MODEL PERSEDIAAN PROBABILISTIK MULTI ITEM DENGAN FAKTOR DISKON DAN KADALUARSA

Perjanjian No. III/LPPM/2016-02/92-P

MODEL PERSEDIAAN PROBABILISTIK

MULTI ITEM

DENGAN

FAKTOR DISKON DAN KADALUARSA

Disusun Oleh : Dr. J. Dharma Lesmono Taufik Limansyah, S.Si, MT.

LEMBAGA PENELITIAN DAN PENGABDIAN KEPADA MASYARAKAT UNIVERSITAS KATOLIK PARAHYANGAN

BANDUNG 2016

ABSTRAK

MODEL PERSEDIAAN PROBABILISTIK

MULTI ITEM

DENGAN

FAKTOR DISKON DAN KADALUARSA

J. Dharma Lesmono dan Taufik Limansyah

Jurusan Matematika, Fakultas Teknologi Informasi dan Sains Universitas Katolik Parahyangan

Persediaan merupakan suatu faktor yang penting bagi suatu perusahaan. Pengelolaan persediaan yang baik diperlukan bagi suatu perusahaan karena sebagian besar dana perusahaan tertanam di dalam persediaan. Selain itu, di dalam pengelolaan persediaan perlu diperhatikan adanya biaya-biaya yang terlibat seperti biaya pembelian, biaya pemesanan, biaya penyimpanan, dan biaya kekurangan. Beberapa faktor yang sering dihadapi perusahaan di dalam praktek adalah adanya penurunan kualitas dari barang (masa kadaluarsa), faktor diskon yang diberikan oleh pihak pemasok, permintaan yang tidak menentu dari pelanggan, serta beragamnya jenis barang yang dijual atau diproduksi oleh perusahaan. Model-model persediaan yang memperhatikan faktor-faktor di atas telah banyak dikembangkan orang, dengan asumsi dan cara pandang yang beragam. Dalam tiga atau empat tahun terakhir telah dikembangkan model-model persediaan baik itu deterministik maupun probabilistik yang mempertimbangkan masa kadaluarsa dan faktor diskon. Di dalam penelitian ini akan dicoba dikembangkan model persediaan probabilistik untuk kasus multi item dengan mempertimbangkan faktor kadaluarsa dan diskon yang diberikan pihak pemasok kepada perusahaan. Model yang dikembangkan merupakan model periodic review untuk menentukan waktu pemesanan barang yang optimal untuk kasus multi item. Kebijakan ini disebut dengan kebijakan joint order. Kebijakan joint order ini nantinya akan dibandingkan dengan model persediaan perpetual untuk masing-masing barang, atau individual order. Kriteria pemilihan kebijakan adalah kebijakan yang memberikan biaya total yang paling minimum.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Kuasa, karena atas segala rahmat dan kasihNya penelitian dengan judul “Model Persediaan Probabilistik Multi Item Dengan Faktor Diskon dan Kadaluarsa” dapat diselesaikan. Makalah ini disusun sebagai laporan tertulis

kegiatan penelitian yang dilakukan selama tahun 2016. Hasil penelitian ini telah dipresentasikan pada East Asia Society of Industrial and Applied Mathematics (EASIAM) pada tanggal 20-22 Juni 2016 di Macau, pada Asian Mathematical Conference (AMC) pada tanggal 25-29 Juli 2016 di Bali, dan pada Konferensi Nasional Matematika (KNM) ke-18 di Riau pada tanggal 2-5 November 2016.

Dalam menyelesaikan penelitian ini, penulis telah menerima bantuan dan dukungan dari berbagai pihak yang keterlibatannya sangat berarti. Penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada Dekan Fakultas Teknologi Informasi dan Sains yang telah membantu kelancaran pemenuhan persyaratan administratif, serta Lembaga Penelitian dan Pengabdian kepada Masyarakat (LPPM) Universitas Katolik Parahyangan yang telah memberikan bantuan dana penelitian sehingga penelitian ini dapat berjalan dengan lancar dan terselesaikan dengan baik.

Seperti kata pepatah “Tiada Gading yang Tak Retak”, demikian juga dengan penelitian ini. Oleh karena itu, dengan senang hati penulis akan menerima kritik dan saran yang sifatnya membangun untuk penyempurnaan penelitian ini. Akhir kata penulis berharap semoga penelitian ini dapat memberikan manfaat bagi yang memerlukannya.

Bandung, November 2016

DAFTAR ISI

ABSTRAK ... ii

KATA PENGANTAR ... iii

DAFTAR ISI ... iv DAFTAR GAMBAR ... vi BAB I PENDAHULUAN ... 1 1.1. Latar Belakang ... 1 1.2. Rumusan Masalah ... 4 1.3. Tujuan Penelitian ... 4 1.4. Sistematika Penulisan ... 5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 7

2.1. Persediaan Barang ... 7

2.2. Model Probabilistik Persediaan Barang Economic Order Quantity ... 8

2.3. Formulasi Matematika Model Probabilistik Persediaan Barang Economic Order Quantity ... 10

2.4. Prosedur (Algoritma) Pencarian Jumlah Pemesanan Barang dan Reorder Point yang Optimal ... 14

2.5. Model Persediaan Probabilistik Satu Jenis Barang Dengan Mempertimbangkan Faktor Kadaluarsa dan All Unit Discount ... 15

BAB III METODE PENELITIAN……... 21

BAB IV JADWAL PELAKSANAAN…... 24

5.1. Formulasi Model Persediaan Probabilistik Multi Item Dengan Faktor Diskon dan Kadaluarsa ... 25

5.2. Prosedur Pencarian Jumlah Pemesanan Barang dan Reorder Point yang Optimal ... 33

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN... 36

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Model Probabilistik Persediaan EOQ ... 10 Gambar 2.2. Model Probabilistik Persediaan Barang EOQ Dengan Mempertimbangkan Faktor Kadaluarsa Barang ... 16 Gambar 3.1. Metodologi Penelitian……… 22

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Persediaan berkaitan dengan ketersediaan bahan baku untuk industri manufaktur atau barang dagangan untuk suatu perusahaan. Persediaan merupakan salah satu faktor yang penting dalam menjamin kelancaran suatu proses produksi. Faktor penting yang perlu dipertimbangkan dalam pengelolaan persediaan adalah adanya penurunan kualitas barang (kadaluarsa). Barang yang mendekati atau memasuki masa kadaluarsa akan memiliki nilai jual yang rendah, atau bahkan tidak memiliki nilai jual, sehingga hal ini perlu mendapat perhatian yang serius dari perusahaan. Secara analitis, untuk menangani masalah seperti ini, diperlukan suatu model matematika yang dapat mendeskripsikan hal ini dan menentukan kebijakan yang optimal yang harus diambil oleh perusahaan. Kompleksitas masalah akan semakin berkembang ketika perusahaan tersebut memiliki banyak barang (multi item) dengan waktu kadaluarsa yang berbeda-beda. Jika perusahaan memiliki barang yang akan atau sudah kadaluarsa dalam jumlah yang banyak, maka biaya kadaluarsa akan menjadi besar. Perusahaan akan mengalami kerugian mengingat banyaknya barang yang memiliki nilai jual yang lebih rendah atau bahkan tidak memiliki nilai jual sama sekali ketika barang telah kadaluarsa. Sebaliknya, jika pengadaan persediaan barang yang memiliki waktu kadaluarsa dalam jumlah yang sedikit akan mengakibatkan frekuensi pemesanan yang lebih sering sehingga biaya pemesanan menjadi mahal.

Faktor lain yang mempengaruhi model persediaan adalah adanya faktor diskon yang diberikan oleh pemasok (supplier) untuk masing-masing jenis barang. Diskon dapat diberikan dalam tiga kategori, yaitu diskon secara keseluruhan barang (all unit discount), diskon secara bertahap (incremental discount), atau diskon yang mengikuti suatu fngsi kontinu tertentu (walau hal ini jarang ditemukan di dalam praktek). Dengan adanya faktor

Namun, selain faktor diskon yang dapat dimanfaatkan untuk menurunkan biaya total persediaan, perusahaan tentunya akan mempertimbangkan resiko-resiko yang akan terjadi ketika membeli barang yang lebih banyak, seperti biaya perawatan yang meningkat, biaya kerugian akibat kerusakan (kadaluarsa) barang yang akan ditanggung. Penelitian ini bertujuan untuk menghasilkan model matematika persediaan probabilistik multi item dengan mempertimbangkan faktor diskon dan faktor kadaluarsa barang serta penentuan kebijakan perusahaan dalam pemesanan barang apakah dengan joint order atau indivual order sehingga diperoleh biaya total persediaan yang minimum.

Telah banyak model-model matematika untuk persediaan barang yang ada pada berbagai buku dan literatur. Model persediaan barang yang paling sederhana adalah model persediaan barang Economic Order Quantity (EOQ) (Tersine (1994)). Model EOQ ini menjadi dasar untuk pengembangan model-model persediaan barang lain yang lebih kompleks dengan menambahkan faktor-faktor yang cukup relevan dengan permasalahan nyata. Faktor-faktor yang cukup penting untuk dipertimbangkan di dalam model-model persediaan barang antara lain adalah faktor masa batas waktu pakai (kadaluarsa) barang, faktor diskon yang diberikan oleh pihak pemasok, faktor distribusi permintaan barang dan faktor multi item.

Bagi perusahaan yang memproduksi atau menjual barang yang memiliki batas kadaluarsa (perishable) seperti pada perusahaan makanan atau minuman atau bahan kimia, masa kadaluarsa merupakan faktor penting yang perlu dipertimbangkan dalam perencanaan model persediaan. Barang akan mengalami penurunan nilai seiring dengan mendekatnya waktu kadaluarsa, bahkan tidak memiliki nilai sama sekali ketika barang tersebut telah kadaluarsa. Beberapa penelitian mengenai model persediaan untuk barang-barang dengan masa kadaluarsa telah melihat permasalahan ini dari sudut pandang yang berbeda-beda. Bukhari (2011) mengembangkan sebuah model pengendalian sistem produksi untuk satu jenis barang dengan laju penurunan nilai barang yang tidak pasti, sedangkan Ferguson et. al. (2007) memperluas model EOQ untuk barang-barang perishable dengan mempertimbangkan biaya penyimpanan sebagai fungsi yang nonlinear dari waktu.

Muckstadt & Sapra (2010) dan Zhang & Wang (2011) telah mengembangkan suatu model persediaan multi item dengan masa kadaluarsa serta mempertimbangkan keterbatasan kapasitas gudang untuk menyimpan barang-barang tersebut, sedangkan Hariga et. al. (2007) mengembangkan suatu model untuk menentukan penggantian barang-barang pada etalase, menentukan besarnya luas rak untuk masing-masing barang sehingga memaksimumkan keuntungan bagi perusahaan dengan adanya keterbatasan luas rak. Sementara itu Kasthuri et. al (2010) mengembangkan model multi item dengan mempertimbangkan ruang penyimpanan dan biaya produksi dalam lingkungan yang fuzzy. Zhang & Du (2010) mengembangkan suatu sistem multi product newsboy untuk mengatasi permintaan yang tidak pasti.

Terkait dengan distribusi dari permintaan barang, Limansyah (2011) telah mengembangkan model persediaan deterministik satu barang dengan faktor kadaluarsa dan all unit discount. Debora, et. al. (2012) mempertimbangkan incremental discount pada model persediaan deterministik satu barang dengan faktor kadaluarsa. Ricardo, et.al (2015) mengembangkan model persediaan deterministik dengan mempertimbangkan faktor kadaluarsa dan penurunan harga jual. Sementara itu, Limansyah dan Lesmono (2012) telah mengembangkan suatu model persediaan probabilistik untuk single item dengan mempertimbangkan faktor kadaluarsa barang dan all unit discount dengan permintaan barang selama lead time mengikuti Distribusi Gamma. Model persediaan single item dengan faktor kadaluarsa telah dikembangkan oleh Lesmono dan Limansyah (2012) untuk kasus incremental discount dan untuk kasus fungsi diskon yang kontinu dapat dilihat pada Lesmono dan Limansyah (2014). Sementara itu, Limansyah dan Lesmono (2011) telah mengembangkan model persediaan multi item dengan permintaan bersifat deterministik dan mempertimbangkan faktor kadaluarsa dan faktor all unit discount.

Terkait dengan model persediaan multi item, dalam kasus dimana terjadi kenaikan harga barang, Koswara dan Lesmono (2015a), (2015b), telah mengembangkan model periodic review untuk persediaan dengan melakukan analisis sensitivitas terhadap waktu dan besaran kenaikan harga barang. Dalam penelitian ini akan dikembangkan model

persediaan probabilistik multi item dengan mempertimbangkan adanya faktor kadaluarsa dan diskon. Penelitian ini merupakan pengembangan dari penelitian-penelitian yang telah dilakukan sebelumnya. Di dalam penelitian ini diasumsikan bahwa permintaan barang mengikuti suatu distribusi permintaan tertentu, dan akan dibuat model persediaan untuk menentukan kebijakan pemesanan yang optimal apakah melalui individual order ataupun joint order. Model dasar yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah model dari Limansyah dan Lesmono (2012).

1.2 Rumusan Masalah

Penelitian ini lebih menekankan pada model persediaan probabilistik multi item dengan melibatkan faktor diskon yang diberikan supplier kepada perusahaan / industri dan masa pakai barang (kadaluarsa). Oleh karena itu, maka dalam penelitian ini dapat dirumuskan beberapa pokok bahasan sebagai berikut :

1. Bagaimana model matematika untuk sistem persediaan probabilistik dengan periodic review dengan mempertimbangkan faktor diskon dan penurunan kualitas barang?

2. Bagaimana menerapkan model yang diperoleh dengan beberapa contoh numerik untuk membandingkan kebijakan yang optimal, apakah kebijakan joint order atau individual order, dengan asumsi tertentu, seperti distribusi permintaan barang?

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah :

1. Menghasilkan model matematika untuk sistem persediaan probabilistik dengan periodic review dengan mempertimbangkan faktor diskon dan penurunan kualitas barang.

2. Menentukan kebijakan yang optimal, apakah kebijakan joint order atau individual order, dengan asumsi tertentu, seperti distribusi permintaan barang.

1.4 Sistematika Penulisan

Penelitian ini terdiri dari empat bab yang ditulis menurut sistematika sebagai berikut :

BAB I : PENDAHULUAN

Bab ini merupakan awal dari keseluruhan penelitian yang memberikan gambaran umum mengenai seluruh isi dari penelitian ini. Bab ini menjelaskan tentang latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, batasan masalah, dan sistematika penulisan.

BAB II : TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan dibahas model probabilistik persediaan barang Economic Order Quantity (EOQ) dan model persediaan probabilistik satu jenis barang dengan mempertimbangkan faktor kadaluarsa dan faktor diskon. Semua penjelasan pada bab ini merupakan teori-teori yang mendukung dalam pemecahan masalah yang akan dibahas pada Bab V.

BAB III : METODE PENELITIAN

Pada bab ini akan dibahas metode penelitian yang digunakan di dalam penelitian ini. Secara umum metode penelitian diawali dengan studi literature, yang kemudian dilanjutkan dengan pembuatan model dan penentuan algoritma untuk mencari solusi optimum dari model yang dibuat.

BAB IV : JADWAL PELAKSANAAN

Bab ini berisikan jadwal pelaksanan dari penelitian ini yang dimulai dari bulan Februari 2016 sampai dengan penyusunan laporan hasil penelitian di bulan November 2016.

BAB V : HASIL DAN PEMBAHASAN

Bab ini akan membahas mengenai konstruksi model persediaan probabilistik multi item dengan faktor diskon dan kadaluarsa yang diturunkan dari model persediaan probabilistik satu jenis barang. Pada bab ini juga akan dibahas mengenai algoritma untuk pencarian jumlah pemesanan, titik pemesanan kembali, dan waktu antar pemesanan yang optimal dari model persediaan barang tersebut sehingga diperoleh biaya total persediaan yang minimum.

BAB VI : KESIMPULAN DAN SARAN

Berisi kesimpulan yang dapat ditarik berdasarkan pembahasan yang diperoleh pada bab sebelumnya dan saran untuk penelitian lebih lanjut.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Persediaan Barang

Persediaan merupakan sumber daya yang disimpan oleh perusahaan untuk menjamin kelangsungan proses produksi. Masalah utama dalam model persediaan barang adalah penentuan “kuantitas yang harus dipesan” dan “waktu pemesanan barang”. Masalah pertama menyangkut jumlah yang harus dipesan sehingga dapat meminimumkan biaya total persediaan dan masalah kedua menyangkut waktu optimal pemesanan barang agar mengurangi terjadinya kekurangan bahan baku yang dapat berakibat hilangnya kepercayaan konsumen kepada perusahaan dan hilangnya pendapatan.

Menurut Tersine (1994), secara umum biaya persediaan mencakup biaya pembelian (purchase cost), biaya pemesanan (setup/ordering cost), biaya penyimpanan (holding cost), dan biaya kekurangan (stockout cost), sehingga biaya total persediaan merupakan penjumlahan dari biaya-biaya tersebut.

 Biaya pembelian adalah biaya yang dikeluarkan untuk membeli barang. Faktor biaya pembelian menjadi penting ketika pihak pemasok (supplier) memberikan sejumlah diskon untuk pembelian dalam jumlah yang banyak. Hal ini dapat dimanfaatkan oleh perusahaan untuk menurunkan total biaya persediaan.

 Biaya pemesanan adalah biaya yang dikeluarkan ketika melakukan suatu pemesanan. Biaya ini dapat mencakup ongkos kirim, biaya uji kualitas bahan baku, atau biaya kontrak pembelian. Pemesanan dalam jumlah yang relatif sedikit akan mengakibatkan frekuensi pemesanan (dalam satu periode tertentu, misalnya dalam satu tahun) semakin besar dan akan mengakibatkan biaya pemesanan menjadi tinggi. Sebaliknya pemesanan dalam jumlah yang besar akan menurunkan frekuensi pemesanan dan mengakibatkan biaya pemesanan menjadi rendah.

 Biaya penyimpanan adalah biaya yang dikeluarkan untuk keperluan pemeliharaan, sewa tempat, atau asuransi atas barang bahan baku yang ada. Semakin banyak persediaan barang akan mengakibatkan biaya penyimpanan menjadi besar.

 Biaya kekurangan adalah biaya yang timbul akibat kekurangan barang ketika pelanggan membutuhkannya. Kekurangan barang akan mengakibatkan hilangnya potensi pendapatan dan kepercayaan konsumen pada perusahaan.

2.2 Model Probabilistik Persediaan Barang Economic Order Quantity

Model probabilistik persediaan barang EOQ merupakan model persediaan yang menggambarkan kondisi sebenarnya pada dunia nyata. Tingkat permintaan barang yang sifatnya deterministik sangat jarang terjadi pada dunia nyata. Dalam kehidupan sehari-hari, tingkat permintaan akan suatu barang tentunya akan mengalami variasi dari waktu ke waktu. Model probabilistik persediaan barang dapat terjadi dikarenakan tingkat permintaan barang yang berubah-ubah, faktor lead time (pengiriman barang) yang tidak menentu, atau tingkat permintaan barang dan faktor lead time yang berubah-ubah. Dengan adanya tingkat permintaan barang yang bervariasi dari waktu ke waktu tentunya sangat dimungkinkan untuk terjadinya kekurangan barang pada saat masa lead time karena permintaan barang yang tidak diharapkan atau karena waktu pengiriman barang yang lebih lama dari yang diharapkan. Dengan demikian dalam model persediaan probabilistik yang menjadi pusat perhatian adalah analisis perilaku persediaan barang selama lead time. Akibat dari hal tersebut, maka terdapat tiga kemungkinan yang dapat terjadi pada model probabilistik persediaan barang, yaitu :

1. Tingkat permintaan barang selama lead time konstan, namun waktu pengiriman barang berubah-ubah.

2. Waktu pengiriman barang konstan, namun tingkat permintaan barang selama lead time berubah-ubah.

3. Tingkat permintaan barang selama lead time dan waktu pengiriman barang berubah-ubah.

Model probabilistik persediaan barang EOQ yang dibahas pada bagian ini merupakan model probabilistik dengan tingkat permintaan barang selama lead time berubah-ubah, namun waktu pengiriman barang konstan. Asumsi-asumsi model probabilistik persediaan barang EOQ adalah

1. Tingkat permintaan barang selama lead time mengikuti suatu distribusi kepadatan peluang tertentu dan distribusi kepadatan peluang tersebut bersifat kontinu.

2. Kapasitas gudang penyimpanan barang tidak terbatas. 3. Lead time diketahui dan konstan.

4. Kekurangan barang terjadi ketika permintaan barang lebih besar daripada jumlah barang yang ada di gudang pada waktu lead time.

5. Permintaan yang tidak dipenuhi selama tenggang waktu (lead time) tersebut dipenuhi pada periode berikutnya.

6. Jumlah pemesanan yang dilakukan selalu sama untuk setiap pemesanan diajukan. 7. Biaya pembelian proporsional dengan banyaknya barang yang dibeli.

8. Biaya penyimpanan bergantung pada rata-rata jumlah barang yang disimpan.

Notasi-notasi yang digunakan dalam model probabilistik persediaan barang EOQ adalah D = Rata-rata besarnya permintaan barang per tahun.

C = Biaya pemesanan untuk setiap kali pemesanan diajukan. H = Biaya penyimpanan per unit barang per tahun.

 = Biaya kekurangan per unit barang. P = Harga beli barang per unit.

Q = Jumlah pesanan barang yang optimal. R = Titik pemesanan kembali (reorder point). TAC = Biaya total persediaan.

 

x

2.3 Formulasi Matematika Untuk Model Probabilistik Persediaan Barang EOQ

Misalkan rata-rata permintaan akan suatu barang sebesar D unit per tahun, biaya yang dikeluarkan ketika sebuah pesanan diajukan adalah C, biaya penyimpanan per unit barang per tahun adalah H, harga beli per unit barang adalah P, biaya kekurangan per unit barang adalah , tingkat permintaan barang pada masa lead time mengikuti suatu distribusi peluang yang kontinu yaitu f

 

x , dan perusahaan perlu mengajukan pemesanan kembali barangnya sebesar Q unit ketika tingkat persediaan telah mencapai R unit.

Gambar 2.1. Model Probabilistik Persediaan EOQ. [Hamdy A. Taha]

Selanjutnya untuk memudahkan model probabilistik persediaan barang EOQ, maka satu periode perencanaan dalam Gambar 2.1 dimisalkan satu tahun.

Biaya pembelian adalah biaya yang dikeluarkan untuk membeli bahan baku/barang, sehingga besarnya biaya pembelian selama setahun adalah

Biaya pembelian = Rata-rata jumlah barang yang diminta  Harga per unit barang DP (2.1)

Biaya pemesanan adalah biaya yang dikeluarkan ketika sebuah pesanan diajukan, sehingga besarnya biaya pemesanan selama setahun adalah

Biaya pemesanan = Biaya sekali pemesanan  Frekuensi pemesanan dalam setahun Q D C  Q CD  (2.2)

Biaya penyimpanan adalah biaya yang dikeluarkan untuk pemeliharaan barang selama barang tersebut disimpan, sehingga besarnya biaya penyimpanan selama setahun adalah Biaya penyimpanan = Biaya penyimpanan per unit barang  Rata-rata

banyaknya barang yang disimpan









          2 2 x R E x R E Q H H_QE



Rx



_ 2 (2.3)

Pada [Montgomery] didefinisikan bahwa rata-rata dari fungsi kepadatan peluang f

 

x yang kontinu adalah

 

_



 

   x f x dx X E (*)

dan fungsi kepadatan peluang f

 

x memiliki sifat

 



   1 dx x f (**)

Karena X menyatakan variabel acak besarnya permintaan barang selama lead time yang mendefinisikan X 0, maka persamaan (*) dan (**) dapat ditulis menjadi :

 



_



 

0 dx x f x X E

 



  0 1 dx x f

Akibatnya pada persamaan (2.3), E



Rx



dapat diurai menjadi :



R x

 

R x

  

f x dx E



    0



 



 

    0 0 dx x f x dx x f R



 



 

    0 0 dx x f x dx x f R RE

 

X Jadi biaya penyimpanan selama setahun adalah

Biaya penyimpanan =

 

    _{ } X E R Q H 2 (2.4)

Biaya kekurangan adalah biaya yang timbul akibat kehabisan bahan baku/barang. Kekurangan barang pada model probabilistik akan terjadi jika tingkat permintaan barang lebih besar daripada jumlah barang yang ada di gudang pada waktu lead time



xR



. Besarnya biaya kekurangan selama setahun adalah

Biaya kekurangan = Biaya kekurangan per unit barang  Rata-rata

kekurangan barang  Frekuensi kekurangan

dalam setahun





Q D R x E    



  

_       



 R dx x f R x Q D  (2.5)

Dengan demikian, maka diperoleh biaya total persediaan untuk model probabilistik persediaan barang EOQ adalah





 



  

_            _{ }    



R dx x f R x Q D X E R Q H Q CD DP R Q TAC  2 , (2.6)

Selanjutnya untuk mencari nilai Q dan R sehingga diperoleh biaya total persediaan yang

minimum, maka haruslah 0

  Q TAC dan 0   R TAC . Perhatikan jika 0   Q TAC , maka diperoleh



  

0 2 2 2          

_

 R dx x f R x Q D H Q CD 



  

0 2 2 2 2           



 Q dx x f R x D HQ CD R 



  

0 2 2 _         



 R dx x f R x D HQ CD 



  

_        



 R dx x f R x D CD HQ2 2 



  

H dx x f R x D CD Q R         



  2 2



  

H dx x f R x D CD Q R         



  2 (2.7) Perhatikan jika 0   R TAC , maka diperoleh



  

_0          

_

x R f x dx R Q D H 

 

 

_0         







 R R dx x f R dx x xf R Q D H 

 

 

 

0                   Rf R



 f x dx Rf R Q D H R 

 

_0      



 R dx x f Q D H 

 

D HQ dx x f R  



 (2.8)

2.4 Prosedur (Algoritma) Pencarian Jumlah Pemesanan Barang dan Reorder Point

yang Optimal

Prosedur untuk memperoleh jumlah pemesanan barang dan titik pemesanan kembali yang optimal untuk model probabilistik persediaan barang dengan tujuan meminimunkan biaya total persediaan dilakukan dengan menggunakan algoritma Hadley dan Whitin.

1. Hitung jumlah Q dengan menggunakan model ekonomis Wilson, yaitu

H CD

Q 2 .

2. Masukkan nilai Q yang diperoleh langkah (1) pada

 

D HQ dx x f R  



 untuk mendapatkan nilai R.

3. Masukkan nilai R yang diperoleh pada persamaan



  

H dx x f R x D CD Q R         



  2

untuk mendapatkan nilai Q.

4. Masukkan nilai Q yang diperoleh langkah (3) pada persamaan

 

D HQ dx x f R  





5. Ulangi langkah (3) dan (4) hingga diperoleh selisih untuk nilai Q dan selisih untuk nilai R yang sangat kecil (tidak ada perubahan) dengan perhitungan sebelumnya.

2.5 Model Persediaan Probabilistik Satu Jenis Barang Dengan Mempertimbangkan Faktor Kadaluarsa dan All Unit Discount.

Asumsi-asumsi dalam model persediaan ini adalah

1. Tingkat permintaan barang selama lead time mengikuti Distribusi Gamma. 2. Kapasitas gudang penyimpanan barang tidak terbatas.

3. Lead time diketahui dan konstan.

4. Kekurangan barang terjadi ketika permintaan barang lebih besar daripada jumlah barang yang ada di gudang pada waktu lead time.

5. Permintaan yang tidak dipenuhi selama tenggang waktu (lead time) tersebut dipenuhi pada periode berikutnya.

6. Jumlah barang yang akan kadaluarsa diketahui dan dinyatakan dalam persentase/fraksi dari jumlah barang yang baik.

7. Seluruh barang yang akan kadaluarsa langsung terjual dengan harga yang lebih murah pada waktu tertentu dan pada waktu yang sama perusahaan melakukan pembelian sejumlah barang yang terjual ke perusahaan lain dengan harga pembelian yang lebih mahal.

8. Tidak ada lead time ketika perusahaan melakukan pembelian barang ke perusahaan lain.

9. Jumlah pemesanan yang dilakukan selalu sama untuk setiap pemesanan diajukan. 10. Biaya penyimpanan bergantung pada rata-rata jumlah barang yang disimpan.

Notasi-notasi yang digunakan dalam model persediaan barang ini adalah

D = Rata-rata besarnya permintaan barang dalam satu periode perencanaan.

i

P _{= Harga beli barang per unit.} Q = Jumlah pesanan yang optimum.

k

Q = Jumlah barang yang akan kadaluarsa.

S = Biaya pemesanan untuk setiap kali pemesanan diajukan. h = Fraksi biaya simpan barang per unit per periode perencanaan.

 = Biaya kekurangan yang harus dikeluarkan perusahaan ketika terjadi kekurangan barang.

R = Titik pemesanan kembali (reorder point). J = Harga jual barang yang akan kadalurasa. A = Harga beli per unit barang dari perusahaan lain.  = Fraksi barang baik.



0 1







1 = Fraksi barang yang akan kadaluarsa.

 

x

f = Fungsi kepadatan peluang dari permintaan barang pada masa lead time. TAC = Biaya total persediaan.

U = Batas jumlah barang yang dipesan dimana terjadi perubahan harga beli.

Gambar 2.2. Model Probabilistik Persediaan Barang EOQ Dengan Mempertimbangkan Faktor Kadaluarsa Barang

Gambar 2.2 menunjukkan bahwa perusahaan melakukan pemesanan barang sebanyak Q unit setiap kali pemesanan diajukan ketika tingkat persediaan telah mencapai R unit dan banyaknya barang yang akan kadaluarsa sebanyak Q_k unit terjadi pada akhir t_i.

Pada waktu t_i perusahaan melakukan penjualan semua barang yang akan kadaluarsa dengan harga yang lebih murah dan melakukan pembelian barang baru sebanyak jumlah barang yang terjual pada waktu ti ke perusahaan lain dengan harga yang lebih mahal.

Selanjutnya untuk memudahkan model persediaan barang ini, maka satu periode perencanaan dalam Gambar 2.2 dimisalkan satu tahun.

Keempat komponen jenis biaya yang mempengaruhi biaya total persediaan sebagaimana yang telah disinggung pada sub bab 2.1. tetap diperhitungkan dalam model persediaan ini. Namun selain keempat kompenen biaya tersebut, dalam model persediaan ini terdapat komponen biaya lain yaitu biaya kadaluarsa yang juga dapat mempengaruhi biaya total persediaan.

1. Biaya pembelian adalah biaya yang dikeluarkan untuk membeli bahan baku/barang. Karena dalam model persediaan ini terdapat faktor diskon yang diberikan supplier, maka besarnya harga per unit barang dapat didefinisikan sebagai berikut :

              1 2 1 1 1 0 0 untu untuk untuk j j j i U Q U k P U Q U P U Q U P P 

dimana P_j P_j1,j0,1,2,3, untuk tiap unit barang.

Jika dalam setahun terdapat rata-rata permintaan barang sebesar D unit, maka besarnya biaya pembelian dalam setahun adalah PiD.

2. Biaya pemesanan adalah biaya yang dikeluarkan ketika sebuah pesanan diajukan. Jika besarnya biaya yang dikeluarkan untuk setiap kali pesanan diajukan sebesar S, maka

besarnya biaya pemesanan dalam setahun adalah Q SD

.

3. Biaya penyimpanan adalah biaya yang dikeluarkan untuk keperluan pemeliharaan, sewa tempat, atau biaya asuransi atas barang/bahan baku yang ada. Jika besarnya biaya simpan barang per unit per tahun dinyatakan dalam fraksi dari harga beli barang per unit yaitu sebesar P_ih, maka besarnya biaya penyimpanan dalam setahun adalah

 

_   _{ } X E R Q h P_i

2 , dengan X adalah variabel acak untuk permintaan barang pada masa lead time.

4. Biaya kekurangan (biaya pinalti) adalah biaya yang dikeluarkan karena kehabisan barang. Kekurangan barang terjadi ketika jumlah permintaan barang selama lead time lebih besar daripada jumlah barang yang ada pada gudang



xR



. Jika besarnya biaya kekurangan yang dikeluarkan perusahaan sebesar  untuk setiap terjadi kekurangan barang, maka besarnya biaya kekurangan barang dalam setahun adalah



  

_      



 R dx x f R x Q D  .

5. Biaya kadaluarsa adalah biaya yang dikeluarkan karena barang telah melewati masa pakai. Dengan perkataan lain, perusahaan akan melakukan penjualan seluruh barang yang akan kadaluarsa dengan harga yang lebih murah pada saat t_i dan melakukan

pembelian barang baru sebanyak jumlah barang yang terjual pada waktu ti ke

perusahaan lain dengan harga yang lebih mahal. Jika harga penjualan per unit barang pada saat t_i adalah J dan biaya pembelian per unit barang baru sebesar A, maka besarnya biaya kadaluarsa selama setahun adalah





_

_

_

D A J P Q D A J P Q i i k       1 .

Dengan demikian, biaya total persediaan selama 1 tahun yang terbentuk untuk model persediaan barang ini adalah





 



  

_              _{ }   



 dx x f R x Q D X E R Q h P Q SD D P R Q TAC R i i  2 ,



1



PiJA



D (2.9) Selanjutnya untuk mencari biaya total persediaan yang minimum, haruslah dipenuhi

kondisi 0   Q TAC dan 0   R TAC . Kondisi 0   Q TAC akan memberikan



  

h P dx x f R x S D Q i R                 



  2 (2.10)

dan dari kondisi 0

  R TAC , diperoleh

 

D hQ P dx x f i R  



 (2.11)

Prosedur untuk memperoleh jumlah pemesanan barang dan titik pemesanan kembali yang optimal untuk model probabilistik persediaan barang dengan mempertimbangkan faktor kadaluarsa barang dan all unit discount dilakukan dengan menggunakan algoritma berikut: Untuk masing-masing tingkatan harga (price break) yang diberikan oleh supplier, maka:

1. Hitung jumlah Q dengan menggunakan model ekonomis Wilson, yaitu

h P SD Q i 2  .

2. Masukkan nilai Q yang diperoleh langkah (1) pada

 

D hQ P dx x f i R  



 untuk mendapatkan nilai R.

3. Masukkan nilai R yang diperoleh pada persamaan



  

h P dx x f R x S D Q i R                 



  2

untuk mendapatkan nilai Q.

4. Masukkan nilai Q yang diperoleh langkah (3) pada persamaan

 

D hQ P dx x f i R  





untuk mendapatkan nilai R.

5. Ulangi langkah (3) dan (4) hingga diperoleh nilai Q dan R yang tidak berubah lagi. 6. Bandingkan Q dengan U. Jika Q berada dalam interval U (U_j QU_j1), maka Q

valid.

7. Jika Q tidak valid, maka

(i) Untuk Q yang lebih kecil dari interval U, gunakan Uj.

8. Lakukan penyesuaian nilai R pada persamaan

 

D hQ P dx x f i R  





atas nilai Q yang

diperoleh pada (7).

9. Hitung Qk, dimana Qk 



1



Q

10. Hitung TAC untuk setiap Q yang valid dan semua U yang mungkin.

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah diawali dari studi pustaka yang menjadi konsep dasar mengenai model persediaan barang, yang selanjutnya berkembang pada makalah-makalah yang relevan dengan penelitian ini baik yang terpublikasi secara nasional maupun internasional. Dengan adanya studi pustaka pada makalah-makalah yang relevan dengan penelitian ini diharapkan mampu menangkap sampai sejauh mana penelitian mengenai model persediaan barang telah berkembang serta melihat kontribusi dari masing-masing peneliti dalam menyelesaikan persoalan mengenai model persediaan barang. Tujuan utama dari penelitian ini adalah menentukan suatu model matematika untuk sistem persediaan multi item periodic review dengan mempertimbangkan faktor kadaluarsa dan diskon yang diberikan pemasok. Metodologi penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini dapat diihat pada Gambar 3.1.

Gambar 3.1. Metodologi Penelitian Mulai

Studi Pustaka :

Buku dan Makalah mengenai Model Persediaan Barang baik Deterministik maupun Probabilistik

Pemilihan Objek Penelitian

Perumusan Masalah dan Tujuan Penelitian

Perancangan Model Persediaan Probabilistik

Multi Item dengan Faktor Diskon dan Kadaluarsa

Pencarian Solusi yang Optimal dari Model Persediaan Barang : Kebijakan Individual

Order atau Joint Order

Analisis Sensitivitas Penentuan Kebijakan

Kesimpulan dan Saran

Sistematika dari penelitian ini dibagi menjadi beberapa tahap yaitu:

 Tahap 1: Pemodelan matematika model persediaan multi item dengan mempertimbangkan faktor kadaluarsa dan diskon.

 Tahap 2: Membuat contoh numerik yang dapat menjelaskan model yang telah dibangun dan beberapa variasinya.

 Tahap 3: Analisis dari contoh numerik yang diberikan dengan membandingkan kebijakan pemesanan individual atau gabungan (joint order).

Hasil yang diperoleh dari penelitian ini telah didiseminasikan pada suatu pertemuan ilmiah yaitu East Asia Society of Industrial and Applied Mathematics (EASIAM) di Macau, 20-22 Juni 2016, The Asian Mathematical Conference (AMC) di Bali tanggal 25-29 Juli 2016, dan Konferensi Nasional Matematika ke-18 di Pekanbaru, 2-5 November 2016. Luaran berupa publikasi ilmiah yang telah dicapai sampai saat ini adalah penerimaan paper untuk dipublikasikan oleh IEEE berupa Proceedings of tha AMC2016 yang terindeks Scopus.

BAB IV

JADWAL PELAKSANAAN

KEGIATAN

BULAN

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Studi literatur mengenai model-model persediaan Memodelkan masalah persediaan probabilistik multi item dan variasinya Memberikan contoh kasus perhitungan untuk model-model yang telah

dikembangkan Penyusunan laporan penelitian dan publikasi

Pelaksanaan dalam penelitian ini dilaksanakan dengan beban kerja dari masing-masing peneliti 2 jam per minggu.

BAB V

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini selanjutnya akan dikembangkan sebuah model probabilistik multi item dengan melibatkan faktor diskon dan kadaluarsa. Kompleksitas masalah akan semakin berkembang ketika perusahaan tersebut memiliki banyak barang (multi item) dengan waktu kadaluarsa yang berbeda-beda. Selain itu dalam suatu kondisi seringkali ditemukan bahwa supplier akan memberikan potongan harga (diskon) untuk pembelian barang/bahan baku dalam jumlah yang banyak. Hal ini tentunya akan mempengaruhi besarnya biaya pembelian yang secara langsung juga berdampak pada biaya total persediaan. Biaya pembelian sudah tidak lagi menjadi proporsional dengan banyaknya jumlah barang yang dibeli.

Penelitian ini merupakan pengembangan dari penelitian-penelitian yang telah dilakukan sebelumnya. Di dalam penelitian ini diasumsikan bahwa permintaan barang selama lead time mengikuti suatu distribusi permintaan tertentu, diskon yang diberikan oleh supplier adalah all unit discount, dan akan dibuat model persediaan untuk menentukan kebijakan pemesanan yang optimal apakah melalui individual order ataupun joint order. Model dasar yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah model dari Limansyah dan Lesmono (2012).

5.1 Formulasi Model Persediaan Probabilistik Multi Item Dengan Faktor Diskon dan Kadaluarsa

Konsep dasar dari model persediaan barang ini berasal dari model probabilistik persediaan barang EOQ sebagaimana yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya. Banyaknya jumlah barang yang dipesan dan kapan pemesanan harus dilakukan oleh

perusahaan sangat menentukan besarnya biaya total persediaan. Perusahaan harus mampu menentukan berapa jumlah barang yang harus dipesan dan kapan barang tersebut harus dipesan sehingga meminimunkan biaya total persediaan.

Asumsi-asumsi dalam model persediaan barang ini adalah

1. Tingkat permintaan barang selama lead time mengikuti suatu distribusi tertentu. 2. Kapasitas gudang penyimpanan barang tidak terbatas.

3. Lead time diketahui dan konstan.

4. Kekurangan barang terjadi ketika permintaan barang lebih besar daripada jumlah barang yang ada di gudang pada waktu lead time.

5. Permintaan yang tidak dipenuhi selama tenggang waktu (lead time) tersebut dipenuhi pada periode berikutnya.

6. Jumlah pemesanan yang dilakukan selalu sama untuk setiap pemesanan diajukan. 7. Biaya penyimpanan bergantung pada rata-rata jumlah barang yang disimpan. 8. Barang yang dipesan berasal dari satu supplier yang sama.

9. Fraksi barang kadaluarsa diketahui.

Notasi-notasi yang digunakan dalam model persediaan barang ini adalah

j

D = Rata-rata besarnya permintaan barang ke-j dalam satu periode perencanaan.

i

P = Harga beli barang per unit.

j

Q = Jumlah pesanan yang optimum untuk barang ke-j.

j

S = Biaya pemesanan barang ke-j untuk setiap kali pemesanan diajukan. S* = Biaya pemesanan barang secara bersamaan.

j

h = Fraksi biaya simpan barang ke-j.

j

 = Biaya kekurangan yang harus dikeluarkan perusahaan ketika terjadi kekurangan barang ke-j.

j

kj

Q = Jumlah barang ke-j yang akan kadaluarsa.

j

 = Fraksi barang baik untuk barang ke-j.

j

J = Harga jual barang ke-j yang akan kadaluarsa.

j

TAC = Biaya total persediaan untuk barang ke-j.

Keempat komponen jenis biaya yang mempengaruhi biaya total persediaan sebagaimana yang telah disinggung pada bab sebelumnya tetap diperhitungkan dalam model persediaan ini. Dalam bab 2 dikemukakan bahwa biaya total persediaan merupakan penjumlahan dari biaya pembelian, biaya pemesanan, biaya penyimpanan, dan biaya kekurangan. Namun disamping keempat kompenen biaya tersebut, dalam model persediaan ini terdapat komponen biaya lain yaitu biaya kadaluarsa yang juga dapat mempengaruhi biaya total persediaan. Selain itu, perbedaan lain yang tampak pada model persediaan barang ini terletak pada biaya pembelian yang disebabkan karena adanya faktor diskon yang diberikan oleh supplier dan biaya pemesanan untuk kebijakan joint order. Dengan demikian, biaya total persediaan untuk kebijakan individual order dapat dinyatakan sebagai berikut :

Biaya Total Persediaan =



(Biaya Pembelian + Biaya Pemesanan + Biaya Penyimpanan + Biaya Kekurangan + Biaya Kadaluarsa) (5.1)

Sedangkan biaya total persediaan yang dikeluarkan jika perusahaan melakukan kebijakan joint order adalah :

Biaya Total Persediaan =



BiayaPembelian + Biaya Pemesanan dengan joint order +



BiayaPenyimpanan +



BiayaKekurangan +

Pengertian dan besarnya kelima komponen jenis biaya yang mempengaruhi biaya total persediaan dalam model persediaan ini lebih lanjut dijelaskan di bawah ini.

1. Biaya pembelian adalah biaya yang dikeluarkan untuk membeli bahan baku/barang. Karena dalam model persediaan ini terdapat faktor diskon yang diberikan supplier, maka besarnya harga per unit barang dapat didefinisikan sebagai berikut :

              1 2 1 1 1 0 0 untu untuk untuk j j j i U Q U k P U Q U P U Q U P P 

dimana P_k P_k1,k 0,1,2,3,, j1 untuk tiap unit barang.

Jika dalam setahun terdapat rata-rata permintaan barang ke-j sebesar D_j unit, maka besarnya biaya pembelian barang ke-j dalam setahun adalah

Biaya pembelian = Harga per unit barang  Jumlah permintaan

P_ijD_j (5.3)

2. Biaya pemesanan adalah biaya yang dikeluarkan ketika sebuah pesanan diajukan. Jika besarnya biaya yang dikeluarkan untuk setiap kali pesanan diajukan untuk barang ke-j sebesar S_j, maka besarnya biaya pemesanan dalam setahun adalah

Biaya pemesanan = Biaya sekali pemesanan  Frekuensi pemesanan dalam setahun j j j Q D S   j j j Q D S  (5.4)

Namun, jika perusahaan melakukan pemesanan barang secara bersamaan (joint order), maka besarnya biaya pemesanan yang dikeluarkan adalah

Biaya pemesanan bersama = Biaya pemesanan bersama  Frekuensi pemesanan dalam setahun

T S*

 (5.5)

3. Biaya penyimpanan adalah biaya yang dikeluarkan untuk keperluan pemeliharaan, sewa tempat, atau biaya asuransi atas barang/bahan baku yang ada. Jika besarnya biaya simpan barang per unit per tahun untuk barang ke-j dinyatakan dalam fraksi dari harga beli barang per unit yaitu sebesar P_ijh_j, maka besarnya biaya penyimpanan dalam

setahun adalah

Biaya penyimpanan = Biaya simpan per unit barang 

Rata-rata barang yang disimpan



 



_            2 2 j j j j j j ij x R E x R E Q h P





_         j j j j ij E R x Q h P 2

 

_         j _{j j} j ij R E X Q h P 2 (5.6)

4. Biaya kekurangan (biaya pinalti) adalah biaya yang dikeluarkan karena kehabisan barang. Kekurangan barang terjadi ketika jumlah permintaan barang selama lead time lebih besar daripada jumlah barang yang ada pada gudang. Jika besarnya biaya kekurangan untuk barang ke-j yang dikeluarkan perusahaan sebesar _j untuk setiap terjadi kekurangan barang, maka besarnya biaya kekurangan barang dalam setahun adalah

Biaya kekurangan = Biaya kekurangan  Rata-rata kekurangan barang 

Frekuensi kekurangan dalam setahun





j j j j j Q D R x E    



  

_       



 j j j j j j dx x f R x Q D  (5.7)

5. Biaya kadaluarsa adalah biaya yang dikeluarkan karena barang akan melewati masa pakai. Dalam hal ini, biaya kadaluarsa merupakan selisih antara harga beli barang

 

P_ij

dengan harga jual barang yang akan kadaluarsa

 

J_j . Jika harga penjualan perunit barang ke-j pada saat akan kadaluarsa adalah J_j, maka besarnya biaya kadaluarsa

selama setahun adalah

Biaya kadaluarsa = Banyak barang kadaluarsa  Selisih perbedaan

harga beli dan harga jual barang kadaluarsa 

Banyak siklus dalam setahun





j j j ij kj Q D J P Q     (5.8)

Dengan menjumlahkan persamaan (5.3), (5.4), (5.6) (5.7), dan (5.8), maka biaya total persediaan untuk sebuah barang dengan kebijakan individual order adalah





 



  

_                  



 j j R j j j j j j j j j ij j j j j ij j j x R f x dx Q D X E R Q h P Q D S D P R Q TAC  2 ,





j j j ij kj Q D J P Q 

Selanjutnya untuk mencari nilai Qj dan Rj sehingga diperoleh biaya total persediaan yang

minimum, maka haruslah 0

  j Q TAC dan 0   j R TAC . Perhatikan jika 0   j Q TAC , maka diperoleh



  





0 2 2 2 2             

_

 j j j ij kj R j j j j j j j j ij j j j Q D J P Q dx x f R x Q D h P Q D S 



  





0 2 2 2 2 2 2             



 j j j ij kj R j j j j j j j j ij j j Q D J P Q dx x f R x D Q h P D S 

2 2 2



  

_2







0         



 kj ij j j R j j j j j j j j ij j jD P h Q D x R f x dx Q P J D S 



  





j ij j j ij kj R j j j j j j j j j h P D J P Q dx x f R x D D S Q           



 2 2 2 2 



  





j ij j j ij kj R j j j j j j j j h P D J P Q dx x f R x S D Q                   



  2 (5.9) Perhatikan jika 0   j R TAC , maka diperoleh



  

_ 0          

_

R j j j j j j j j j ij x R f x dx R Q D h P 

 

 

_0         







 R j j j R j j j j j j j j ij x f x dx R f x dx R Q D h P 

 

 

 

0                  



 j j R j j j j j j j j ij R f R f x dx R f R Q D h P 

 

_0       

_

R j j j j j j ij f x dx Q D h P 

 

j j j j ij R j j D Q h P dx x f  



 (5.10)

Dengan demikian, biaya total persediaan untuk n buah barang adalah :





_

 



  

                     





  n j j j R j j j j j j j j j ij j j j j ij j j x R f x dx Q D X E R Q h P Q D S D P R Q TAC 1 2 , 





_    j j j ij kj Q D J P Q

Perhatikan bahwa

D Q

T  , sehingga biaya total persediaan yang dikeluarkan oleh perusahaan ketika melakukan pemesanan dengan kebijakan joint order adalah :

 

 



  

_                  









    n j j j R j j j j j n j j j j j ij n j j ij x R f x dx Q D X E R Q h P T S D P T TAC 1 1 1 2 * 







  n j j j j ij kj Q D J P Q 1



 





  

                          n j j j R j j j j j j j ij j ij x R f x dx T X E R TD h P D P T S 1 2 * 





_    T J P Q_{kj ij j}

Selanjutnya untuk mencari nilai T sehingga diperoleh biaya total persediaan yang

minimum, maka haruslah 0 dT dTAC , maka diperoleh



  





0 2 * 1 2 2 2                   



_

  n j j ij kj j j R j j j j j ij T J P Q dx x f R x T D h P T S 



  





0 2 * 1 2 2 2                   





  n j j ij kj j j R j j j j j ij T J P Q dx x f R x T D h P T S 



  





_



_

                              n j j j ij n j j ij kj j j R j j j D h P J P Q dx x f R x S T 1 1 2 2 * 1 _



  











                              _n j j j ij n j j ij kj j j R j j j D h P J P Q dx x f R x S T 1 1 2 * 2 



  











                              _n j j j ij n j j ij kj j j R j j j D h P J P Q dx x f R x S T 1 1 * 2 

5.2 Prosedur Pencarian Jumlah Pemesanan Barang dan Reorder Point yang Optimal

Untuk mencari jumlah pemesanan barang dan titik pemesanan kembali yang optimal sehingga meminimumkan biaya total persediaan dalam model persediaan barang ini diperlukan suatu algoritma. Hal ini dikarenakan pada persamaan (5.9) dan persamaan (5.10) terdapat variabel Q dan R yang tidak dapat saling disubstitusikan atau saling bergantung satu sama lain pada kedua persamaan tersebut.

Prosedur untuk memperoleh jumlah pemesanan barang, titik pemesanan kembali, dan waktu antar pemesanan yang optimal untuk model probabilistik persediaan n barang dengan melibatkan faktor all unit discount dan kadaluarsa dilakukan dengan langkah berikut :

Untuk masing-masing tingkatan harga (price break) yang diberikan oleh supplier dan masing-masing barang, maka :

1. Hitung jumlah Qj dengan menggunakan model ekonomis Wilson, yaitu

j ij j j j h P D S Q  2 . 2. Hitung Qkj Qj



1j



.

3. Masukkan nilai Qj yang diperoleh untuk mencari nilai Rj dengan menggunakan

 

j j j j ij R j j D Q h P dx x f  



 .

4. Hitung nilai Qj dengan menggunakan



  





j ij j j ij kj R j j j j j j j j h P D J P Q dx x f R x S D Q                   



  2

dengan nilai Rj dan

kj

Q yang diperoleh pada langkah (3) dan langkah (2).

5. Ulangi langkah (2), (3), dan (4) hingga diperoleh selisih untuk nilai Qj dan selisih untuk nilai Rj yang sangat kecil dengan perhitungan sebelumnya.

6. Bandingkan Qj dengan U. Jika Qj berada dalam interval U (U_j QU_j1), maka Qj valid.

7. Jika Qj tidak valid, maka

(i) Untuk Qj yang lebih kecil dari interval U, gunakan U_j.

(ii) Untuk Qj yang lebih besar dari interval U, gunakan Uj1.

8. Lakukan penyesuaian nilai Rj pada persamaan

 

j j j j ij R j j D Q h P dx x f  





atas nilai Qj yang

diperoleh pada (7).

9. Lakukan penyesuaian nilai Q_kj Q_j



1_j



atas nilai Qj yang diperoleh pada (7). 10. Hitung TAC untuk setiap Qj yang valid dan semua U yang mungkin.

11. Pilih nilai TAC yang paling minimum.

12. Biaya total persediaan untuk kebijakan individual order adalah dengan menjumlahkan TAC masing-masing barang yang paling minimum pada langkah (11).

13. Untuk masing-masing tingkatan harga, gunakan nilai Rj dan Qkj yang telah optimal

(pada kebijakan individual order) untuk mencari nilai T dengan menggunakan



  











                              _n j j j ij n j j ij kj j j R j j j D h P J P Q dx x f R x S T 1 1 * 2 

14. Pilihlah TAC yang paling minimum sebagai biaya total persediaan untuk kebijakan joint order.

15. Hitung Q_j TD_j.

16. Bandingkan TAC untuk kebijakan individual order (langkah (12)) dan kebijakan joint order (langkah (14)). Pilihlah TAC yang paling minimum dari kedua kebijakan tersebut.

Sebagai contoh gambaran dari model persediaan ini, untuk kondisi semua barang dalam keadaan baik (_j 1) dalam dilihat pada makalah yang telah disajikan dalam EASIAM (Lampiran A). Sementara untuk model persediaan probabilistik multi item dengan permintaan selama lead time berdistribusi Gamma dapat dilihat pada makalah yang telah disajikan dalam AMC (Lampiran B).

BAB VI

KESIMPULAN DAN SARAN

Pada penelitian ini telah dikembangkan suatu model persediaan probabilistik multi item dengan faktor diskon dan kadaluarsa dimana diskon yang dikaji bersifat all unit discount. Dari hasil penelitian ini diperoleh bahwa kebijakan joint order tidak selalu memberikan total biaya persediaan yang lebih murah daripada kebijakan individual order. Biaya pemesanan secara bersamaan (S*) merupakan variabel yang sangat mempengaruhi besar biaya total persediaan secara kebijakan joint order. Arah pengembangan lebih lanjut untuk model persediaan ini dapat dilakukan dengan mempertimbangkan faktor kadaluarsa barang yang bersifat probabilistik.