CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK

PENCOCOKAN KURVA

CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK

TIM DOSEN

KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT

Pendahuluan

Data yang berasal dari hasil pengamatan lapangan, pengukuran atau tabel yang diambil dari buku-buku acuan.

Nilai antara, turunan, integral  mudah dicari untuk fungsi polinom

Fungsi sulit perlu disederhanakan menjadi fungsi

polinom 

)

(

)

(

x

p

x

f



_n n n n

x

a

a

x

a

x

a

x

p

(

)



₀



₁



₂ 2



...



Pendahuluan (Cont.)

Bantuan beberapa titik dicocokan dalam kurva p_n(x). Metode pencocokan titik dengan sebuah kurva ada 2 macam: X Y X Y Regresi Interpolasi

Regresi

Untuk data dengan berketelitian rendah

Kurva tidak perlu melewati semua titik yang tersedia Kurva yang dibentuk merupakan kecenderungan dari sekelompok data

Dipilih kurva yang memiliki selisih antara titik data dengan kurva hampiran sekecil mungkin

Ketidaktelitian disebabkan oleh : kesalahan mengukur,

Regresi (Cont.)

Prinsip penting yang harus diketahui dalam pencocokan kurva untuk data hasil pengukuran :

– Fungsi mengandung sesedikit mungkin parameter bebas

– Deviasi fungsi dengan titik data dibuat minimum

Manfaat Pencocokan Kurva untuk data hasil pengukuran :

– Bagi ahli sains/rekayasa : mengembangkan formula empirik untuk sistem yang diteliti

– Bagi ahli ekonomi : menentukan kurva kecenderungan ekonomi untuk meramalkan kecenderungan yang akan datang

Regresi Linier

Persamaan kurva : f(x) = a + bx dari titik-titik (x_i,y_i). Karena (x_i,y_i) merupakan hasil pengukuran yang

mengandung galat, maka dapat ditulis :

g(x_i) =y_i + e_i, i = 1,2,…,n

Deviasi persamaan kurva dengan nilai data :

Regresi Linier (Cont.)

Total kuadrat deviasinya :



















n i i i i

y

a

bx

r

R

1 2 2

Agar R minimum, maka haruslah : dan





0

2















_

i i

a

bx

y

a

R

_2



_{ }



_0  

_

i i i y a bx x b R Kedua persamaan dibagi -2, menjadi :









1 1 1 1 2 1 1 1

0

0

0

0

n n n n i i i i i i i i n n n i i i i i i i i i i

y

a bx

y

a

bx

x y

a bx

x y

ax

bx

      

 

 







 

 









  









Regresi Linier (Cont.)

Selanjutnya :













          n i i i n i i n i i n i i n i i n i y x bx ax y bx a 1 1 2 1 1 1 1











    









n i i i n i i n i i n i i n i i

y

x

x

b

x

a

y

x

b

na

1 1 2 1 1 1 atau

Dalam bentuk persamaan matrik :

                                











     n i i i n i i n i i n i i n i i y x y b a x x x n 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 n n n n i i i i i i i i i n n i i i i n n n i i i i i i i n n i i i i x y x x y a n x x n x y x y b n x x                          _ _

   







 





Solusinya:

Regresi Kuadratik

Persamaan kurva : f(x) = a + bx +cx2 _{dari titik-titik (x}

i,yi).

Karena (xi,yi) merupakan hasil pengukuran yang mengandung galat, maka dapat ditulis :

g(x_i) =y_i + e_i, i = 1,2,…,n

Deviasi persamaan kurva dengan nilai data :

Regresi Kuadratik (Cont.)





      n i i i i i y a bx cx r R 1 2 2 2 ) (

0

)

(

2







2











_

i i i

a

bx

cx

y

a

R

Total kuadrat deviasinya :

Agar R minimum, maka haruslah :

2

2

_i

(

_{i i i}

)

0

R

_{x y}

_{a bx}

_cx

b



_{ }

_{ }

_

_





0

)

(

2

2







2











_

i i i i

y

a

bx

cx

x

c

R

Regresi Kuadratik (Cont.)

Ketiga persamaan dibagi -2, menjadi :

                                                              













































































i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i y x y x y c b a x x x x x x x x n y x cx bx ax y x cx bx ax y cx bx a cx bx ax y x cx bx a y x cx bx ax y x cx bx a y x cx bx a y cx bx a y 2 4 3 2 3 2 2 2 4 3 2 3 2 2 4 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 ) ( ) ( ) (

Linearisasi

Regresi linier hanya cocok untuk data yang memiliki hubungan linier antara variabel bebas dengan variabel terikatnya.

Penggambaran grafik dan pemeriksaan data secara visual untuk memastikan apakah berlaku suatu model linier

Linearisasi Pangkat

Sederhana

Mencocokkan data dengan fungsi y = Cxb

)

ln(

)

ln(

)

ln(

y

C

b

x

Cx

y

b







bX

a

Y





                      0659 . 1 7139 . 12 2522 . 6 2447 . 1 2447 . 1 7 b a Sistem persamaan linier : Solusinya adalah : a = 1.8515, b = 0.1981 369366 . 6 8515 . 1   e e C a

Jadi kurva yang dipakai :

1981 . 0 369366 . 6 x y 

Linearisasi Fungsi

Eksponensial

Mencocokkan data dengan fungsi y = Cebx

bx C y e bx C y Ce y bx      ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln(

bX

a

Y





Sistem persamaan linier : Solusinya adalah : a = ….., b =……..

Jadi kurva yang dipakai :

                   007 . 16 7139 . 12 416 . 14 26 . 8 26 . 8 7 b a ...    a a e e C bx Ce y 

Interpolasi

(n+1) buah titik berbeda (x₀,y₀),(x₁,y₁),…,(x_n,y_n).

Menentukan polinom p_n(x) yang menginterpolasi semua titik-titik tersebut sedemikian rupa sehingga :

y_i = p_n(x_i) untuk i=0,1,2,..,n

Selanjutnya p(x) dapat digunakan untuk menghitung hampiran y(x).

Jika x₀<x_k<x_n, maka p(x_k) disebut nilai interpolasi.

Jika x_k<x₀ atau x_k>x_n, maka p(x_k) disebut nilai ekstrapolasi. Interpolasi bermanfaat untuk mencari nilai hampiran

Interpolasi Linier

Interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis

lurus. Misal (x₀,y₀) dan (x₁,y₁).

Persamaan garis lurus yang terbentuk :

p₁(x) = a₀ + a₁x

a₀ dan a₁ dicari dengan cara berikut : 1 1 0 1 0 1 0 0 x a a y x a a y    

Dengan proses eliminasi dan subtitusi didapatkan:

0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 x x y x y x a x x y y a      

Setelah disubtitusi dalam persamaan dan dilakukan sedikit otak-atik aljabar

didapatkan : ) ( ) ( ) ( ) ( ₀ 0 1 0 1 0 1 x x x x y y y x p      X Y (x0,y0) (x1,y1)

Interpolasi Kuadratik

dengan metode eliminasi Gauss, didapatkan nilai a0,a1 dan a2.

2 2 2 2 2 1 0 1 2 1 2 1 1 0 0 2 0 2 0 1 0 y x a x a a y x a x a a y x a x a a         

➢ Interpolasi tiga buah titik dengan sebuah persamaan polinom kuadrat. Misal (x₀,y₀), (x₁,y₁) dan (x₂,y₂).

➢ Persamaan polinom kuadrat yang terbentuk : p₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x2

➢ Persamaan dari 3 titik dengan a₀, a₁ dan a₂ adalah sebagai berikut :

Y

(x₀,y₀)

(x₁,y₁) (x₂,y₂)

Interpolasi Kubik

Interpolasi empat buah titik dengan sebuah persamaan polinom kubik. Misal (x₀,y₀), (x₁,y₁), (x₂,y₂), dan (x₃,y₃). Persamaan polinom kuadrat yang terbentuk :

p₃(x) = a₀ + a₁x + a₂x2 _{+ a} 3x3

Persamaan dari 4 titik dengan a₀, a₁, a₂ dan a₃ adalah sebagai berikut : 3 3 3 3 2 3 2 2 1 0 2 3 2 3 2 2 2 2 1 0 1 3 1 3 2 1 2 1 1 0 0 3 0 3 2 0 2 0 1 0 y x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a                

Dengan metode eliminasi Gauss, didapatkan nilai a0,a1 dan a2. Y

X (x₀,y₀)

(x₁,y₁)

(x₂,y₂) (x₃,y₃)

Resume

Interpolasi linier, kuadratik, kubik dan seterusnya relatif kurang disukai disebabkan persamaan yang diperoleh (terutama yang berderajat tinggi) akan berkondisi buruk.

Interpolasi Lagrange

Nama diambil dari penemunya Joseph Louis Lagrange (Perancis)

Bentuk umum derajat <n untuk (n+1) titik berbeda :

) )...( )( )...( )( ( ) )...( )( )...( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 n i i i i i i i n i i j i j n i j j i n n n i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L x L y x L y x L y x L y x p                           



Contoh Kasus :

Diberikan fungsi y = f(x) dengan 3 buah titik data dalam tabel berikut :

tentukan nilai f(3.5)!

X 1 4 6

function Lagrange (x:real; n: integer): real; var i, j : integer; P, L : real; begin P = 0; for i:=0 to n do begin L :=1; for j:=0 to n do if i<>j then L:=L*(x-x(j))/(x(i)-x(j)); endfor P:=P+y(i)*L; endfor; Lagrange :=P; end.

Interpolasi Lagrange

Kurang disukai karena : Jumlah komputasi

yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi besar. Hasil komputasi pada

derajat yang lebih rendah tidak bisa

digunakan untuk

menghitung derajat yang lebih tinggi.

Interpolasi Newton

Bentuk umum : (i) Rekurens : p_n(x) = p_n-1(x)+a_n(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1) (ii) Basis : p₀(x) = f(x₀) = y₀ ] , ,..., , [ ... ] , , [ ] , [ ) ( 0 1 1 0 1 2 2 0 1 1 0 0 x x x x f a x x x f a x x f a x f a n n n      0 0 2 1 1 1 0 1 1 ] ,..., , [ ] ,..., , [ ] , ,..., , [ ... ] , [ ] , [ ] , , [ ) ( ) ( ] , [ x x x x x f x x x f x x x x f x x x x f x x f x x x f x x x f x f x x f n n n n n n n k i k j j i k j i j i j i j i             

Bentuk umum juga dapat ditulis :

] , ,..., , [ ) )...( )( ( ... ] , , [ ) )( ( ] , [ ) ( ) ( ) ( 0 1 1 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x f x x x f x p n n n n             

Tabel Selisih

Terbagi Newton

i x_i y_i=f(x_i) ST-1 ST-2 ST-3 … 0 x₀ f(x₀) f[x1,x0] f[x2,x1,x0] f[x3,x2,x1,x0] … 1 x₁ f(x₁) f[x2,x1] f[x3,x2,x1] … 2 x₂ f(x₂) f[x3,x2] … 3 x₃ f(x₃) … … … … ST : Selisih Terbagi Contoh Kasus :

Diberikan data pada tabel dibawah ini, taksirlah nilai fungsi di x = 2.5! Dengan polinom newton orde 4.

x_i 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0