PENGUJIAN HIPOTESIS PADA REGRESI
KUANTIL
Nurwahida Astari, Amran, Andi Kresna Jaya Departemen Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin E-mail: nurwahida.astari95yahoo.co.id
Abstrak
Umumnya, pengujian hipotesis pada analisis regresi didasarkan pada asumsi error berdistribusi normal dengan 𝜇 = 0 dan variansi 𝜎2. Namun, asumsi error berdistribusi normal tidak dipenuhi pada kelompok data dengan bentuk distribusi tidak simetris. Salah satu metode analisis untuk data yang berdistribusi tidak simetris adalah regresi kuantil. Pengujian hipotesis pada regresi kuantil menjadi suatu masalah penting yang perlu diatasi. Tugas akhir ini membahas tentang pengujian hipotesis pada regresi kuantil menggunakan uji Wald. Estimasi parameter menggunakan metode interior point dengan algoritma Frisch-Newton. Ditunjukkan bahwa distribusi asimtotik estimator berdistribusi normal (0, 𝑊0). Dari distribusi asimtotik tersebut diperoleh fungsi sparsity. Rumusan fungsi sparsity digunakan untuk mengkonstruksi statistik uji Wald yang berdistribusi chi-square dengan derajat bebas 𝑛. Aplikasi pengujian hipotesis pada regresi kuantil menggunakan kuantil atas menunjukkan bahwa Sea Surface Temperature (SST) Niño 3.4 memberikan pengaruh yang signifikan terhadap curah hujan di Kota Makassar pada kuantil 0.75, 0.80, 0.85, 0.90, dan 0.95.
Kata Kunci: Regresi Kuantil, Interior Point, Asimtotik Distribusi Normal, Fungsi Sparsity, Uji Wald, Curah Hujan, SST Niño 3.4.
Pendahuluan
Analisis regresi dalam ilmu statistika merupakan salah satu metode statistik yang digunakan untuk melihat apakah ada hubungan yakni sebab dan akibat antara dua atau lebih variabel. Variabel dibagi menjadi dua jenis yaitu variabel terikat dan variable bebas. Analisis regresi memerlukan suatu metode untuk estimasi parameter yang memenuhi sifat Best Liniear Unbiased Estimator (BLUE). Salah satu metode estimasi yang sering digunakan adalah Ordinary Least Square (OLS). Analisis regresi menggunakan metode OLS berdasarkan pada fungsi mean. Perkembangan metode estimasi parameter model dengan data berdistribusi tidak simetris dimulai dengan metode Least Absolute Deviation (LAD) dan dikenal sebagai regresi kuantil median. Nilai estimasi parameter dengan menggunakan metode LAD dapat diperoleh dengan meminimumkan jumlah nilai mutlak dari error. Selain regresi kuantil median dikenal juga regresi kuantil.
Regresi kuantil adalah salah satu metode regresi dengan memisahkan atau membagi data menjadi kuantil-kuantil tertentu dimana diduga terdapat perbedaan nilai estimasi. Regresi kuantil pertama kali diperkenalkan oleh Koenker dan Basset (1978). Rahmawati dkk (2011) meneliti regresi kuantil mengenai studi kasus pada data suhu harian. Navianti (2014) membahas mengenai regresi kuantil untuk pemodelan tingkat pengangguran terbuka di Indonesia. Rahmawati dkk (2011) hanya berfokus pada estimasi parameter regresi kuantil dan Navianti (2014) berfokus pada selang kepercayaan pada regresi kuantil.
Regresi kuantil sangat berguna untuk data dengan distribusi tidak simetris, dalam bidang meteorologi dapat diterapkan pada data curah hujan, temperatur, dan perubahan iklim. Data curah hujan merupakan data musiman, sehingga pada waktu tertentu (Desember, Januari, Februari) terjadi hujan lebat. Kejadian Hujan lebat dapat dimodelkan dengan menggunakan analisis regresi kuantil bagian atas, khususnya untuk nilai ekstrem. Kombinasi dari setiap nilai kuantil dapat menjelaskan pola keseluruhan data sehingga bermanfaat untuk menganalisa bagian tertentu dari sebaran bersyarat.
Pengujian hipotesis merupakan hal yang penting dalam tahapan analisis regresi. Pengujian hipotesis pada analisis regresi didasarkan pada asumsi error berdistribusi normal dengan 𝜇 = 0 dan variansi 𝜎2 dengan data yang berdistribusi
simetris. Asumsi error tersebut umumnya tidak dipenuhi pada data kuantil atas yang berdistribusi tidak simetris. Berdasarkan asumsi tersebut penulis tertarik untuk membahas “Pengujian Hipotesis pada Regresi Kuantil”.
Regresi Kuantil
Misalnya 𝑌 merupakan suatu variabel acak dengan suatu fungsi distribusi 𝐹𝑌 dan 𝜏 merupakan konstanta dimana 0 < 𝜏 < 1. Kuantil ke- 𝜏 dari 𝐹𝑌,
dinotasikan sebagai 𝑞𝑌(𝜏) merupakan solusi untuk 𝐹𝑌(𝑞) = 𝜏, adalah sebagai berikut:
𝑞𝑦(𝜏) ≔ 𝐹𝑦−1(𝜏) = inf {𝑦 ∶ 𝐹
𝑌(𝑦) ≥ 𝜏}.
Seperti halnya dengan suatu metode OLS yang digunakan sebagai meminimumkan jumlah kuadrat error (sisaan) untuk menentukan suatu nilai parameter 𝛽, maka dalam analisis regresi kuantil, kuantil ke- 𝜏 dari 𝐹𝑌 dapat diperoleh dengan
meminimumkan suatu fungsi berikut ini terhadap 𝑞:
𝜏 ∫ |𝑦 − 𝑞|𝑑𝐹𝑌(𝑦) + (1 − 𝜏) ∫ |𝑦 − 𝑞|𝑑𝐹𝑌(𝑦) 𝑦<𝑞 𝑦>𝑞 = 𝜏 ∫ (𝑦 − 𝑞)𝑑𝐹𝑌(𝑦) − (1 − 𝜏) 𝑦>𝑞 ∫ (𝑦 − 𝑞)𝑑𝐹𝑌(𝑦) 𝑦<𝑞 . (1)
Dengan meminimumkan fungsi persamaan (1), dapat diperoleh persamaan berikut ini: 0 = −𝜏 ∫ 𝑑𝐹𝑌(𝑦) + (1 − 𝜏) ∫ 𝑑𝐹𝑌(𝑦) 𝑦<𝑞 𝑦>𝑞 0 = −𝜏[1 − 𝐹𝑌(𝑞)] + (1 − 𝜏)𝐹𝑌(𝑞) 0 = −𝜏 + 𝐹𝑌(𝑞) sehingga diperoleh: 𝜏 = 𝐹𝑌(𝑞), (2)
sehingga persamaan (2) merupakan kuantil ke- 𝜏 adalah solusi dari 𝐹𝑌.
Misalkan 𝑌 sebagai suatu fungsi dari 𝑋 yang telah diketahui, yang memiliki peluang yaitu 𝐹𝑌|𝑋(𝑦), maka kuantil ke- 𝜏 dari fungsi tersebut dapat dituliskan sebagai 𝑄𝑌|𝑋(𝜏) ≔ 𝐹𝑌|𝑋−1(𝜏). 𝑄
𝑌|𝑋(𝜏) ini merupakan suatu fungsi dari 𝑋 dan dapat
min
𝑞 [𝜏 ∫ |𝑦 − 𝑞|𝑑𝐹𝑦(𝑦) + (1 − 𝜏) ∫ |𝑦 − 𝑞|𝑑𝐹𝑦(𝑦) 𝑦<𝑞
𝑦>𝑞
]. (3) Jika 𝑄𝑌|𝑋(𝜏) adalah fungsi linier 𝑿𝜷, dengan vektor parameter 𝛽 yang tidak
diketahui, sehingga persamaan (3) menjadi: min
𝛽 [𝜏 ∫𝑦>𝑋𝛽|𝑦 − 𝑋𝛽|𝑑𝐹𝑌(𝑦) + (1 − 𝜏) ∫𝑦<𝑋𝛽|𝑦 − 𝑋𝛽|𝑑𝐹𝑌(𝑦)] . (4)
Solusi dari persamaan (4) ini dinotasikan sebagai 𝛽0 dan kuantil 𝑌 (sebagai fungsi dari 𝑋) ke- 𝜏 adalah 𝑄𝑌|𝑋(𝜏) = 𝑋𝛽0 (Kuan, 2007).
𝑄𝑌|𝑋(𝜏) = 𝑥𝑡𝛽 adalah kuantil ke-𝜏 (0 < 𝜏 < 1) yang nilai 𝑦 tergantung terhadap 𝑥𝑡. Suatu nilai estimasi terhadap 𝛽 dari regresi kuantil ke-𝜏 diperoleh dengan meminimumkan jumlah nilai mutlak dari error dengan pembobot 𝜏 untuk
error positif dan pembobot (1 − 𝜏) untuk error negatif adalah:
𝛽̂(𝜏) = arg min 𝛽 {𝜏 ∑ |𝑦𝑡− 𝑥𝑡𝛽| + (1 − 𝜏) ∑ |𝑦𝑡− 𝑥𝑡𝛽| 𝑡:𝑦𝑡<𝑥𝑡 𝑡:𝑦𝑡≥𝑥𝑡 } (5) atau 𝛽̂(𝜏) = arg min 𝛽 ∑ 𝜌𝜏(𝑢𝑖) 𝑛 𝑖=1 (6) untuk: 𝜌𝜏(𝑢𝑖) = { 𝜏𝑢𝑖 jika 𝑢𝑖 ≥ 0 (𝜏 − 1)𝑢𝑖 jika 𝑢𝑖 < 0
Solusi dari persamaan (5) atau (6) tidak dapat diperoleh secara analitik, melainkan dikerjakan secara numerik, seperti metode simplex, metode interior
point, atau metode smoothing.
Pengujian Hipotesis
Analisis regresi kuantil diterapkan pada sampel yang berukuran besar, maka parameter regresi kuantil menggunakan uji Wald. Asumsi hipotesis linier adalah 𝑹𝛽𝜏 = 𝒓, dimana 𝑹 adalah matriks dengan full row rank berukuran 𝑞 × 𝑘, dan 𝒓 adalah vektor berukuran 𝑞 × 1 pada nilai hipotesis.
Rumusan hipotesis yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 𝐻0: 𝛽 = 0
𝐻1: 𝛽 ≠ 0
A. Inferensi Asimtotik pada Regresi Kuantil
Dalam regresi kuantil terdapat fungsi kuantil bersyarat ke-𝜏 yang mempertimbangkan estimasi 𝛽(𝜏), sehingga diperoleh solusi pada persamaan (6) atau dinyatakan pada persamaan (7):
𝛽̂(𝜏) = arg min
𝛽 ∑ 𝜌𝜏(𝑌𝑖 − 𝑋𝑖𝛽) 𝑛
𝑖=1
. (7)
Beberapa kondisi yang digunakan Newey dan McFadden (1994) terhadap teorema asimtotik normal sebagai berikut:
√𝑛[𝛽̂(𝜏) − 𝛽(𝜏)] = 𝑀0−1 1 √𝑛∑ 𝑋𝑖{1[𝑌𝑖 ≤ 𝑋𝛽(𝜏)] − 𝜏} + 𝑂𝑝(1) 𝑛 𝑖=1 (8) Berdasarkan persamaan (8) 𝑀0 adalah Hessian terhadap limit fungsi loss, dan
1 √𝑛∑ 𝑋𝑖{1[𝑌𝑖 ≤ 𝑋𝛽(𝜏)] − 𝜏} 𝑑 → 𝒩(0, 𝑉0) 𝑛 𝑖=1 dengan: 𝑉0 = 𝐸({1[𝑌𝑖 ≤ 𝑋𝛽(𝜏)] − 𝜏}2𝑋𝑖𝑋𝑖′) = 𝜏(1 − 𝜏)𝐸(𝑋′𝑋𝑖).
Perhatikan bahwa asumsi linier pada kuantil bersyarat adalah dinyatakan dalam persamaan (9) dan (10): √𝑛[𝛽̂(𝜏) − 𝛽(𝜏)]→ 𝒩(0, 𝑊𝑑 0) (9) dimana: 𝑊0 = 𝜏(1 − 𝜏) 𝑓(𝐹−1(𝜏))2[𝐸(𝑋𝑖 ′𝑋 𝑖)]−1. (10)
B. Menentukan Nilai Statistik Uji
Uji Wald digunakan pada regresi kuantil untuk mengecek apakah 𝑹𝜷̂𝝉 signifikan terhadap hipotesis nilai 𝒓. Asumsi bahwa estimasi konsisten lemah untuk 𝑓(𝐹−1(𝜏)) dinotasikan dengan 𝑓(𝐹̂−1(𝜏)). Sehingga dari persamaan (7) diperoleh
hipotesis nol seperti berikut ini: √𝑛[𝛽̂(𝜏) − 𝛽(𝜏)] 𝐴 ~𝒩 (0, 𝜏(1 − 𝜏) 𝑓(𝐹−1(𝜏))2[𝐸(𝑋𝑖 ′𝑋 𝑖)]−1)
𝑓(𝐹−1(𝜏)) > 0 memiliki kepadatan positif dimana 𝐹−1(𝜏) = 𝑄(𝜏), dengan
parameter skala 𝜏(1−𝜏)
𝑓(𝐹−1(𝜏))2 menjadi fungsi 𝑠(𝜏) = 1
𝑓(𝐹−1(𝜏))2 yang disebut sebagai
fungsi sparsity. Parzen (1979) menyatakan bahawa fungsi sparsity adalah fungsi kepadatan kuantil. Nilai 𝑓(𝐹−1(𝜏)) tidak diketahui dan harus diestimasi. Estimasi telah diusulkan Siddiqui (1960) dalam buku Davino dkk (2014) menyatakan bahwa:
𝑠(𝜏) = 1 𝑓(𝐹−1(𝜏)) = 𝐹 −1(𝜏 + ℎ) − 𝐹−1(𝜏 − ℎ) 2ℎ (11)
Bandwidth ℎ dari fungsi 𝐹 harus didefinisikan. Koenker dan Machado (1999) menyarankan menggunakan bandwidth:
ℎ = 𝑛−13𝓏 2 3[1.5𝜙 4(Φ−1(𝜏)) (2Φ−1(𝜏)2+ 1)] 1 3 (12) Berdasarkan teorema Slutsky dan sifat distribusi normal, mengalikan 𝑹 pada distribusi maka diperoleh:
𝑹√𝑛[𝛽̂(𝜏) − 𝛽(𝜏)] = √𝑛(𝑹𝛽̂(𝜏)− 𝑟)
𝐴
~𝒩(0, 𝑹𝑾𝟎𝑹′).
Dengan hukum bilangan besar lemah, 𝑀𝑛 = 𝑛−1∑𝑛𝑖=1𝒙𝒊′𝒙𝒊 konsisten terhadap
𝐸(𝑋𝑖′𝑋𝑖). Estimasi konsisten lemah untuk 𝑊0 adalah: 𝑊̂0 = 𝜏(1 − 𝜏) 𝑓(𝐹−1(𝜏))2[𝑀𝑛] −1 atau: 𝑊̂0 = 𝜏(1 − 𝜏) 𝑓(𝐹−1(𝜏))2[𝑛 −1∑ 𝒙 𝒊 ′𝒙 𝒊 𝑛 𝑖=1 ] −1 (13) sehingga: Γ̂𝜏− 1 2√𝑛(𝑹𝛽̂ (𝜏)− 𝑟) 𝐴 ~ 𝒩(0, 𝑰𝑞) dimana Γ̂−12 = 𝑹𝑾̂𝟎𝑹′.
Γ̂−12(𝑹𝜷̂𝝉− 𝒓) merupakan vektor berdistribusi normal. Hasil kali dalam
antara vektor tersebut sehingga diperoleh statistik uji Wald berikut ini: 𝒲𝑛(𝜏) = 𝑛(𝑹𝜷̂𝝉− 𝒓)
′
Γ̂−12(𝑹𝜷̂𝝉− 𝒓)
𝐴
~ 𝜒2(𝑛) (14) C. Kriteria Penerimaan dan Penolakan 𝐻0
Jika nilai 𝒲𝑛(𝜏) ≥ nilai tabel chi-square maka 𝐻0 ditolak
Jika nilai 𝒲𝑛(𝜏) < nilai tabel chi-square maka 𝐻0 tidak ditolak
Aplikasi Pengujian Hipotesis Pada Regresi Kuantil
Data yang digunakan berupa data curah hujan bulanan dan Sea Surface
Temperature (SST) Niño 3.4. Data curah hujan diperoleh dari BMKG Maros yaitu
data curah hujan Stasiun Meteorologi Hasanuddin Makassar periode Januari 1983-September 2015. Data SST Niño 3.4 diperoleh dari internet
http://www.esrl.noaa.gov/psd/gcos_wgsp/Timeseries/Nino34/. Program komputer yang digunakan untuk mendukung proses penelitian ini adalah program RStudio.
Berdasarkan fungsi kuantil 𝜏 ∈ [0.1] dapat didekati dalam bentuk fungsi distribusi empiris. Grafik fungsi distribusi empiris adalah sebagai berikut:
Gambar (a) Fungsi Distribusi Empiris
𝐹𝑦(𝑌)
Gambar (b) Fungsi Distribusi
Berdasarkan gambar (b) dapat disimpulkan bahwa 𝑄𝑌(0.75) = 405, yang berarti pada data curah hujan nilai kuantil 0.75 berada disekitaran 405, kuantil 0.80 berada disekitaran 493, kuantil 0.85 berada disekitaran 552, kuantil 0.90 berada disekitaran 687, dan kuantil 0.95 berada disekitaran 863.
Tabel 1.1 Hasil estimasi parameter regresi kuantil
Kuantil Intercept (𝛽0) Kemiringan (𝛽1)
0.75 403.8846 −113.4615
0.80 481.7586 −117.2414
0.85 533.6131 −98.0926
0.90 643.8378 −121.6216
0.95 824.8028 −64.6789
Sumber: hasil olah data
Nilai estimasi parameter 𝛽0 berbanding lurus dengan kuantil dalam hal ini semakin besar kuantil yang dipilih, maka nilai estimasi parameter 𝛽0 meningkat. Persamaan regresi untuk kuantil 75%, 80%, 85%, 90%, dan 95% adalah sebagai berikut: 𝑌75% = 403.8846 − 113.4615𝑋 𝑌80% = 481.7586 − 117.2414𝑋 𝑌85% = 533.6131 − 98.0926𝑋 𝑌90% = 643.8378 − 121.6216𝑋 𝑌95% = 824.8028 − 64.6789𝑋
Selang kepercayaan estimasi parameter 𝛽0 dan 𝛽1 menggunakan 𝛼 = 0.05 untuk kelima kuantil atas adalah sebagai berikut:
Tabel 1. 2 Selang kepercayaan terhadap estimasi parameter
Kuantil 𝛽0 𝛽1 75% 354.8393 − 451.5338 −144.9374 − (−55.1881) 80% 430.1285 − 522.6401 −145.5004 − (−77.0079) 85% 512.1712 − 610.0504 −151.6838 − (−76.6799) 90% 609.2118 − 739.2684 −146.3982 − (−68.4706) 95% 772.1026 − 917.2122 −175.0718 − 7.7018 Sumber: hasil olah data
Gambar (c) Plot estimasi parameter regresi kuanti pada kuantil atas
Nilai bandwidth berdasarkan pada persamaan (12) adalah:
Tabel 1. 3 Nilai bandwidth berdasarkan data menggunakan program RStudio.
Kuantil 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 ℎ 0.0919 0.0781 0.0633 0.0472 0.0290 Sumber: hasil olah data
Nilai fungsi sparsity berdasarkan persamaan (4.10) pada kuantil 0.75, 0.80, 0.85, 0.90, dan 0.95 adalah sebagai berikut:
Kuantil 0.75 adalah 7.4715 × 10−4 Kuantil 0.80 adalah 5.6522 × 10−4 Kuantil 0.85 adalah 4.6520 × 10−4 Kuantil 0.90 adalah 3.2218 × 10−4
Kuantil 0.95 adalah 2.1887 × 10−4
Berdasarkan persamaan (13) nilai estimasi konsisten lemah untuk 𝑊̂0 pada kuantil
0.75, 0.80, 0.85, 0.90, dan 0.95 adalah sebagai berikut: Kuantil 0.75 adalah [330005.1055 13200.2042 13200.2042 435606.7392] Kuantil 0.80 adalah [492064.9827 19682.5993 19682.5993 649525.7771] Kuantil 0.85 adalah [578849.1751 23153.9670 23153.9670 764080.9112] Kuantil 0.90 adalah [851878.6127 34075.1445 34075.1445 1124479.7688] Kuantil 0.95 adalah [974214.0531 38968.5621 38968.5621 1285962.5501]
Menentukan nilai statistik uji pada regresi kuantil menggunakan uji Wald berdasarkan persamaan (14) maka nilai uji Wald pada kuantil 0.75, 0.80, 0.85, 0.90, 0.95 adalah sebagai berikut:
𝒲99(0.75) = 5.7647 × 1012
𝒲79(0.80) = 9.5518 × 1012
𝒲59(0.85) = 1.0015 × 1013
𝒲39(0.90) = 1.4213 × 1013
𝒲20(0.95) = 1.3280 × 1013
Penerimaan dan Penolakan 𝐻0
𝒲99(0.75) ≥ 𝜒2(99) atau 5.7647 × 1012 ≥ 123.2252 𝒲79(0.80) ≥ 𝜒2(79) atau 9.5518 × 1012 ≥ 100.7486 𝒲59(0.85) ≥ 𝜒2(59) atau 1.0015 × 1013 ≥ 77.9305 𝒲39(0.90) ≥ 𝜒2(39) atau 1.4213 × 1013 ≥ 54.5722 𝒲20(0.95) ≥ 𝜒2(20) atau 1.3280 × 1013 ≥ 31.4104
Kesimpulan
Untuk mendapatkan statistik uji Wald perlu ditunjukkan bahwa distribusi asimtotik estimator berdistribusi normal (0, 𝑊0). Dari distribusi asimtotik tersebut diperoleh fungsi sparsity. Rumusan fungsi sparsity digunakan untuk mengkonstruksi statistik uji Wald yang berdistribusi chi-square dengan derajat bebas 𝑛. Pengaplikasian pengujian hipotesis pada regresi kuantil menunjukkan bahwa SST Niño 3.4 memberi pengaruh yang signifikan terhadap curah hujan ekstrem di Kota Makassar.
Daftar Pustaka
Davino, C., Furno, M., & Vistocco, D. (2014). Quantile Regression Theory and
Applications. Wiley.
Koenker, R., & Bassett, Jr., G. (1978). Regression quantile. Econometrica. 46; 33-50.
Kuan, C.-M. (2007). An Introduction To Quantile Regression. Econometrica. Institute of Economics, Academia Sinica.
Navianti, D. R. (2014). Regresi Kuantil Untuk Pemodelan Tingkat Pengangguran Terbuka di Indonesia. In Skripsi. Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
Newey, W., & McFadden, D. (1994). Large Sample Estimation and Hypothesis Testing, in R.
Rahmawati, R., Widiarti, & Novianti, P. (2011). Regresi Kuantil (Studi Kasus Pada Suhu Harian).
