 20

Jumlah 40 60 100

Dengan semua informasi tersebut, maka peluang dari pelajar yang diamati adalah anak perempuan yang mengenakan pantalon adalah :

(12)

( )

_{( )}

( )

( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )

25 , 0 6 , 0 2 , 0 2 , 0 6 , 0 1 4 , 0 5 , 0 4 , 0 5 , 0 ' ' = + = + = + = =

A

P B P A P A B P A B P A P B P A B P A P B A P

Seperti yang diharapkan bahwa hasilnya kurang dari 40% tetapi lebih dari setengahnya yaitu 25%.

Contoh 2 :

Seorang ahli geologi dari suatu perusahaan minyak, akan memutuskan melakukan pengeboran minyak di suatu lokasi tertentu. Diketahui sebelumnya, probabilitas untuk memperoleh minyak, katakan usaha berhasil adalah H sebesar 0,20 dan akan gagal adalah G, tidak memperoleh minyak sebesar 0,80. Sebelum keputusan dibuat, akan dicari tambahan informasi dengan melakukan suatu eksperimen yang disebut pencatatan seismografis (seismographic recording). Hasil eksperimen berupa diketemukan tiga kejadian yang sangat menentukan berhasil tidaknya pengeboran, yaitu :

Kejadian R1, tidak terdapat struktur geologis Kejadian R2, strutur geologis terbuka

Kejadian R3, struktur geologis tertutup

Berdasarkan pengalaman masa lampau, probabilitas dari ketiga kejadian ini untuk dapat memperoleh minyak yaitu berhasil H, masing-masing sebesar 0,30 ; 0,36 dan 0,34. Sebaliknya untuk tidak memperoleh minyak yaitu gagal G, masing-masing sebesar 0,68 ; 0,28 dan 0,04. Informasi ini, sebagai hasil eksperimen, merupakan informasi tambahan yang berguna untuk memperbaiki probabilitas prior.

(13)

G = kejadian tidak memperoleh minyak, Maka hitunglah :

a. P(R1), atau probabilitas bahwa tidak terdapat strutur geologis. b. P(R2), atau probabilitas bahwa struktur geologis terbuka. c. P(R3), atau probabilitas bahwa strutur geologis tertutup.

d. P(H|R1), atau probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat tidak terdapat struktur geologis.

e. P(H|R2), atau probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur geologis terbuka.

f. P(H|R3), atau probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur geologis tertutup.

Jika keadaan tersebut digambarkan dalam pohon kemungkinan maka diperoleh sebagai berikut : P(R1 P(H) = 0,20 P(R H) = 0,30 2 P(R H) = 0,36 3 H) = 0,34 P(R1 P(G) = 0,80 P(R G) = 0,68 2 G) = 0,28

(14)

P(R3

a. Probabilitas bahwa tidak terdapat strutur geologis adalah :

G) = 0,04 Gambar 2.1 Diagram Kemungkinan Pengeboran Minyak

P(R1) = P(H)P(R1|H) + P(G)P(R1|G) = (0,20)(0,30) + (0,80)(0,68) = 0,060 + 0,544

= 0,604

b. Probabilitas bahwa struktur geologis terbuka adalah : P(R2) = P(H)P(R2|H) + P(G)P(R2|G)

= (0,20)(0,36) + (0,80)(0,28) = 0,072 + 0,224

= 0,296

c. Probabilitas bahwa struktur geologis tertutup adalah : P(R3) = P(H)P(R3|H) + P(G)P(R3|G)

= (0,20)(0,34) + (0,80)(0,04) = 0,068 + 0,032

= 0,100

d. Probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat tidak terdapat struktur geologis adalah :

(

)

( )

_{( )}

(

)

(

)(

)

099 , 0 604 , 0 060 , 0 604 , 0 30 , 0 20 , 0 1 1 1 = = = =

R

P H_PP H H P

e. Probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur geologis terbuka adalah :

(15)

(

)

( )

_{( )}

(

)

(

)(

)

243 , 0 296 , 0 072 , 0 296 , 0 36 , 0 20 , 0 2 2 2 = = = =

R

P H_PP H H P

f. Probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur geologis tertutup adalah :

(

)

( )

_{( )}

(

)

(

)(

)

680 , 0 100 , 0 068 , 0 100 , 0 34 , 0 20 , 0 3 3 3 = = = =

R

P H_PP H H P

Dalam menghadapi suatu persoalan, pengambil keputusan telah mempunyai informasi awal, baik itu dalam bentuk subyektif maupun obyektif. Bila informasi awal ini dirasakan telah memadai, maka keputusan dapat langsung dibuat. Tetapi bila informasi awal ini dirasakan belum cukup, maka diperlukan suatu usaha untuk mendapatkan informasi tambahan. Selanjutnya, bila kemudian telah diperoleh informasi tambahan, maka kita perlu menggunakan informasi tambahan ini dengan

(16)

informasi awal, untuk mendapatkan informasi yang lebih baik untuk pengambilan keputusan.

2.7 Teori Keputusan

Teori keputusan adalah suatu area studi yang berhubungan dengan para ahli matematik, orang-orang statistik, ahli ekonomi, ahli filsafat, para manajer, politikus, psikolog, dan siapapun yang tertarik dalam analisis keputusan. Teori keputusan dalam matematika dan statistika adalah yang berhubungan dengan mengidentifikasi nilai, ketidakpastian, dan masalah lain yang relevan yang memberikan keputusan dan menghasilkan keputusan yamg optimal.

Formalisme dasar dari teori keputusan adalah tabel payoff , yang memetakan keputusan yang mutually exclusive. Misalnya, “keputusan X mengarah pada hasil Y”, “keputusan Y mengarah pada hasil Z”, dan seterusnya. Bila set hasil yang sesuai untuk suatu keputusan yang tidak dikenal, maka situasi seperti ini disebut sebagai keputusan di bawah ketidakpastian, inilah studi yang mendominasi pada teori keputusan.

Teori keputusan memberikan sejumlah saran bagaimana cara untuk mengestimasi probabilitas yang kompleks dalam keadaan ketidakpastian, yang sebagian besar berasal dari teorema Bayes.

Teori keputusan dapat berupa normatif atau deskriptif. Teori keputusan normatif adalah teori yang mengarah pada bagaimana harus membuat keputusan jika kita ingin memaksimalkan utility yang diharapkan. Sedangkan teori keputusan deskriptif dicapai berdasarkan hasil dari pengamatan, percobaan, dan biasanya dikuatkan dengan statistik.

2.8 Teknik Pengambilan Keputusan

Pengambilan keputusan adalah memilih satu atau lebih diantara sekian banyak alternatif keputusan yang mungkin. Suatu keputusan dibuat dalam rangka untuk memecahkan permasalahan atau persoalan, Setiap kaputusan yang dibuat pasti ada tujuan yang akan dicapai. Keputusan bisa berulang kali dibuat secara rutin dan dalam bentuk persoalan yang sama sehingga mudah dilakukan.

(17)

Situasi keputusan lainnya yang dihadapi mungkin serupa dengan situasi yang dialami masa lampau, akan tetapi suatu ciri khusus dari permasalahan yang timbul baru mungkin agak berbeda dalam beberapa aspek penting bahwa mungkin unik (satu-satunya ciri yang terkait pada permasalahan tersebut). Intuisi dan pertimbangan dari orang-oarang yang mempunyai pengalaman seperti tipe persoalan tersebut merupakan nara sumber yang sangat penting dalam suatu organisasi di mana keputusan akan diambil, mengingat persoalan baru mungkin jauh berbeda dengan persoalan-persoalan sebelumnya dan perlu cara pengambilan keputusan yang unik.

Inti dari pengambilan keputusan ialah terletak dalam perumusan berbagai alternatif tindakan sesuai dengan yang sedang dalam perhatian dan dalam pemilihan alternatif yang tepat setelah suatu evaluasi (penilaian) mengenai efektivitasnya dalam mencapai tujuan yang dikehendaki pengambil keputusan. Salah satu komponen terpenting dari proses pembuatan keputusan adalah kegiatan pengumpulan data dari mana suatu apresiasi mengenai situasi keputusan dapat dibuat.

Apabila informasi yang cukup dapat dikumpulkan guna memperoleh suatu spesifikasi yang lengkap dari semua alternatif dan tingkat keefektivannya dalam situasi yang sedang dalam perhatian. Proses pembuatan atau pengambilan keputusan relatif sangatlah mudah. Akan tetapi di dalam prakteknya sangat tidak mungkin untuk mengumpulkan informasi secara lengkap, mengingat terbatasanya waktu, dana dan tenaga.

Pada dasarnya ada empat kategori keputusan, yaitu :

a. Keputusan dalam keadaan ada kepastian (certainty). Suasana di katakan

certainty jika semua informasi yang di perlukan untuk membuat keputusan

diketahui secara sempurna dan tidak berubah.

b. Keputusan dalam keadaan ada resiko (risk). Suasana di katakan risk jika informasi sempurna tidak tersedia, tetapi seluruh peristiwa yang akan terjadi beserta probabilitasnya tersedia.

c. Keputusan dalam keadaan ketidakpastian (uncertainty). Pengambilan keputusan dalam keadaan ketidakpastian menunjukkan suasana keputusan dimana probabilitas hasil-hasil potensial tidak diketahui (tidak diperkirakan). Dalam suasana ketidakpastian pengambil keputusan sadar akan hasil-hasil alternatif dalam bermacam-macam peristiwa, namun pengambil keputusan tidak dapat menetapkan probabilitas peristiwa.

(18)

d. Keputusan dalam keadaan ada konflik (conflick). Suasana konflik muncul jika kepentingan dua atau lebih pengambil keputusan berada dalam situasi yang saling bertentangan. Satu pihak pengambil keputusan tidak hanya memikirkan pada tindakannya sendiri, tetapi juga tertarik pada tindakan lawannya.

2.8.1 Pilihan Langsung

Salah satu cara yang umum digunakan dalam menentukan pengambilan keputusan diantara dua alternatif adalah membandingkan keduanya secara langsung, kemudian menentukan pilihan berdasarkan proses intuisi. Tetapi persoalan yang kompleks akan sulit untuk mengelola seluruh informasi dalam pikiran kita.

Contoh :

Seorang Produsen ingin menambah jenis produksinya. Untuk maksud tersebut ada dua pilihan ; pertama produk A, ia yakin staf engeneringnya mampu mempersiapkan peralatan untuk produk A dengan pertimbangan keberhasilan 0,5. Produk kedua, memproduksi B dengan kemungkinan gagal 0,2. Jika produk A berhasil perusahaan akan memperoleh laba Rp. 200 juta, dan jika gagal akan rugi Rp. 20 juta. Sedangkan produk B, jika berhasil akan memperoleh laba Rp. 80 juta dan jika gagal kan rugi Rp. 2 juta. Karena keterbatasan dana, maka hanya satu diantaranya yang akan diproduksi. Tentukan produksi mana sebaiknya yang akan diproduksi oleh perusahaan agar perusahaan memperoleh laba yang optimal.

Model keputusan ini dapat digambarkan dalam diagram keputusan sebagai berikut :

Berhasil + Rp. 200 juta 0,5

Produk A

Gagal - Rp. 20 juta 0,5

Tidak memproduksi Rp. 0 juta

(19)

Produk B

Gambar 2.2 Diagram Keputusan Pilihan Langsung

Persoalan ini kelihatannya sederhana namun ada kesulitan untuk memilih secara langsung karena kita harus secara serentak memperoleh informasi tentang kemungkinan berhasil dan bagaimana hasil yang mungkin diperoleh. Pada dasarnya pilihan langsung dapat dilakukan dengan mudah jika terdapat dominasi satu alternatif atas alternatif lainnya.

2.8.2 Dominasi Nilai

Misalkan pada persoalan diatas, jika produk A gagal hasil yang akan diperoleh bukan – Rp. 20 juta, melainkan Rp. 80 juta sehingga keadaannya dapat digambarkan seperti pada diagram berikut :

Produk A

Gagal + Rp. 80 juta 0,5

Tidak memproduksi Rp. 0 juta

Produk B

(20)

Dari diagram ini, maka secara langsung dapat dinyatakan bahwa lebih baik memilih produk A, karena walaupun gagal hasilnya masih sama dengan produk B jika berhasil. Dalam hal ini dikatakan alternatif A mendominasi alternatif B.

2.8.3 Dominasi Stokastik

Bentuk lain dari dominasi tetapi sedikit lebih lemah dibandingkan Dominasi Nilai adalah Dominasi Stokastik atau Dominasi Probabilistik, yang digunakan untuk pilihan langsung.

Contoh :

Sebagai seorang manager produksi, Tuan Y diharapkan untuk memilih satu diantara tiga jenis produk baru untuk dipasarkan. Produksi pendahuluan untuk ketiga produk tersebut telah selesai dilakukan, demikian pula studi tentang harganya. Hasilnya seperti terlihat pada tabel berikut :

Tabel 2.3 Produk Yang Dapat Dihasilkan

Produk Harga (unit) Ongkos (unit) Kontribusi (unit)

A Rp. 25.000 Rp. 15.000 Rp. 10.000

B Rp. 60.000 Rp. 40.000 Rp. 20.000

C Rp. 37.500 Rp. 22.500 Rp. 15.000

Selanjutnya dari penelitian pasar dapat pula diketahui distribusi kemungkinan tingkat penjualan yang mungkin dicapai untuk masing-masing produk seperti pada tabel berikut :

Tabel 2.4 Distribusi Kemungkinan Tingkat Penjualan

Tingkat Kemungkinan

(21)

10.000 0 0,2 0,3

20.000 0,1 0,2 0,3

30.000 0,1 0,4 0,2

40.000 0,2 0,1 0,1

50.000 0,6 0 0

Dan selain itu Pimpinan perusahaan telah memutuskan bahwa hanya satu jenis produk baru dapat dipasarkan.

Jika keadaan tersebut digambarkan dalam diagram keputusan maka hasilnya adalah sebagai berikut : Kontribusi Penjualan : Rp. 200 juta 0,1 20.000 Rp. 300 juta Produk A 0,1 30.000 Rp. 400 juta 0,2 40.000 Rp. 500 juta 0,6 50.000 Penjualan : Rp. 0 juta 0,1 0 Rp. 200 juta Produk B 0,2 10.000 Rp. 400 juta 0,2 20.000 Rp. 600 juta 0,4 30.000 Rp. 800 juta 0,1 40.000 Penjualan : Rp. 0 juta

(22)

0,1 0 Rp. 150 juta Produk C 0,3 10.000 Rp. 300 juta 0,3 20.000 Rp. 450 juta 0,2 30.000 Rp. 600 juta 0,1 40.000

Gambar 2.4 Diagram Keputusan Tiga Jenis Produk

2.8.4 Tingkat Aspirasi

Dalam menghadapi situasi keputusan, pengambil keputusan mungkin mempunyai suatu target yang harus dicapai, suatu tingkat aspirasi. Bila keadaannya seperti itu, maka pilihan langsung dapat dilakukan dengan membandingkan tingkat aspirasi.

Misalkan dalam persoalan diatas pengambil keputusan merasa bahwa yang penting adalah menghasilkan tidak kurang dari Rp. 300 juta. Maka kemungkinan untuk memperoleh Rp. 300 juta adalah untuk produk A sebesar 0,9; produk B sebesar 0,7 dan produk C sebesar 0,6. Produk A mempunyai kemungkinan terbesar untuk mencapai tingkat aspirasi yang ditentukan, sehingga produk A adalah pilihan yang terbaik.

2.8.5 Nilai Ekspektasi

Jika pilihan langsung sukar dilakukan, maka dapat digunakan nilai ekspektasi. Nilai ekspektasi mencerminkan harga rata-rata memilih nilai ekspektasi tertinggi.

Dari persoalan diatas, dapat diperoleh nilai ekspektasinya sebagai berikut : Produk A :

Nilai Ekspektasi = (0,1)(Rp. 200 juta) + (0,1)(Rp. 300 juta) + (0,2)(Rp.400 juta) + (0,6)(Rp.500 juta)

= Rp. 430 juta Produk B :

Nilai Ekspektasi = (0,1)(Rp. 0) + (0,2)(Rp. 200 juta) + (0,2)(Rp.400juta) + (0,4)(Rp.600 juta) + (0,1)(Rp. 800 juta)

= Rp. 440 juta Produk C :

(23)

Nilai Ekspektasi = (0,1)(Rp. 0) + (0,3)(Rp. 150 juta) + (0,3)(Rp.300 juta) + (0,2)(Rp.450 juta) + (0,1)(Rp. 600 juta)

= Rp. 285 juta

Jadi keputusannya adalah memproduksi produk B karena nilai ekspektasinya yang tertinggi.

2.8.6 Nilai Ekivalen Tetap

Nilai ekivalen tetap dari suatu kejadian tidak pasti adalah nilai tertentu yang kita tetapkan sendiri dimana kita merasa tidak berbeda antara menerima hasil yang tercermin dalam ketidakpastian tersebut, atau menerima dengan kepastian suatu hasil dengan nilai tetentu. Besar nilai yang ditentukan tersebut dinamakan nilai ekivalen tetap.

2.9 Utility

Hasil dari teori keputusan biasanya diberi nilai utility. Misalnya, dari sudut pandang perencana militer, kematian 1000 orang dalam pertempuran mungkin diberi utility yang negatif dari 1000, dan kematian 500 orang dari 500 utility yang negatif. Kemungkinan hasil dalam masalah teori keputusan bisa jadi positif, negatif, atau kedua-duanya. Nilai utility bisa berdasarkan pada pendapat dari pengambil kaputusan.

Utility yang diharapkan dari sebuah keputusan adalah sebagai jumlah kemungkinan bahwa setiap hasil dikalikan dengan utility dari hasil lainnya. Misalnya membuat suatu keputusan mungkin mengarah pada 100 utility yang positif dengan kemungkinan 75%, dan 40 utility yang negatif dengan kemungkinan 25% maka nilai utility yang diharapkan adalah :

75% x 100 = 75 (positif) 25% x (-40) = -10 (negatif)

Berarti nilai dari keseluruhan utility yang diharapkan adalah 75 – 10 = 65.

Kurva utility diperoleh berdasarkan penjajakan preferensi pengambil keputusan. Menggambarkan bagaimana utility suatu nilai atau keadaan tertentu bagi pengambil keputusan. Pada umumnya skala utility dinyatakan antara 0 dan 1, dimana skala utility = 1 menyatakan keadaan atau nilai yang paling disukai dan 0 menyatakan keadaan atau nilai yang paling tidak disukai.

(24)

Gambar 2.5 Kurva Utility

Dari kurva utility ini dapat diketahui bahwa utility dari uang Rp.100.000,- adalah 1 dan dari uang Rp.0,- adalah 0. Demikian juga utility dari uang antara Rp.0,- dan Rp. 100.000,- dapat diketahui dari kurva tersebut.