mini riset kalkulus

BAB I BAB I

PENDAHULUAN PENDAHULUAN 1.1

1.1 LataLatar Belakanr Belakang Masalahg Masalah

Pe

Pengnggugunanaan an mamatetemamatitika ka dadalalam m kekehihidudupapan n sasangngat at bebergrgununa a ununtutuk k  men

meningingkatkatkan kan pepemahmahamaaman n dan dan pepenalnalaraaran, n, seserta rta untuntuk uk memmemecaecahkahkan n susuatuatu masalah dan menafsirkan solusi dari permasalahan yang ada. Tanpa disadari masalah dan menafsirkan solusi dari permasalahan yang ada. Tanpa disadari ketika kita mempelajari matematika, kita memiliki ketelitian dan kecermatan ketika kita mempelajari matematika, kita memiliki ketelitian dan kecermatan yang sangat baik karena nilai-nilai pada matematika yang menggunakan nilai yang sangat baik karena nilai-nilai pada matematika yang menggunakan nilai yang kompleks sehingga faktor ketelitian sangat diperlukan untuk menghitung yang kompleks sehingga faktor ketelitian sangat diperlukan untuk menghitung suatu rumusan masalah. Integral merupakan suatu bagian dari matematika yang suatu rumusan masalah. Integral merupakan suatu bagian dari matematika yang  juga

 juga banyak banyak berperan berperan dalam dalam perkembangan perkembangan ilmu ilmu matematika matematika dan dan penerapanpenerapan diberbagai bidang (Kemendikbud, 2!"#. Ini berarti integral banyak diterapkan diberbagai bidang (Kemendikbud, 2!"#. Ini berarti integral banyak diterapkan di kehidupan sehari-hari. Keterlibatan integral dalam terapan ilmu lain seperti di kehidupan sehari-hari. Keterlibatan integral dalam terapan ilmu lain seperti geometri, teknologi, biologi, ekonomi sangat membantu untuk pengembangan geometri, teknologi, biologi, ekonomi sangat membantu untuk pengembangan ilmu

ilmu pengetahuapengetahuan.n.

$i Indonesia, konsep integral

$i Indonesia, konsep integral diberikan kepada mahasis%a &akultas 'IPdiberikan kepada mahasis%a &akultas 'IP semester II yang meliputi) (!# pengertian integral* (2# integral tak tentu* (+# semester II yang meliputi) (!# pengertian integral* (2# integral tak tentu* (+# integral tertentu* ("#

integral tertentu* ("# menentukan luas daerah* dan (# menentukan olume bendamenentukan luas daerah* dan (# menentukan olume benda  putar.

 putar. 'eskipun 'eskipun materi materi tentang tentang integral integral telah telah disampaikan disampaikan oleh oleh dosen, dosen, namunnamun  pada kenyataannya banyak mahasis%a yang masih belum memahami perbedaan  pada kenyataannya banyak mahasis%a yang masih belum memahami perbedaan

antara teknik-teknik integrasi

antara teknik-teknik integrasi dalam menyelesaikan persoalan yangdalam menyelesaikan persoalan yang  berhubungan berhubungan

dengan integral. al ini dikarenakan integral menjadi salah satu materi yang

dengan integral. al ini dikarenakan integral menjadi salah satu materi yang

dia

dianggnggap ap sulsulit it oleoleh h kebkebanyanyakaakan n mahmahasasis%is%a. a. al al ini ini seserinring g terterjadjadi i karkarenaena

maha

mahasis%a sis%a kurankurang g memamemahami hami langlangkah-lkah-langkangkah ah penypenyeleselesaian aian pada pada integintegral.ral.

/ntuk dapat menyelesaikan persoalan integral mahasis%a dituntut memahami

/ntuk dapat menyelesaikan persoalan integral mahasis%a dituntut memahami

la

langngkakahh-l-laanngkgkaah h pepenynyeelelesasaiaian n inintetegrgral al sseetetelalah h ititu u mamahahasisiss%a %a bibissaa

mengaplikasikany

mengaplikasikanya pada a pada soal latihan.soal latihan.

0anyaknya persoalan yang ada pada integral, namun ada dua aturan dasar 

0anyaknya persoalan yang ada pada integral, namun ada dua aturan dasar 

yan

yang g ditdita%aa%arkarkan n agagar ar mahmahasiasis%a s%a dapdapat at mudmudah ah menmenyeyeleslesaikaikan an pepersorsoalaalann

tersebut. turan pertama kita menggunakan aturan integral parsial dan yang satu

tersebut. turan pertama kita menggunakan aturan integral parsial dan yang satu

lagi kita bisa menggunakan aturan integral substitusi. 1amun, hal ini sering kali

lagi kita bisa menggunakan aturan integral substitusi. 1amun, hal ini sering kali

 jadi

 jadi permasalahan karena permasalahan karena mahasis%a mahasis%a masih masih sulit sulit membedakan mana membedakan mana persoalanpersoalan

yang bisa diselesaikan dengan integral parsial dan mana yang bisa diselesaikan

yang bisa diselesaikan dengan integral parsial dan mana yang bisa diselesaikan

dengan integral substitusi. Penulis menduga bah%a masalah tersebut karena

dengan integral substitusi. Penulis menduga bah%a masalah tersebut karena

mahasis%a belum memahami dengan baik mengenai konsep teknik integrasi

mahasis%a belum memahami dengan baik mengenai konsep teknik integrasi

 parsial

 parsial dan dan substitusi, substitusi, adapun adapun beberapa beberapa mahasis%a mahasis%a masih masih bingung bingung darimanadarimana

memulai pengintegralan.

memulai pengintegralan.

le

leh h karkarena ena ituitu, , pepenulnulis is beberkerkeinginginainan n untuntuk uk memmembuabuat t makmakalaalah h yayangng membahas tentang permasalahan yang timbul dalam menyelesaikan persoalan membahas tentang permasalahan yang timbul dalam menyelesaikan persoalan yang berhubungan dengan teknik integrasi substitusi dan parsial, serta contoh yang berhubungan dengan teknik integrasi substitusi dan parsial, serta contoh soal dan alternatif

1.2 Rumusan Masalah

dapun rumusan masalah dalam penelitian ini, yaitu)

!# 0agaimana pemahaman tentang teknik integral subsitusi dan integral parsial  pada mahasis%a &mipa /nimed3

2# pa sajakah permasalahan pemahaman teknik integrasi pada integral subsitusi dan integral parsial3

+# 0agaimana penyelesaian permasalahan pemahaman teknik integrasi pada integral subsitusi dan integral parsial3

1.3 Tujuan Peneltan

dapun tujuan dalam penelitian ini, yaitu)

!# 'emberikan informasi atau pemahaman yang komprehensif tentang teknik  integral substitusi dan integral parsial.

2# 'engetahui permasalahan pemahaman teknik integrasi pada integral substitusi dan integral parsial

+# 'engetahui penyelesaian permasalahan pemahaman teknik integrasi pada integral substitusi dan integral parsial

1.! Man"aat Peneltan

!# 'enginformasikan kemampuan pemahaman teknik integrasi pada integral subsitusi dan integral parsial pada mahasis%a &mipa /nimed.

#A$IAN PU%TA#A

'atematika mempunyai banyak pasangan operasi balikan) penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, dan pemangkatan dan penarikan akar. $alam setiap kasus, operasi kedua melepaskan operasi pertama, dan sebaliknya. 4alah satu ketertarikan kita dalam operasi balikan adalah adalah kegunaannya dalam penyelesaian persamaan. 6ontohnya, penyelesaiannya x3 7 8 melibatkan pengambilan akar-akar. Kita telah mengkaji differensial* balikannya disebut antiderifferensiasi atau integrasi.

rti yang lebih dalam dan lebih fundamental hamper sama dengan defenisi nol teknis) 9menunjukkan harga keseluruhan dari, menentukan jumlah dari9(:ebster#. rti matematis dari kata tersebut hanyalah dipakai dalam menentukan luas daerah yang dibatasi kura, olume bermacam-macam padatan,  panjang kura dan titik berat, dan dalam aplikasi lain. rti lain mengintegrasi

adalah mencari harga suatu fungsi jika deriatifnya diketahui. spek integral inilah yang disebut integral tentu dan integral tak tentu, dan hubungannya dinyatakan dalam sebuah teorema yang disebut dasar kalkulus integral.

dapun differensiasi suatu fungsi elementer yang dapat dilakukan langsung dengan aturan-aturan yang kita kenal. asilnya selalu berupa fungsi elementer. Integrasi (antidifferensiasi# adalah persoalan yang berbeda sama sekali. Integrasi melibatkan sedikit teknik dan lebih banyak akal* lebih celaka lagi, hasilnya tidak selalu berupa fungsi elementer. 'isalnya, kita telah ketahui  bah%a anti turunan e− x

2

 dan (sin x#; x bukan fungsi elementer.

$ua teknik dasar untuk integrasi adalah substitusi dan integral parsial.

2.1 Integras &engan %u'sttus

0entuk baku penggunaan secara efektif metode substitusi bergantung pada kesiapsediaan daftar integral-integral yang sudah dikenal.

Teorema

ndaikan g adalah fungsi yang terdiferensiasikan dan anggaplah & anti turunan dari f. Kemudian, jika u=g( x) ,

∫

f 

 (

g( x)

)

g' ( x)dx=

∫

f  (u)du= F (U )+C = F 

(

g( x)

)

+C 

0entuk akar dalam integral selalu menimbulkan kesulitan dan biasanya kita  berusaha menghindarinya. 4eringkali substitusi yang tepat akan menghasilkan

untegral tersebut.

Integral melibatkan √ n ax+b .

  <ika √ n ax+b muncul dalam suatu integral,substitusi u=√ nax+b   akan menghilangkan akar.

Integral yang melibatkan √ a2− x2 , √ a2+ x2  dan √  x2−a2 .

/ntuk merasionalkan ketiga persamaan ini, kita membuat substitusi trigonometri berikut,

kar 4ubtitusi Pembatasan pada t

! _√ a2 − x2  x=asint  −π /2≤t ≤π /2 2 _√ a2 + x2  x=atant  −π /2<t <π /2 + _√  x2 −a2  x=a sect  0_{≤ t ≤ π , t ≠} π  2

4ekarang perhatikan penyederhanaan yang dicapai oleh substitusi ini.

!. √ a2− x2 7 √ a2−a2sin2t =√ a2cos2t =  ⃓acost  ⃓=acost  2. √ a2+ x2 _{7 √} a2+a2tan2_t =√ _a2_sec2_t =  ⃓asect  ⃓=a sect  +. √  x2−a2 7 √ a2sec2t −a2=√ a2tan2t =  ⃓atant  ⃓=±atant 

2.3 Integral Parsal

<ika integrasi menggunakan substitusi gagal, dimungkinkan menggunakan substitusi ganda, yang lebih dikenal sebagai integral parsial. 'etode ini didasarkan  pada integrasi rumus untuk turunan hasil kali dua fungsi.

ndaikan u=u( x)danv( x),  maka.

 D X 

[

u( x) v( x)

]

=u( x)v ' ₍

tau

u( x)v' ( x)= D _X 

[

u( x)v( x)

]

−v( x)u ' ( x)

$engan mengintegrasi kedua ruas persamaan tersebut kita memperoleh

∫

u( x)v' ( x)dx=u( x)v( x)−

∫

u( x)u' ( x)dx

Integral Parsial) Integral Tak Tentu

∫

u dv=u v−

∫

v du

5umus yang berpaduan untuk integral tentu adalah

∫

a b u( x)v' ( x)dx=

[

u( x)v( x)

]

_ab=

∫

a b v( x)u' ( x)dx

Integral Parsial) Integral Tentu

∫

a b u dv=

[

uv

]

_ab=

∫

a b v du

5umus-rumus ini membedakan kita memindahkan masalah menintegrasikan

u dvmenjadi mengintegrasikan v du. Keberhasilannya bergantung pada pilihan u dan

BAB III

MET*DE PENELITIAN 3.1 %um'er Data

$ata yang digunakan dalam mini riset ini adalah data dari angket yang disebarkan kepada mahasis%a Pendidikan &isika kelas regular 0 angkatan 2!+. $ata angket ini diberikan secara acak kepada ! orang dari mahasis%a Pendidikan &isika kelas regular 0 angkatan 2!+.

3.2 Met)&e Peneltan

Penelitian yang digunakan adalah penelitian kualitatif karena bertujuan untuk mendeskripsikan atau memberikan gambaran apa adanya atas suatu fenomena kehidupan nyata seperti yang dikemukakan oleh 'oleong (2!2#  bah%a penelitian kualitatif adalah penelitian yang bermaksud untuk memahami

fenomena tentang apa yang dialami oleh subjek penelitian (misalnya perilaku,  persepsi, motiasi, tindakan, dan lain-lain# secara holistik (utuh# dan dengan cara deskripsi (dalam bentuk kata-kata dan bahasa#. $alam penelitian ini, peneliti melakukan penelitian untuk mengidentifikasi problematika apa saja yang sering muncul dalam penyelesaian soal matematika pada materi integral menggunakan teknik integrasi substitusi dan parsial, serta alternatif ja%aban yang mungkin dari  problematika tersebut. Penelitian ini menggunakan penelitian kuantitatif yang  berjenis studi kasus.

Penelitian ini dilakukan di &akultas 'IP, /niersitas 1egeri 'edan. 4ubjek penelitian ini adalah mahasis%a Pendidikan &isika angkatan 2!+ yang telah mempelajari materi integral pada matakuliah pada semester II tahun akademik 2!+;2!". Pengambilan subjek dilakukan dengan teknik random. Teknik ini dilakukan karena peneliti menganggap semua mahasis%a memiliki kemampuan matematis yang sama dan penelitian ini hanya mendeskripsikan tentang problematika apa saja yang dialami mahasis%a ketika mengerjakan soal integral dengan teknik integrasi parsial dan substitusi terlepas dari kemampuan matematisnya. Pengambilan subjek penelitian ini dilakukan secara acak hingga terambil ! mahasis%a dari " mahasis%a yang ada.

Penelitian dilakukan dengan pemberian tes berkaitan dengan materi integral. $alam menja%ab soal, subjek penelitian tersebut diberikan %aktu maksimal > menit. Tes berisi soal induksi matematika yang berbentuk uraian sebanyak 8 soal. 4elain itu, pedoman %a%ancara berisi butir-butir pertanyaan atau pernyataan yang bersifat mengeksplor informasi yang dibutuhkan oleh  peneliti. $alam penelitian ini, %a%ancara bertujuan untuk mengetahui dengan  jelas alur pikiran sis%a dalam menja%ab tes soal integral yang diberikan.

BAB I+

HA%IL DAN PEMBAHA%AN !.1 Hasl Peneltan

4etelah subjek menyelesaikan tes tertulis, diperoleh data uraian tentang cara subjek menja%ab soal-soal integral. 4elanjutnya, data tersebut dianalisis sehingga terlihat problematika yang dialami subjek tersebut.

!.1.1 Pr)'lematka Teknk Integras &engan %u'sttus

6ontoh 4oal !

Tentukan hasil dari

∫

 x2√  x3+1  ?

'asalah ! 0erdasarkan ja%aban mahasis%a di atas, terlihat bah%a mahasis%a telah menguasai tentang sifat bilangan akar dan bisa menggunakan teknik integrasi substitusi. 1amun ada mahasis%a yang masih bingung dalam menentukan permisalan. al ini dapat disebabkan karena mahasis%a belum memahami taknik substitusi dengan benar.

Penyelesaian 4oal diatas dapat diselesaikan dengan teknik integrasi substitusi karena fungsi ( # dan ( # mempunyai pangkat yang berbeda

derajatnya serta fungsi ( # mengandung turunan dari fungsi ( #

sehingga dilakukan permisalan terhadap fungsi ( #. 4etelah

dilakukan permisalan, mahasis%a dapat mensubstitusikan hasil  permisalan ke dalam bentuk @  (( ##A( #7@  (#

Penyelesaian yang tepat untuk soal diatas adalah

∫

 x2√  x3+1  =

2 9

(

 x

3

+1

)

√  _x3+1

'isal) 7 x 3 +1 ⟹7+ x 2  ⟺ du 3  7  x 2  sehingga

∫

 x2√  x3+1  7

∫

u 1 2 du 3 7 13

∫

u 1 2 du  7 1 3 2 3 u 3 2₊ C 

4elanjutnya, permisalan dikembalikan ke bentuk semula sehingga diperoleh

∫

 x2√  x3+1  =  2 9

(

 x 3 +1

)

√  _x3+1  + C 6ontoh 4oal 2

Tentukan hasil dari

∫

x+

1

 x−1 ?

'asalah 2 0erdasarkan ja%aban mahasis%a tersebut, dapat diketahui bah%a sudah dimengerti bah%a penggunaan integral pada soal ini menggunakan pengintegralan sederhana, dan tidak menggunakan  permisalan.

Penyelesaian 4oal seperti ini dapat dikerjakan dengan menggunakan  pengintegralan sederhana, karena salah satu fungsi bukan merupakan turunan dari fungsi yang lain. namun bisa dikerjakan dengan hasil pembagian  ( #;( #.

Penyelesaian yang tepat untuk soal diatas adalah

∫

x+ 1  x−1dx= x−¿| x−1|+C  ( x₊1)  ) ( x₋1) 7 !- 2  x−1 0erarti

∫

x+ 1  x−1dx=

∫

(

1− 2  x−1

)

dx=

∫

dx−

∫

2  x−1 dx=

∫

dx−2

∫

1  x−1dx 4ehingga diperoleh

∫

x+ 1  x−1dx= x−¿| x−1|+C  6ontoh 4oal +

Tentukan hasil dari

∫

cos5 x

(

1+cos6 x

)

sin x  x ?

'asalah + 0erdasarkan ja%aban mahasis%a diatas terlihat bah%a dalam menyelesaikan soal tersebut mahasis%a menggunakan teknik  integrasi substitusi. 1amun belum tepat dalam permisalan. al ini terjadi karena mahasis%a belum memahami dalam permisalan yang digunakan dalam turunan dari fungsi f(B#7 gC(B# pada fungsi trigonometri.

Penyelesaian 4oal seperti ini dapat dikerjakan dengan menggunakan  pengintegralan dengan substitusi, karena salah satu fungsi merupakan turunan dari fungsi yang lain atau dapat dikatakan f( # 7C( #. 4ehingga fungsi yang memiliki pangkat lebih tinggi

yang akan dimisalkan.

Penyelesaian yang tepat untuk soal diatas adalah

∫

cos5 _x

(

1+cos6 _x

)

sin _x

x= -  1 6

(

cos 6  x+1 2 cos 12  x

)

_+C

'isal) u7 cos B, du 7 -sinB dB -du 7 sin B dB

'aka)

∫

cos5 x

(

1+cos6 x

)

sin x  x

=

∫

cos

5

 xsin _{x dx}+

∫

cos11 _xsin _{x dx}

=

∫

u 5 (−du)+

∫

u11(−du) = -1 6 u 6 − 1 12u 12 +C   = -1 6 cos 6  x₋ 1 12cos 12  x₊C  = -1 6

(

cos 6  x+1 2 cos 12  x

)

_+C 6ontoh 4oal "

Tentukan hasil dari

∫

 x

2

− x

 x+1  x  ?

'asalah " 0erdasarkan ja%aban mahasis%a diatas terlihat bah%a dalam menyelesaikan soal tersebut sis%a menggunakan teknik integrasi substitusi. kibatnya, hasil pengerjaan sis%a tersebut menjadi  belum tepat. al ini terjadi karena sis%a belum memahami  perbedaan antara teknik integrasi sederhana dan substitusi.

Penyelesaian 4oal seperti ini dapat dikerjakan dengan menggunakan  pengintegralan dengan substitusi, karena salah satu fungsi merupakan turunan dari fungsi yang lain atau dapat dikatakan ( #

7C( #. 4ehingga fungsi yang memiliki pangkat lebih tinggi yang

akan dimisalkan.

Penyelesaian yang tepat untuk soal diatas adalah

∫

 x2− x  x+1  x = 1 2 x 2 −2 _x+2 ln| _x+1|+_C  dengan

(

 x2− x

)

:( _x+1)= _x−2+ 2

Maka

∫

 x 2 − x  x+1  x=

∫

(

 x− 2+ 2  x+1

)

dx=

∫

 xdx−

∫

2dx+2

∫

dx  x+1 = 1 2 x 2 −2 _x+2 ln| _x+1|+_C  6ontoh 4oal 

Tentukan hasil dari

∫

2_dx

 x2−4 ?

'asalah  0erdasarkan ja%aban mahasis%a diatas terlihat bah%a dalam menyelesaikan soal tersebut mahasis%a menggunakan teknik  integrasi substitusi. kibatnya, hasil pengerjaan mahasis%a tersebut menjadi belum tepat. al ini terjadi karena mahasis%a  belum memahami perbedaan antara teknik integrasi substitusi  biasa dengan teknik integrasi fungsi rasional.

Penyelesaian 4oal seperti ini dapat dikerjakan dengan menggunakan  pengintegralan dengan fungsi rasional, karena fungsi  f   dan g

merupakan fungsi rasonal sejati dengan cara menguraikan  penyebutnya terlebih dahulu. Dalu menentukan pembilangnya sehingga didapat suatu fungsi linear yang bisa diitegrasi secara sederhana.

Penyelesaian yang tepat untuk soal diatas adalah

∫

2dx  x2₋4 ¿ 1 2∈

|

 x−2  x+2

|

E6

Karena penyebut diuraikan sebagai (x+2)(x-2), didapat

2 ( x+2)( _x−2)= A  x+2+ B  x−2  7  A( x−2)+_B( _x+2) ( x+2)( _x−2) = ( A+B) x+(2_B−2 _A) ( x+2)( _x−2)

$idapat persamaan E0 7 , dan 20-272, dengan cara substitusi atau eliminasi didapat nilai  7 -1 2  dan 0 7 1 2 <adi, 2 ( x+2) ( _x−2)= −1 2  x+2+ 1 2  x−2  7 1 2

(

−1  x+2+ 1  x−2

)

∫

2dx  x2−4 7 1 2

(

−1  x₊2+ 1  x₋2

)

dx=¿ 1 2

∫

(

1  x₋2− 1  x₊2

)

dx

∫

¿ ¿1 2

 (

ln| x−2|ln| x+2|

)

+C = 1 2∈

|

 x−2  x+2

|

E6

!.1.2 Pr)'lematka Teknk Integras &engan Integral Parsal

6ontoh 4oal F

Tentukan hasil dari @ B2_e2B_ x ?

'asalah F 0erdasarkan ja%aban mahasis%a di atas, terlihat bah%a mahasis%a menyelesaikannya dengan menggunakan teknik  integral parsial. 1amun hanya megerjakannya separuh jalan.

Penyelesaian 4oal seperti ini dapat dikerjakan dengan menggunakan  pengintegralan parsial, karena tidak adanya hubungan deriatif 

dan anti turunan antara kedua fungsi. 4ehingga soal di atas akan dimisalkan dalam bentuk @   dimana fungsi yang dimisalkan

sebagai  akan diturunkan, sedangkan fungsi yang dimisalkan

sebagai   akan diintegralkan. 4elanjutnya, setelah dilakukan

 permisalan, hasil permisalan tersebut disubstitusikan ke dalam  bentuk @ 7  G@ . namun pengintegralan ini dilakukan dua

Penyelesaian yang tepat untuk soal diatas adalah @ B2_e2B_{ x =}

(

 x 2 − x₊1 2

)

1 2e 2 x +C  'isal) 7 x 2 dv 7 e 2 _x dx 7 2 x v 7 1 2 e 2 _x sehingga @ B2_e2B_{ x =} x 2

(

1 2 e 2 _x

)

−

∫

1 2e 2 _x 2 _{x dx}  = 1 2 x 2 e2 x−

∫

e2 x x dx Adapun

∫

e 2 _x  x dx  _dengan u= x _{, maka} du = dx  dv 7 e 2 _x dx  _{, v 7} 1 2 e 2 _x

∫

e2 x x dx= x

(

1 2e 2 _x

)

−

∫

1 2e 2 _x = x 2 e 2 _x −1 2 1 2 e 2 _x = x 2 e 2 _x −1 4 e 2 _x <adi) @ B2_e2B_{ x =} 1 2 x 2 e2 x−

∫

e2 x x dx ¿1 2 x 2 e2 x−

(

 x 2e 2 _x −1 4 e 2 _x

)

+C  = 1 2 x 2 e2 x−¿  x 2 e 2 _x +1 4 e 2 _x +C  =

(

 x 2 − x+1 2

)

1 2e 2 _x +C  6ontoh 4oal H

'asalah H 0erdasarkan ja%aban sis%a di atas, terihat bah%a sis%a menyelesaikannya dengan menggunakan teknik integrasi parsial dan dalam melakukan permisalan juga sudah tepat. 1amun, karena soal tersebut perlu dilakukan teknik integrasi parsial secara berulang sehingga ja%aban yang diperoleh belum tepat. al ini dapat terjadi karena sis%a belum memahami teknik  integrasi parsial secara berulang.

Penyelesaian 4oal seperti ini dapat dikerjakan dengan menggunakan  pengintegralan parsial secara berulang, sehingga setelah memperoleh bentuk @ 7 G@  selanjutnya @ 

diintegralkan kembali dengan teknik integrasi parsial, begitu selanjutnya hingga diperoleh ja%aban akhir yang sudah tidak  mengandung pengintegralan.

Penyelesaian yang tepat untuk soal diatas adalah

 @ln 3x+8! x =  x ln |3 x+8| - x−8 ln|3 x+8| +C 'isal) u ₌ ln _{3x+8! d" = dx} du ₌ 1 3 _x+8 (3)dx= 3 3 _x+8 dx  " = x

sehingga dengan persamaan # = $#

@ln 3x+8! x =  x ln |3 x+8| -

∫

 x

3 3 _x+8dx

 7x ln |3 x+8|

∫

3 x 3 x₊8 dx  = x ln |3 x+8| !-

(

∫

dx−

∫

− 8 3 _x+8dx

)

 = x ln |3 x+8| !-

(

∫

dx+

∫

8 3 _x+8 dx

)

 = x ln |3 x+8| - x−8 ln|3 x+8| +C 6ontoh 4oal 8

Tentukan hasil dari @ eaB_{sin bB  x ?}

'asalah 8 0erdasarkan ja%aban mahasis%a di atas, terlihat bah%a sebagian  besar mahasis%a tidak dapat menyelesaikan soal menggunakan teknik integral parsial jika kostanta pada soal tersebut berupa huruf.

Penyelesaian 4oal seperti ini dapat dikerjakan dengan menggunakan  pengintegralan parsial, karena tidak adanya hubungan deriatif 

dan anti turunan antara kedua fungsi. 4ehingga soal di atas akan dimisalkan dalam bentuk @   dimana fungsi yang dimisalkan

sebagai  akan diturunkan, sedangkan fungsi yang dimisalkan

sebagai   akan diintegralkan. 4elanjutnya, setelah dilakukan

 permisalan, hasil permisalan tersebut disubstitusikan ke dalam  bentuk @ 7 G@ 

 1amun, pada persoalan ini dilakukan pengintegralan dua kali. Penyelesaian yang tepat untuk soal diatas adalah

@ eaB_{sin bB  x =} e ax₍ asin_bx−_bcos_bx) a2+b2 M%&alkan u= eax d" = &%n 'x dx

du= a eaxdx "

=-1

bcosbx

dengan pe(m%&alan 'en)uk # = $# , d%dapa)

@ eaB_{sin bB  x =} eax

(

− 1 b cosbx

)

−

∫

−1 b cosbx

(

a e ax

₎

dx = −1 b e ax_cos bx+a b

∫

e ax_cos bxdx

∫

eaxcos_bxdx=_{? ?}

*engan pe(m%&alan ang &ama,

u= eax d" = & 'x dx du= a eaxdx " = 1 bsinbx maka

∫

e ax_cos bxdx=eax

(

1 bsinbx

)

−

∫

1 bsinbx

(

a e ax

)

dx  = 1 be ax_sin bx  _- a b

∫

e ax_sin bx dx &e.%ngga @ eaB_{sin bB  x =} − 1 b e ax_cos bx+a b

∫

e ax_cos bx dx = −1 b e ax_cos bx+a b

(

1 b e ax_sin bx−a b

∫

e ax_sin bx dx

)

= −1 b e ax cosbx₊ a b2  eaxsinbx₋a 2 b2

∫

eaxsinbx dx @ eaB_{sin bB  x} + a2 b2

 ∫

eaxsinbx dx  = −1 b e ax_cos bx+ a b2e ax_sin bx

(

1+a 2 b2

)

∫

e ax_sin bxdx ₌ −1 b e ax_cos bx+ a b2 e ax_sin bx

(

b2+a2 b2

)

∫

e ax_sin bx dx ₌ −b b2 e ax cos_bx+ a b2 e ax sin_bx

(

b2+a2

)

∫

eaxsin_{bx dx} = −b eaxcosbx+a eaxsinbx

∫

eaxsin_bxdx = − b eaxcos_bx+_{a e}axsin_bx b2+a2 = eax(asinbx₋bcosbx) a2₊b2 !.2 Pem'ahasan

$ari beberapa soal yang tertera sebelumnya, secara umum terlihat ada  beberapa masalah yang sering terjadi dalam melakukan pengintegralan baik   pengintegralan dengan substitusi maupun parsial. 'asalah-masalah tersebut

akan diuraikan lebih jelas pada paragraf berikut. Ketika mahasis%a dihadapkan dengan soal integral, mereka cenderung masih merasa bingung harus menyelesaikan dengan teknik apa* apakah dengan pengintegralan sederhana,  pengintegralan substitusi atau pengintegralan parsial. 4elain itu, mahasis%a juga

merasa bingung dengan bagaimana cara melakukan permisalan dan apa yang harus dimisalkan agar soal tersebut dapat diselesaikan.

Pada masalah ! dan +, terlihat bah%a mahasis%a sudah menggunakan teknik integrasi substitusi. 4ebagian besar sudah memahami konsep substitusi tersebut, namun ada beberapa mahasis%a yang masih bingung dalam membuat  permisalan dan bingung fungsi mana yang sebaiknya jadi permisalan. Ini membuktikan bah%a mahasis%a tersebut masih bingung dalam menggunakan  permisalan pada teknik integrasi substitusi.

Pada masalah 2 dan ", terlihat bah%a mahasis%a sudah memahami teknik  integrasi substitusi rasional biasa dengan menggunakan pembagian fungsi lalu  pengintegralan sederhana. <adi pada masalah 2 dan ", tidak begitu berarti dan  bisa dikatakan bah%a mahasis%a sudah memahami konsep teknik integrasi

substitusi rasional sederhana.

Pada masalah  terlihat bah%a mahasis%a sudah memahami teknik  integrasi substitusi rasional dengan cara menyederhanakan penyebutnya. Pada soal ini mahasis%a sudah dianggap memahami konsep tersebut.

Pada masalah F dan H mahasis%a sudah menggunakan teknik integrasi  parsial. 1amun, mahasis%a melakukan beberapa kesalahan dalam  penyelesaiannya. Pada masalah tersebut, mahasis%a belum menggunakan teknik 

integrasi berulang. al ini dapat terjadi karena mahasis%a belum memahami teknik integrasi secara berulang.

Pada masalah 8, sebagian besar mahasis%a mengalami kesulitan, bahkan tidak ada yang benar dalam mengerjakan soal ini. Padahal teknik yang digunakan untuk menyelesaikan soal ini sama dengan soal pada permasalahan F dan H. anya saja pada soal tersebut terdapat soal trigonometri dan konstanta yang digunakan bukan angka, melainkan huruf. Ini membuktikan bah%a mahasis%a belum sepenuhnya memahami teknik integrasi parsial.

BAB + PENUTUP ,.1 #esm-ulan

0erdasarkan paparan materi dan pembahasan contoh soal pada bab sebelumnya, dapat ditarik beberapa kesimpulan, yakni problematika yang terjadi secara umum dalam penyelesaian soal integral antara lain)

!. 'ahasis%a merasa bingung harus menggunakan teknik pengintegralan yang mana* dengan teknik integrasi sederhana, parsial maupun substitusi. 2. 'ahasis%a merasa bingung tentang fungsi mana yang harus dimisalkan

dan mana yang tidak atau bagaimana cara memisalkannya.

+. 'ahasis%a belum memahami teknik integrasi parsial secara berulang.

,.2 %aran

al ini diharapkan dapat membantu mahasis%a dalam menentukan teknik  integrasi mana yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal integral yang dihadapi, fungsi mana yang seharusnya dilakukan permisalan dan fungsi mana yang tidak serta pemikiran-pemikiran a%al yang diperlukan sehingga mahasis%a tidak  mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal yang berhubungan dengan integral.

$&T5 P/4TK

Purcell, d%in <., Jarbergd, $ale., 5igdon, 4teen ., (2+#. Kalkulus <ilid ! disi Kedelapan. <akarta* 6iracas.

Tim $osen 'atematika, (2!H#. Kalkulus Integral. 'edan* /niersitas 1egeri 'edan