MODEL BAYES UNTUK PENDUGAAN AREA KECIL DENGAN PENARIKAN CONTOH BERPELUANG TIDAK SAMA PADA KASUS RESPON BINOMIAL DAN MULTINOMIAL

MODEL

BAYES

UNTUK

PENDUGAAN

AREA

KECIL

DENGAN

PENARIKAN

CONTOH

BERPELUANG

TIDAK

SAMA

PADA

KASUS

RESPON

BINOMIAL

DAN

MULTINOMIAL

APLIKASI :

PENDUGAAN INDEKS PENDIDIKAN LEVEL

KECAMATAN DI JAWA TIMUR

AGNES TUTI RUMIATI

G161080031

/

STK

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

MODEL

BAYES

UNTUK

PENDUGAAN

AREA

KECIL

DENGAN

PENARIKAN

CONTOH

BERPELUANG

TIDAK

SAMA

PADA

KASUS

RESPON

BINOMIAL

DAN

MULTINOMIAL

APLIKASI :

PENDUGAAN INDEKS PENDIDIKAN LEVEL

KECAMATAN DI JAWA TIMUR

Oleh:

A

GNES

T

UTI

R

UMIATI

G161080031

/

STK

Disertasi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Doktor

pada

Program Studi Statistika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

J u d u l : Model Bayes untuk Pendugaan Area Kecil dengan Penarikan Contoh Berpeluang Tidak Sama pada Kasus Respon Binomial dan Multinomial.

Aplikasi :

Pendugaan Indeks Pendidikan Level Kecamatan di Jawa Timur

Nama Mahasiswa : Agnes Tuti Rumiati

Nomor Pokok : G161080031

Program Studi : Statistika

Menyetujui: Komisi Pembimbing

K e t u a

Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS

Dr. Ir. I Wayan Mangku, MSc

A n g g o t a A n g g o t a

Dr. Ir. Kusman Sadik, MS.

Mengetahui:

Koordinator Program Studi Statistika Dekan Sekolah Pascasarjana

PERNYATAAN MENGENAI DISERTASI DAN

SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa disertasi yang berjudul Model Bayes untuk Pendugaan Area Kecil dengan Penarikan Contoh Berpeluang Tidak Sama Pada Kasus Respon Binomial dan Multinomial adalah hasil karya saya sendiri dengan arahan komisi pembimbing dan belum pernah diajukan kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya penulis lain telah dicantumkan di dalam teks dan daftar pustaka disertasi ini.

Bogor, September 2012

Agnes Tuti Rumiati NIM. G161080031/STK

ABSTRACT

AGNES TUTI RUMIATI. Bayesian Models for Small Area Estimation Based on Unequal Probability Sampling of Binomial and Multinomial Responses. Under guidance of KHAIRIL ANWAR NOTODIPUTRO, I WAYAN MANGKU and KUSMAN SADIK

In this research a Bayesian Method of Small Area Estimation (SAE) has been developed based on binomial and multinomial response variables using Susenas data obtained from unequal probability sampling. Case study was carried out to predict education level of the population measured by literacy rate and mean years of schooling in sub-district level in East Java Province. The SAE model for binomial response was developed with two methods, i.e. using weighted logit normal mixed model and involving the probability of sampling selection model as exponential function into the SAE model. A simulation study was carried out by implementing 100 times sampling selection into population data. Penalized Quasi Likelihood (PQL) and Restricted Maximum Likelihood method (REML) was used to parameter estimation of SAE model. Based on the simulation result, we found that the weighted logit normal mixed model gave the best estimate. In application, the weighted logit normal mixed model also provided good prediction of literacy rate in Sumenep and Pasuruan regency.For the multinomial respons, we applied the weighted logit multinomial mixed model. MSE estimation was used Jackknife method and it gave very small MSE of about 1,14 x10-7.

Keywords:

SAE model, Bayesian approach, binomial and multinomial response Monte Carlo integration, literacy rate, Susenas, unequal probability sampling, logit normal mixed model, logit multinomial mixed model.

RINGKASAN

Berbagai survei umumnya dirancang untuk menduga parameter populasi untuk area besar, misalnya untuk wilayah nasional atau regional (provinsi, kabupaten/kota) dan pendugaan parameternya didasarkan pada rancangan atau dikatakan sebagai pendugaan langsung. Untuk pendugaan parameter wilayah yang lebih kecil, umumnya jumlah contoh kurang mencukupi jika digunakan untuk menduga berdasarkan rancangan.

Di Indonesia, kebutuhan untuk melakukan pendugaan di area kecil mulai dirasakan terutama untuk merancang dan mengevaluasi kebijakan dan program pembangunan di level kabupaten /kota. Salah satu indikator yang mengukur hasil pembangunan di suatu wilayah adalah Indeks Pembangunan Manusia (IPM). IPM dihitung oleh Badan Pusat Satistik (BPS) dengan menggunakan data dasar hasil Survai Sosial Ekonomi Nasional (Susenas). Susenas dilakukan oleh BPS tiap tahun, dirancang untuk menduga parameter sosial-ekonomi level nasional atau regional sehingga tidak cukup representatif untuk pendugaan parameter tingkat kecamatan.

Penggunaan data Susenas untuk pendugaan parameter di tingkat kecamatan atau desa akan menghadapi dua persoalan statistika yaitu: 1)terbatasnya jumlah data karena Susenas ditujukan untuk menduga parameter berskala nasional atau regional (provinsi sampai kabupaten/kota). 2) penarikan contohnya memiliki peluang tidak sama karena rancangan penarikan contoh dalam Susenas adalah penarikan contoh gerombol dua tahap yaitu mengambil blok sensus pada tahap pertama dan pada tahap ke dua mengambil rumah tangga pada blok sensus yang terpilih. Oleh karena itu penarikan contoh dalam Susenas memiliki peluang tidak sama.

Penelitian ini bertujuan untuk mengembangkan model SAE untuk menduga Indeks Pendidikan yang merupakan salah satu komponen IPM. Indeks Pendidikan diukur dengan angka melek huruf dan rata-rata lama sekolah di suatu wilayah. Angka melek huruf diukur dengan proporsi penduduk berusia 10 tahun ke atas yang bisa baca tulis, sedangkan rata-rata lama sekolah diukur dari proporsi penduduk berusia 10 tahun ke atas di tiap level pendidikan tertentu. Proporsi penduduk berusia 10 tahun ke atas yang bisa baca tulis adalah

berusia 10 tahun ke atas di tiap level pendidikan tertentu merupakan parameter dari distribusi Multinomial.

Dalam penelitian disertasi ini, pengembangan model SAE untuk peubah respon Binomial dan Multinomial berbasis pada penarikan contoh berpeluang tidak sama mengacu

kepada beberapa penelitian tentang pengembangan model

SAE untuk peubah respon binomial dan multinomial, serta pengembangan model

SAE yang memperhitungkan peluang penarikan contoh.

Pendugaan parameter area dilakukan dengan menggunakan pendekatan Bayes.

Dengan melakukan simulasi, diperoleh bahwa model SAE untuk peubah respon binomial menggunakan sebaran prior logit normal melalui pendekatan Bayes empirik yang dikembangkan dengan memperhitungkan peluang penarikan contoh memberikan penduga yang paling baik karena dapat menurunkan bias dan KTG dari penduga. Dengan mengaplikasikan model SAE logit normal terbobot melalui pendekatan Bayes, dihasilkan perbedaan antara nilai parameter populasi dengan prediksinya relatif kecil. Kabupaten Sumenep memiliki rata-rata bias sebesar 0,0628 dan nilai KTG sebesar 0,0149 dan untuk Kabupaten Pasuruan rata-rata biasnya sebesar 0,0136 dengan KTG sebesar 0,0212.

Sementara itu metode pendugaan area kecil yang dikembangkan berdasarkan penarikan contoh informatif yaitu dengan menyertakan model peluang penarikan contoh dalam bentuk fungsi eksponensial memberikan rata-rata bias relatif yang rendah namun memberikan akar rata-rata-rata-rata kuadrat bias relatif maupun KTG yang lebih tinggi dibandingkan dengan metode pendugaan menggunakan sebaran prior logit normal terbobot. Besarnya nilai KTG lebih banyak disebabkan karena ragam pendugaan yang relatif besar sehingga walaupun memberikan bias yang kecil maka KTG akan cenderung tinggi. Penurunan bias dari model SAE eksponensial ini menunjukkan bahwa memperhitungkan peluang penarikan contoh dalam model SAE akan dapat menurunkan bias. Pfefferman (2010) mengatakan bahwa mengabaikan peluang penarikan contoh dalam model SAE akan menghasilkan bias pendugaan karena dengan mengabaikan peluang penarikan contoh, maka pendugaan parameter model untuk area/unit yang terambil sebagai contoh sama dengan area/unit yang tidak terambil sebagai contoh.

Berdasarkan hasil simulasi maupun aplikasi di Kabupaten Sumenep dan Pasuruan membuktikan bahwa model SAE untuk peubah respon binomial

menggunakan model campuran logit normal terbobot memberikan hasil yang paling akurat dalam pendugaan parameter proporsi area kecil.

Selanjutnya pendugaan area kecil untuk respon multinomial dilakukan dengan cara yang sama yaitu melalui model campuran logit multinomial terbobot. Pendugaan KTG dilakukan dengan menggunakan metode Jackknife. Dari hasil aplikasi di Kabupaten Sumenep dan Pasuruan, penduga KTG untuk logit multinomial terbobot melalui pendekatan Bayes juga memberikan nilai penduga KTG yang sangat kecil yaitu pada kisaran antara 1,14 x 10-7 sampai 8,17 x10-7 karena pada mumnya kondisi blok sensus di tiap kecamatan relatif sama. Besarnya KTG tersebut sangat dipengaruhi oleh homogenitas atau heterogenitas dari nilai respon dari area yang satu ke area yang lain.

Dengan menggunakan metode Jackknife, nilai dugaan KTG untuk pendugaan area kecil di tiap-tiap katagori bervariasi tergantung kepada heterogenitas nilai dugaan proporsi dari area ke area. Semakin heterogen maka akan menghasilkan nilai dugaan KTG yang cenderung lebih besar. Hal yang sama juga ditemui pada pendugaan area kecil yang memperhitungkan peluang penarikan contoh.

Besarnya KTG yang dihasilkan oleh metode SAE yang menyertakan fungsi eksponensial dari peluang percontohan perlu dikaji lebih dalam karena bias yang dihasilkan relatif sangat kecil sehingga kemungkinan besarnya KTG disebabkan oleh ragam pendugaan yang besar. Perlu dikembangkan model yang serupa tetapi dapat menurunkan ragam pendugaan.

@ Hak Cipta Institut Pertanian Bogor (IPB), Tahun 2012

Hak Cipta Dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruhnya karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber:

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB

2. Dilarang mengumumkan atau memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apapun tanpa ijin IPB.

PRAKATA

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena atas rahmat dan hidayah-Nyalah akhirnya disertasi dengan judul “Model Bayes untuk Pendugaan Area Kecil dengan Penarikan Contoh Berpeluang Tidak Sama Pada Kasus Respon Binomial dan Multinomial”, dengan aplikasi Pendugaan Indeks Pendidikan Level Kecamatan di Jawa Timur ini dapat diselesaikan dengan baik.

Selain untuk memenuhi syarat memperoleh gelar doktor pada program studi Statistika-IPB, disertasi ditujukan untuk menghasilkan metode statistik yang dapat digunakan oleh pemerintah atau pihak lain untuk melakukan pendugaan area kecil yang memiliki jumlah data terbatas tanpa perlu menambah contoh dengan memanfaatkan informasi yang ada sehingga dapat mengurangi biaya penelitian.

Selama pelaksanaan penelitian dan penyelesaian disertasi ini, penulis banyak mendapatkan bantuan dari berbagai pihak baik secara moril dan meteriil sehingga disertasi ini dapat terselesaikan dengan baik. Pada kesempatan ini secara khusus penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, Bapak Dr. I Wayan Mangku dan Bapak Dr Kusman Sadik selaku dosen pembimbing yang telah banyak memberikan arahan, bimbingan dan saran hingga disertasi ini bias diselesaikan dengan baik.

2. Seluruh dosen dan karyawan Departemen Statistika FMIPA IPB yang telah menjadi teman diskusi, memberikan saran dan dorongan moril. 3. Seluruh dosen dan karyawan Sekolah Pascasarjana IPB yang telah

memberikan layanan pengajaran dan administrasi yang baik. 4. Seluruh dosen dan karyawan Jurusan Statistika FMIPA ITS,

5. Para peneilti dan karyawan BPS Pusat dan Provinsi Jawa Timur yang banyak membantu memberikan data dan penjelasan terkait data Susenas dan Sensus Penduduk

6. Para peneiliti dan karyawan Pusat Penelitian Potensi daerah dan Pemberdayaan Masyarakat (PDPM), LPPM-ITS yang telah memberikan bantuin moril dan materiil selama penulis melaksanakan studi S3 dan menyelesaikan penelitian disertasi

7. Suami dan anak-anak tercinta serta seluruh keluarga yang senantiasa memberikan dorongan semangat, doa yang ikhlas dan telah mendampingi penulis selama studi S3 dan menyelesaikan penelitian disertasi.

8. Teman-teman sesama mahasiswa program Pasca Sarjana di Departemen Statistika-IPB serta berbagai pihak lain yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Akhir kata, dengan segala kerendahan hati, penulis menyadari bahwa disertasi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan masukan yang bermanfaat untuk memperbaiki tulisan disertasi ini. Namun demikian, penulis berharap tulisan ini dapat bermanfaat bagi mereka yang memerlukannya. Semoga Allah SWT senantiasa memberikan kebaikan untuk kita semua.

Bogor, September 2012

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di kota Mojokerto, Jawa Timur pada tanggal 24 Juli 1957 dari pasangan Bapak JH Soeratman (alm) dan Ibu P Sri Woelan (alm). Penulis merupakan anak pertama dari lima bersaudara dan menikah dengan Ir. Nus Irwansyah, MBA dan telah dikaruniai dua anak yaitu Duta Perdana MA dan Rizqi Yoshita.

Pendidikan Sarjana ditempuh di Jurusan Matematika, FIPIA – ITS lulus pada tahun 1982 dengan pembimbing Bapak I Nyoman Latra, MS. Pada tahun 1996, penulis memperoleh gelar Master of Science dari School of Mathematics and Statistics, The University of Sheffield, United Kingdom dengan pembimbing tesis Professor John Biggins. Sejak tahun 2008 penulis menempuh Program Doktor pada Program Studi Statistika Sekolah Pascasarjana IPB. Sejak tahun 1985 sampai dengan saat ini penulis bekerja sebagai dosen di Jurusan Statistika, FMIPA-ITS dan peneliti di Pusat Penelitian Potensi daerah dan Pemberdayaan Masyarakat (PDPM), Lembaga Penelitian dan Pengabdian Masyarakat (LPPM)-ITS

.

Selama mengikuti pendidikan Program Doktor, penulis telah menghasilkan beberapa karya ilmiah yang telah dipublikasikan dalam seminar nasional serta jurnal ilmiah, diantaranya :

1. Rumiati, AT, Notodiputro AK, Mangku IW dan Sadik K, 2012. Empirical Bayesian Method for The Estimation of Literacy Rate at Sub-district Level. Case Study: Sumenep District of East Java Province, IPTEK, The Journal for Technology and Science, Vol. 23, No. 1, February 2012.

2. Rumiati, AT, Regresi Polinomial local untuk Data Survey Berskala Besar, Studi kasus: Model Pengeluaran Rumah Tangga berdasarkan Data Susenas Jawa Timur 2006. Prosiding pada Seminar Nasional Statistika, 7 Nopember 2009. Jurusan ITS-Surabaya.

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ... v

DAFTAR GAMBAR ... vi

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

I. Pendahuluan ... 1 1.1. Latar Belakang ... 1 1.2. Tujuan Penelitian ... 5 1.3. Ruang Lingkup ... 5 1.4. Kebaruan ... 7 1.5. Sistematika Disertasi... 8

II. Tinjauan pustaka ... 11

2.1. Pendahuluan ... 11

2.2 Model Dasar Pendugaan Area Kecil ... 11

2.2.1. Pendugaan Area Kecil Berbasis Area ... 12

2.2.2. Pendugaan Area Kecil Berbasis Unit ... 13

2.3 Pendugaan Parameter Model Pendugaan Area kecil ... 14

2.3.1. Metode Prediksi Tak-bias Linier Terbaik (PTLT) dan Prediksi Tak-bias Linier Terbaik Empirik (PTLTE) ... 14

2.3.2 Pendugaan Parameter Model SAE Melalui Pendekatan Bayes... 16

2.4. Peluang Penarikan Contoh ... 18

2.5. Model SAE dengan Memperhitungkan Peluang Penarikan Contoh ... 21

2.6 Indeks Pembangunan Manusia (IPM) ... 23

2.6.1. Cara Perhitungan IPM ... 24

2.6.2. Indikator Pendidikan/ Pengetahuan ... 26

2.7. Survei Sosial Ekonomi Nasional (Susenas) ... 27

2.7.1. Kerangka Percontohan dan Metode Penarikan Contoh .... 27

III. Model Bayes untuk Pendugaan Area Kecil Berbasis Peubah

Respon Binomial ... 30

3.1 Pendahuluan ... 30

3.2 Metode Pendugaan Langsung Melalui Pendekatan Bayes... 32

3.2.1. Pendugaan Bayes Menggunakan Sebaran Prior Beta .... 32

3.2.2. Pendekatan Bayes Menggunakan Sebaran Prior Logit-Normal... 35

3.3. Metode Pendugaan Tak Langsung Melalui Pendekatan Bayes . . 36

3.4. Aplikasi : Pendugaan Angka Melek Huruf di Tingkat Kecamatan, Kabupaten Sumenep Berbasis Data Susenas ... 39

3.4.1. Pendugaan Langsung ... 40

3.4.2. Pendugaan Tak Langsung ... 43

3.5. Pembahasan ... 45

IV. Model SAE Berbasis Sebaran Respon Multinomial Melalui Pendekatan Bayes ... 47

4.1. Pendahuluan ... 47

4.2. Model SAE untuk Respon Multinomial ... 48

4.2.1. Pendugaan Parameter Model ... 49

4.2.2. Pendugaan Ragam ... 52

4.2.3. Pendugaan Parameter Area Melalui Pendekatan Bayes . 54 4.3. Aplikasi: Pendugaan Rata-Rata Lama Sekolah Tingkat Kecamatan di Jawa Timur Berbasis Data Susenas 2010 ... 56

4.3.1. Pengukuran Peubah Respon dan Peubah Penyerta ... 56

4.3.2. Hasil Eksplorasi Data ... 57

4.3.3. Pendugaan Rata-rata Lama Sekolah di Tingkat Kecamatan ... 58

4.4. Pembahasan ... 60

V. Model Bayes Pendugaan Area Kecil untuk Respon Binomial dan Multinomial Berbasis Penarikan Contoh Berpeluang Tidak Sama... 62

5.1. Pendahuluan ... 62

5.3. Pendugaan Area Kecil Menggunakan Model Campuran Linier Terbobot ... 70 5.4. Pengembangan Model Bayes SAE Berbasis Penarikan Contoh

Berpeluang Tidak Sama untuk Respon Binomial ... 71 5.4.1. Penentuan Bobot ... 72 5.4.2. Metode Pendugaan Parameter Area Kecil dengan

Menyertakan Peluang Penarikan Contoh yang Bersifat Eksponensial ... 73 5.4.3. Metode Pendugaan Parameter Area Kecil

menggunakan Model Linier Campuran Terbobot ... 74 5.4.4. Evaluasi Terhadap Penduga... 74 5.4.5. Simulasi... 75 5.4.6. Aplikasi : Pendugaan Angka Melek Huruf di Kabupaten

Sumenep dan Kabupaten Pasuruan Provinsi Jawa

Timur... 78 5.5 Model SAE Berbasis Penarikan Contoh Berpeluang Tidak

Sama Untuk Peubah Respon Multinomial ... 80 5.5.1. Pengembangan model SAE: Model Campuran Logit

Multinomial Terbobot... 80 5.5.2. Aplikasi: Pendugaan rata-rata lama sekolah di tingkat

kecamatan di Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan... 82 5.6. Perhitungan Indeks Pendidikan di Kabupaten Sumenep dan

Pasuruan ... 84 5.7 Pembahasan... 86

5.7.1. Model SAE untuk respon Binomial dengan memperhitungkan peluang penarikan contoh... 86 5.7.2. Model SAE untuk respon Multinomial dengan

memperhitungkan peluang penarikan contoh... 87

IV. Pembahasan ... 88

6.1. Pendahuluan………. 88

6.2. Perbandingan metode pendugaan langsung dan tak langsung untuk pendugaan area kecil melalui pendekatan Bayes... 88

6.3. Pengaruh peluang penarikan contoh dalam Model SAE untuk

respon Binomial dalam peningkatan kualitas penduga... 90

6.4. Pengembangan model SAE berbasis pada peubah respon Multinomial dengan penarikan contoh berpeluang tidak sama... 90

VII Kesimpulan dan Saran ……… 93

7.1. Kesimpulan………. 93

7.2. Saran……… 94

Daftar Pustaka ………. 95

Daftar Istilah ………. 99

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 2.1 Peubah dan sumber data dari masing-masing komponen IPM ... 24 Tabel 2.2. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Indikator Komponen IPM ... 25 Tabel 2.3. Konversi tahun untuk tingkat/kelas pendidikan yang ditamatkan . 26 Tabel 3.2. Rata-rata pendugaan angka melek huruf dan KTG kecamatan di

Kabupeten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan menggunakan pendekatan Bayes ... 46 Tabel 4.1. Klasifikasi tingkat pendidikan tertinggi penduduk usia 10 tahun

ke atas ... 56 Tabel 4.2. Rata-rata dugaan proporsi penduduk pada jenjang pendidikan

tertentu dan rata-rata nilai KTG dugaan tiap kecamatan di Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan ... 58 Tabel 5.1. Nilai rata-rata bias relatif dan rata-rata kuadrat bias relatif untuk

model terbobot dan model eksponensial ... 78 Tabel 5.2. Hasil Simulasi Dugaan pi

78 (proporsi penduduk usia 10 tahun ke

atas yang bisa baca tulis) untuk tiap blok sensus di Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep...

Tabel 6.1 Perbandingan kualitas penduga untuk model SAE untuk respon Binomial dengan dan tanpa memperhatikan peluang penarikan contoh... 91

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 1.1 Kerangka Penelitian Pengembangan Model SAE untuk

Peubah Respon Binomial…... 6 Gambar 1.2 Kerangka Penelitian Pengembangan Model SAE untuk

Peubah Respon Multinomial... 7 Gambar 3.1 Proporsi Penduduk 10 tahun ke atas yang bisa baca tulis

berdasarkan data Susenas tahun 2010 di Kabupaten Sumenep dan Pasuruan... 39 Gambar 3.2 Hasil Pendugaan angka melek huruf dengan menggunakan

metode klasik dan Metode Bayes ... 42 Gambar 3.3 Plot dari nilai dugaan KTG menggunakan sebaran prior Beta

dan Logit-Normal melalui metode pendugaan langsung... 43 Gambar 3.4 Hubungan kemampuan baca tulis dengan usia berdasarkan

jenis kelamin di Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan ... 44 Gambar 3.5 Plot hasil dugaan angka melek huruf dan KTG di Kabupaten

Sumenep ... ………. 45 Gambar 3.6 Plot hasil dugaan paramater pi

Pasuruan... (angka melek huruf) dan KTG di Kabupaten

45 Gambar 4.1 Proporsi penduduk berusia 10 tahun ke atas berdasarkan

lama sekolah berdasarkan data Susenas 2010 di Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan... 57 Gambar 4.2 Plot Hasil dugaan proporsi penduduk berusia 10 tahun keatas

di tiap jenjang pendidikan di Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Sumenep ... 59 Gambar 4.3 Plot Hasil Proporsi Penduduk Berusia 10 tahun keatas di tiap

jenjang pendidikan dan Nilai Dugaan KTG di Kabupaten Pasuruan ... 59 Gambar 4.4 Plot Hasil Dugaan Angka Melek Huruf dan Nilai KTG Dugaan

Gambar 5.1 Plot hasil simulasi pendugaan pi (angka melek huruf) untuk tiap blok sensus di Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep 77 Gambar 5.2 Plot hasil simulasi bias pendugaan pi

77 untuk tiap blok sensus di Kecamatan Lenteng, Kabupaten Sumenep ... Gambar 5.3 Nilai dugaan, parameter populasi, dan bias dugaan angka

melek huruf di Kabupaten Sumenep... 79 Gambar 5.4 Nilai dugaan, parameter populasi, dan bias dugaan angka

melek huruf di Kabupaten Pasuruan... 79 Gambar 5.5 Nilai dugaan proporsi penduduk pada tiap jenjang pendidikan

tertentu dan Dugaan KTG Menggunakan Model SAE logit multinomial terbobot di Kabupaten Sumenep... 83 Gambar 5.6 Nilai dugaan proporsi penduduk pada tiap jenjang pendidikan

tertentu dan Dugaan KTG menggunakan model SAE logit multinomial terbobot di Kabupaten Pasuruan... 84 Gambar 5.7 Nilai dugaan rata-rata lama sekolah menggunakan model

SAE logit multinomial terbobot di Kabupaten Sumenep dan Pasuruan... 84 Gambar 5.8 Prediksi Indeks Pendidikan di Kabupaten Sumenep dan

Kabupaten Pasuruan Menggunakan Model SAE………. 85 Gambar 5.9 Peta Tematik Indeks Pendidikan di Kabupaten Sumenep……. 85 Gambar 5.10 Peta Tematik Indeks Pendidikan di Kabupaten Pasuruan……. 86

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran 1 Program SAS untuk pendugaan model SAE ... 100 Lampiran 2 Program Matlab untuk perhitungan pendugaan area kecil

melalui pendugaan langsung melalui sebaran prior logit normal ... 101 Lampiran 3 Program Matlab untuk perhitungan pendugaan area kecil

melalui pendugaan langsung melalui sebaran prior beta .... 103 Lampiran 4 Program Matlab untuk perhitungan pendugaan area kecil

melalui pendugaan tak langsung (berbasis model) melalui

sebaran prior logit normal tanpa bobot ... 105 Lampiran 5 Program Matlab untuk perhitungan pendugaan area kecil

melalui pendugaan tak langsung melalui sebaran prior logit normal dengan memperhitungkan bobot peluang ... 107 Lampiran 6 Jumlah penduduk usia 10 tahun keatas berdasarkan data

sensus dan susenas serta jumlah blok sensus di tiap

kecamatan di Kabupaten Sumenep ... 109 Lampiran 7 Jumlah penduduk usia 10 tahun keatas berdasarkan data

sensus dan susenas serta jumlah blok sensus di tiap kecamatan di Kabupaten Pasuruan ... 110 Lampiran 8 Hasil Pendugaan Paramater pi (proporsi penduduk berusia

10 tahun ke atas yang bisa baca tulis) dan KTG untuk masing-masing kecamatan di Kabupaten Sumenep ... 111 Lampiran 9 Hasil Pendugaan Paramater pi (proporsi penduduk berusia

10 tahun ke atas yang bisa baca tulis) dan KTG untuk masing-masing kecamatan di Kabupaten Pasuruan ... 112 Lampiran 10 Hasil pendugaan proporsi penduduk pada tiap tingkat

pendidikan tertinggi di Kabupaten Sumenep ... 113 Lampiran 11 Hasil pendugaan KTG untuk pendugaan proporsi

penduduk pada tiap tingkat pendidikan tertinggi di Kabupaten Sumenep ... 114 Lampiran 12 Hasil pendugaan proporsi penduduk pada tiap tingkat

Lampiran 13 Hasil pendugaan KTG untuk pendugaan proporsi penduduk pada tiap tingkat pendidikan tertinggi di Kabupaten Pasuruan ... 116 Lampiran 14 Hasil pendugaan angka melek huruf di tiap kecamatan

berdasarkan model campuran logit normal terbobot dan model campuran logit normal terbobot di Kabupaten Sumenep ... 117 Lampiran 15 Hasil pendugaan angka melek huruf di tiap kecamatan

berdasarkan model campuran logit normal terbobot di Kabupaten Pasuruan ... 118 Lampiran 16 Hasil pendugaan angka melek huruf di tiap kecamatan

berdasarkan model campuran logit multinomial terbobot di Kecamatan Pragaan, Kabupaten Sumenep ... 119 Lampiran 17 Pendugaan KTG untuk penduga proporsi penduduk di

tiap jenjang pendidikan berdasarkan model campuran logit multinomial terbobot di Kabupaten Sumenep ... 120 Lampiran 18 Hasil pendugaan proporsi penduduk di tiap jenjang

pendidikan berdasarkan model campuran logit multinomial terbobot di Kabupaten Pasuruan ... 121 Lampiran 19 Penduga KTG untuk penduga proporsi penduduk di tiap

jenjang pendidikan berdasarkan model campuran logit multinomial terbobot di Kabupaten Pasuruan ... 122 Lampiran 20 Prediksi Indeks Pendidikan di Kabupaten Sumenep

menggunakan model SAE ………... 123

Lampiran 21 Prediksi Indeks Pendidikan di Kabupaten Pasuruan

menggunakan model SAE ……… 124

Lampiran 22 Hubungan antara Proprosi Penduduk untuk tiap jenjang pendidikan Berdasarkan Usia dan jenis kelamin di kabupaten Sumenep ... 125 Lampiran 23 Hubungan antara Proprosi Penduduk untuk tiap jenjang

pendidikan dengan Usia dan jenis kelamin di kabupaten

BAB

I

Pendahuluan

1.1. Latar Belakang

Berbagai survei umumnya dirancang untuk menduga parameter populasi untuk area besar, misalnya untuk wilayah nasional atau regional (provinsi, kabupaten/kota) dan pendugaan parameternya didasarkan pada rancangan atau dikatakan sebagai pendugaan langsung. Untuk pendugaan parameter wilayah yang lebih kecil, umumnya jumlah contoh kurang mencukupi jika digunakan untuk pendugaan berdasarkan rancangan.

Dewasa ini telah dikembangkan sebuah metode pendugaan parameter di suatu area dimana jumlah contohnya berukuran kecil dan bahkan tidak ada yaitu Metode Pendugaan Area Kecil atau Small Area Estimation (SAE). Pendugaan dalam SAE didasarkan pada model dan merupakan pendugaan tidak langsung. Oleh karena itu dibutuhkan informasi tambahan dari peubah yang memiliki hubungan dengan peubah yang sedang diamati yang disebut sebagai peubah penyerta (auxiliary variable).

Model SAE pertama kali diperkenalkan oleh Fay & Heriot (1979), yaitu model yang memperhitungkan dua jenis keragaman yang mencakup 1) keragaman peubah respon yang tidak dapat diterangkan seluruhnya oleh hubungan peubah respon dengan informasi tambahan yang disebut model pengaruh tetap dan 2) keragaman spesifik area kecil yang tidak dapat diterangkan oleh informasi tambahan, merupakan pengaruh acak area kecil. Oleh karena itu model SAE mengandung dua komponen galat yaitu galat karena model dan galat karena pendugaan parameter secara langsung. Rataan atau tolal area kecil dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari pengaruh tetap dan pengaruh acak.

Secara aliran klasik, pendugaan parameter untuk model dasar SAE biasanya menggunakan metode Prediksi Tak-bias Linier Terbaik (Best Linear Unbiased Predictor) yaitu dengan meminimumkan Kuadrat Tengah Galat (KTG) dari penduga. Pendugaan dengan Prediksi Tak-bias Linier Terbaik (PTLT) ini tidak tergantung pada kenormalan dari pengaruh acak tetapi tergantung pada ragam atau koragam dari pengaruh acak. Sedangkan komponen

ragam-koragam sering diduga dengan menggunakan metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood:ML) atau Kemungkinan Maksimum Berkendala (Restricted Maximum Likelihood: REML) dengan mengasumsikan kenormalan. Dengan cara tersebut pendugaan melalui proses dua tahap yang dikenal sebagai Prediksi Tak-bias Linier Terbaik Empirik (PTLTE). Rao (2003) mengatakan bahwa metode BLUP atau EBLUP hanya cocok untuk peubah kontinu, tetapi kurang sesuai jika digunakan untuk pemodelan peubah respon bertipe diskrit.

Metode PTLT atau PTLTE dapat diaplikasikan untuk model linier campuran yang banyak digunakan untuk pendugaan area kecil. Dalam pendugaan parameter dari model linier campuran tersebut tidak dibutuhkan kenormalan dari pengaruh acak dan galat , tetapi kenormalan dibutuhkan untuk mendapatkan penduga KTG yang akurat (Rao, 2003). Model linier campuran itu sendiri dirancang untuk peubah bertipe kontinu dan kurang sesuai untuk peubah bertipe diskrit (biner atau cacahan). Untuk data biner atau cacahan, khususnya model regresi logistik dan model log linier akan lebih tepat menggunakan metode pendugaan melalui pendekatan Bayes, baik melalui metode Bayes Empirik (Empirical Bayes) maupun metode Bayes Berhirarki (Hierarchical Bayes).

Di Indonesia, beberapa peneliti yang mengembangkan model SAE diantaranya adalah Kurnia et al. (2007), yang membahas pengaruh mis-spesifikasi desain survey pada pendugaan area kecil. Selain itu Kurnia et al. (2007) membahas tentang pendekatan non parameterik dalam SAE. Selanjutnya Kurnia (2009) meneliti tentang prediksi terbaik empirik untuk model transformasi logaritma di dalam pendugaan area kecil dengan penerapan pada data Susenas. Peneliti yang lain adalah Sadik (2009) mengembangkan metode prediksi tak-bias linear terbaik dan bayes berhirarki untuk pendugaan area kecil berdasarkan model state space.

Beberapa peneliti yang telah mengembangkan model pendugaan area kecil untuk data biner diantaranya adalah Malec et al. (1997), Boostra et al. (2011), Jiang dan Lahiri (2001), Rao (2003), Clarke et al. (2006) dan Chandra et al. (2009). Para peneliti tersebut umumnya menggunakan sebaran prior Beta atau logit normal, sedangkan untuk pendugaan parameter digunakan metode Kemungkinan Quasi Berpenalti (Penalized Quasi-Likelihood) dan pendugaan ragam dengan menggunakan pendekatan ML atau REML. Metode SAE untuk

data biner yang dikembangkan oleh para peneliti tersebut tidak memperhitungkan peluang percontohan dari data yang digunakan.

Model SAE berbasis sebaran multinomial telah dikembangkan oleh Molina et al. (2007) dengan metode yang didasarkan pada aplikasi dari Model Campuran Logit Multinomial (Multinomial Logit Mixed Model). Model SAE untuk peubah multinomial oleh Molina mengasumsikan pengaruh acak yang sama untuk semua katagori. Scealy (2010) mengembangkan model Molina et al. (2007) dengan memasukkan pengaruh acak katagori. Untuk pendugaan parameter model Scealy (2010) mengaplikasikan metode Kemungkinan Quasi Berpenalti (KQB), pendekatan ML dan/atau REML. Metode tersebut kemudian diaplikasikan untuk pendugaan parameter angkatan kerja di area kecil. Pendugaan KTG untuk penduga parameter didekati melalui dua metode yaitu bootstrap parametrik dan pendekatan analitik serta kemudian membandingkan keduanya. Sceally (2010) menghasilkan bahwa metode boostrap parametrik memberikan hasil lebih baik dibandingkan dengan pendekatan analitik, namun perbedaannya sangat kecil.

Pada umumnya di dalam model SAE dianggap semua area terwakili dalam contoh atau dianggap bahwa contoh area dipilih dengan peluang yang sama (Pfeffermann 2010). Hanya ada beberapa studi yang memperhatikan struktur peluang percontohan dengan menggunakan peluang tidak sama, misalnya Kott (1990), Arora dan Lahiri (1997) serta Prasad dan Rao (1999). Pfeffermann (2010) berbendapat bahwa pendugaan yang dilakukan tanpa memperhatikan peluang penarikan contoh akan menghasilkan penduga yang berbias. Demikian juga Lehtonen (2009) menyatakan bahwa dengan menyertakan bobot peluang penarikan contoh ke dalam model, misalkan proporsional terhadap ukuran populasi atau proportional to size (pps), dapat dihasilkan peningkatan akurasi dan pengurangan bias. Lehtonen (2009) mengembangkan pendugaan langsung di area kecil yang mengaplikasikan Model Generalized Regression (GREG) dimana pendugaan parameter menggunakan metode PTLTE yang menyertakan bobot unit contoh.

Model SAE yang memperhitungkan struktur peluang penarikan contoh yang telah dikembangkan oleh para peneliti tersebut adalah untuk model SAE dengan peubah respon normal. Pendugaan parameter menggunakan pendekatan klasik yaitu mengaplikasikan PTLT atau PTLTE. Pengembangan model SAE berbasis penarikan contoh berpeluang tidak sama khusus untuk data

biner dibahas oleh Chen et al. (2010) yang menggunakan pendekatan Bayes Empirik dan Berhirarki.

Di Indonesia, kebutuhan untuk pendugaan area kecil misalkan kecamatan atau desa makin meningkat, khususnya untuk menyusun kebijakan atau perencanaan pembangunan oleh pemerintah daerah. Salah satu indikator yang dijadikan dasar dalam perencanaan pembangunan adalah Indeks Pembangunan Manusia (IPM) yang mengukur pencapaian hasil pembangunan di sebuah wilayah (BPS 2005). IPM diukur dalam 3 dimensi dasar yaitu: 1)Hidup yang sehat dan panjang umur yang diukur dengan Pengetahuan yang diukur dengan angk dan rata-rata lama sekolah serta 3) standar hidup layak yang diukur dengan daya beli (UNDP 1998). IPM dapat digunakan untuk mengklasifikasikan apakah sebuah wilayah adal digunakan untuk mengukur pengaruh dari kebijakan ekonomi terhadap kualitas hidup. Di Indonesia perhitungan IPM dilakukan oleh Badan Pusat Statistik (BPS) yang secara resmi mempublikasikan IPM secara periodik setiap tahun untuk tingkat provinsi dan kabupaten/kota.

Dewasa ini perhitungan IPM untuk tingkat kecamatan mulai dibutuhkan untuk digunakan sebagai dasar perencanaan pembangunan di tingkat Kabupaten. IPM untuk tingkat kecamatan, yang membandingkan hasil pembangunan antar kecamatan, baru dilakukan oleh sebagian pemerintah kabupaten/kota. Perhitungan IPM di tingkat kecamatan umumnya dilakukan dengan cara klasik, yaitu menggunakan pendugaan langsung dengan cara menambah jumlah contoh agar mencukupi. Sebagai contoh perhitungan IPM untuk Kabupaten Probolinggo (Rumiati et al. 2007), Sumenep (Rumiati et al. 2008), Tuban (Rumiati et al. 2009) dilakukan dengan memanfaatkan data Survei Sosial Ekonomi Nasional (Susenas) dan menambah jumlah data melalui survai.

Penggunaan data Susenas untuk pendugaan parameter di tingkat kecamatan atau desa akan menghadapi dua persoalan statistik yaitu: 1)terbatasnya jumlah data karena Susenas ditujukan untuk menduga parameter berskala nasional atau regional (provinsi sampai kabupaten/kota). 2) penarikan contohnya memiliki peluang tidak sama karena rancangan penarikan contoh dalam Susenas adalah penarikan contoh gerombol dua tahap yaitu mengambil blok sensus pada tahap pertama dan pada tahap ke dua mengambil rumah

tangga pada blok sensus yang terpilih. Oleh karena itu penarikan contoh dalam Susenas memiliki peluang tidak sama.

Dalam penelitian ini dibahas pengembangan metode SAE yang dapat digunakan untuk menduga parameter pendidikan yang merupakan komponen Indeks Pendidikan dalam IPM. Perhitungan Indeks Pendidikan melalui pendugaan angka melek huruf dan rata-rata lama sekolah. Angka melek huruf dihitung berdasarkan proporsi penduduk yang mampu baca dan tulis dari penduduk yang berusia 10 tahun ke atas. Sedangkan rata-rata lama sekolah dihitung berdasarkan proporsi penduduk yang telah berada pada jenjang pendidikan tertentu yang dikalikan dengan lama menempuh pendidikan di jenjang tersebut dibagi dengan jumlah penduduk. Jumlah penduduk yang bisa baca tulis diasumsikan memiliki sebaran Binomial dan jumlah penduduk pada tiap jenjang pendidikan diasumsikan memiliki sebaran Multinomial. Selanjutnya karena perhitungan IPM menggunakan data Susenas, maka persoalan statistik terkait dengan keterbatasan jumlah data dan ketidaksamaan peluang dalam penarikan contoh. Oleh karena itu yang menjadi pertanyaan penelitian ini adalah bagaimana model pendugaan area kecil untuk peubah respon binomial dan multinomial pada kasus penarikan contoh berpeluang tidak sama.

Rao (2003) mengatakan bahwa untuk data biner atau cacahan, khususnya model regresi logistik dan model log linier akan lebih tepat menggunakan metode pendugaan melalui pendekatan Bayes. Oleh karena itu dalam penelitian ini pendugaan area kecil dilakukan melalui pendekatan Bayes didasarkan pada model SAE untuk peubah respon Binomial dan Multinomial berbasis peluang penarikan contoh tidak sama. Selanjutnya model SAE yang dihasilkan diaplikasikan untuk pendugaan Indeks Pendidikan kecamatan di Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan, Provinsi Jawa Timur.

1.2. Tujuan Penelitian

1. Mengembangkan model SAE berbasis sebaran Binomial dan Multinomial melalui pendekatan Bayes dengan penarikan contoh berpeluang tidak sama.

2. Mengaplikasikan metode pendugaan area kecil yang diperoleh dari tujuan pertama untuk menduga angka melek huruf dan rata-rata lama sekolah ditingkat kecamatan dalam rangka menghitung Indeks Pendidikan

1.3. Ruang Lingkup

Ruang lingkup penelitian ini meliputi pengembangan metode pendugaan area kecil untuk peubah respon Binomial dan Multinomial melalui pendekatan Bayes. Pengembangan model SAE akan memperhatikan peluang penarikan contoh mengingat penerapan dari metode SAE tersebut diaplikasikan untuk menduga Indeks Pendidikan di tingkat kecamatan dengan data Susenas dimana contohnya diambil berdasarkan peluang tidak sama.

Secara khusus model SAE yang akan dikaji merupakan model berbasis unit dengan pendugaan parameter menggunakan metode Bayes Empirik berdasarkan sebaran prior logit normal dari parameter (pi

Metode SAE yang dikembangkan untuk peubah respon Binomial dan Multinomial berbasis peluang contoh tidak sama diaplikasikan untuk menduga Indeks Pendidikan di tingkat kecamatan di Jawa Timur. Studi kasus yang diambil adalah kabupaten Sumenep (yang mewakili daerah pertanian dan perkebunan) dan Kabupaten Pasuruan (mewakili daerah industri) di Jawa Timur. Secara garis besar kerangka penelitian dapat dilihat pada Gambar 1 dan Gambar 2.

) yang diduga. Metode pendugaan parameter menggunakan integrasi numerik karena penyelesaian persamaan secara analitik untuk model Bayes khususnya berbasis data biner sulit ditemukan.

1.4. Kebaruan

Beberapa peneliti telah melakukan pengembangan model SAE untuk peubah respon Binomial dan Multinomial yang berbasis data biner, baik melalui pendekatan klasik maupun melalui pendekatan Bayes. Model SAE yang dikembangkan umumnya tidak memperhatikan peluang penarikan contoh dan menganggap contoh yang digunakan berdasarkan pada penarikan contoh secara acak dengan peluang yang sama. Pendugaan parameter dalam penelitian ini memperhitungkan cara penarikan contoh khususnya untuk penarikan contoh berpeluang tidak sama.

Dengan menggunakan data Susenas, pendugaan IPM oleh BPS di Indonesia hanya sampai tingkat kabupaten/ kota karena ketidak cukupan data untuk area yang lebih kecil (kecamatan atau desa). Pendugaan IPM di level kecamatan umumnya dilakukan dengan menambah jumlah contoh dimana pendugaan parameter dilakukan secara langsung dan tanpa memperhitungan peluang tiap unit contoh.

Tanpa memperhatikan peluang penarikan contoh

Model logit normal terbobot

Pendugaan Parameter Area : Pendekatan Bayes Model logit normal

Pendugaan Parameter model SAE : PQL/REML

Model SAE dengan Fungsi Peluang Eksponensial Dengan memperhatikan peluang penarikan contoh

Pendugaan Parameter model : Metode KM

Simulasi

Aplikasi

Perhitungan bobot area kecil (bloksensus )

Lokasi: Kecamatan Lenteng , Kabupaten Sumenep Data Sensus Penduduk 2010

Perhitungan bobot individu Penarikan contoh area

(blok sensus) : 5 area Penarikan contoh RT  _{16 RT} diulang 100 x 100 set contoh tanpa bobot 100 set contoh dengan bobot Model logit normal terbobot Model logit normal 1

2

2

Model SAE dengan menyertakan fungsi peluang penarikan contoh

Lokasi: Kabupaten Sumenep dan Pasuruan

Data Sensus Penduduk 2010

Data Susenas 2010 Perhitungan bobot area Model logit _{normal terbobot} kecil (bloksensus ) Perhitungan bobot individu

Perhitungan angka melek huruf di tiap kecamatan

Perhitungan bias Perhitungan KTG Model logit normal tanpa bobot

Perhitungan Bias, KTG Perhitungan Bias, KTG Pengembangan Model Gambar 1.1.

Kerangka Penelitian Pengembangan Model SAE untuk Peubah Respon Binomial Keterangan

1. Tahap pengembangan model SAE dengan respon binomial dengan memperhatikan struktur peluang

2. Simulasi dengan mengambil kecamatan Lenteng, yaitu dengan penarikan contoh gerombol dua tahap yang diulang sebanyak 100 kali

3. Aplikasi, menerapkan model terbaik yang diperoleh dari hasil aplikasi untuk menduga angka melek huruf di level kecamatan di Kabupaten Sumenep dan

Pengembangan Model Pendugaan Parameter model SAE : KQB/KMB Pendugaan Parameter Area : Pendekatan Bayes

Tanpa memperhatikan peluang penarikan contoh

Model logit multinomial terbobot

Pendugaan Parameter Area : Pendekatan Bayes

Model logit multinomial

Pendugaan Parameter model SAE : KQB/KMB Dengan memperhatikan peluang penarikan contoh

Aplikasi

1

2 Lokasi: Kabupaten Sumenep dan Pasuruan

Data Susenas 2010 Model logit multinomial terbobot Perhitungan bobot area

kecil (bloksensus ) Perhitungan bobot individu

Perhitungan rata-rata lama sekolah di tiap kecamatan

Model logit multinomial tanpa bobot

Perhitungan KTG

Gambar 1.2.

Kerangka Penelitian Pengembangan Model SAE untuk Peubah Respon Multinomial

Keterangan

1. Tahap pengembangan model SAE dengan respon multinomial dengan memperhatikan struktur peluang

2. Aplikasi, menerapkan model logit multinomial untuk pendugaan rata-rata lama sekolah di level kecamatan di Kabupaten Sumenep dan Pasuruan

Dalam disertasi ini dibahas tentang pendugaan Indeks Pendidikan sebagai salah satu komponen IPM di area kecil (kecamatan) didasarkan pada sebaran Binomial untuk pendugaan angka melek huruf dan sebaran Multinomial untuk pendugaan rata-rata lama sekolah. Kebaruan dari penelitan ini adalah:

1. Disertasi ini mengembangkan Metode SAE berbasis respon Binomial dan Multinomial melalui pendekatan Bayes dengan memperhitungkan peluang penarikan contoh.

2. Disertasi ini mengembangkan Metode Bayes SAE yang dapat diaplikasikan untuk menduga Indeks Pendidikan di tingkat kecamatan dengan memperhitungan bobot dalam percontohan Susenas. Pendekatan

semacam ini, yaitu pendugaan Bayes dengan memperhitungkan bobot percontohan belum pernah dilakukan baik oleh BPS maupun oleh peneliti lain. Oleh karena itu disertasi ini menghasilkan metode baru untuk pendugaan Indeks Pendidikan dengan tingkat akurasi dan presisi yang lebih tinggi.

1.5. Sistematika Disertasi

Disertasi ini terbagi menjadi 3 (tiga) bagian besar. Bagian pertama membahas tentang pendugaan area kecil secara umum dan hal-hal yang terkait dengan proses penarikan contoh serta perhitungan IPM. Bagian kedua membahas perkembangan model SAE khususnya untuk sebaran respon Binomial dan Multinomial dengan contoh penerapan dalam pendugaan angka melek huruf dan rata-rata lama sekolah di level kecamatan di di dua kabupaten di Jawa Timur. Bagian ketiga membahas pengembangan model SAE untuk sebaran Binomial dan Multinomial berbasis pada penarikan contoh berpeluang tidak sama dan penerapannya untuk pendugaan Indeks Pendidikan di level Kecamatan di Jawa Timur. Secara rinci disertasi ini terbagi kedalam 7 bab. Bab 1 adalah pendahuluan yang berisi uraian latar belakang, yujuan, ruang lingkup dan kebaruan dari disertasi.

Pada bab II dibahas tinjauan pustaka berisi tentang model dasar SAE dan perkembangannya, meliputi pendugaan parameter menggunakan pendekatan klasik dan pendekatan Bayes. Di dalam tinjauan pustaka juga dibahas tentang metode penarikan contoh dalam Susenas serta penentuan bobot untuk kepentingan pendugaan parameter dengan metode langsung. Selanjutnya pada bab II ini juga dibahas tentang Indeks Pembangunan Manusia (IPM) dan Indeks Pendidikan serta cara perhitungannya.

Pada bab III dibahas tentang pendugaan area kecil untuk respon Binomial, khususnya untuk pendugaan parameter berbasis model dengan pendekatan Bayes. Dalam bab ini juga disajikan pendugaan Bayes dengan metode langsung (tidak berbasis model) yaitu dengan menggunakan sebaran prior Beta dan logit normal. Model SAE untuk respon Binomial kemudian diaplikasikan untuk pendugaan angka melek huruf di tingkat kecamatan di Kabupaten Sumenep dan Kabupaten Pasuruan di provinsi Jawa Timur dengan menggunakan data Susenas 2010.

berbasis peubah respon Multinomial. Dalam bab ini juga digunakan pendekatan Bayes dengan mengembangkan model SAE untuk peubah respon Multinomial yang dikembangkan oleh Sceally (2010) dimana pengaruh area dibedakan atas katagori. Model SAE yang dikembangkan diaplikasikan untuk menduga rata-rata lama sekolah untuk level kecamatan di kabupaten Sumenep berdasarkan Susenas 2010.

Pada bab V dikaji pendugaan area kecil (SAE) berdasarkan penarikan contoh berpeluang tidak sama. Kajian ini dimaksudkan untuk mempelajari cara pemberian bobot terhadap unit percobaan maupun area yang terambil sebagai contoh. Dalam bab ini dipelajari berbagai ide pengembangan model SAE terkait dengan peluang penarikan contoh atau memperhitungkan peluang penarikan contoh dalam pengembangan dalam pengembangan model SAE. Perhitungan bobot penarikan contoh sesuai dengan proses penarikan contoh yang diaplikasikan dalam Susenas. Model SAE yang memperhitungkan peluang penarikan contoh diaplikasikan untuk menduga rata-rata lama sekolah untuk level kecamatan di kabupaten Sumenep berdasarkan Susenas 2010.

Bab VI berisi pembahasan yang megintegrasikan semua hasil pengkajian pengembangan metode SAE melalui pendekatan Bayes baik untuk respon Binomial maupun Multinomial tanpa memperhitungkan atau dengan memperhitungkan peluang penarikan contoh. Selain itu pada bab ini juga dibahas hasil penerapan pendugaan Indeks Pendidikan di kabupaten Sumenep dan Pasuruan

Bab VII adalah bab kesimpulan yang berisi rangkuman semua hasil penelitian dan saran baik untuk penelitian ke depan maupun saran secara umum kepada pemerintah.

BAB II

Tinjauan Pustaka

2.1. Pendahuluan

Dalam bab ini dibahas berbagai metode terkait dengan metode pendugaan area kecil, dimulai dengan pembahasan model dasar pendugaan area kecil meliputi metode pendugaan parameter dan pendugaan Kuadrat Tengah Galat (KTG), baik menggunakan cara klasik maupun melalui pendekatan Bayes. Kajian pustaka selanjutnya adalah tentang pengembangan pendugaan SAE yang memperhitungkan proses pengambilan contoh khususnya untuk pengambilan contoh yang berpeluang tidak sama.

Karena model SAE yang dibahas dalam penelitian ini diaplikasikan untuk menghitung Indeks Pendidikan yang merupakan salah satu komponen dari Indeks Pembangunan Manusia, sehingga pada bab ini juga akan dijelaskan cara dan dasar perhitungan IPM khususnya untuk Indeks Pendidikan.

Data yang digunakan adalah data Susenas untuk Provinsi Jawa Timur tahun 2010 dan data Sensus Penduduk tahun 2010 khususnya di Kabupaten Sumenep dan Pasuruan. Oleh karena itu juga dibahas metode penarikan contoh Susenas dan cara pembobotan untuk pendugaan parameter berbasis data Susenas.

2.2. Model Dasar Pendugaan Area Kecil

Berbagai survei umumnya dirancang untuk menduga parameter populasi untuk wilayah atau area yang besar, misalnya untuk wilayah nasional/ regional (provinsi/kabupaten/kota) dan pendugaan parameternya didasarkan pada rancangan. Karena itu untuk area kecil umumnya jumlah contoh menjadi kurang mencukupi terutama jika ingin digunakan pendugaan berdasarkan rancangan. Oleh karena itu beberapa peneliti statistik telah mengembangkan Metode Pendugaan Area Kecil atau Small Area Estimation (SAE) untuk pendugaan parameter di suatu area dimana jumlah contohnya berukuran kecil.

Metode SAE ini pertama kali diperkenalkan oleh Fay & Heriot (1979), merupakan pendugaan tidak langsung atau berdasarkan model (model based

estimation). Oleh karena itu untuk membangun model SAE dibutuhkan informasi tambahan dari peubah yang memiliki hubungan dengan peubah yang sedang diamati yang disebut sebagai peubah penyerta (auxiliary variable). Peubah penyerta ini dapat diukur dari survai yang lain atau dalam catatan administrasi dan diharapkan memiliki korelasi dengan peubah yang diamati. Dengan metode SAE diharapkan adanya perbaikan efisiensi dari pendugaan parameter dalam area kecil jika peubah penyerta tersedia.

Model SAE memperkenalkan model campuran yang menyertakan pengaruh area spesifik yang memperhitungkan variasi antar area diluar yang dapat dijelaskan oleh peubah penyerta yang ada di dalam model. Ketersediaan data dari peubah penyerta akan sangat menentukan kesuksesan dalam pembuatan model SAE.

Rao (2003) menyatakan bahwa penggunaan model SAE ini memberikan beberapa keuntungan yaitu: 1) Diagnostik model dapat digunakan untuk mendeteksi kecocokan dengan data, misalkan menggunakan analisis sisaan 2) Pengukuran presisi area-spesifik dapat diasosiasikan dengan setiap pendugaan setiap area kecil, 3) Model linier campuran seperti model regresi logistik dengan pengaruh acak area–spesifik tetap dapat dilakukan, demikian juga untuk struktur data yang cukup kompleks misalkan struktur data time series atau spasial; 4) pengembangan metode untuk model pengaruh acak dapat dimanfaatkan untuk mencapai akurasi dalam area kecil.

2.2.1. Pendugaan Area Kecil Berbasis Area

Misalkan terdapat M area kecil di dalam populasi, maka untuk kepentingan pendugaan area kecil hanya diambil contoh sebanyak m area. Diasumsikan bahwa parameter yang diperhatikan dalam area kecil ke-i, misalkan θ_i dapat dinyatakan sebagai sebuah fungsi yang menghubungkan parameter tersebut dengan peubah pembantu yang diukur dari area kecil yaitu z_i=(z_1i,z_2i,...,z_pi)T. Rao (2003) mengatakan bahwa model linier yang menjelaskan hubungan tersebut adalah: i i b T i i

υ

θ

=z β+ i=1,2,...m, (2.1)

dimana bi

(

)

T P

β

β

β

1, 2,..., = β adalah konstanta positif yang diketahui dan

adalah vektor koefisien regresi berukuran p x 1. Selanjutnya υ_i adalah pengaruh acak area spesifik diasumsikan memiliki sebaran

υ

_i ~(0,

σ

_υ2)

Jika penduga langsung

θ

ˆ_idiketahui, maka

θ

ˆ_i dapat dinyatakan sebagai : i i i =

θ

+e

θ

ˆ _{, untuk i=1,2,...m, (2.2)} dimana : i i i p i i p e V e E ( θ)=0, ( θ)=ψ . (2.3)

Rao (2003) menjelaskan bahwa model SAE untuk tingkat area, terdiri dari dua komponen model yaitu komponen model pendugaan langsung dan pendugaan tak langsung. Kombinasi model pendugaan langsung (2.2) dan tak langsung (2.1) dikenal sebagai Model Campuran Linier Terampat/MCLT (Generalized Linear Mixed Model:GLMM) sebagai berikut:

i i i T i i =z

β

+b

υ

+e

θ

ˆ _{. (2.4)}

Model area kecil seperti yang dijelaskan pada persamaan (2.4) di atas dikenal sebagai model Fay-Heriot, dimana keragaman peubah respon di dalam area kecil diasumsikan dapat diterangkan oleh hubungan peubah respon dengan informasi tambahan yang disebut sebagai model pengaruh tetap. Selain itu terdapat komponen keragaman spesifik area kecil yang tidak dapat diterangkan oleh informasi tambahan dan disebut sebagai komponen pengaruh acak area kecil. Gabungan dari dua asumsi tersebut membentuk model pengaruh campuran.

2.2.2. Pendugaan Area Kecil Berbasis Unit

Pendugaan area kecil berbasis unit mengasumsikan bahwa data dari peubah penyerta level unit xij=(xij1,...xijp)T tersedia untuk setiap elemen ke j pada area ke-i. Peubah yang diperhatikan adalah yij yang diasumsikan memiliki hubungan dengan xij ij i T ij ij x e y = β+υ + melalui model: , j=1,...,ni Pengaruh acak area

, i=1,...m. (2.5)

i

υ

diasumsikan merupakan peubah acak yang bersifat iid sedangkan e_ij =k_ije~_ij dengan kij eij

~

yang bersifat iid dan bebas terhadap υ_idimana 2 0 ) ~ ( _{ij e} m e E = dan Vem(~eij)=σe2. Seringkali

υ

_idan eij diasumsikan memiliki sebaran peluang normal.

Dengan mengasumsikan bahwa percontohan si berukuran ni diambil dari populasi di area ke-i berukuran Ni

        +         +         =         = _{* * * *} 1 1 i i i i i i i i i i e e y y υ β X X y

(i=1,2...m) dan penarikan contoh dalam setiap area diambil secara acak sederhana, sehingga model (2.5) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks:

(2.6)

*

i

y menyatakan unit-unit yang tidak terambil dalam percontohan. Jika Y_iadalah

rata-rata populasi di area ke-i, maka Y_i dapat ditulis sebagai:

* ) 1 ( _{i i} i i i f y f Y Y = + − (2.7)

dimana f_i =n_i/N_i dan y_i adalah rata-rata dari seluruh contoh di area ke-i dan

*

i

Y menyatakan rata-rata elemen populasi dari bagian yang tidak terambil sebagai contoh. Oleh karena itu untuk model SAE berbasis unit, pendugaan parameter area kecil Y_i sama dengan menduga *

i

Y jika data percontohan {y_i} dan {X_i} tersedia.

2.3. Pendugaan Parameter Model SAE

2.3.1. Metode Prediksi bias Linier Terbaik (PTLT) dan Prediksi Tak-bias Linier Terbaik Empirik (PTLTE)

Parameter di area kecil, misalkan rataan atau tolal, dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari efek tetap dan efek acak seperti dinyatakan pada persamaan (2.1) untuk model berbasis area dan persamaan (2.5) untuk model berbasis unit.

Melalui pendekatan klasik, pendugaan parameter model SAE umumnya mengaplikasikan metode PTLT dengan meminimumkan Kuadrat Tengah Galat (KTG). Metode PTLT ini tidak tergantung pada kenormalan dari efek acak tetapi tergantung pada ragam atau koragam dari efek acak. Untuk menduga komponen ragam dan koragam umumnya digunakan metode ML atau REML dengan mengasumsikan kenormalan. Dengan cara tersebut pendugaan dilakukan melalui proses dua tahap yang dikenal sebagai PTLTE.

Misalkan data percontohan memenuhi model linier campuran terampat berikut: e Zv Xβ y= + + (2.8) dimana:

y adalah vektor data observasi berukuran n x 1

X dan Z adalah matriks berukuran n x p dan n x h yang diketahui

v dan e adalah berdistribusi saling bebas dengan rataan 0 dan ragam G

dan R yang tergantung pada parameter T

q)

,... (δ1 δ

=

δ , diasumsikan

bahwa δ adalah himpunan bagian dari ruang Euclidean sedemikian

hingga T

y

Var( )=V=V(δ)=R+ZGZ adalah non singular untuk semua δ yang terdapat dalam himpunan bagian tersebut, dimana Var (y) adalah matrik ragam-koragam dari y.

Parameter yang akan diduga merupakan kombinasi linier: µ=1Tβ+mTv (Rao 2003). Penduga dari µ adalah µˆ=aTβ+b untuk a dan b diketahui dan merupakan penduga tak bias jika E(µˆ)=E(µ). Selanjutnya Kuadrat Tengah

Galat (KTG) didefinisikan sebagai 2

) ( ) ˆ

(µ =E µ−µ

KTG dan jika

µ

 adalah

penduga tak bias dari µ, maka KTG(µˆ)=Var(µ−µ) .

Pada Rao (2003), penduga PTLT µ yang meminimumkan KTG dinyatakan dalam formula:

), ~ ~ ~ ~ ~ _{t(δ(y) 1 β m v 1 β m GZ V (y Xβ} μH _{= =} T ₊ T ₌ T ₊ T T −1 _{− (2.9)} dimana: y V X X) V (X (δ β β_{= =} T −1 −1 T −1 ) ~ ~ (2.10)

adalah penduga tak bias linier terbaik (Best Linear Estimator: BLUE) dari β dan ) β X (y V GZ (δ v v ~ ) T 1 ~ ~_{= =} − _{− . (2.11)}

Penduga PTLT tergantung pada ragam δ yang biasanya tidak diketahui. Jikaδ diduga dengan δˆ=δˆ(y), maka akan diperoleh Prediksi Tak-bias Linier Terbaik Empirik (PTLTE) yang tetap merupakan penduga tak bias bagi µ. Penduga δ diperoleh melalui metode ML atau REML.

Untuk model berbasis unit, dimana rataan area kecil ke-i dinyatakan oleh fungsi:µ_i =X~T_iβ+υ_i. Untuk model percontohan y X~ β υi e_ij

T ij

ij = + + , j=1,..ni; i=1,....,m

i n i i i =Xβ+υ1i +e y . (2.12)

Model SAE yang dinyatakan oleh (2.12) merupakan bentuk khusus dari persamaan (2.8), dimana G_i =σ_υ2, dan 1 ( 2)

2 ij n j e i diag k R i ≤ ≤ +σ sehingga:       − = − T i i i i ij j e i aa a a diag V γ σ ( ) 1 2 1 _{. (2.13)}

Dengan mengambil (σ_υ2/σ_e2)/(1−γ_i)=γ_i/a_idimana =∑

j ij i a a , T in i i a a i a =( ₁,...., )

maka penduga PTLT dari µi ) ~ ( ~ ~ ~ _{β γ β} µ T ia ia i T i H i =X + y −x adalah (Rao 2003): (2.14) dimana y_ia danx_ia adalah rataan terbobot:

∑ =∑

=

j ij ij i ia j ij ij i

ia a y a x a x a

y / _., / _.,

β~ adalah penduga tak bias linier terbaik bagiβ

∑ − − ∑ − = i i i i T i i i T iV X X V y X ) ( ) ( ~ 1 1 1 β (2.15) ∑ − = = − − j T ia ia i i T ij ij ij e i i i T iV X A a x x a x x X 1 σ 2( γ _. ) (2.16) ∑ − = − − j ij ij ij i i ia ij e i i T iV y a x y a x y X 1 σ 2( γ _. ). (2.17)

Penduga tak bias linier terbaik (2.14) dapat dinyatakan sebagai rata-rata terbobot dari penduga regresi yia +(Xi−xia)Tβ~ dan penduga regresi sintetik β

~ T i X berikut:

[

( ) ~

]

(1 ) ~. ~ _{γ β γ β} µ T i i T ia i ia i H i = y + X −x + − X (2.19)

Bobot γ_i(0≤γ_i ≤1) mengukur ragam model ( 2 υ

σ ), relatif terhadap ragam total

i e /a

2

2 σ

σ_υ + . Jika ragam model relatif kecil maka γ_i akan kecil dan bobotnya akan lebih besar di komponen sintetik.

2.3.2. Pendugaan Parameter Model SAE Melalui Pendekatan Bayes

Melalui pendekatan Bayes, pendugaan parameter di area kecil dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu pendugaan Bayes Empirik/BE (Empirical Bayes: EB) dan Bayes Berhirarki /BH (Hierarchical Bayes:HB). Untuk pendekatan Bayes Empirik, pendugaan didasarkan pada sebaran posterior yang diduga dari data, sedangkan pada pendekatan Bayes berhirarki parameter model yang tidak diketahui diperlakukan sebagai komponen acak yang memiliki sebaran prior

tertentu. Model pendugaan area kecil menggunakan Bayes telah dikembangkan oleh beberapa peneliti diantaranya Gosh dan Rao (1994), You dan Rao (2000).

Pendekatan Bayes, baik Bayes Empirik maupun Bayes Berhirarki merupakan metode yang dapat diaplikasikan secara lebih umum sehingga banyak digunakan untuk data diskrit, misalkan untuk data biner dan data cacahan.

Untuk peubah respons dengan sebaran normal, model dasar area dapat dinyatakan sebagai model Bayes berhirarki dua tahap yaitu:

1) ˆ / ~ ( _i, _i) ind i i

θ

N

θ

ψ

θ

, i: 1,2,3,……,m (2.20) 2)

θ

~ ( T_i

β

, _i2

σ

_υ2) ind i N z b , i: 1,2,3,……,m (2.21)

Dimana β adalah vektor parameter regresi berukuran p x 1. Dalam pendekatan Bayes, parameter model β dan 2

υ

σ

adalah peubah acak, dan model hirarki dua tahap disebut model hirarki bebas bersyarat (conditionally independent hierarchical model : CIHM) karena pasangan

( )

θ

ˆ_i,

θ

_i adalah bebas di antara area i, untuk β dan

σ

_υ2 tertentu.

Penduga optimum dari θi merupakan nilai harapan bersyarat dari θi

β

θ

ˆi, jika diberikan dan

σ

_υ2: β γ θ γ θ σ β θ θ _υ T i i i i B i i i z E( ˆ, , 2)= ˆ = ˆ +(1− ) (2.22) dimana

(

)

i i i i b b ψ σ σ γ υ υ +

= ₂ 2₂ 2 . Nilai harapan dari θi merupakan nilai harapan dari

sebaran posterior (atau bersyarat) dari θi jika diberikan

θ

ˆi,

β

dan

2 υ

σ

: ) ) ( , ˆ ( ~ , , ˆ 2 1 2 i i i B i i iθ β σ N θ g σ γψ θ _{υ υ} = _. (2.23) Penduga θˆ θˆiB(β,σ_υ2) B

i = adalah penduga Bayes dibawah squared error

loss dan merupakan nilai optimum dari KTG, dimana 2

) ˆ ( ) ˆ ( i B i B i E KTGθ = θ −θ ,

selalu lebih kecil dibandingkan dengan θ dan linier atau non linier dalam

θ

ˆ_i. Jiang et al. (2002) menyatakan bahwa

θ

ˆ_iBdisebut prediksi terbaik (Best Prediction: BP) dari penduga θi karena diperoleh dengan tanpa mengasumsikan parameter model.

Penduga Bayes

θ

ˆ_iB tergantung pada parameter model β dan

σ

_υ2 yang diduga dengan menggunakan metode ML atau REML dari sebaran marjinal :

(

,

)

. ~ ˆ 2 2 i i T i ind i N z β b σ ψ θ _υ + _. (2.24)

Penduga parameter dinotasikan dengan

β

ˆdan

σ

ˆ_υ2, sehingga dengan menggantikan

β

ˆ untuk β dan

σ

ˆ_υ2 untuk

σ

_υ2, maka Penduga Bayes Empirik (Empirical Bayes Prediction: EBP) untuk

θ

_iadalah:

(

ˆ, ˆ

)

ˆ ˆ (1 ˆ) ˆ. ˆ ˆ θ β σ2 γθ γ β θ υ i i i iT B i EB i = = + − z (2.25)

Penduga BE,

θ

ˆ_iEB adalah identik dengan penduga PTLTE yang dinotasikan dengan

θ

ˆ_iH juga merupakan rataan dari estimasi densitas posterior ,

(

_ˆ2

)

, ˆ , ˆ υ σ β θ θ_i f dari

θ

_i, yaitu

(

EB _{i i}

)

i Nθˆ ,γˆψ .

2.4. Peluang Penarikan Contoh

Metode pengambilan contoh berbasis peluang telah banyak dibahas oleh beberapa peneliti. Metode pengambilan contoh berbasis peluang yang banyak dibahas dan sering diaplikasikan adalah metode pengambilan contoh acak sederhana (simple random sampling), metode pengambilan contoh berstrata (stratified sampling), metode pengambilan contoh bergerombol (cluster sampling) dan metode pengambilan contoh sistematik (systematic sampling). Masing-masing metode pengambilan contoh memiliki konsekuensi terhadap perhitungan pendugaan parameter. Dalam rangka mendapatkan penduga yang tak berbias maka bobot peluang tersebut harus diperhitungkan dalam pendugaan parameter. Misalkan akan diduga parameter total Y =∑_Uy_j atau rataan Y =Y/N_,

dengan menggunakan contoh s yang diambil dari populasi U dengan peluang p(s), maka dengan mengasumsikan semua elemen j ∈ s dapat diobservasi, maka Yˆadalah penduga berbasis rancangan dari Y dan dikatakan tak bias jika:

Y Y s p Y Ep(ˆ)=∑ ( )ˆs = . (2.26)

. /N n wi = . / _h h i n N w =

Ragam untuk Yˆ adalah V_p(Yˆ)=E_p

[

Yˆ−E_p(Yˆ)

]

2dan penduga untuk Vp(Yˆ)

yang dinotasikan dengan vp(Yˆ)=s2(Yˆ) dikatakan tak berbias jika ) ˆ ( )] ˆ ( [S2 Y V Y Ep = = p .

Untuk pengambilan contoh yang dirancang dengan bobot wj, dimana wj

j

π

merupakan jumlah elemen-elemen dalam populasi yang direpresentasikan oleh contoh j sehingga, jika adalah peluang terambilnya contoh ke j maka

j j

w =1/

π

. Bobot wj tergantung pada s dan elemen j (j s), sehingga ∈

∑

∈

=

} , {s j s

(

)

j

p

s

π

, j=1,2,....,N dan {s: j ∈ s} menyatakan jumlah dari semua contoh s yang memuat elemen j. Oleh karena itu penduga Y dapat ditulis sebagai:

j y sw_j

Yˆ =∑ (2.27)

dimana Σs menyatakan jumlah j s. ∈

Besarnya bobot wj ditentukan oleh metode penarikan contoh yang diterapkan. Misalkan untuk pengambilan contoh acak sederhana setiap unit percobaan memiliki bobot yang sama untuk terambil sebagai contoh yaitu 1/N dimana N adalah jumlah unit percobaan dalam populasi yang diteliti. Sedangkan metode penarikan contoh berbasis peluang yang lain akan memiliki bobot yang berbeda tergantung kepada metode penarikan contoh yang digunakan. Pada Cochran (1977) dan Shao J (1999) telah dibahas cara perhitungan bobot untuk masing-masing metode penarikan contoh.

Metode pendugaan parameter secara langsung dengan memperhitungankan bobot percontohan dikenal sebagai Horvitz-Thompson Estimator untuk berbagai cara penarikan contoh (Shao 1999). Jika wi adalah adalah bobot untuk contoh ke-i, maka untuk berbagai metode penarikan contoh perhitungan bobot wi

1. Penarikan Contoh Acak Sederhana (PCAS) sebagai berikut:

2. Penarikan Contoh Berstrata (PCB) Jika i dalam stratum h, maka :