Session 2 tegangan & regangan pada beban aksial. Mekanika Teknik III

Session 2

tegangan & regangan pada

beban aksial

Kesesuaian sebuah struktur atau mesin bisa jadi tergantung pada deformasi-deformasi pada struktur tersebut serta tegangan-tegangan yang diinduksikan

akibat pemb bebanan. Analisis-analisis statik saja tidak cukup untuk menyelesaikan hal tersebut.

Dengan menganggap struktur-struktur sebagai benda terdeformasi memungkinkan penentuan gaya-gaya elemen dan reaksi-reaksi yang berupa statik-tak-tentu

Penentuan distribusi tegangan dalam sebuah elemen juga memerlukan pertimbangan deformasi dalam elemen tersebut

L A P A P δ ε σ = = = 2 2 L L A P δ δ ε σ = = = 2 2 tegangan regangan normal P A L σ δ ε = = = =

Diagram tegangan-regangan :

bahan bersifat daktil

Diagram tegangan-regangan :

bahan bersifat getas

Hukum Hooke

Elasticity of Modulus or Modulus Youngs = = E Eε σ

Di bawah tegangan luluh :

Kekuatannya dipengaruhi oleh pemaduan logam, perlakuan panas, dan proses

manufakturnya, namun kekakuannya (modulus elastisitasnya) tidak

Perilaku elastik vs plastik

Bila regangan menghilang setelah tegangan dilepaskan, bahan tersebut dikatakan berperilaku elastik.

Tegangan terbesar yang menyebabkan hal tersebut dinamakan batas elastik (elastic limit)

Bila regangan tidak kembali nol setelah tegangan dilepaskan, maka bahan tersebut dikatakan berperilaku plastik

Deformasi akibat beban aksial

Berdasarkan hokum Hooke :

AE P E E = = = ε ε σ σ

Berdasarkan definisi regangan :

L

δ ε =

Menyamakan dan menyelesaikannya :

AE PL

=

δ

Bila terdapat variasi-variasi dalam pembebanan, luasan penampang dan sifat-sifat bahan :

∑ = i i i i i E A L P δ

Contoh 02.1

in. 618 . 0 in. 07 . 1 psi 10 29 6 = = × = − d D E

Tentukan deformasi batang baja di atas akibat beban-beban yang bekerja

SOLUSI :

Bagilah batang tersebut menjadi komponen-komponen pada titik-titik bekerjanya gaya Lakukan analisis badan-beban (free-body

analysis) pada setiap komponen untuk

menentukan gaya dalamnya

2 2 1 in 9 . 0 in. 12 = = = = A A L L 2 3 in 3 . 0 in. 16 = = A L SOLUSI :

Bagilah batang tersebut menjadi tiga komponen

Lakukan analisis badan-bebas pada setiap

komponen untuk menentukan gaya-gaya dalamnya

lb 10 30 lb 10 15 lb 10 60 3 3 3 2 3 1 × = × − = × = P P P

Evaluasi defleksi totalnya

(

) (

) (

)

in. 10 9 . 75 3 . 0 16 10 30 9 . 0 12 10 15 9 . 0 12 10 60 10 29 1 1 3 3 3 3 6 3 3 3 2 2 2 1 1 1 − × =         _× + × − + × × =       + + = ∑ = A L P A L P A L P E E A L P i i i i i δ in. 10 9 . 75 × −3 = δ

Contoh Kasus 2.1

• Sebuah batang kaku BDE didukung oleh dua buah batang lain, AB dan CD

• Batang AB terbuat dari aluminum (E=70 GPa) dan memiliki luasan penampang 50 mm2_{. Batang CD terbuat dari baja}

(E=200 GPa), dan memiliki luasan penampang 600 mm2_.

• Bila struktur tersebut diberikan gaya 30 kN, tentukan defleksi: a) di titik B, b) titik D, c) dan titik E.

SOLUSI :

• Lakukan analisis badan bebas pada batang BDE untuk

menemukan gaya-gaya yang

bekerja pada batang AB dan DC. • Evaluasi deformasi yang terjadi

pada batang AB dan DC atau

displacement di titik B dan D

• Lakukan analisis geometri untuk menemukan defleksi di titik E bila defleksi di titik B dan D diketahui.

Displacement of B:

(

)

(

)

(

)(

)

m 10 514 Pa 10 70 m 10 500 m 3 . 0 N 10 60 6 9 2 6 -3 − × − = × × × − = = AE PL B δ ↑ = 0.514mm B δ Displacement of D:

(

)

(

)

(

)(

)

m 10 300 Pa 10 200 m 10 600 m 4 . 0 N 10 90 6 9 2 6 -3 − × = × × × = = AE PL D δ

Free body: batang BDE

(

)

(

)

n compressio F F tension F F M AB AB CD CD B kN 60 m 2 . 0 m 4 . 0 kN 30 0 0 M kN 90 m 2 . 0 m 6 . 0 kN 30 0 0 D − = × − × − = = + = × + × − = = ∑ ∑ SOLUSI:

Displacement of D:

(

)

mm 7 . 73 mm 200 mm 0.300 mm 514 . 0 = − = = ′ ′ x x x HD BH D D B B ↓ =1.928mm E δ

(

)

mm 928 . 1 mm 7 . 73 mm 7 . 73 400 mm 300 . 0 = + = = ′ ′ E E HD HE D D E E δ δ

• Struktur-struktur yang gaya-gaya dalam dan reaksi-reaksinya tidak dapat ditentukan dari analisis statik saja dikatakan sebagai struktur statik tak-tentu (statically indeterminate).

0 = +

= δ δ δ

• Deformasi-deformasi akibat beban-beban nyata dan reaks-reaksi kelebihan ditentukan secara terpisah dan kemudian ditambahkan kembali (superposisi)

• Reaksi-reaksi kelebihannya digantikan dengan beban-beban yang tak diketahui, bersamaan dengan beban-beban lain harus menghasilkan deformasi-deformasi yang sesuai.

• Sebuah struktur bersifat statik tak-tentu pada saat struktur tersebut ditahan oleh lebih dari satu tumpuan yang diperlukan untuk

Tentukan reaksi-reaksi di titik A dan B untuk batang baja dan pembebanannya seperti terlihat di samping.

• Selesaikan reaksi di A akibat beban-beban dan reaksi di B

• Displacement akibat pembebanan dan

displacement akibat reaksi kelebihan perlu

disesuaikan (jumlahnya harus nol)

• Selesaikan displacement di B akibat reaksi kelebihan di B.

SOLUSI:

• Anggap reaksi di B sebagai kelebihan, lepaskan batang tersebut dari tumpuan B dan selesaikan

displacement di B akibat beban-beban yang

SOLUSI:

• Selesaikan displacement di B akibat beban-beban yang bekerja dengan melepaskan tumpuan di B

E E A L P L L L L A A A A P P P P i i i i i 9 L 4 3 2 1 2 6 4 3 2 6 2 1 3 4 3 3 2 1 10 125 . 1 m 150 . 0 m 10 250 m 10 400 N 10 900 N 10 600 0 × = ∑ = = = = = × = = × = = × = × = = = − − δ

• Selesaikan displacement di B akibat reaksi kelebihan di B

(

)

∑ = − × = = = × = × = − = = − − B i i R B E R E A L P δ L L A A R P P 3 2 1 2 6 2 2 6 1 2 1 10 95 . 1 m 300 . 0 m 10 250 m 10 400

• Displacement akibat beban-beban dan akibat reaksi kelebihan harus bersesuaian

(

)

kN 577 N 10 577 0 10 95 . 1 10 125 . 1 0 3 3 9 = × = = × − × = = + = B B R L R E R E δ δ δ δ

• Tentukan reaksi di A akibat beban dan reaksi di B

kN 323 kN 577 kN 600 kN 300 0 = ∑ = = − − + A A y R R F kN 577 kN 323 = = B A R R

Nisbah Poisson

• Untuk sebuah batang langsing yang menerima beban aksial : 0 = = = x _{y z} x E σ σ σ ε

• Elongasi arah x dibarengi dengan kontraksi di arah yang lain. Bila diasumsikan bahan

tersebut isotropik : 0 ≠ = _z y ε ε

• Nisbah Poisson dinyatakan sebagai :

x z x y ε ε ε ε ν = = − = − strain axial strain lateral

• Untuk sebuah batang yang menerima berbagai beban aksial, komponen regangan normal yang dihasilkan dari komponen tegangan dapat

ditentukan dari prinsip superposisi. Dalam hal ini :

•Regangan secara linier berhubungan dengan tegangan •Deformasinya kecil E E E E E E E E E z y x z z y x y z y x x σ νσ νσ ε νσ σ νσ ε νσ νσ σ ε + − − = − + − = − − + =

• Relatif terhadap kondisi tak tertegang, perubahan volumenya :

(

)

(

)

(

)

[

]

[

]

(

)

e) unit volum per in volume (change dilatation 2 1 1 1 1 1 1 1 = + + − = + + = + + + − = + + + − = z y x z y x z y x z y x E e σ σ σ ν ε ε ε ε ε ε ε ε ε

• Untuk elemen yang menerima tekanan hidrostatis merata :

(

)

(

1 2

)

bulk modulus 3 2 1 3 = − = − = − − = ν ν E k k p E p e

• Akibat tekanan yang merata, dilatasinya harus negative, sehingga :

1

• Suatu elemen kubikus yang menerima tegangan geser akan berdeformasi menjadi rhomboid. Regangan

geser yang bersesuaian dihitung dalam bentuk perubahan sudut di antara kedua sisinya

( )

xy

xy f γ

τ =

• Gambaran tegangan geser terhadap regangan geser mirip dengan gambaran tegangan normal terhadap regangan normal, kecuali bahwa nilai kekuatannya kurang lebih hanya setengahnya. Untuk regangan-regangan kecil : zx zx yz yz xy xy Gγ τ Gγ τ Gγ τ = = =

Dimana G adalah modulus of rigidity atau modulus geser

SOLUSI :

• Tentukan deformasi angular rerata atau regangan geser pada blok

tersebut

• Gunakan definisi tegangan geser untuk menemukan gaya P.

Suatu balok persegi terbuat dari suatu bahan dengan modulus of rigidity G = 90 ksi terikat olelh dua buah plat

horizontal kaku. Plat bagian bawah terpasang sempurna sedangkan plat

bagian atas menerima gaya horizontal P. diketahui bahwa plat bagian atas

bergerak 0.04 in akibat aksi gaya tersebut, tentukan a) regangan geser rerata pada bahan tersebut, dan b) gaya yang diterima pada plat tersebut.

• Gunakan hokum Hooke untuk

tegangan dan regangan geser untuk menentukan tegangan geser yang bersesuaian

rad 020 . 0 in. 2 in. 04 . 0 tan = = ≈ _{xy xy} xy γ γ γ

• Tentukan deformasi angular rerata atau regangan geser blok tersebut

(

90×103psi

)

(

0.020rad

)

=1800psi =

= _xy

xy Gγ

τ

• Gunakan hukum Hooke untuk tegangan dan regangan geser untuk menemukan tegangan geser yang bersesuaian

(

1800psi

)( )(

8in. 2.5in.

)

= 36×103lb = = A P τ_xy kips 0 . 36 = P

• Gunakan definisi tegangan geser untuk menemukan gaya P.

Hubungan E, v, dan G

• Sebuah batang langsing yang dibebani secara aksial akan memanjang pada arah aksial dan berkontraksi di arah yang lain.

(

+ν

)

= 1

E

• Komponen regangan normal dan geser dihubungkan :

• Bila elemen kubikus diorientasikan seperti gambar di bawah, maka ia akan

berdeformasi menjadi rhombus. Beban aksial juga muncul dalam tegangan geser. • Sebuah elemen kubikus awal diorientasikan

seperti gambar di atas akan berdeformasi menjadi rectangular parallelepiped. Gaya aksial menghasilkan regangan normal.

Contoh

Sebuah lingkaran dengan diameter d = 9 in digambarkan dalam sebuah plat aluminum tak-tertegang dengan ketebalan t = ¾ in. Gaya yang bekerja pada bidang datar plat

menyebabkan tegangan normal σ_x = 12 ksi dan σ_z = 20 ksi.

bila E = 10x106 _{psi dan} ν = 1/3, tentukan

perubahan :

a) panjang diameter AB, b) panjang diameter CD, c) Ketebalan plat

SOLUSI:

• Gunakan persamaan umum Hooke untuk menemukan tiga komponen regangan normal

(

)

(

)

in./in. 10 600 . 1 in./in. 10 067 . 1 in./in. 10 533 . 0 ksi 20 3 1 0 ksi 12 psi 10 10 1 3 3 3 6 − − − × + = + − − = × − = − + − = × + =     _{− −} × = − − + = E E E E E E E E E z y x z z y x y z y x x σ νσ νσ ε νσ σ νσ ε νσ νσ σ ε

• Temukan komponen deformasinya

(

+0.533×10−3in./in.

)

(

9in.

)

= = d_x A B ε δ

(

+1.600×10−3in./in.

)

(

9in.

)

= = d_z D C ε δ

(

−1.067×10−3in./in.

)

(

0.75in.

)

= = t_y t ε δ in. 10 8 . 4 × −3 + = A B δ in. 10 4 . 14 × −3 + = D C δ in. 10 800 . 0 × −3 − = t δ

• Temukan perubahan volumenya

(

)

3 3 3 3 3 in 75 . 0 15 15 10 067 . 1 /in in 10 067 . 1 × × × = = ∆ × = + + = − − eV V e ε_x ε_y ε_z