OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL DAN KETAKSAMAAN OLSEN DI RUANG TAK HOMOGEN TESIS

OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL

DAN KETAKSAMAAN OLSEN

DI RUANG TAK HOMOGEN

TESIS

Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari

Institut Teknologi Bandung

Oleh

HERRY PRIBAWANTO SURYAWAN NIM : 20106006

Program Studi Matematika

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2008

ABSTRAK

OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL

DAN KETAKSAMAAN OLSEN

DI RUANG TAK HOMOGEN

Oleh

Herry Pribawanto Suryawan NIM : 20106006

Di dalam tesis ini akan dibuktikan keterbatasan operator integral fraksional di ruang Lebesgue tak homogen dan di ruang Morrey tak homogen yang diperu-mum. Ukuran di ruang tak homogen tidak memenuhi kondisi doubling seperti halnya di ruang homogen, tetapi merupakan ukuran growth. Selanjutnya juga akan dibahas ketaksamaan Olsen di kedua ruang tersebut.

Kata kunci: Operator integral fraksional, Ukuran growth, Ruang Lebesgue tak homogen, Ruang Morrey tak homogen yang diperumum

ABSTRACT

FRACTIONAL INTEGRAL OPERATORS

AND OLSEN’S INEQUALITIES

ON NON-HOMOGENEOUS SPACES

By

Herry Pribawanto Suryawan NIM : 20106006

In this thesis we discuss the boundedness of fractional integral operators on non-homogeneous Lebesgue spaces as well as on generalized non-homogeneous Morrey spaces. Non-homogeneous spaces are spaces that are endowed with a growth measure. We will also prove Olsen’s inequalities on both spaces.

Key words: Fractional integral operators, Growth measure, Non-homogeneous Lebesgue spaces, Generalized non-homogeneous Morrey spaces

OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL

DAN KETAKSAMAAN OLSEN

DI RUANG TAK HOMOGEN

Oleh

Herry Pribawanto Suryawan NIM : 20106006

Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung

Bandung, Februari 2008 Telah diperiksa dan disetujui oleh

Pembimbing

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS

Tesis Magister yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di perpus-takaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan keten-tuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperke-nankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menye-butkan sumbernya.

Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin Direktur Program Pasca Sarjana, Institut Teknologi Bandung.

Tuhan adalah gembalaku, takkan kekurangan aku. Ia membaringkan aku di padang yang berumput hijau, Ia membimbing aku ke air yang tenang; Ia menyegarkan jiwaku. Ia menuntun aku di jalan yang benar oleh karena namaNya. Sekalipun aku berjalan dalam lembah kekelaman aku tidak takut

bahaya, sebab Engkau besertaku; gadaMu dan tongkatMu, itulah yang menghibur aku. Engkau menyediakan hidangan bagiku, di hadapan lawanku;

Engkau mengurapi kepalaku dengan minyak; pialaku penuh melimpah. Kebajikan dan kemurahan belaka akan mengikuti aku, seumur hidupku;

dan aku akan diam dalam rumah TUHAN sepanjang masa. (MAZMUR 23: 1-6)

Untuk Mama dan seluruh keluargaku

dan untuk mengenang Papa.

Kata Pengantar

Segala puji syukur, hormat, dan kemuliaan untuk Tuhan Yesus Kristus, atas kasih dan tuntunan-Nya, penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Banyak hal terjadi selama penulis menempuh studi dan menulis tesis ini, namun penulis menyadari semua itu merupakan bagian dari rencana Tuhan yang indah untuk hidup penulis.

Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung. Penulis menyadari bahwa tesis ini tidak akan terwujud tanpa adanya dukungan moral, material, dan doa dari berbagai pihak. Untuk itu dengan segala kerendahan hati, penulis menyam-paikan terima kasih kepada:

(1) Prof. Dr. Hendra Gunawan, yang telah berkenan dengan sabar mem-bimbing penulis, memberikan ilmu, ide, saran, teguran, dan perhatian yang sangat berharga bagi penulis.

(2) Dr. Wono Setya Budhi dan Dr. Yudi Soeharyadi, yang telah berke-nan menjadi penguji pada ujian tesis ini dan memberikan masukan yang sangat berarti.

(3) Dr. Irawati dan Dr. Hilda Assiyatun sebagai wali akademik, yang telah memberikan pengarahan kepada penulis selama menempuh pro-gram magister di Institut Teknologi Bandung.

(4) Bapak dan Ibu Dosen di Program Studi Matematika ITB, yang telah membagikan ilmu dan pengalamannya yang sangat berharga. Khususnya penulis mengucapkan terimakasih kepada Prof. Dr. Hendra Gunawan, Dr. Wono Setya Budhi, Dr. Jalina Widjaya, Dr. Irawati, Dr. M. Intan Detiena, Dra. Muliana H. Arinardi, M.Si, Prof. Dr. Edy Soewono, Dr. Oki Neswan, dan Dr. Achmad Muchlis.

(5) Yayasan Sanata Dharma dan Universitas Sanata Dharma, yang telah memberikan beasiswa dan kemudahan, sehingga penulis dapat menem-puh pendidikan di ITB dengan baik dan lancar.

(6) Rekan-rekan di ITB dan di USD, atas dukungan dan perhatiannya ke-pada penulis. Secara khusus penulis ingin berterimakasih keke-pada Ibu Dra. Idha Sihwaningrum, M.Sc, rekan satu bimbingan, yang telah banyak membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini melalui diskusi, ide, saran, dan perhatiannya.

(7) Mama Yuniati, kakak-kakakku, dan seluruh keluargaku atas doa, perha-tian, dan kasih sayangnya kepada penulis.

(8) Sahabatku dalam suka dan duka, Anton Wardaya, yang tidak pernah bosan membagikan kasih Allah, dukungan, doa, dan bantuan kepada penulis.

(9) Semua pihak yang telah membantu sehingga penulisan tesis ini tersele-saikan dengan baik, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Semoga tesis ini bermanfaat bagi para pembaca.

Bandung, Januari 2008

Daftar Isi

Abstrak ii

Abstract iii

Halaman Pengesahan iv

Pedoman Penggunaan Tesis v

Halaman Persembahan vi

Kata Pengantar vii

Daftar Isi ix

1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . 1 1.2 Tujuan Penulisan . . . 5 1.3 Sistematika Penulisan . . . 5 2 Keterbatasan Operator Integral Fraksional di Ruang Tak

Ho-mogen 7

2.1 Keterbatasan Operator Mn _{di Ruang L}p_{(µ) . . . . 7}

2.2 Keterbatasan Operator In

2.3 Keterbatasan Operator In

α di Ruang Morrey Tak Homogen yang

Diperumum . . . 19

3 Ketaksamaan Olsen di Ruang Tak Homogen 27

3.1 Ketaksamaan Olsen di Ruang Lp_{(µ) . . . 27}

3.2 Ketaksamaan Olsen di Ruang Mp,φ_{(µ) . . . 28}

4 Kesimpulan 32

Bab 1

Pendahuluan

1.1

Latar Belakang Masalah

Salah satu objek kajian dalam Analisis Fourier adalah operator integral. Di dalam tesis ini akan dipelajari salah satu operator integral yang dikenal sebagai operator integral fraksional atau sering juga disebut potensial Riesz. Operator ini pertama kali dipelajari oleh Hardy, Littlewood, dan Sobolev pada sekitar tahun 1930. Operator ini dapat diperoleh melalui transformasi Fourier dari operator Laplace (lihat Stein [13] hal. 117 atau Lieb and Loss [9] hal. 123). Untuk fungsi f yang terdefinisi pada Rd_{dan α ∈ R dengan 0 < α < d, operator}

integal fraksional (orde α) Iα didefinisikan sebagai

Iαf (x) := 1 γ(α) Z Rd f (y) |x − y|d−α dy dengan γ(α) = Γ( d−α 2 ) 2α_πd2Γ(α 2) .

Notasi Lp_{menyatakan ruang Lebesgue, yaitu ruang kelas-kelas ekuivalen fungsi}

terukur f sehingga kf kLp < ∞ dengan

kf kLp = µZ Rd |f (y)|p _dy ¶1 p , 1 ≤ p < ∞

dan

kf kL∞ = ess sup

©

|f (x)| : x ∈ Rdª_.

Hardy, Littlewood, dan Sobolev telah membuktikan bahwa operator Iαterbatas

dari Lp _{ke L}q_{, yakni}

kIαf kLq ≤ C kf k_Lp (1.1)

untuk 1

q = p1 − αd dan 1 < p < αd. Ketaksamaan (1.1) ini dikenal sebagai

ketaksamaan Hardy-Littlewood-Sobolev (lihat Stein [14]). Dari ketaksamaan ini dapat dikatakan bahwa operator Iα memetakan fungsi f menjadi fungsi

lain, yaitu Iαf , yang secara lokal bersifat lebih baik dalam hal keterintegralan.

Selanjutnya pada tahun 1987 F. Chiarenza dan M. Frasca memperlihatkan keterbatasan operator Iα di ruang Morrey, yang merupakan perumuman dari

ruang Lebesgue. Apabila Lp_locmenyatakan ruang Lebesgue lokal —ruang kelas-kelas ekuivalen fungsi terukur f sehingga untuk setiap subhimpunan kompak K dari Rd _berlaku

Z

K

|f (x)|p _{dx < ∞,}

maka ruang Morrey Lp,λ _{didefinisikan sebagai ruang semua fungsi f ∈ L}p loc sehingga kf k_Lp,λ := sup B(x,r) µ 1 rλ Z B(x,r) |f (y)|p _dy ¶1 p < ∞ (1.2)

dan B(x, r) adalah bola dengan pusat x ∈ Rd_{dan berjari-jari r, dan 0 ≤ λ ≤ d.}

Khususnya untuk λ = 0 diperoleh Lp,λ _{= L}p_{. Perhatikan dari (1.2) diperoleh}

bahwa terdapat C > 0 sehingga untuk 0 ≤ λ ≤ d berlaku 1 rλ Z B(x,r) |f (y)|p _{dy ≤ C} atau _Z B(x,r) |f (y)|p _{dy ≤ C r}λ_.

Hasil Chiarenza dan Frasca adalah ketaksamaan berikut kIαf kLq,λ ≤ C kf k_Lp,λ

untuk 1 < p < d

α, 0 < λ < d − αp, dan 1q = 1p−d−λα . Dalam pembuktian

keter-batasan Iαdari Lp,λke Lq,λ, Chiarenza dan Frasca memanfaatkan keterbatasan

operator maksimal Hardy-Littlewood (klasik) Mf (x) = sup r>0 1 rd Z B(x,r) |f (y)| dy di Lp,λ _{(lihat Chiarenza and Frasca [1]).}

Dalam penelitian sepuluh tahun terakhir telah diperlihatkan bahwa kondisi doubling di dalam analisis Fourier bukanlah hal yang esensial tapi dapat diganti dengan kondisi growth. Hal inilah yang memotivasi munculnya pengertian ruang tak homogen (lihat Garcia-Cuerva and Martell [5], Garcia-Cuerva and Gatto [4], dan Nazarov, et al. [10]). Ruang tak homogen adalah ruang Rd

yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif µ yang memenuhi kondisi growth. Ini berbeda dengan ruang homogen yang dilengkapi dengan ukuran yang memenuhi kondisi doubling. Diberikan kubus dengan panjang sisi l, Q(l) di Rd_{, maka ukuran µ pada R}d _{dikatakan memenuhi kondisi doubling apabila}

untuk terdapat C > 0 sehingga

µ(Q(2l)) ≤ C µ(Q(l)).

Sementara itu ukuran µ dikatakan memenuhi kondisi growth (orde n) apabila terdapat C > 0 sehingga

µ(Q(l)) ≤ C ln

untuk suatu n ∈ R dengan 0 < n ≤ d.

Dengan menggunakan pengertian ukuran growth tersebut di atas dapat dide-finisikan ruang Lebesgue tak homogen serta ruang Morrey tak homogen yang

diperumum. Ruang Lebesgue tak homogen Lp_{(µ), 1 ≤ p ≤ ∞, adalah ruang}

kelas-kelas ekuivalen fungsi terukur-µ f sehingga kf kLp_(µ) < ∞, dengan

kf kLp_(µ)= µZ Rd |f (y)|p _dµ(y) ¶1 p , dan kf kL∞_(µ)= ess sup © |f (x)| : x ∈ Rdª_.

Di sini ess sup©|f (x)| : x ∈ Rdª _{menyatakan batas atas terkecil esensial dari}

|f |. Ruang Lebesgue tak homogen lokal, Lp_loc(µ), adalah ruang kelas-kelas ekuivalen f sehingga untuk setiap subhimpunan kompak K di Rd _berlaku

Z

K

|f (y)|p _{dµ(y) < ∞}

dan ruang Morrey tak homogen yang diperumum Mp,φ_{(µ) didefinisikan sebagai}

ruang dari semua fungsi f ∈ Lp_loc(µ) sehingga

kf k_Mp,φ_(µ):= sup r>0 1 φ(r) µ 1 rn Z Q(x,r) |f (y)|p _dµ(y) ¶1 p < ∞ dan untuk p = ∞ kf kM∞,φ_(µ):= sup Q(x,r) 1 φ(Q) kf kL∞(Q)

dengan φ adalah suatu fungsi yang memenuhi beberapa kondisi tertentu. Khu-susnya untuk φ(t) = t−np maka didapat Mp,φ(µ) = Lp(µ) dan untuk φ(t) = c,

suatu fungsi konstan positif maka didapat M∞,φ_{(µ) = L}∞_(µ).

Selanjutnya operator integral fraksional (orde α) dalam konteks ruang tak homogen Lp_{(µ) dengan µ ukuran growth orde n, didefinisikan sebagai}

In αf (x) := Z Rd f (y) |x − y|n−α dµ(y)

dengan α, n ∈ R dan 0 < α < n ≤ d (lihat Garcia-Cuerva and Martell [5]). Pokok pembahasan di dalam tesis ini adalah masalah keterbatasan operator

In

α di ruang tak homogen, khususnya Lp(µ) dan Mp,φ(µ), dan untuk hal itu

akan dibahas juga operator maksimal Hardy-Littlewood Mn_{yang didefinisikan}

sebagai Mn_{f (x) := sup} r>0 1 rn Z Q(x,r) |f (y)| dµ(y).

Khususnya akan dibuktikan bahwa Mn_{terbatas di L}p_{(µ), yakni terdapat C > 0}

sehingga

kMn_{f k}

Lp_(µ) ≤ C kf k_Lp_(µ),

untuk p > 1.

Catat bahwa untuk n = d diperoleh Mn_{= M yaitu operator maksimal}

Hardy-Littlewood klasik.

1.2

Tujuan Penulisan

Di dalam tesis ini akan dibuktikan keterbatasan operator In

α di ruang Lebesgue

tak homogen dan ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Selanjutnya untuk suatu fungsi W yang terdefinisi pada Rd_{akan ditunjukkan keterbatasan}

operator W Iαdi ruang Lp(µ) dan Mp,φ(µ). Hasil penulisan tesis ini diharapkan

dapat memberikan kontribusi pengetahuan mengenai keterbatasan operator In α

serta ketaksamaan Olsen di ruang tak homogen, khususnya Lp_{(µ) dan M}p,φ_(µ).

1.3

Sistematika Penulisan

Sistematika dari tesis ini adalah sebagai berikut.

Bab 1 merupakan bab pendahuluan yang berisi latar belakang masalah, tin-jauan pustaka, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan.

Pada bab 2 dibuktikan keterbatasan operator In

α di ruang Lebesgue tak

memberikan bukti keterbatasan operator maksimal Hardy-Littlewood Mn _di

ruang Lp_{(µ). Subbab kedua membahas keterbatasan operator I}n

α di ruang

Lebesgue tak homogen dengan memanfaatkan keterbatasan operator Mn _di

ruang tersebut. Sementara pada subbab ketiga akan dibuktikan keterbatasan operator In

α di ruang Morrey tak homogen yang diperumum.

Bab 3 menyajikan hasil yaitu ketaksamaan Olsen di ruang Lp_{(µ) dan M}p,φ_(µ).

Pada subbab pertama diberikan ketaksamaan Olsen di ruang Lp_(µ).

Selanjut-nya pada subbab kedua dibuktikan ketaksamaan Olsen di ruang Mp,φ_(µ).

Bab 4 merupakan kesimpulan yang memberikan penegasan tentang hasil te-muan yang diperoleh dari fakta yang telah dibicarakan pada bab-bab sebelum-nya.

Bab 2

Keterbatasan Operator Integral

Fraksional di Ruang Tak

Homogen

2.1

Keterbatasan Operator M

n

di Ruang L

p

(µ)

Pada bagian ini akan dibahas operator maksimal Mn_{, khususnya akan}

diper-lihatkan bahwa Mn _{bersifat terbatas di ruang L}p_{(µ). Hasil ini cukup penting}

karena akan dipergunakan dalam pembuktian keterbatasan operator In α dari

Lp_{(µ) ke L}q_{(µ) untuk suatu q > p.}

Dalam hal ukuran Lebesgue, sifat invarian terhadap translasi dan sifat dilasi merupakan alat yang sangat baik dalam pengembangan Analisis Fourier. Su-atu perluasan dari hal ini adalah konsep ruang tipe homogen, yaitu ruang kuasi-metrik yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif yang meme-nuhi kondisi doubling, artinya untuk setiap kubus Q, ukuran dari kubus yang didilasi dua kali, 2Q, didominasi oleh ukuran kubus semula (lihat Krantz [8]). Penelitian dalam beberapa tahun terakhir menunjukkan bahwa kondisi

dou-bling bukanlah hal yang esensial yaitu banyak hasil dalam Analisis Fourier yang tetap berlaku ketika kondisi doubling diganti dengan kondisi growth. Mi-salnya pada F. Nazarov, et al. [10] mengenalkan ruang tak homogen sebagai ruang metrik—termasuk Rd_{—yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif}

yang memenuhi kondisi growth.

Diberikan kubus Q ⊂ Rd _{dengan sisi-sisi sejajar dengan sumbu-sumbu}

koordi-nat. Ukuran Borel tak negatif µ pada Rd _{dikatakan memenuhi kondisi growth}

(orde n) apabila terdapat konstanta C > 0 sehingga µ(Q) ≤ C ln

dengan l = l(Q) menyatakan panjang sisi kubus Q dan n bilangan real ter-tentu dengan 0 < n ≤ d. Karena ukuran suatu kubus didominasi oleh panjang sisinya dipangkatkan n, maka ukuran growth (orde n) sering juga disebut se-bagai ukuran berdimensi-n. Untuk suatu k > 0, kQ menyatakan kubus yang sepusat (konsentris) dengan kubus Q tetapi panjang sisinya adalah k kali pan-jang sisi kubus Q, yaitu l(kQ) = k l(Q). Lebih lanjut, Q(x, r) menyatakan kubus yang berpusat di x dan berjari-jari r. Dalam hal ini yang dimaksud dengan jari-jari kubus adalah setengah panjang sisinya. Untuk selanjutnya di dalam seluruh tesis ini, C merupakan konstanta positif yang tidak perlu sama dari satu baris ke baris yang lainnya.

Diberikan f sebarang fungsi terukur-µ, dengan µ ukuran Borel tak negatif pada Rd _{yang memenuhi kondisi growth orde n dan 1 ≤ p < ∞. Ingat}

kembali ruang Lebesgue tak homogen Lp_{(µ), 1 ≤ p ≤ ∞, adalah ruang}

kelas-kelas ekuivalen f sehingga kf kLp_(µ)< ∞, dengan

kf kLp_(µ)= µZ Rd |f (y)|p _dµ(y) ¶1 p , dan kf kL∞_(µ)= ess sup © |f (x)| : x ∈ Rdª_.

Di sini ess sup©|f (x)| : x ∈ Rdª _{menyatakan batas atas terkecil esensial dari}

|f |, yakni

ess sup©|f (x)| : x ∈ Rdª = inf{M > 0 : |f (x)| ≤ M a.e. − µ pada Rd}. Dua buah fungsi f dan g di Lp_{(µ) dikatakan ekuivalen jika f = g hampir di}

mana-mana.

Selanjutnya, ingat fungsi maksimal Hardy-Littlewood Mnf (x) = sup r>0 1 rn Z Q(x,r) |f (y)| dµ(y).

Dalam hal ini Mn _{disebut sebagai operator maksimal. Terdapat pendefinisian}

lain untuk fungsi maksimal yang dikenal sebagai fungsi maksimal tak terpusat yaitu Mucf (x) = sup Q3x 1 ln Z Q |f (y)| dµ(y).

Akan diperlihatkan bahwa fungsi maksimal setara titik demi titik (pointwise equivalent) dengan fungsi maksimal tak terpusat. Untuk setiap x ∈ Rd_,

1 rn Z Q(x,r) |f (y)| dµ(y) = 1 (1 2l)n Z Q(x,r) |f (y)| dµ(y) = 2 n ln Z Q(x,r) |f (y)| dµ(y) ≤ 2n_sup Q3x 1 ln Z Q |f (y)| dµ(y). Jadi diperoleh sup r>0 1 rn Z Q(x,r)

|f (y)| dµ(y) ≤ 2nsup

Q3x 1 ln Z Q |f (y)| dµ(y). Dengan kata lain

Mn_{f (x) ≤ 2}n_M ucf (x). (2.1) Di lain pihak, 1 ln Z Q |f (y)| dµ(y) ≤ 1 rn Z Q(x,r) |f (y)| dµ(y)

≤ sup r>0 1 rn Z Q(x,r) |f (y)| dµ(y).

Hubungan ini berlaku untuk setiap kubus Q dengan panjang sisi l, sehingga diperoleh sup Q3x 1 ln Z Q

|f (y)| dµ(y) ≤ sup

r>0 1 rn Z Q(x,r) |f (y)| dµ(y). Dengan kata lain,

Mucf (x) ≤ Mnf (x). (2.2)

Dengan demikian dari (2.1) dan (2.2) diperoleh Mucf (x) ≤ Mnf (x) ≤ 2nMucf (x),

untuk setiap x ∈ Rd_.

Untuk membuktikan keterbatasan operator Mn _{di L}p_{(µ) terlebih dahulu}

dibe-rikan pengertian operator tipe lemah dan tipe kuat serta teorema interpolasi Marcinkiewicz. Diketahui (X, µ) dan (Y, ν) ruang ukuran dan T operator dari Lp_{(X, µ) ke ruang fungsi terukur dari Y . Operator T merupakan operator tipe}

lemah (p, q), q < ∞ jika untuk setiap λ > 0 berlaku ν {y ∈ Y : |T f (y)| > λ} ≤ µ Ckf kLp_(X,µ) λ ¶_q .

dan T merupakan operator tipe lemah (p, ∞) jika T merupakan operator ter-batas dari Lp_{(X, µ) ke L}∞_{(Y, ν). Operator T merupakan operator tipe kuat}

(p, q) jika T terbatas dari Lp_{(X, µ) ke L}q_{(Y, ν), yakni terdapat C > 0 sehingga}

kT f kLq_(Y,ν) ≤ C kf k_Lp_(X,µ).

Catat bahwa jika T adalah operator tipe kuat (p, q), maka T tipe lemah (p, q). Misalkan T suatu operator tipe kuat (p, q). Tulis Eλ = {y ∈ Y : |T f (y)| > λ}

maka ν(Eλ) = Z Eλ dν ≤ Z Eλ ¯ ¯ ¯ ¯T f (x)_λ ¯ ¯ ¯ ¯ q dν ≤ kT f k q Lq_(Y,ν) λq ≤ µ Ckf kLp_(X,µ) λ ¶q .

Jadi T operator tipe lemah (p, q).

Didefinisikan Lp1(X, µ) + Lp2(X, µ) sebagai ruang semua fungsi f sehingga

f = f1+f2dengan f1 ∈ Lp1(X, µ) dan f2 ∈ Lp2(X, µ). Misalkan p1 < p2, maka

berlaku Lp_{(X, µ) ⊂ L}p1(X, µ) + Lp2(X, µ) untuk setiap p dengan p

1 ≤ p ≤ p2.

Untuk melihat hal ini, ambil sebarang f ∈ Lp_{(X, µ) dan k suatu konstanta}

positif. Tulis f1(x) =    f (x) jika |f (x)| > k 0 jika |f (x)| ≤ k dan f2(x) =    f (x) jika |f (x)| ≤ k 0 jika |f (x)| > k. Maka diperoleh Z X |f1(x)|p1 dµ = Z X |f1(x)|p|f1(x)|p1−p dµ ≤ kp1−p Z X |f (x)|p _dµ dan juga Z X |f2(x)|p2 dµ = Z X |f2(x)|p|f2(x)|p2−p dµ ≤ kp2−p Z X |f (x)|p _dµ.

Jadi f1 ∈ Lp1(X, µ) dan f2 ∈ Lp2(X, µ) sehingga f ∈ Lp1(X, µ) + Lp2(X, µ).

Teorema berikut memegang peranan penting dalam pembuktian keterbatasan operator maksimal di ruang Lebesgue tak homogen. Bukti lengkap teorema ini dapat dilihat pada Duoandikoetxea [2] hal. 29, atau Krantz [8] hal 319, atau Stein [13] hal 21.

Teorema 2.1. (Teorema interpolasi Marcinkiewicz). Diketahui (X, µ) dan (Y, ν) ruang ukuran, 1 ≤ p1 < p2 ≤ ∞ dan T operator sublinear dari

Lp1(X, µ) + Lp2(X, µ) ke ruang fungsi terukur dari Y , yang merupakan tipe

lemah (p1, p1) dan juga merupakan tipe lemah (p2, p2). Maka operator T

Teorema selanjutnya menyatakan keterbatasan operator Mn _{di ruang L}p_(µ).

Pembuktian teorema ini melibatkan lema cover Vitali yang buktinya dapat dilihat pada Jones [7] hal. 448 atau Stein [13] hal. 9.

Lema 2.2. (Lema cover Vitali). Diketahui {Q1, Q2, . . . , Qk, . . .} koleksi

kubus di Rd_{. Maka ada subkoleksi terhitung kubus { ˜Q}

1, ˜Q2, . . . , ˜Qj, . . .}

se-hingga

1. ˜Qj saling lepas sepasang-sepasang, dan

2. berlaku [ k Qk ⊆ Ã [ j 3 ˜Qj !

Teorema 2.3. Operator maksimal Mn _memenuhi

µ©x ∈ Rd_{: M}n_{f (x) > λ}ª_≤ C λ Z Rd |f (x)| dµ(x) dan kMn_{f k} L∞_(µ)≤ Ckf k_L∞_(µ).

Bukti. Ambil f ∈ L1_{(µ) dan didefinisikan}

Eλ =

©

x ∈ Rd_{: M}n_{f (x) > λ}ª_.

Jika x ∈ Eλ, yaitu x ∈ Rd dan Mnf (x) > λ, maka terdapat rx > 0 sehingga

1 rn x Z Q(x,rx) |f (y)| dµ(y) > λ.

Lema cover Vitali memberikan koleksi kubus yang saling lepas sepasang- se-pasang {Q(xj, rj)}j, dengan xj ∈ Eλ dan rj = rxj, sehingga

Eλ ⊂ [ x∈Eλ Q(x, rx) ⊂ [ j Q(xj, 3rj).

Jadi diperoleh µ(Eλ) ≤ X j µ(Q(xj, 3rj)) ≤ 3nX j r_jn ≤ CX j 1 λ Z Q(xj,rj) |f (y)| dµ(y) ≤ C λ X j Z Q(xj,rj) |f (y)| dµ(y) ≤ C λ Z Rd |f (y)| dµ(y).

Di sini kita menggunakan fakta bahwa kubus-kubus Q(xj, rj) saling lepas

sepasang-sepasang. Jadi terbukti

µ©x ∈ Rd_{: M}n_{f (x) > λ}ª _≤ C

λ Z

Rd

|f (x)| dµ(x).

Untuk bagian selanjutnya, apabila diambil sebarang x ∈ Rd_{dan kubus Q ⊂ R}d

yang berpusat di x dan berjari-jari r, maka 1 rn Z Q(x,r) |f (y)| dµ(y) ≤ 1 rn Z Q(x,r)

ess sup |f (y)| dµ(y) ≤ 1 rn Z Q(x,r) kf kL∞_(µ) dµ(y) = kf kL∞_(µ) 1 rn Z Q(x,r) dµ(y) = kf kL∞_(µ) 1 rnµ(Q) ≤ Ckf kL∞_(µ). Akibatnya sup r>0 1 rn Z Q(x,r) |f (y)| dµ(y) ≤ Ckf kL∞_(µ) atau berarti kMnf kL∞_(µ)≤ Ckf k_L∞_(µ).

Akibat 2.4. Operator maksimal Mn _{terbatas di L}p_{(µ) untuk 1 < p < ∞ .}

Bukti. Untuk mendapatkan keterbatasan operator maksimal Mn _{dari L}p_(µ)

ke Lp_{(µ) cukup dengan menerapkan teorema interpolasi Marcinkiewicz pada}

dua hasil di dalam Teorema 2.3. Catat bahwa Mn _{merupakan suatu operator}

sublinear. Ambil sebarang f, g ∈ Lp_{(µ), 1 < p < ∞, maka}

Mn_{(f + g)(x) = sup} r>0 1 rn Z Q(x,r) |(f + g)(y)| dµ(y) ≤ sup r>0 1 rn Z Q(x,r)

(|f (y)| + |g(y)|) dµ(y) ≤ sup r>0 1 rn Z Q(x,r)

|f (y)| dµ(y) + sup

r>0 1 rn Z Q(x,r) |g(y)| dµ(y) = Mn_{f (x) + M}n_g(x) dan juga Mn_{(k.f )(x) = sup} r>0 1 rn Z Q(x,r) |(k.f )(y)| dµ(y) = sup r>0 1 rn Z Q(x,r) |k||f (y)| dµ(y) = |k| sup r>0 1 rn Z Q(x,r) |f (y)| dµ(y) = |k|Mn_{f (x).}

Karena diketahui juga bahwa Mn _{merupakan tipe lemah (1, 1) dan juga tipe}

lemah (∞, ∞), maka menurut teorema interpolasi Marcinkiewicz, operator Mn

bertipe kuat (p, p) untuk 1 < p < ∞, yaitu berlaku kMn_{f k}

Lp_(µ)≤ Ckf k_Lp_(µ).

Dengan kata lain terbukti bahwa operator maksimal Mn _{terbatas di L}p_(µ)

2.2

Keterbatasan Operator I

n

α

di Ruang

Le-besgue Tak Homogen

Pada bagian ini akan dibuktikan bahwa operator In

α terbatas dari Lp(µ) ke

Lq_{(µ) untuk suatu q > p. Ingat kembali definisi operator integral fraksional}

di ruang tak homogen sebagai berikut. Untuk 0 < α < n ≤ d dan α, n ∈ R, operator integral fraksional (orde α) adalah

In αf (x) = Z Rd f (y) |x − y|n−α dµ(y)

dengan f ∈ L∞_{(µ) fungsi dengan tumpuan kompak.}

Pertama perlu dilihat bahwa operator In

α ini terdefinisi dengan baik.

Ker-nel dari operator integral ini bersifat singular pada diagonal x = y, namun demikian berlaku Z |x−y|<1 f (y) |x − y|n−α dµ(y) ≤ kf kL∞(µ) ∞ X k=0 Z 2−k−1_≤|x−y|<2−k 1 |x − y|n−α dµ(y) ≤ kf kL∞_(µ) ∞ X k=0 Z 2−k−1_≤|x−y|<2−k 1 2(−k−1)(n−α) dµ(y) ≤ kf kL∞_(µ) ∞ X k=0 µ¡Q(x, 2−k₎¢ 2(−k−1)(n−α) ≤ kf kL∞_(µ) ∞ X k=0 C 2(−k)n 2(−k−1)(n−α) = C 2n−αkf kL∞_(µ) ∞ X k=0 2−kα < ∞.

Jadi integral yang mendefinisikan In

α konvergen mutlak. Pada akhirnya

ope-rator In

α ini terdefinisi untuk f ∈ Lp(µ), 1 ≤ p ≤ ∞ sebab koleksi fungsi

f ∈ L∞_{(µ) dengan tumpuan kompak bersifat padat di L}p_(µ).

penting dalam pembuktian keterbatasan operator integral fraksional In α di

ru-ang Lebesgue tak homogen.

Teorema 2.5. (Ketaksamaan Hedberg). Diberikan 0 < α < n dan f fungsi terbatas dengan tumpuan kompak. Maka untuk 1 ≤ p < n

α berlaku

|I_αnf (x)| ≤ Ckf kpαn

Lp_(µ)Mnf (x)1− pα

n .

Bukti. Ambil sebarang t > 0, maka

|I_αnf (x)| ≤ Z |x−y|<t |f (y)| |x − y|n−α dµ(y) | {z } A + Z |x−y|≥t |f (y)| |x − y|n−α dµ(y) | {z } B .

Akan dicari batas untuk masing-masing suku di atas yaitu A dan B. Untuk suku pertama, A, berlaku

A = Z |x−y|<t |f (y)| |x − y|n−α dµ(y) = ∞ X k=0 Z 2−k−1_{t≤|x−y|≤2}−k_t |f (y)| |x − y|n−α dµ(y) ≤ 2n−αtα ∞ X k=0 2−kα (2−k_t)n Z Q(x,2−k_t) |f (y)| dµ(y) ≤ 2n−αtα ∞ X k=0 2−kαMnf (x) = Ctα_Mn_{f (x).}

Selanjutnya untuk suku kedua yaitu B pertama kita perhatikan untuk kasus p = 1 sebagai berikut B = Z |x−y|≥t |f (y)| |x − y|n−α dµ(y) ≤ 1 tn−α Z |x−y|≥t |f (y)| dµ(y) ≤ t−(n−α)_{kf k} L1_(µ).

Untuk kasus 1 < p < n

α, pilih β = p0(n − α) − n, dimana p0 adalah pangkat

sekawan dari p yaitu 1

p +

1

p0 = 1. Maka β > 0, dan dengan menggunakan

ketaksamaan H¨older diperoleh B = Z |x−y|≥t |f (y)| |x − y|n−α dµ(y) ≤ µZ |x−y|≥t |f (y)|p _dµ(y) ¶1 pµZ |x−y|≥t dµ(y) |x − y|p0_(n−α) ¶1 p0 = kf kLp_(µ) µZ |x−y|≥t dµ(y) |x − y|p0_(n−α) ¶1 p0 = kf kLp_(µ) à ∞ X k=0 Z 2k_{t≤|x−y|≤2}k+1_t dµ(y) |x − y|n+β !1 p0 ≤ kf kLp_(µ) à _∞ X k=0 µ¡Q(x, 2k+1_t)¢ (2k_t)n+β !1 p0 ≤ C kf kLp_(µ)2 n p0 t− β p0 à _∞ X k=0 2−kβ !1 p0 = Ckf kLp_(µ)t− β p0 = Ct−(np−α)kfk Lp_(µ).

Jika dipilih p = 1 dan C = 1, maka diperoleh ketaksamaan yang sama dengan kasus p = 1 di atas. Dengan demikian kita memperoleh untuk 1 ≤ p < n α berlaku |In αf (x)| ≤ A + B ≤ C ³ tα_Mn_{f (x) + t}−(n_p−α)kfk Lp_(µ) ´

untuk setiap t > 0. Selanjutnya dengan memilih t = µ Mn_{f (x)} kf kLp_(µ) ¶₋p n > 0

dan mensubstitusikannya ke dalam ketaksamaan terakhir, diperoleh

|I_αnf (x)| ≤ C õ Mn_{f (x)} kf kLp_(µ) ¶₋p n !_α Mnf (x) + C õ Mn_{f (x)} kf kLp_(µ) ¶₋p n !₋₍n p−α) kf kLp_(µ)

= C  Mnf (x)− pα n Mnf (x) kf k−pαn Lp_(µ) +M n_{f (x)}−pα_n+1 kf k−pαn+1 Lp_(µ) kf kLp_(µ)   = C  Mnf (x)1− pα n kf k−pαn Lp_(µ)   = C kf kpαn Lp_(µ)Mnf (x)1− pα n.

Dengan menggunakan fakta bahwa fungsi maksimal Mn_{f terbatas di L}p_(µ),

maka bukti selesai.

Sekarang akan diperlihatkan bahwa operator integral fraksional In

α bersifat

terbatas dari Lp_{(µ) ke L}q_{(µ) untuk suatu q > p.}

Teorema 2.6. Diberikan 0 < α < n. 1. Operator In

α terbatas dari Lp(µ) ke Lq(µ) untuk 1 ≤ p < nα dan 1q = 1p−αn.

2. Jika 1 q = 1 − αn, maka berlaku µ©x ∈ Rd_{: |I} αf (x)| > λ ª ≤ µ C kf kL1_(µ) λ ¶q . Bukti.

1. Dari Ketaksamaan Hedberg diperoleh |In αf (x)| ≤ Ckf k pα n Lp_(µ)Mnf (x)1− pα n yang berakibat µZ Rd |I_αnf (x)|q dµ(x) ¶1 q ≤ Ckf kp αn Lp_(µ) µZ Rd |Mnf (x)|q(1−pαn) dµ(x) ¶1 q = Ckf kp αn Lp_(µ) µZ Rd |Mnf (x)|p dµ(x) ¶1 q = Ckf kp αn Lp_(µ) µZ Rd |Mnf (x)|p dµ(x) ¶1 p p q = Ckf kp αn Lp_(µ)kMnf k p q Lp_(µ)

≤ Ckf kp αn Lp_(µ)kf k p q Lp_(µ) = Ckf k p α n + p q Lp_(µ) = Ckf kLp_(µ). Jadi berlaku kI_αnf kLq_(µ)≤ Ckf k_Lp_(µ).

Dengan kata lain terbukti In

α terbatas dari Lp(µ) ke Lq(µ).

2. Untuk p = 1, Ketaksamaan Hedberg memberikan |In αf (x)| ≤ Ckf k α n L1_(µ)Mnf (x)1− α n = Ckf kαn L1_(µ)Mnf (x) 1 q.

Menggunakan fakta bahwa Mn _{merupakan operator tipe lemah (1, 1),}

diper-oleh µ©x ∈ Rd : |Iαf (x)| > λ ª ≤ µ   x ∈ R d_{: M}n_{f (x) >}   λ Ckf kαn L1_(µ)   q   ≤  C kf k α n L1_(µ) λ   q_Z Rd |f (x)| dµ(x) =  C kf k α n L1_(µ) λ   q kf kL1_(µ) = µ C kf kL1_(µ) λ ¶_q . Ini merupakan ketaksamaan yang ingin dibuktikan.

2.3

Keterbatasan Operator I

n

α

di Ruang

Mor-rey Tak Homogen yang Diperumum

Pada bagian ini akan dibuktikan keterbatasan operator In

α dari Mp,φ(µ) ke

tertentu. Terlebih dahulu akan diingat kembali mengenai ruang Morrey tak homogen yang diperumum.

Diberikan f sebarang fungsi terukur-µ, dengan µ ukuran Borel pada Rd _yang

memenuhi kondisi growth dan 1 ≤ p < ∞. Ruang Lebesgue tak homogen lokal, Lp_loc(µ), adalah ruang kelas-kelas ekuivalen fungsi terukur-µ f sehingga untuk setiap subhimpunan kompak K di Rd _berlaku

Z

K

|f (y)|p _{dµ(y) < ∞.}

Khususnya jika f ∈ L1

loc(µ) maka f disebut fungsi yang terintegral-µ secara

lokal di Rd_{. Jelas bahwa L}p_{(µ) ⊂ L}p

loc(µ) untuk 1 ≤ p < ∞ (lihat Jones [7]).

Pada Gunawan and Eridani [6], diperkenalkan pengertian ruang Morrey yang diperumum. Terilhami oleh hal tersebut, selanjutnya akan didefinisikan penger-tian ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Misalkan diketahui fungsi φ : (0, ∞) → (0, ∞) merupakan fungsi yang memenuhi kondisi doubling, yaitu terdapat C > 0 sehingga 1 C ≤ φ(s) φ(t) ≤ C, apabila 1

2 ≤ st ≤ 2. Pertama perhatikan bahwa untuk setiap fungsi φ yang

memenuhi kondisi doubling berlaku Z ₂k+1_r

2k_r

φ(t)

t dt ∼ φ(2

k_r)

untuk setiap bilangan bulat k dan r > 0. Hal ini dapat dilihat sebagai berikut. Karena φ memenuhi kondisi doubling maka terdapat C > 0 sehingga

1 C ≤ φ(t) φ(2k_r) ≤ C apabila t ∈ [2k_{r, 2}k+1_{r]. Jadi} 1 Cφ(2 k_{r) ≤ φ(t) ≤ Cφ(2}k_r), yang berarti 1 C φ(2k_r) 2k_r ≤ φ(t) t ≤ C φ(2k_r) 2k_r .

Dengan mengintegralkan ketaksamaan ini pada [2k_{r, 2}k+1_{r] yaitu} Z ₂k+1_r 2k_r 1 C φ(2k_r) 2k_r dt ≤ Z ₂k+1_r 2k_r φ(t) t dt ≤ Z ₂k+1_r 2k_r Cφ(2kr) 2k_r dt maka diperoleh K1φ(2kr) ≤ Z ₂k+1_r 2k_r φ(t) t dt ≤ K2φ(2 k_r)

dengan K1 dan K2 konstanta positif. Dengan demikian, disimpulkan untuk

setiap bilangan bulat k dan r > 0 berlaku Z ₂k+1_r

2k_r

φ(t)

t dt ∼ φ(2

k_r).

Untuk 1 ≤ p < ∞ dan fungsi φ seperti tersebut di atas, ruang Morrey tak homogen yang diperumum Mp,φ_{(µ) didefinisikan sebagai ruang dari semua}

fungsi f ∈ Lp_loc(µ) sehingga kf k_Mp,φ_(µ):= sup r>0 1 φ(r) µ 1 rn Z Q(x,r) |f (y)|p _dµ(y) ¶1 p < ∞ dan untuk p = ∞ kf kM∞,φ_(µ) := sup Q(x,r) 1 φ(Q) kf kL∞(Q).

Berikut diberikan hubungan ruang-ruang Morrey tak homogen yang diperu-mum.

Lema 2.7. Apabila 1 < p < q < ∞ maka

M∞,φ_{(µ) ⊆ M}q,φ_{(µ) ⊆ M}p,φ_{(µ) ⊆ M}1,φ_(µ).

Bukti. Misalkan p0 _{adalah pangkat sekawan dari p, yaitu} 1

p + p10 = 1 dan

Q sebarang kubus di Rd_{, maka dengan menggunakan ketaksamaan H¨older}

diperoleh Z Q |f (y)| dµ(y) ≤ µZ Q |f (y)|p dµ(y) ¶1 pµZ Q dµ(y) ¶1 p0

≤ µZ Q |f (y)|p _dµ(y) ¶1 p (µ(Q))p01 ≤ µZ Q |f (y)|p _dµ(y) ¶1 p (C rn₎₎p01 Jadi 1 rn Z Q |f (y)| dµ(y) ≤ C µ 1 rn Z Q |f (y)|p _dµ(y) ¶1 p

Ketaksamaan di atas menunjukkan bahwa Mp,φ_{(µ) ⊆ M}1,φ_{(µ). Selanjutnya}

karena 1 < q_p < ∞, maka 1 rn Z Q |f (y)| dµ(y) ≤ C µ 1 rn Z Q |f (y)|qp dµ(y) ¶p q . Tulis f = |g|p_{, maka} 1 rn Z Q |g(y)|p dµ(y) ≤ C µ 1 rn Z Q |g(y)|q dµ(y) ¶p q atau _µZ Q |g(y)|p dµ(y) ¶1 p ≤ C µ 1 rn Z Q |g(y)|q dµ(y) ¶1 q . Ini berarti Mq,φ_{(µ) ⊆ M}p,φ_(µ).

Untuk melihat bahwa M∞,φ_{(µ) ⊆ M}q,φ_{(µ), perhatikan ketaksamaan}

µ 1 rn Z Q |g(y)|q _dµ(y) ¶1 q ≤ C µ 1 rn Z Q kgkq_L∞_(µ) dµ(y) ¶1 q ≤ C kgkL∞_(µ).

Perhatikan bahwa untuk φ(t) = tλ−np , 0 ≤ λ ≤ n, akan diperoleh

Mp,φ(µ) = Lp,λ(µ)

— ruang Morrey tak homogen (klasik) (lihat Bab 1 Pendahuluan). Ingat kembali khususnya untuk λ = 0, yaitu φ(t) = t−np maka didapat Mp,φ(µ) =

M∞,φ_{(µ) = L}∞_{(µ). Jadi ruang Morrey tak homogen yang diperumum terkait}

dengan suatu fungsi tak naik φ(t) sehingga φ(t) → ∞ untuk t → 0.

Sekarang akan dibuktikan keterbatasan operator integral fraksional di ruang Morrey tak homogen yang diperumum.

Teorema 2.8. Misalkan fungsi φ memenuhi kondisi doubling dan untuk setiap r > 0 berlaku _Z

∞ r

tα−1_{φ(t) dt ≤ Cr}α_φ(r),

serta fungsi ψ memenuhi rα_{φ(r) ≤ C}

1ψ(r) untuk setiap r, dengan C1 tidak

bergantung pada r. Maka, untuk 1 ≤ p < n

α dan 1q = 1p − αn, terdapat C > 0

sehingga berlaku

kIn

αf kMq,ψ_(µ)≤ C kf k_Mp,φ_(µ).

Bukti. Untuk a ∈ Rd _{dan r > 0, tulis Q = Q(a, r) dan ˜Q = Q(a, 2r) dan}

f = f1+ f2 = f χ_Q˜ + f χ_Q˜c. Karena kf1kLp_(µ) = µZ Rd |f1(x)|p dµ(x) ¶1 p = µZ ˜ Q |f (x)|p dµ(x) ¶1 p = (2r)npφ(r) 1 φ(r) µ 1 (2r)n Z ˜ Q |f (x)|p _dµ(x) ¶1 p ≤ C(2r)npφ(r)kf k Mp,φ_(µ) < ∞,

maka f1 ∈ Lp(µ). Selanjutnya untuk x ∈ Q

µZ Q |I_αnf1(x)|q dµ(x) ¶1 q ≤ kI_αnf1kLq_(µ)

≤ C kf1kLp_(µ) ≤ C (2r)npφ(r) kf k Mp,φ_(µ), sehingga diperoleh µ 1 rn Z Q |I_αnf1(x)|q dµ(x) ¶1 q ≤ Crnp− n qφ(r)kf k Mp,φ_(µ) ≤ Crα_{φ(r)kf k} Mp,φ_(µ) ≤ CC1ψ(r)kf kMp,φ_(µ) atau 1 ψ(r) µ 1 rn Z Q |I_αnf1(x)|q dµ(x) ¶1 q ≤ Ckf kMp,φ_(µ). Akibatnya kI_αnf1kMq,ψ_(µ)≤ Ckf k_Mp,φ_(µ). (2.3)

Selanjutnya diperoleh estimasi untuk In

αf2 sebagai berikut. |In αf2(x)| ≤ Z ˜ Qc |f (y)| |x − y|n−α dµ(y) ≤ Z |x−y|≥r |f (y)| |x − y|n−α dµ(y) ≤ ∞ X k=0 Z 2k_{r≤|x−y|≤2}k+1_r |f (y)| |x − y|n−α dµ(y) ≤ ∞ X k=0 1 (2k_r)n−α Z Q(a,2k+1_r) |f (y)| dµ(y) = ∞ X k=0 (2k_r)α µ 1 (2k_r)n Z Q(a,2k+1_r) |f (y)| dµ(y) ¶ . Dengan menggunakan ketaksamaan H¨older, diperoleh

µ 1 (2k_r)n Z Q(a,2k+1_r) |f (y)| dµ(y) ¶ ≤ µ 1 (2k_r)n Z Q(a,2k+1_r) |f (y)| dµ(y) ¶1 p µ 1 (2k_r)n Z Q(a,2k+1_r) dµ(y) ¶₁₋1 p .

Jadi berlaku |In αf2(x)| ≤ C ∞ X k=0 (2k_r)α µ 1 (2k+1_r)n Z Q(a,2k+1_r) |f (y)| dµ(y) ¶1 p µ 1 (2k+1_r)n Z Q(a,2k+1_r) dµ(y) ¶₁₋1 p = C ∞ X k=0 (2k_r)α µ 1 (2k+1_r)n Z Q(a,2k+1_r) |f (y)| dµ(y) ¶1 p µ µ(Q(a, 2k+1_r)) (2k+1_r)n ¶1−1 p ≤ C ∞ X k=0 (2k_r)α µ 1 (2k+1_r)n Z Q(a,2k+1_r) |f (y)| dµ(y) ¶1 p ≤ C ∞ X k=0 (2k_r)α_φ(2k+1_{r)kf k} Mp,φ_(µ) ≤ Ckf kMp,φ_(µ) ∞ X k=0 (2kr)αφ(2kr). Karena φ dan tα _{memenuhi kondisi doubling, maka}

(2k_r)α_φ(2k_{r) ∼} Z ₂k+1_r 2k_r tα_φ(t) t dt = Z ₂k+1_r 2k_r tα−1_{φ(t) dt} sehingga ∞ X k=0 Z ₂k+1_r 2k_r tα−1_{φ(t) dt =} Z _∞ r tα−1_{φ(t) dt.} Jadi berlaku |In αf2(x)| ≤ Ckf kMp,φ_(µ) Z _∞ r tα−1_{φ(t) dt} ≤ Crα_{φ(r)kf k} Mp,φ_(µ). Maka diperoleh µ 1 rn Z Q |In αf2(x)|q dµ(x) ¶1 q ≤ Crα−nqφ(r) kf k Mp,φ_(µ) µZ Q dµ(x) ¶1 q = Crα−npφ(r) kf k Mp,φ_(µ) (µ(Q)) 1 q

≤ Crαφ(r) kf kMp,φ_(µ) ≤ Cψ(r) kf kMp,φ_(µ) atau 1 ψ(r) µ 1 rn Z Q |I_αnf2(x)|q dµ(x) ¶1 q ≤ C kf kMp,φ_(µ). Akibatnya kIn αf2kMq,ψ_(µ)≤ C kf k_Mp,φ_(µ). (2.4)

Dengan demikian dari (2.4), (2.5), dan ketaksamaan Minkowski diperoleh kIn

αf kMq,ψ_(µ)≤ C kf k_Mp,φ_(µ).

Ini berarti bahwa operator In

Bab 3

Ketaksamaan Olsen di Ruang

Tak Homogen

3.1

Ketaksamaan Olsen di Ruang L

p

(µ)

Pada bab ini akan dibahas ketaksamaan Olsen di ruang Lp_{(µ) dan M}p,φ_(µ).

Untuk suatu untuk suatu fungsi W pada Rd _{akan ditunjukkan keterbatasan}

operator W Iαdi ruang Lp(µ) dan di ruang Mp,φ(µ). Pertama diberikan

ketak-samaan Olsen di ruang Lp_{(µ) yang buktinya cukup sederhana, yaitu dengan}

memanfaatkan keterbatasan operator In

α dari Lp(µ) ke Lq(µ) untuk q = n−αpnp .

Teorema 3.1. (Ketaksamaan Olsen) Untuk 1 ≤ p < n

α berlaku kW I_αnf kLp_(µ) ≤ C kW k Lnα_(µ)kf kLp(µ) yaitu W In α terbatas di Lp(µ), apabila W ∈ L n α(µ).

Bukti. Ambil sebarang y ∈ Rd_{, dan selanjutnya dengan menggunakan}

ketak-samaan H¨older diperoleh Z Rd |W In αf (y)|p dµ(y) ≤ µZ Rd |W (y)|q−ppq dµ(y) ¶q−p q µZ Rd |In αf (y)|q dµ(y) ¶p q

dengan 1

q = 1p − αn. Apabila diambil akar pangkat p pada kedua ruas

ketak-samaan dan dengan memperhatikan bahwa pq q−p = n α, maka didapatkan µZ Rd |W In αf (y)|p dµ(y) ¶1 p ≤ µZ Rd |W (y)|αn dµ(y) ¶α nµZ Rd |In αf (y)|q dµ(y) ¶1 q atau kW I_αnf kLp_(µ)≤ kW k Lnα_(µ)kI n αf kLq_(µ).

Karena operator integral fraksional In

α terbatas dari Lp(µ) ke Lq(µ) untuk

q = _n−αpnp , maka didapatkan kW In

αf kLp_(µ) ≤ kW k

Lnα(µ)kIαnf kLq_(µ)≤ C kW k

Lnα(µ)k f kLp(µ).

3.2

Ketaksamaan Olsen di Ruang M

p,φ

_(µ)

Pada bagian ini akan dibuktikan perumuman Teorema 3.1 yaitu ketaksamaan Olsen di ruang Mp,φ_{(µ). Bukti dari teorema ini serupa dengan bukti}

keter-batasan operator In

α di ruang Morrey tak homogen yang diperumum (lihat

Teorema 2.8).

Teorema 3.2. (Ketaksamaan Olsen) Misalkan φ memenuhi kondisi

dou-bling dan _Z

∞ r

tα−1_{φ(t) dt ≤ Cr}α_φ(r).

Maka, untuk 1 ≤ p < n

α dan 1q = 1p − αn terdapat C > 0 sehingga berlaku

kW In

αf kMp,φ_(µ)≤ CkW k

Lnα_(µ)kf kMp,φ(µ)

dengan W ∈ Lnα(µ).

Bukti. Untuk a ∈ Rd _{dan r > 0, tulis Q = Q(a, r), ˜Q = Q(a, 2r) dan}

Jadi f1 ∈ Lp(µ) dan berlaku kf1kLp_(µ)= µZ Rd |f1(y)|p dµ(y) ¶1 p = µZ ˜ Q |f (y)|p _dµ(y) ¶1 p = (2r)npφ(r) 1 φ(r) µ 1 (2r)n Z ˜ Q |f (y)|p _dµ(y) ¶1 p ≤ C(2r)npφ(r)kf k Mp,φ_(µ). Karena µZ Q |W In αf1(y)|p dµ(y) ¶1 p ≤ kW In αf1kLp_(µ) ≤ kW k_Ln α_(µ)kI n αf1kLq_(µ) ≤ C kW k_Ln α_(µ)kf1kLp(µ) ≤ C (2r)npφ(r)kW k Lnα_(µ)kf kMp,φ(µ), maka diperoleh 1 φ(r) µ 1 (2r)n Z Q |W In αf1(y)|p dµ(y) ¶1 p ≤ C kW k_Ln α_(µ)kf kMp,φ(µ), dan akibatnya kW I_αnf1kMp,φ_(µ)≤ C kW k Lαn_(µ)kf kMp,φ(µ). (3.1)

Selanjutnya untuk x ∈ Q berlaku |In αf2(x)| ≤ Z ˜ Qc |f (y)| |x − y|n−α dµ(y) ≤ Z |x−y|≥r |f (y)| |x − y|n−α dµ(y) ≤ ∞ X k=0 Z 2k_{r≤|x−y|≤2}k+1_r |f (y)| |x − y|n−α dµ(y) ≤ ∞ X k=0 1 (2k_r)n−α Z Q(a,2k+1_r) |f (y)| dµ(y)

= ∞ X k=0 (2k_r)α µ 1 (2k_r)n Z Q(a,2k+1_r) |f (y)| dµ(y) ¶ . Dengan menggunakan ketaksamaan H¨older diperoleh

µ 1 (2k_r)n Z Q(a,2k+1_r) |f (y)| dµ(y) ¶ ≤ µ 1 (2k_r)n Z Q(a,2k+1_r) |f (y)| dµ(y) ¶1 p µ 1 (2k_r)n Z Q(a,2k+1_r) dµ(y) ¶₁₋1 p . Jadi berlaku |In αf2(x)| ≤ C ∞ X k=0 (2k_r)α µ 1 (2k+1_r)n Z Q(a,2k+1_r) |f (y)| dµ(y) ¶1 p µ 1 (2k+1_r)n Z Q(a,2k+1_r) dµ(y) ¶₁₋1 p = C ∞ X k=0 (2k_r)α µ 1 (2k+1_r)n Z Q(a,2k+1_r) |f (y)| dµ(y) ¶1 p µ µ(Q(a, 2k+1_r)) (2k+1_r)n ¶₁₋1 p ≤ C ∞ X k=0 (2kr)α µ 1 (2k+1_r)n Z Q(a,2k+1_r) |f (y)| dµ(y) ¶1 p ≤ C ∞ X k=0 (2k_r)α_φ(2k+1_{r)kf k} Mp,φ_(µ) ≤ C kf k_Mp,φ_(µ) ∞ X k=0 (2k_r)α_φ(2k_r).

Karena φ dan tα _{memenuhi kondisi doubling, maka}

(2k_r)α_φ(2k_{r) ∼} Z ₂k+1_r 2k_r tα_φ(t) t dt = Z ₂k+1_r 2k_r tα−1_{φ(t) dt} sehingga ∞ X k=0 Z ₂k+1_r 2k_r tα−1_{φ(t) dt =} Z _∞ r tα−1_{φ(t) dt.} Jadi berlaku |In αf2(x)| ≤ C kf kMp,φ_(µ) Z _∞ r tα−1_{φ(t) dt}

≤ C rαφ(r)kf kMp,φ_(µ).

Oleh karena itu diperoleh 1 φ(r) µ 1 rn Z Q |W In αf2(x)|p dµ(x) ¶1 p ≤ C (r)α−np kf k Mp,φ_(µ) µZ Q |W (x)|p _dµ(x) ¶1 p ≤ C (r)α−np kf k Mp,φ_(µ) µZ Q |W (x)|nα dµ(x) ¶α n µZ Q dµ(x) ¶1 q = C (r)α−np kf k Mp,φ_(µ)kW k Lnα (µ(Q)) 1 q ≤ C (r)α−np+ n q kf k Mp,φ_(µ)kW k Lnα ≤ C kW k_Ln α kf kMp,φ(µ), dan akibatnya kW In αf2kMp,φ_(µ)≤ C kW k_Lαn_(µ)kf k_Mp,φ_(µ). (3.2)

Dengan demikian dari (3.1), (3.2), dan ketaksamaan Minkowski, diperoleh

kW In

Bab 4

Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya diperoleh bahwa hasil utama yang dibicarakan dalam tesis ini adalah keterbatasan operator In

α di

ruang Morrey tak homogen yang diperumum, yang tertuang pada Teorema 2.8. Untuk membuktikan sifat ini dipergunakan hasil dari Garcia-Cuerva dan Martell [5] yaitu operator In

α terbatas dari Lp(µ) ke Lq(µ) untuk q = n−αpnp , dan

dalam pembuktiannya keterbatasan operator maksimal Mn _{di ruang L}p_(µ)

memegang peranan yang penting. Terilhami oleh hasil Gunawan and Eridani [6] tentang ketaksamaan Olsen di Lp _{dan M}p,φ_{, dapat dibuktikan ketaksamaan}

Olsen di ruang Lp_{(µ) dan M}p,φ_{(µ). Kedua hasil ini berturut-turut tertuang}

di dalam Teorema 3.1 dan Teorema 3.2. Di sini tampak bahwa konsep kunci dalam penurunan hasil-hasil tersebut adalah ukuran growth yang mendefinisi-kan ruang tak homogen Lp_{(µ) dan M}p,φ_(µ).

Semua hasil ini mengukuhkan bahwa kondisi doubling di dalam Analisis Fourier khususnya operator integral bukanlah hal yang esensial, yaitu dapat diganti dengan kondisi growth. Hal ini sejalan dengan hasil dari Garcia-Cuerva and Gatto [4], Garcia-Cuerva and Martell [5], dan Nazarov et al. [10] tentang operator integral fraksional di ruang tak homogen.

Daftar Pustaka

[1] F. Chiarenza and M. Frasca (1987), ”Morrey spaces and Hardy-Littlewood maximal function”, Rend. Mat. 7, 273-279.

[2] J. Duoandikoetxea (2001), Fourier Analysis, Graduate Studies in Math, 29, AMS, Providence, Rhode Island.

[3] G. B. Folland (1992), Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth and Brooks/Cole Advanced Book and Software, Pasivic Grove, Califor-nia.

[4] J. Garcia-Cuerva and A. E. Gatto (2004), ”Boundedness properties of fractional integral operators associated to non-doubling measures”, Stu-dia Math 162, no. 3, 245-261.

[5] J. Garcia-Cuerva and J. M. Martell (2001), ”Two weight norm inequali-ties for maximal operators and fractional integrals on non-homogeneous spaces”, Indiana University Mathematics Journal 50, no. 3, 1241-1280. [6] H. Gunawan and Eridani, ”Fractional integral and generalized Olsen

in-equalities”, to appear in Kyungpook Math. J.

[7] F. Jones (1993), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett Publishers Inc., Boston-London.

[8] S. G. Krantz (1999), A Panorama of Harmonic Analysis, The Carus Mathematical Monographs, no. 27, The Mathematical Association of America, USA.

[9] E. H. Lieb and M. Loss (1997), Analysis, Graduate Studies in Math, 14, AMS, Providence, Rhode Island.

[10] F. Nazarov, S. Treil, and A. Volberg (1998), ”Weak type estimates and Cotlar inequalities for Calderon- Zygmund operators on non-homogeneous spaces”, Internat. Math. Res. Notices, no. 9, 463-487. [11] J. Peetre (1969), ”On the theory of Lp,λ spaces”, Journal of Functional

Analysis, no. 4, 71-87.

[12] I. Sihwaningrum dan H.P. Suryawan (2008), ”Operator integral fraksio-nal dan ketaksamaan Olsen di ruang Lebesgue tak homogen”, Makalah dipresentasikan pada Simposium Analisis dan Aplikasinya, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.

[13] E. M. Stein (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

[14] E. M. Stein (1993), Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogo-nality, and Oscilatory Integrals, Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

[15] C. T. Zorko (1986), ”Morrey Space”, Proceeding of the American Ma-thematical Society, volume 98 no. 4, 586-592.