PENDEKATAN BAYES UNTUK PENDUGAAN PENGARUH INTERAKSI DALAM MODEL AMMI PIKA SILVIANTI

PENDEKATAN BAYES

UNTUK PENDUGAAN PENGARUH INTERAKSI DALAM MODEL AMMI

PIKA SILVIANTI

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

2009

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Pendekatan Bayes untuk Pendugaan Pengaruh Interaksi dalam Model AMMI adalah karya saya sendiri dengan arahan dosen pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Desember 2009

Pika Silvianti NRP G151060111

ABSTRACT

PIKA SILVIANTI. Bayesian Approach for Estimating Interaction Effect of AMMI Model. Under direction of KHAIRIL ANWAR NOTODIPUTRO and I MADE SUMERTAJAYA.

Multi-locations trials play an important role in plant breeding and agronomic research.

Studies concerning genotype-environment interaction are required in selection of genotype to be released. AMMI (Additive Main Effect and Multiplicative Interaction) is one of statistical techniques to analyze data from multi-location trials. Basically AMMI is a combination analysis between additive main effect and principal component analysis. Multi-location sampling data which were collected several years on several planting season were used to be analyzed separately. To obtain more comprehensive information of multi-location sampling data, an analysis which combines all the information in several years is required. One of the alternative method is the Bayesian approach. This method utilizes initial information on the estimated parameters and information from samples. The simulation show that prediction with Bayesian methods has produced a better estimator, since MSE of the Bayesian estimator is smaller than the MSE generated using least squares method. Genotype classification results using AMMI Biplot show that, if the prior information is correctly selected then the genotype classification using Bayes estimators are relatively similar to the classification of genotype based on the actual conditions.

Keywords: AMMI, Bayes, Gibbs Sampling, Multilocation Trials

RINGKASAN

PIKA SILVIANTI. Pendekatan Bayes untuk Pendugaan Pengaruh Interaksi dalam Model AMMI. Dibimbing oleh KHAIRIL ANWAR NOTODIPUTRO dan I MADE SUMERTAJAYA.

Percobaan multilokasi mempunyai peranan penting dalam perkembangbiakan tanaman dan penelitian agronomi. Kajian mengenai interaksi antara genotipe dan lingkungan diperlukan dalam penyeleksian genotipe yang akan dilepas. Metode statistika yang biasa digunakan untuk mengolah data hasil percobaan multilokasi salah satunya adalah AMMI (Additive Main Effect and Multiplicative Interaction). Metode ini menggabungkan analisis ragam aditif bagi pengaruh utama perlakuan dengan analisis komponen utama pada pengaruh interaksinya. Data percobaan multilokasi yang dikumpulkan dari beberapa tahun di beberapa musim tanam, dianalisis secara terpisah.

Agar informasi dari data percobaan multilokasi dapat diperoleh secara lebih menyeluruh, maka perlu adanya suatu analisis yang menggabungkan informasi- informasi dalam beberapa tahun tersebut. Salah satu alternatif analisis yang dapat kita gunakan adalah pendekatan Bayes. Metode ini memanfaatkan informasi awal tentang parameter yang akan diduga dan informasi dari contoh. Hasil simulasi menyatakan bahwa pendugaan dengan metode Bayes menghasilkan dugaan yang lebih baik, karena nilai MSE dugaan Bayes yang lebih kecil dibandingkan dengan MSE dugaan pengaruh interaksi menggunakan metode MKT. Hasil klasifikasi genotipe menggunakan Biplot AMMI menyatakan bahwa, jika informasi prior yang dipilih tepat maka klasifikasi genotipe menggunakan penduga Bayes relatif tidak berbeda dengan klasifikasi genotipe pada kondisi sesungguhnya.

Kata Kunci: AMMI, Bayes, Gibbs Sampling, Percobaan Multilokasi

©Hak cipta milik IPB, Tahun 2009 Hak cipta dilindungi Undang-undang

Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penyusunan kritik atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.

Dilarang mengumumkan atau memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.

PENDEKATAN BAYES

UNTUK PENDUGAAN PENGARUH INTERAKSI DALAM MODEL AMMI

PIKA SILVIANTI

Tesis

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

2009

Judul : PENDEKATAN BAYES UNTUK PENDUGAAN PENGARUH INTERAKSI DALAM MODEL AMMI

Nama : Pika Silvianti NRP : G 151060111 Program Studi : Statistika

Disetujui, Komisi Pembimbing

Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.S Ketua Anggota

Diketahui,

Ketua Program Studi Statistika Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr.Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S

Tanggal Ujian: 28 Desember 2009 Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas Berkah dan Rahmat-Nya sehingga Tesis ini dapat diselesaikan.

Dalam penyelesaian tulisan ini, penulis banyak mendapat masukan dari Dosen Pembimbing, Staf Pengajar Departemen Statistika FMIPA IPB, keluarga, dan berbagai pihak yang tidak dapat penulis sebutkan semuanya. Dengan segala keterbatasan dan kekurangan akhirnya tesis yang berjudul PENDEKATAN BAYES UNTUK PENDUGAAN PENGARUH INTERAKSI DALAM MODEL AMMI dapat diselesaikan dengan baik.

Pada kesempatan ini, secara khusus Penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro M.S dan Bapak Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.S selaku pembimbing, yang telah banyak memberikan arahan, saran dan bimbingan.

2. Prof. Dr. Ir. A. A. Mattjik, M.Sc atas kesempatan yang diberikan kepada Penulis untuk ikut bergabung dalam Hibah Penelitian Tim Pascasarjana yang didanai oleh Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Nomor:

41/I3.24.4/SPK/BG-PD/2009 Tanggal: 30 Maret 2009

3. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi karena telah membiayai penelitian ini melalui Hibah Penelitian Tim Pascasarjana yang didanai oleh Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Nomor: 41/I3.24.4/SPK/BG-PD/2009 Tanggal:

30 Maret 2009

4. Seluruh Dosen dan Karyawan Sekolah Pascasarjana IPB yang telah memberikan layanan pengajaran dan administrasi dengan baik.

5. Rekan-rekan dosen Departemen Statistika FMIPA IPB yang selalu menjadi teman diskusi, memberikan saran dan dorongan moril dalam menyelesaikan tesis ini.

6. Seluruh anggota keluarga Penulis, yang senantiasa memberikan dorongan dan doa yang tulus.

7. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, yang telah memberikan bantuan biaya pendidikan melalui Program Hibah Kompetisi A2 Departemen Statistika IPB.

8. Teman-teman statistika angkatan 2006, angkatan 2005, dan angkatan 2007 yang telah banyak membantu dalam penyelesaian Tesis ini.

9. Serta semua pihak yang selama ini telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Akhir kata dengan segala kerendahan hati, Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna. Namun demikian, Penulis berharap tulisan ini dapat bermanfaat dan memberi inspirasi-inspirasi baru dalam penelitian untuk kemajuan ilmu pengetahuan dan kemanusiaan.

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Palembang pada tanggal 20 Mei 1983 sebagai anak sulung dari dua bersaudara, putri pasangan M. Waladi Isnan dan Maria Sudjana.

Penulis menyelesaikan pendidikan dasar di SD Negeri Bantarjati VI Bogor pada tahun 1995, kemudian lulus SLTP Negeri 1 Bogor pada tahun 1998, dan lulus SMU Negeri 1 Bogor pada tahun 2001. Pada tahun yang sama, penulis diterima sebagai mahasiswa Departemen Statistika FMIPA IPB, melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dengan mengambil mata kuliah sosial ekonomi sebagai penunjang. Pada tahun 2006, penulis memperoleh kesempatan untuk melanjutkan program Magister Sains di Program Studi Statistika Sekolah Pascasarjana IPB.

Penulis menikah dengan Wigid Triyadi pada tahun 2008 dan telah dikaruniai seorang anak, yaitu Salsabila Anindya Pradipta.

Penulis bekerja sebagai Staf Pengajar pada Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor sejak tahun 2006 hingga sekarang.

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL ... xii

DAFTAR GAMBAR... xii

DAFTAR LAMPIRAN... xii

I. PENDAHULUAN...1

1.1 Latar Belakang...1

1.2 Tujuan ...1

II. TINJAUAN PUSTAKA...2

2.1 Percobaan Multilokasi ...2

2.2 Metode Bayes...3

2.2.1 Penentuan Sebaran Prior...3

2.2.2. Sebaran Posterior ...4

2.3. Gibbs Sampling...6

2.4. Bias dan MSE ...7

2.5. Analisis AMMI ...7

2.5.1. Pemodelan Analisis AMMI ...7

2.5.2. Perhitungan Jumlah Kuadrat...8

2.5.3. Penguraian Nilai Singular ...9

2.5.4. Nilai Komponen AMMI ...9

2.5.5. Penentuan Banyaknya Komponen AMMI...10

2.5.6. Selang Kepercayaan Elips...11

III. METODOLOGI ...13

3.1. Data ...13

3.1.1 Desain Data Simulasi...13

3.1.2 Deskripsi Data riil ...13

3.2. Metode Pendugaan Parameter...17

3.2.1. Metode Pendugaan Parameter Data Simulasi ...17

3.2.2. Metode Pendugaan Parameter Data Riil ...18

3.3. Kriteria Evaluasi ...19

3.4. Simulasi...20

3.5. Penerapan...21

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ...23

4.1. Simulasi...23

4.2. Penerapan...30

4.2.1. Data Percobaan Gandum...30

4.2.2. Data Percobaan Padi ...31

V. KESIMPULAN DAN SARAN ...33

5.1. Kesimpulan ...33

5.2. Saran ...33

PUSTAKA ...34

DAFTAR TABEL

I. PENDAHULUAN...1

Tabel 2. 1. Analisis Ragam Model Acak (Faktor A dan Faktor B acak)...2

Tabel 2. 2. Analisis Ragam Model Campuran...3

Tabel 2. 3. Tabel analisis ragam AMMI ...10

Tabel 3. 1. Daftar Genotipe Gandum...13

Tabel 3. 2. Daftar Galur-Galur Padi Sawah...14

Tabel 3. 3. Daftar Lokasi Percobaan...14

Tabel 3. 4. Peubah yang diamati...15

Tabel 4. 1. Rata-Rata Bias dan MSE pada masing-masing kondisi simulasi ...27

Tabel 4. 2. Simulasi untuk Klasifikasi Genotipe dengan Biplot AMMI ...28

Tabel 4. 3. Korelasi antara KUI pada Parameter dengan KUI pada Hasil Dugaan Interaksi...29

Tabel 4. 4. Tabel Analisis Ragam Data Percobaan Gandum...30

Tabel 4. 5. Tabel Analisis Ragam Data Percobaan Padi...31

DAFTAR GAMBAR Gambar 1. 1. Biplot AMMI-2...11

Gambar 4. 1. Bias dan MSE dugaan interaksi kondisi 1 ...23

Gambar 4. 2. Bias dan MSE dugaan interaksi kondisi 2 ...24

Gambar 4. 3. Bias dan MSE dugaan interaksi kondisi 3 ...25

Gambar 4. 4. Bias dan MSE dugaan interaksi kondisi 4 ...26

Gambar 4. 5. Biplot AMMI Data Percobaan Gandum ...31

Gambar 4. 6. Biplot AMMI Data Percobaan Padi ...32

DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Diagram Alur...37

Lampiran 2. Biplot AMMI Hasil Simulasi (asumsi prior benar)...38

Lampiran 3. Biplot AMMI Hasil Simulasi (asumsi prior salah) ...45

I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Percobaan di multi-lokasi merupakan teknik percobaan yang sering dilakukan dan sangat penting dalam bidang pemuliaan tanaman. Percobaan semacam ini melibatkan dua faktor utama yaitu genotipe tanaman dan kondisi lingkungan (lingkungan: tempat (site), musim, perlakuan agronomis (agronomy treatment)).

Data dari percobaan ini dikumpulkan dengan tujuan untuk (Alberts, 2004):

a) Meningkatkan keakuratan pendugaan dan meramalkan hasil berdasarkan data percobaan yang terbatas

b) Mengevaluasi kestabilan hasil dan pola respon genotipe antar lingkungan

c) Membantu peneliti menentukan genotipe-genotipe terbaik

Metode statistika yang biasa digunakan untuk analisis kestabilan terhadap hasil percobaan multilokasi adalah AMMI (Additive Main Effect and Multiplicative Interaction). Pada metode ini pengaruh utama perlakuan dianalisis dengan analisis ragam aditif sedangkan pengaruh interaksinya dianalisis menggunakan analisis komponen utama (Mattjik & Sumertajaya, 2002).

Data percobaan multilokasi ini dikumpulkan dari beberapa tahun di beberapa musim tanam. Namun, analisis dari data percobaan multilokasi ini masih dilakukan secara terpisah antara data tahun satu dengan tahun yang lainnya. Agar informasi dari data percobaan multilokasi dapat diperoleh secara lebih komperhensif, maka perlu adanya suatu analisis yang menggabungkan informasi-informasi dalam beberapa tahun tersebut. Salah satu alternatif analisis yang dapat kita gunakan adalah pendekatan Bayes. Metode ini memanfaatkan informasi awal tentang parameter yang akan diduga (didapat dari tahun pertama) dan informasi dari contoh (didapat dari tahun berikutnya).

1.2 Tujuan

Beberapa tujuan dari penelitian ini antara lain:

1. Mempelajari kinerja dari dugaan parameter yang dihasilkan dengan metode Bayes.

2. Menentukan genotipe stabil berdasarkan dugaan metode Bayes.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Percobaan Multilokasi

Percobaan multilokasi merupakan serangkaian percobaan yang serupa di beberapa lokasi yang mempunyai rancangan percobaan dan perlakuan yang sama.

Uji multilokasi untuk varietas tanaman pangan membutuhkan minimal 16 set percobaan dalam satu musim di 16 lokasi yang berbeda, atau 10 lokasi dengan dua musim (20 set percobaan) (Fahriza, 2008). Model linier untuk percobaan multilokasi dengan genotipe sebagai perlakuan adalah sebagai berikut:

ijk ij j k(j) i

ijk μ ε

y = +

τ

+

ρ

+

γ

+

δ

+ dengan:

y ijk = respon dari genotipe ke-i pada lokasi ke-j dalam kelompok ke-k μ = nilai rata-rata umum

τi = pengaruh genotipe ke-i, i=1,2,….a

ρk(j) = pengaruh kelompok ke-k tersarang pada lokasi ke-j, k=1,2….r

γj = pengaruh lokasi ke-j, j=1,2…b

δij = pengaruh interaksi genotipe ke-i dengan lokasi ke-j

εijk = pengaruh sisaan dari genotipe ke-i dalam kelompok ke-k yang dilakukan di lokasi ke-j

Tabel 2. 1. Analisis Ragam Model Acak (Faktor A dan Faktor B acak) Sumber

keragaman

Derajat bebas

(Db)

Jumlah kuadrat (JK)

Kuadrat tengah

(KT)

Nilai Harapan Kuadrat tengah

E(KT)

F

τ a-1 JKA KTA σ_ε² + r σ δ 2 + br στ 2

E(KTA)/E(KTAB) γ b-1 JKB KTB σ_ε² + r σδ 2 + ar

σγ2

E(KTB)/E(KTAB) δ (a-1)(b-1) JKAB KTAB σε2 + r σδ 2 E(KTAB)/E(KTG)

Galat ab(r-1) JKG KTG σε2

Total abr-1 JKT

Tabel 2. 2. Analisis Ragam Model Campuran Sumber

keragaman

Derajat bebas

(Db)

Jumlah kuadrat (JK)

Kuadrat tengah

(KT)

Nilai Harapan Kuadrat tengah

E(KT)

F

τ a-1 JKA KTA σε2 + br στ 2 E(KTA)/E(KTG)

γ b-1 JKB KTB σε2 + r (b/(b-1))

σδ2 + ar(∑ βi2)/

(b-1)

E(KTB)/E(KTAB)

δ (a-1)(b-1) JKAB KTAB σ_ε² + r(b/(b-1)) σδ2

E(KTAB)/E(KTG)

Galat ab(r-1) JKG KTG σ_ε²

Total abr-1 JKT 2.2 Metode Bayes

Metode Bayes merupakan salah satu metode pendugaan parameter yang memanfaatkan informasi awal tentang parameter yang akan diduga (θ) yang biasa disebut sebagai informasi prior (π(θ)) dan informasi dari contoh (x). Informasi awal dan informasi contoh ini dikombinasikan membentuk suatu sebaran yang disebut sebagai sebaran posterior, yang merupakan sebaran dasar pengambilan keputusan atau pengujian dalam metode Bayes (Berger, 1985).

Sebaran posterior θ jika diketahui x dilambangkan dengan π(θ|x) didefinisikan sebagai sebaran bersyarat θ jika data contoh x diketahui. Andaikan θ dan X memiliki fungsi kepekatan bersama:

( )

x,θ π

( ) (

θ f x|θ

)

h = ,

dan X memiliki kepekatan marginal:

( ) (

θ

)

π

( )

θ

θ

dF x f x

m ⁼

∫

^{| ,}

Maka untuk m(x) ≠ 0 dapat diperoleh sebaran posterior sebagai berikut:

( ) ( )

m

( )

x x

x h θ

θ

π | = ^,

2.2.1 Penentuan Sebaran Prior.

Dugaan parameter menggunakan pendekatan bayes membutuhkan informasi prior mengenai parameter-parameter tersebut. Informasi prior didapatkan berdasarkan opini dari peneliti yang bersangkutan atau berdasarkan penelitian sebelumnya. Hal lain yang perlu diperhatikan dalam menentukan informasi prior ini adalah konjugasi, dimana posterior mudah didapatkan karena posterior memiliki bentuk (form) yang sama dengan prior (Liu, 2001). Sebaran prior pada parameter di

semua lingkungan didefinisikan sebagai sebaran normal dengan nilai tengah nol dan ragam sesuai dengan kondisi yang diinginkan (Edwards and Jannink, 2006).

Sebaran prior berikut yang digunakan untuk komputasi dengan metode bayes pada model dengan interaksi:

(

^{, 2}

)

~ μ_μ σ_μ

μ N ;

(

^{, 2}

)

~ μ_τ σ_τ

τ N ;

(

^{, 2}

)

~ μ_γ σ_γ

γ N ;

(

^{, 2}

)

~N ij

ij μδ σδ

δ ;

(

α_σ β_σ

)

σ² ~ IG , 2.2.2. Sebaran Posterior

Sebaran prior merefleksikan pengetahuan atau keyakinan peneliti tentang parameter, yang pada umumnya informasi ini tersedia (Moore, 1997). Sedangkan sebaran posterior merupakan refleksi dari perbaikan nilai parameter setelah dilakukan observasi contoh. Atau dengan perkataan lain, sebaran posterior merupakan kombinasi antara informasi awal tentang parameter dengan informasi tentang parameter tersebut yang dibawa oleh data observasi. Sebaran posterior merangkum informasi tentang semua nilai yang tidak pasti (termasuk parameter yang tidak terobservasi, hilang, latent, maupun data yang tidak terobservasi) dalam analisis bayes (Gelman, 2002). Data yang dibentuk sebagai likelihood digunakan sebagai bahan untuk memperbaharui informasi prior menjadi sebuah informasi posterior yang siap untuk digunakan sebagai bahan inferensia. Secara analitik, fungsi kepekatan posterior diperoleh dari perkalian antara prior dengan likelihood.

prior likelihood

posterior∝ ×

Sebaran untuk (Yijk |θ) adalah:

(

yijk ^|θ

)

^~ N

(

^ηij^,σ2

)

dengan η_ij =μ+τ_i +γ _j +δ_ij dan θ didefinisikan sebagai

(

^μ,τi^,γ j^,δij^,σ2

)

. Sehingga didapat Likelihoodnya sebagai berikut:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧− − − −

=

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧− −

=

∑

∑

∏

−

−

ij ij ij

ijk ijk ij

abr

ij ijk ijk

r y y

y y L

2 2 .

2 2 .

2 2

2 2

2 2 1

2 2

exp 1 2

2 exp 1 2

σ η πσ σ

σ η πσ

θ

Sebaran posterior bersama adalah (Liu,2001):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

^⎜_⎝^{⎛− ⎟}_⎠^⎞

×Γ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧− −

⎪⎭×

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧− −

×

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧− −

⎪⎭×

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧− −

×

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧− − − −

=

×

×

×

×

×

∝

+

−

−

−

−

−

∑ ∑

βσ α σ

β

μ σ δ

πσ μ

σ γ πσ

μ σ τ

πσ μ

σ μ πσ

σ η πσ σ

σ π δ π γ π τ π μ π θ θ

π

α α

δ δ

δ γ

γ γ

τ τ

τ μ

μ μ

δ σ γ

τ μ

1 exp

2 exp 1 2 2

exp 1 2

2 exp 1 2 2

exp 1 2

2 2

exp 1 2

|

1

2 2

2 2 1 2

2 2

2 1

2 2

2 2 1 2

2 2

2 1

2 2 .

2 2 .

2 2

2

2

ij ij

ij j

j j

i i

i

ij j

i

ij ij ij

ijk ijk ij

abr n

r y y

y L

y

Sebaran posterior dari masing-masing parameter diperoleh dari perkalian antara prior dari parameter dengan likelihood (Liu, 2001).

• Sebaran posterior untuk μ

( ) ( ) ( )

( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

− +

− +

∝

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧− −

⎭×

⎬⎫

⎩⎨

⎧− −

∝

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧− −

⎭×

⎬⎫

⎩⎨

⎧− −

∝

∑

∑

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 .

2 2

2 2 .

2

exp 2

2 exp 1 exp 2

2 exp 1 exp 2

, , ,

|

σ σ

μ σ μ σ

σ σ

σ σ

μ σ μ

σ μ

μ σ μ

σ η σ

δ γ τ μ π

μ

μ μ

μ μ

μ μ

μ μ

rab y rab rab

r y r y

ij ij ij

ij ij ij

j i

K

• Sebaran posterior untuk τi

( ) ( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

− +

− +

∝

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧− −

⎭×

⎬⎫

⎩⎨

⎧− −

∝

∑

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 .

2

ˆ exp 2

2 exp 1 exp 2

, , ,

|

σ σ

μ σ τ τ σ

σ σ

σ σ

μ σ τ

σ η σ

δ γ μ τ π

τ

τ τ

τ τ

τ τ

i

i i

i i

i i

rb rb rb

r y

i i

i ij

ij ij ij

j i

• Sebaran posterior untuk γj

( ) ( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

− +

− +

∝

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧− −

⎭×

⎬⎫

⎩⎨

⎧− −

∝

∑

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 .

2

ˆ exp 2

2 exp 1 exp 2

, , ,

|

σ σ

μ σ γ γ σ

σ σ

σ σ

μ σ γ

σ η σ

δ τ μ γ π

γ

γ γ

γ γ

γ γ

j

j j

j j

j j

ra ra ra

r y

j j

j ij

ij ij ij

i j

• Sebaran posterior untuk δij

( ) ( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

− +

− +

∝

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧− −

⎭×

⎬⎫

⎩⎨

⎧− −

∝

∑

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 .

2

ˆ exp 2

2 exp 1 exp 2

, , ,

|

σ σ

μ σ δ δ σ

σ σ

σ σ

μ σ δ

σ η σ

γ τ μ δ π

δ

δ δ

δ δ

δ δ

ij

ij ij

ij ij

ij ij

r r r

r y

ij ij

ij ij

ij ij j

i ij

• Sebaran posterior untuk σ²

( ) ( ) ( )

( )

_⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + + −

∝

⎭×

⎬⎫

⎩⎨

⎧− −

∝

∑

∑

ijk

ij ijk ij

ij ij ij

j i

abr y IG

r y

2 2 2

2 . 2

2 , 1 2

, 2 |

exp ,

, ,

| 2

η β

α

β α σ π σ η

δ γ τ μ σ π

σ σ

σ σ σ

2.3. Gibbs Sampling

Gibbs sampling adalah suatu teknik untuk membangkitkan peubah acak dari sebaran (marjinal) secara tidak langsung, tanpa perlu menghitung fungsi kepekatannya (Casella & George, 1992). Dengan menggunakan teknik Gibbs sampling, kita dapat menghindari perhitungan yang sulit. Gibbs sampling merupakan salah satu metode untuk membangun algoritma Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Algoritma MCMC diimplementasikan dengan cara mengambil contoh berulang-ulang dari p sebaran posterior bersyarat [θ1|θ2, ..., θp], ..., [θp|θ1, ..., θp−1] (Albert, 2007). Gibbs Sampling bisa diterapkan apabila distribusi probabilitas bersama (joint probability distribution) tidak diketahui secara eksplisit, tetapi distribusi bersyarat (conditional distribution) dari tiap-tiap variabel diketahui.

Algoritma Gibbs sampling bisa dituliskan sebagai berikut:

1. Tentukan nilai awal

(

1^{( )0 ( )0}

)

0 θ , ,θ_p

θ = _K

2. Ulangi langkah berikut untuk l= 1,2,…,M

Bangkitkan Θ1^{( )l}+¹ dari

(

^{( ) ( )} p^{( )l}

)

l

f₁θ₁|θ₂l ,θ₃ ,K,θ Bangkitkan Θ2^{( )l}+¹ dari f₂

(

θ₂ |θ₁^{( )}l⁺¹ ,θ₃^{( )}l ,K,θ^{( )}p^l

)

M

Bangkitkan Θp^{( )l+1} dari

(

^{( ) ( )}1 ^{( )}1¹

)

2 1

1 , , ,

| ^{l+ l+} _p^l₋⁺

p

fp θ θ θ _Kθ 3. Simpan nilai

{

^θ1,θ2,_K^,θM

}

Fungsi kepekatan f,,f2,…,fp disebut distribusi bersyarat penuh yang digunakan untuk simulasi. Walaupun dalam dimensi tinggi semua simulasi adalah univariate.

Masalah utama yang menjamin kesuksesan implementasi simulasi menggunakan MCMC dalah jumlah iterasi yang diperlukan sampai rantai markov mendekati kondisi stasioner (panjang periode burn-in). Sebanyak 100 – 1000 iterasi sudah cukup sebagai periode burn-in jika kita gunakan dugaan MKT atau penduga kemungkinan maksimum (PKM) sebagai nilai awal (Liu,2001).

2.4. Bias dan MSE

Penduga parameter yang dihasilkan, diharapkan memiliki tingkat ketepatan yang tinggi dimana secara rata-rata nilainya sesuai dengan nilai parameter. Penduga seperti ini disebut penduga tak bias. Bias dari penduga dapat diukur sebagai berikut (Lebanon, 2006): ^Bias

( ) ( )

^{δˆ =Eδˆ −δ.}

Ada hal yang lebih penting dalam mengukur kinerja penduga selain hanya dengan ketidakbiasan. Mean Square Error (MSE) merupakan salah satu indikator terpenting dalam mengevaluasi presisi dari suatu penduga. MSE dapat mengukur error yang dihasilkan dari suatu penduga. Nilai MSE adalah sebagai berikut

( ) ( )

^{δˆ δˆ δ var}

( )

^δˆ

( )

^δˆ

MSE E ²⎟= +Bias²

⎠⎞

⎜⎝

= ⎛ − .

2.5. Analisis AMMI

Analisis AMMI merupakan gabungan dari sidik ragam pada pengaruh aditif dengan analisis komponen utama pada pengaruh multiplikatif. Pengaruh multiplikatif diperoleh dari penguraian interaksi genotipe dengan lokasi menjadi komponen utama interaksi (KUI). Interpretasi analisis AMMI menggunakan biplot.

2.5.1. Pemodelan Analisis AMMI

Langkah awal untuk memulai analisis AMMI adalah melihat pengaruh aditif genotipe dan lokasi masing-masing menggunakan sidik ragam dan kemudian dibuat bentuk multiplikatif interaksi genotipe x lokasi dengan menggunakan analisis komponen utama. Bentuk multiplikatif diperoleh dari penguraian interaksi genotipe dengan lokasi menjadi komponen utama interaksi (KUI). Penguraian pengaruh interaksi genotipe dengan lokasi mengikuti persamaan sebagai:

ij sjm vim j1 ....

i1s 1v

δij= λ + + λ +φ

m =

ij jn in n m

1 n

s

v φ

λ +

∑

=

dengan:

m = banyaknya KUI yang nyata pada taraf 5%,

sehingga persamaan model linier percobaan multilokasi dengan analisis AMMI menjadi:

dengan:

yijk = respon dari genotipe ke-i pada lokasi ke-j dalam kelompok ke-k

μ = nilai rata-rata umum

τi = pengaruh genotipe ke-i, i=1,2,….g

ρk(j) = pengaruh kelompok ke-k tersarang pada lokasi ke-j, k=1,2….r

γj = pengaruh lokasi ke-j, j=1,2…l

λn = nilai singular untuk komponen bilinier ke-n, λ1≥λ2≥...≥λ_m

vin = pengaruh ganda genotipe ke-i melalui komponen bilinier ke-n s = pengaruh ganda lokasi ke-j melalui komponen bilinier ke-n jn

φij = sisaan dari pemodelan linier

ε = pengaruh sisaan dari genotipe ke-i dalam kelompok ke-k yang dilakukan di ijk

lokasi ke-j

n = banyaknya KUI yang dipertahankan dalam model

2.5.2. Perhitungan Jumlah Kuadrat

Pengaruh aditif genotipe dan lokasi dihitung sebagaimana umumnya pada analisis ragam, tetapi berdasarkan pada data rataan per genotipe x lokasi. Pengaruh ganda genotipe dan lokasi pada interaksi diduga dengan

...

. . ..

. y y y

y

z_ij = _ij − _i − _j +

sehingga jumlah kuadrat interaksi dapat diturunkan sebagai berikut:

( )

) ' ( )

( _{. .. .. ...} ²

. 2

zz teras r

y y y y r z r GL

JK _{ij i j}

j i

ij

=

+

−

−

=

=

∑ ∑

εijk ij sjn vin m

1 j n k(j) μ i

yijk ∑ _n + +

+ = + + +

= τ ρ γ

λ

φ

Berdasarkan teorema pada aljabar matriks bahwa teras dari suatu matriks sama dengan jumlah seluruh akar ciri matriks tersebut, tr

(

nAn

)

⁼

∑

iλi , maka jumlah kuadrat untuk pengaruh interaksi komponen ke-n adalah akar ciri ke-n pada pemodelan bilinier tersebut

( )

λ_n , jika analisis ragam dilakukan terhadap rataan per genotipe x lokasi. Jika analisis ragam dilakukan terhadap data sebenarnya maka jumlah kuadratnya adalah banyak ulangan kali akar ciri ke-n

( )

rλ_n . Pengujian masing-masing komponen ini dilakukan dengan membandingkannya terhadap kuadrat tengah galat gabungan.

2.5.3. Penguraian Nilai Singular

Penguraian nilai singular matriks dugaan pengaruh interaksi digunakan untuk menduga pengaruh interaksi genotipe x lokasi. Penguraian dilakukan dengan memodelkan matriks tersebut sebagai perkalian matriks :

Z = U L A’

Dengan Z adalah matriks data terpusat, berukuran g x l; L adalah matriks diagonal akar dari akar ciri positif bukan nol dari Z’Z, berukuran m x m. Kolom-kolom matriks A adalah vektor ciri-vektor ciri dari matriks Z’Z, A merupakan matriks ortonormal; dan U berupa matriks ortonormal, dirumuskan sebagai :

U = Z A L-1

2.5.4. Nilai Komponen AMMI

Pengaruh ganda genotipe ke-i diduga melalui unsur-unsur matriks A pada baris ke-i kolom ke-n, sedangkan penduga dari pengaruh ganda lokasi ke-j adalah elemen matriks U pada baris ke-j kolom ke-n dengan kendala 2 s²_jn 1

vin =∑ =

∑

untuk n= 1,2….,m dan _' 0

sjn j jns in'

i inv v =∑ =

∑ untuk n≠n^’. Unsur-unsur

diagonal matriks L merupakan penduga untuk λ_n.

Skor komponen ke-n untuk genotipe ke-i adalah kv_in

λn dan untuk lokasi ke-j adalah 1 ks_jn

λn − . Penduga untuk interaksi genotipe dengan lokasi diperoleh dari perkalian nilai komponen genotipe dan nilai komponen lokasi. Dengan mendefinisikan L (0 ^k ≤ k 1≤ ) sebagai matriks diagonal yang unsur-unsur diagonalnya berupa elemen-elemen matriks L dipangkatkan k. Demikian juga untuk

matriks L −^{1 k} dan G=UL^k serta H=AL¹−^k, maka hasil penguraian nilai singular dapat ditulis dalam bentuk :

GH'

Z=

Sehingga dugaan nilai komponen untuk genotipe adalah kolom-kolom matriks G dan dugaan nilai komponen untuk lokasi adalah kolom-kolom matriks H. Nilai k yang digunakan pada analisis AMMI adalah ½.

2.5.5. Penentuan Banyaknya Komponen AMMI

Metode yang digunakan untuk menentukan banyaknya Komponen Utama Interaksi (KUI) yang dipertahankan dalam model AMMI (Gauch, 1988 dalam Mattjik 2000) yaitu :

1.Metode Keberhasilan Total (postdictive success)

Metode ini berhubungan dengan kemampuan suatu model tereduksi untuk menduga data yang digunakan dalam membangun model tersebut.

Banyaknya komponen AMMI sesuai dengan banyaknya sumbu KUI yang nyata pada uji-F analisis ragam. Untuk sumbu KUI yang tidak nyata digabungkan dengan sisaan. Metode ini diusulkan oleh Gollob (1986) yang selanjutnya direkomendasikan oleh Gauch (1988). Tabel analisis AMMI (Tabel 2.3) merupakan perluasan dari tabel penguraian jumlah kuadrat interaksi menjadi beberapa jumlah kuadrat KUI.

Tabel 2. 3. Tabel analisis ragam AMMI

Sumber Db JK

Lingkungan l-1 JKL

Blok(Lingk.) l(r-1) JKB

Genotipe g-1 JKGen

Gen*Lingk. (l-1)(g-1) JK(L*G)

KUI-1 g+l-1-2(1) JKKUI-1

KUI-2 g+l-1-2(2) JKKUI-2

... ... ...

KUI-m g+l-1-2(m) JKKUI-m

Sisaan Pengurangan JKSisaan

Galat gab. l(g-1)(r-1) JKG

2.Metode Keberhasilan Ramalan (predictive success)

Metode ini berhubungan dengan kemampuan suatu model dugaan untuk memprediksi data lain yang sejenis tetapi tidak digunakan dalam membangun model tersebut (data validasi).

Penentuan banyaknya sumbu komponen utama dilakukan dengan validasi silang yaitu membagi data menjadi dua kelompok, satu kelompok untuk membangun model dan kelompok lain dipakai untuk validasi (menentukan kuadrat selisih).

Teknik ini dilakukan berulang-ulang, pada tiap ulangan dibangun model dengan sumbu komponen utama. Banyaknya KUI terbaik adalah model dengan rataan akar kuadrat tengah sisaan (root means square different= RMSPD) terkecil.

( )

l g

x x RMSPD

g i

l j

ij ij

. ˆ

1 1

∑∑

2

= =

−

=

2.5.6. Selang Kepercayaan Elips

Selang kepercayaan Elips adalah selang kepercayaan pada biplot dengan pusat (0,0) untuk identifikasi genotipe stabil.

Gambar1. 1. Biplot AMMI-2

Proses pembuatan elips menggunakan formulasi sebagai berikut :

( )

(

n 2

)

^{Fp,n p( )α}

n 1 n 2

− −

± −

= _i

ri λ dengan :

ri : panjang jari-jari, i=1 untuk jari-jari panjang, i=2 untuk jari-jari pendek n : banyaknya pengamatan (genotipe + lingkungan)

λi2 : akar ciri ke-i dari matriks koragam (S) skor komponen genotipe lingkungan

r2

r2

r1

r1 0.0 0.0

KUI2

KUI1

Tidak Stabil

KUI1

KUI2

Stabil

λi : nilai singular dari matriks koragam (S) KUI1 dan KUI2

( )α 2 , 2n−

F : nilai sebaran F dengan db1=2 dan db2=n-2 pada taraf α =5 % Sehingga rumus diatas dapat disederhanakan sebagai berikut :

( )

(

n 2

)

^{F2,n 2( )α}

n 1 n 2

− −

± −

= _i

ri λ

III. METODOLOGI 3.1. Data

Data yang akan digunakan dalam penelitian ini ada dua jenis, data pertama adalah data yang dibangkitkan dalam program simulasi yang dirancang sedemikian rupa sehingga memungkinkan untuk melihat kinerja dari penduga parameter diberbagai kondisi yang akan dievaluasi.

Data kedua adalah data riil yang digunakan untuk penerapan yang merupakan data dari percobaan internasional untuk gandum yang dilakukan oleh program CIMMYT (International Maize and Wheat Improvement Center) serta data dari hasil penelitian oleh Konsorsium padi Nasional, yaitu Penelitian Interaksi antara Genotipe dengan Lingkungan pada galur harapan padi sawah.

3.1.1 Desain Data Simulasi

Data simulasi dibangun dari model percobaan multilokasi dengan ragam contoh di setiap lokasi diasumsikan sama. Parameter yang dibutuhkan untuk membangkitkan data dalam simulasi ini adalah nilai tengah hasil produksi, pengaruh faktor genotipe, keragaman lokasi percobaan kecil (σ_γ²_j =1) dan keragaman lokasi percobaan sedang(σ_γ²_j =5), keragaman interaksi kecil (σ_δ²_ij =1) dan keragaman interaksi sedang (σ_δ²_ij =5), serta keragaman galat (σ_ε² =1). Faktor genotipe diasumsikan tetap, sesuai dengan kondisi pada data riil. Dalam simulasi ditentukan jumlah lokasi percobaan sebanyak 20, dibuat simulasi 100 set data.

3.1.2 Deskripsi Data riil

Data percobaan gandum yang dilakukan pada 12 genotipe yang ditanam di empat lokasi dengan 4 blok pada dua tahun berturut-turut yaitu tahun 2005 dan tahun 2006. Pada Tabel 3.2 disajikan genotipe gandum yang dgunakan dalam percobaan.

Tabel 3. 1. Daftar Genotipe Gandum

Kode Genotipe Kode Genotipe Kode Genotipe A 350356 E 350411 I Bonanza B 350361 F 400090 J Fedearroz C 350405 G 400094 K Fortaleza D 350406 H 400099 L Progreso

Percobaan tanaman padi menggunakan 14 galur padi dimana 11 galur (1 galur berasal dari BATAN, 5 galur dari BB Padi, 1 galur dari Biogen, dan 4 galur dari IPB), dengan 3 varietas pembanding (Gilirang, INPARI1, dan Ciherang) yang ditanam pada 21 lokasi. Tujuan dari penyelenggaraan pertanaman ini adalah untuk mengevaluasi keragaan fenotipik dari galur-galur generasi lanjut padi sawah pada lingkungan pengujian yang bervariasi. Pada Tabel 3.2 disajikan galur-galur padi sawah yang dgunakan dalam percobaan. Sedangkan pada Tabel 3.3 disajikan daftar lokasi percobaan untuk tanaman padi.

Tabel 3. 2. Daftar Galur-Galur Padi Sawah

No GALUR ASAL

1 IPB-3 (IPB97-F-20-2-1) IPB 2 BIO-1-AC-BLB/BLAS-05 BIOGEN 3 B10531E-KN-14-3-0-LR-B376-1 BB-PADI 4 OBS 1735/PSJ BATAN 5 BP11252-2-PN-12-2-2-2-1-7-MR-6 BB-PADI 6 BIO-8-AC-BLB-05 BIOGEN 7 OBS 1740/PSJ BATAN 8 IPB-6 (IPB107-F-8-3) IPB 9 BP3300-2C-2-3 BB-PADI 10 OBS 1739/PSJ BATAN 11 B10531E-KN-14-1-0-LR-B375-12 BB-PADI

12 CIHERANG CHECK

13 INPARI 1 CHECK

14 CIMELATI CHECK

Tabel 3. 3. Daftar Lokasi Percobaan

No Lingkungan No Lingkungan No Lingkungan 1 Asahan1 8 Ngawi2 15 Pusakanagara2

2 Bali1 9 NTB1 16 Pesawaran2

3 Bali2 10 NTB2 17 Purworejo1

4 Bantul2 11 Probolinggo2 18 Rangkasbitung2 5 Bantaeng1 12 Pasar miring1 19 Tabanan1 6 Marmada2 13 Purworejo2 20 Takalar2 7 Ngawi1 14 Pusakanagara1 21 Taman Bogo2

Ket: 1=musim tanam pertama; 2=musim tanam kedua

Melalui pengujian ini diharapkan dapat diidentifikasi galur-galur yang memiliki daya adaptasi terhadap lingkungan tumbuh yang luas maupun lingkungan tumbuh spesifik (dilihat dari aspek iklim, jenis tanah, kondisi cekaman biotik dan abiotik). Galur-galur yang memiliki potensi hasil tinggi dan memiliki keunggulan

“daya adaptasi” yang “menonjol” akan diajukan sebagai calon varietas unggul baru.

Percobaan dilaksanakan dengan menggunakan “Rancangan Acak Kelompok 3 ulangan”. Setiap galur ditanam pada petak berukuran 4 m x 5 m. Tanam dilakukan pada saat umur bibit 21 hari, sebanyak 1 bibit per rumpun, dengan jarak tanam 25 cm x 25 cm.

Pada Tabel 3.4. dijelaskan peubah-peubah yang diamati dalam percobaan Tanaman Padi 2008 yang dilakukan oleh Balai Besar Penelitian Tanaman Padi Sukamandi Jawa Barat.

Tabel 3. 4. Peubah yang diamati

Karakteristik Tanaman Singkatan Keterangan Bentuk rumpun tanaman BTK RUMP Penilaian visual terhadap tipe

tanaman dilihat dari

kompak/berseraknya pertunasan, tegak/terkulainya daun.

Tinggi tanaman (cm) TING Diukur dari pangkal batang sampai ujung malai tertinggi, pada semua sampel rumpun tanaman untuk data malai produktif

Ketegapan Tanaman (Skore) VIG Vigor (ketegapan tanaman).

Beberapa faktor yang perlu diperhatikan secara serempak mempengaruhi vigor (misal kecepatan penyembuhan akibat cekaman tanam pindah, kecepatan pertunasan, jumlah anakan

maksimum, dll.).

Umur berbunga 50% (hari) BUNGA 50 Dihitung jumlah hari mulai dari tanggal sebar sampai 50 % dari rumpun berbunga

Jumlah Malai/m² #MALAI Hitung jumlah malai yang ada pada rumpun tanaman pada petak contoh seluas 1 m² yang ada ditengah- tengah petak percobaan

Bobot 1000 butir B1000B Timbang 1000 butir gabah isi dan ukur kadar airnya segera setelah

Karakteristik Tanaman ^Singkatan Keterangan

penimbangan. Dengan data kadar air pada saat penimbangan tersebut, hitung berat 1000 butir gabah pada kadar air 14%.

Gabah Isi/malai #GABSI Hitung jumlah gabah isi dari 3 rumpun contoh yang diambil secara acak pada arah diagonal petak percobaan; kemudian bagi dengan jumlah malai dari 3 rumpun contoh tersebut.

Gabah hampa/malai #GABHAM Hitung jumlah gabah hampa dari 3 rumpun contoh yang diambil secara acak pada arah diagonal petak percobaan; kemudian bagi dengan jumlah malai dari 3 rumpun contoh tersebut.

Hasil Gabah (kg/ha) HASIL Buat petak contoh bersih, dengan memisahkan satu baris rumpun tanaman di sekeliling petak

percobaan. Timbang hasil panen dari semua rumpun yang ada pada petak contoh bersih percobaan. Ukur kadar air segera setelah penimbangan hasil panen tersebut.

Kadar air K.A Kadar air pada saat penimbangan.

Tingkat Penerimaan Fenotipik (skore)

PACP Lakukan penilaian kenampakan seluruh tanaman terutama “malai”

pada saat menjelang panen (fase matang fisiologis)

Kerebahan (skore) Kerebahan Nilai tingkat kerebahan tanaman pada saat kerebahan tanaman muncul

Ketahanan/Toleransi

terhadap: Hama & penyakit Cekaman Lingkungan Sub optimal

BLB, RTV, BPH, BL, Fe, dst

Lakukan pengamatan respon

tanaman terhadap berbagai cekaman hama/penyakit/keracunan dengan menggunakan skore sesuai SES (IRRI, 1996)

3.2. Metode Pendugaan Parameter.

Pendugaan parameter dapat dilakukan dengan menggunakan algoritma Gibbs sampling. Nilai awal yang digunakan adalah nilai dugaan pengaruh interaksi dengan menggunakan metode kuadrat terkecil.

Misalkan θ^l untuk l= 1,…,m adalah contoh yang dibangkitkan dengan Gibbs sampling untuk model percobaan multilokasi. Rataan dari contoh digunakan untuk menduga μ,τ,γ, dan δ (Liu, 2001).

∑

( )

=

= ^m

l l m

1

~ 1 μ

μ

∑

( )

=

= ^m

l l m i i

1

~ 1 τ

τ

∑

( )

=

= ^m

l l m j j

1

~ 1 γ

γ

∑

( )

=

= ^m

l l ij m ij

1

~ 1 δ

δ

3.2.1. Metode Pendugaan Parameter Data Simulasi

Data simulasi yang dibangun menggunakan model multilokasi digunakan untuk mengukur kinerja dari dugaan parameter menggunakan metode Bayes.

Pendugaan parameter model multilokasi pada data simulasi dilakukan dengan tahapan sebagai berikut:

1. Data simulasi dibangun dari model y_ijk =μ+τ_i +γ_j+δ_ij +ε_ijk

2. Hitung dugaan parameter model percobaan multilokasi dengan MKT:

a.

∑∑∑

= = =

= ^a

i b j

r k

yijk

abr _{1 1 1} ˆ 1

μ

b. τˆ_i =μ_i −μ c. γˆ_j =μ_j −μ

d. δˆ_ij =μ_ij −μ−τ_i −γ_j

3. Gunakan nilai dugaan pada nomor 2 (μˆ,τˆ_i,γˆ_j,δ^ˆ_ij) sebagai nilai awal untuk menduga parameter model menggunakan Gibbs sampling.

4. Bangkitkan sebaran posterior untuk θ=(μˆ,τˆ_i,γˆ_j,δ^ˆ_ij) menggunakan Gibbs sampling.

5. Rataan dari sebaran posterior yang dibangkitkan pada nomor 4 digunakan untuk menduga μ,τ,γ, dan δ, dimana:

a.

∑

^{( )}

=

= ^m

l l m

1

~ 1 μ

μ

b.

∑

^{( )}

=

= ^m

l l i m i

1

~ 1 τ

τ

c.

∑

^{( )}

=

= ^m

l l m j j

1

~ 1 γ

γ

d.

∑

^{( )}

=

= ^m

l l m ij ij

1

~ 1 δ

δ

3.2.2. Metode Pendugaan Parameter Data Riil

Data percobaan tanaman padi yang digunakan merupakan data produksi padi yang dikumpulkan selama 2 tahun. Untuk itu, pendugaan parameternya dilakukan dengan tahapan sebagai berikut:

1. Tentukan informasi prior dimana nilainya didapat dari peneltian sebelumnya (jika tersedia), atau dari data itu sendiri.

2. Hitung dugaan parameter model percobaan multilokasi dengan MKT:

a.

∑∑∑

= = =

= ^a

i b j

r k

yijk

abr _{1 1 1} ˆ 1

μ

b. τˆ_i =μ_i −μ c. γˆ_j =μ_j −μ

d. δˆ_ij =μ_ij −μ−τ_i −γ_j

3. Gunakan nilai dugaan pada nomor 2 (μˆ,τˆ_i,γˆ_j,δ^ˆ_ij) sebagai nilai awal untuk menduga parameter model menggunakan Gibbs sampling.

4. Bangkitkan sebaran posterior untuk θ=(μˆ,τˆ_i,γˆ_j,δ^ˆ_ij) menggunakan Gibbs sampling.

5. Rataan dari sebaran posterior yang dibangkitkan pada nomor 4 digunakan untuk menduga μ,τ,γ, dan δ, dimana:

a.

∑

^{( )}

=

= ^m

l l m

1

~ 1 μ

μ

∑

( )

= ^{m l}

~ τ

τ

c.

∑

^{( )}

=

= ^m

l l m j j

1

~ 1 γ

γ

d.

∑

^{( )}

=

= ^m

l l ij m ij

1

~ 1 δ

δ

3.3. Kriteria Evaluasi

Nilai dugaan terhadap pengaruh interaksi dievaluasi menggunakan dua kriteria yaitu bias untuk mengukur keakuratan dugaannya, serta MSE untuk mengakur presisi dari dugaannya. Dalam statistik, bias sebuah penduga adalah selisih dari nilai harapan dugaan dengan nilai yang akan diduga, sedangkan Mean Squared Error (MSE) sebuah penduga adalah nilai yang diharapkan dari kuadrat error. Error yang ada menunjukkan seberapa besar perbedaan hasil dugaan dengan nilai yang akan diduga. Perbedaan itu terjadi karena adanya keacakan pada data atau karena penduga tidak mengandung informasi yang dapat menghasilkan dugaan yang lebih akurat

( ) ( )

^{δˆ =Eδˆ −δ}

Bias

( ) ( )

^{δˆ δˆ δ var}

( )

^δˆ

( )

^δˆ

MSE E ²⎟= +Bias²

⎠⎞

⎜⎝

⎛ −

=

MSE = Mean Squared Error

Setelah nilai Bias dan MSE dari kedua metode didapatkan, maka akan dilakukan perbandingan terhadap nilai bias dan MSE.

• Jika nilai biasBayes < biasMKT maka metode Bayes memiliki performa lebih baik dibandingkan metode MKT karena memiliki keakuratan yang lebih tinggi.

• Sebaliknya, jika nilai biasBayes > biasMKT maka metode Bayes memiliki performa lebih buruk dibandingkan metode MKT karena tingkat keakuratannya lebih rendah.

• Jika nilai MSEBayes < MSEMKT maka metode Bayes memiliki performa lebih baik dibandingkan metode MKT karena tingkat kesalahan yang dihasilkan oleh metode Bayes relatif lebih kecil.

• Sebaliknya, jika MSEBayes > MSEMKT maka metode Bayes memilki performa lebih buruk dibandingkan metode MKT karena tingkat kesalahan yang dihasilkan oleh metode Bayes relatif lebih besar.

3.4. Simulasi.

Kinerja dari penduga bayes untuk pengaruh interaksi dievaluasi dengan melakukan simulasi. Simulasi dilakukan untuk mengukur keakuratan dan presisi dari penduga parameter. Agar hasil dari simulasi tersebut dapat mencerminkan keadaan lapang yang sebenarnya, parameter dalam simulasi tersebut sebaiknya dapat menggambarkan kondisi riil, sehingga akan lebih baik jika parameter tersebut dibangun berdasarkan data yang diperoleh dari lapang. Algoritma gibbs sampling dilakukan sebanyak l=1000 untuk membangkitkan sebaran posterior dari masing- masing parameter dengan periode burn-in sebanyak 100, dan l=5000 dengan burn- in sebanyak 1000. Yang dimaksud burn-in disini adalah jumlah iterasi yang diperlukan sampai sebaran posterior yang dibangkitkan mendekati kondisi stasioner.

Tahapan simulasi:

1. Tetapkan nilai-nilai parameter berikut : μ, σ_γ², ²

δij

σ ,σ_ε²α_σ ,β_σ 2. Bangkitkan τ_i, γ_j, ε_ijk, dan δ_ij

3. Dapatkan nilai Y berdasarkan model y_ijk =μ+τ_i +γ_j+δ_ij +ε_ijk

4. Hitung nilai dugaan parameter dengan metode MKT (μˆ,τˆ_i,γˆ_j,δˆ_ij,σˆ²), gunakan sebagai nilai awal untuk masuk ke algoritma gibbs sampling 5. Hitung dugaan parameter model dengan metode bayes menggunakan

algoritma gibbs sampling

i. Tentukan nilai awal ^θ0 =

(

^{μ( ) ( )0,τ}i^{0 ,γ( )}j^0,δij^{( )0 ,σ2(0)}

)

ii. Ulangi langkah berikut untuk l= 1,2,…,1000

a) Bangkitkan μ^{( )l} dari

(

^{| ( )−1, ( )}l^−1, ij^{( )l−1 , 2( )l−1}

)

j l

i γ δ σ

τ μ π