PERBANDINGAN SAMPEL ACAK DAN SAMPEL DENGAN JUMLAH UNIT SEKUNDER TERBANYAK PADA METODE PENARIKAN SAMPEL KLASTER SATU TAHAP TANPA PENGEMBALIAN DENGAN
PROBABILITAS TIDAK SAMA Tugas Akhir
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Oleh:
Yolanda Ayu Nugraheni NIM: 133114025
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
ii
THE COMPARISON OF RANDOM SAMPLE AND SAMPLE WITH THE MOST QUANTITY OF SECONDARY UNIT ON ONE STEP CLUSTER
SAMPLING WITHOUT REPLACEMENT WITH UNEQUAL PROBABILITY
A Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains Mathematics Study Program
Written by: Yolanda Ayu Nugraheni Student Number: 133114025 MATHEMATICS STUDY PROGRAM
DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Tugas akhir ini saya persembahkan untuk:
Tuhan Yesus Kristus, yang senantiasa selalu memberkati saya hingga saat ini, tanpa pertolongan dan kasih-Nya saya tidak akan menjadi diri saya yang sekarang.
Kedua orang tua saya. Nenek saya, Suharti.
Ketiga adik saya, Via, Jauza, dan Bagas.
Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dosen pembimbing tugas akhir ini.
Seluruh teman-teman saya yang saya sayangi.
Para pembaca yang sudah mau meluangkan waktunya untuk membaca tugas akhir ini.
vii ABSTRAK
Objek utama dari penarikan sampel adalah memilih sampel dari populasi dengan tujuan untuk menduga parameter populasi yang ingin diketahui. Ketika unit-unit dalam populasi memiliki probabilitas berbeda-beda untuk diambil sebagai sampel, maka hal ini disebut penarikan sampel dengan probabilitas tidak sama. Metode yang dibahas adalah metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa pengembalian dengan penduga Horvitz-Thompson.
Pada tugas akhir ini pengambilan sampel akan dilakukan dengan metode penarikan sampel klaster satu-tahap dengan dua cara, yaitu
1. Sampel unit penarikan sampel primer (psu) diambil secara acak,
2. Sampel unit penarikan sampel primer (psu) diambil secara langsung dengan memandang unit penarikan sampel primer (psu) yang memiliki unit penarikan sampel sekunder terbanyak (ssu).
Kemudian dari kedua cara pengambilan sampel tersebut, akan dibandingkan dan dipilih hasil penduga yang terbaik.
Metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa pengembalian dengan penduga Horvitz-Thompson diterapkan pada pendugaan total produksi padi di pulau Jawa tahun 2016. Galat baku menjadi kriteria kebaikan penduga. Sampel terbaik merupakan sampel yang menghasilkan galat baku minimum.
Kata kunci: penarikan sampel probabilitas, penarikan sampel dengan probabilitas tidak sama, penduga Horvitz-Thompson, metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa pengembalian, galat baku.
viii ABSTRACT
The main object of sampling is select a sample from a population to estimate the population parameter that have to know. When the units in the population has different probabilities to be taken as sample, this called sampling with unequal probabilities. The method that will be discussed is one-stage cluster sampling method without replacement with Horvitz-Thompson estimator.
In this paper, the sampling will be done in two ways, there are, 1. Primary sampling unit (psu) sample is chosen randomly,
2. Primary sampling unit (psu) sample selected is based on primary sampling unit (psu) that have the most secondary sampling units (ssu).
Then, that will be compared and we will choose the best estimator.
One-stage cluster sampling method without replacement with Horvitz-Thompson estimator is implemented on the paddy production data in Java island in 2016. Standard error is chosen as the comparison criteria of estimator. The best sample is the sample that produce minimum standard error.
Key words: probability sampling, sampling with unequal probability, Horvitz-Thompson estimator, one-stage cluster sampling without replacement, standard error.
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala berkat, anugerah, dan kasih-Nya yang telah menyertai penulis sehingga tugas akhir ini dapat terselesaikan dengan baik. Tugas akhir saya yang berjudul “Perbandingan Sampel Acak dan Sampel dengan Jumlah Unit Sekunder Terbanyak pada Metode Penarikan Sampel Klaster Satu Tahap tanpa Pengembalian dengan Probabilitas tidak Sama” merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Dalam penyusunan tugas akhir ini, penulis mendapatkan kendala-kendala yang tidak diduga baik dari luar maupun dalam diri penulis, namun berkat dukungan serta bantuan dari berbagai pihak pada akhirnya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Dengan tulus hati penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dosen pembimbing tugas akhir ini yang sangat sabar telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta memberikan masukan, arahan, motivasi dan nasihat kepada penulis.
2. Bapak YG. Hartono, SSi., M.Sc., Ph.D, selaku Kepala Program Studi Matematika.
3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Wakil Kepala Program Studi Matematika dan Dosen Pembimbing Akademik yang selalu mengarahkan dan memberi nasihat yang berkaitan dengan perkuliahan.
4. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.
5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Dr. Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Sc., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Dosen Program Studi Matematika yang telah membagikan ilmu serta pengalaman dalam perkuliahan.
xii DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ... v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi
ABSTRAK ... vii
ABSTRACT ... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ... ix
KATA PENGANTAR ... x
DAFTAR ISI ... xii
BAB I PENDAHULUAN ... 1 A. Latar Belakang ... 1 B. Rumusan Masalah... 2 C. Batasan Masalah ... 2 D. Tujuan Penulisan ... 3 E. Manfaat Penulisan ... 3 F. Metode Penulisan ... 4 G. Sistematika Penulisan ... 4
BAB II DASAR-DASAR TEORI PENARIKAN SAMPEL ... 6
A. Probabilitas ... 6
1. Ruang Sampel ... 6
2. Kejadian ... 7
3. Menghitung Banyaknya Titik Sampel ... 9
4. Probabilitas dari Sebuah Kejadian ... 13
5. Probabilitas Bersyarat ... 14
6. Aturan Dua Probabilitas ... 16
xiii
8. Sampel Acak ... 20
9. Bilangan Acak ... 20
B. Distribusi Probabilitas ... 22
1. Distribusi Probabilitas Diskrit ... 22
2. Distribusi Probabilitas Kontinu (Fungsi Densitas) ... 27
3. Variabel Acak Saling Bebas ... 31
4. Nilai Harapan ... 32
5. Variansi ... 38
6. Probabilitas Marginal dan Probabilitas Bersyarat ... 41
7. Kovariansi ... 45
C. Distribusi Penarikan Sampel ... 49
D. Pendugaan Parameter ... 50
E. Istilah-Istilah dalam Penarikan Sampel ... 55
F. Probabilitas Inklusi ... 59
G. Sampel Acak Sederhana ... 60
H. Pendugaan Parameter Sampel Acak Sederhana ... 62
1. Pendugaan Rata-Rata ... 63
2. Pendugaan Total ... 72
BAB III METODE PENARIKAN SAMPEL KLASTER SATU LAPIS TANPA PENGEMBALIAN ... 77
A. Metode Penarikan Sampel Klaster (Cluster Sampling) ... 77
B. Metode Penarikan Sampel dengan Probabilitas Tidak Sama ... 81
C. Metode Penarikan Sampel Tanpa Pengembalian dengan Probabilitas Tidak Sama ... 83
D. Memilih Unit Penarikan Sampel Utama (PSU) ... 85
E. Metode Penarikan Sampel Satu Lapis tanpa Pengembalian (dengan Probabilitas tidak Sama) ... 87
BAB IV APLIKASI METODE PENARIKAN SAMPEL SATU LAPIS TANPA PENGEMBALIAN DENGAN PROBABILITAS YANG TIDAK SAMA ... 96
A. Tujuan Penarikan Sampel ... 98
B. Populasi Sasaran ... 98
xiv
D. Pemilihan Sampel ... 99
1. Pemilihan Unit Penarikan Sampel Utama (PSU) secara Acak ... 101
2. Pemilihan Unit Penarikan Sampel Utama (PSU) dengan Unit Penarikan Sampel Sekunder Terbanyak ... 103
E. Data dan Analisis Data ... 105
1. Pendugaan dengan Sampel yang Dipilih secara Acak ... 106
2. Pendugaan dengan Sampel yang Dipilih dari Unit Terbesar... 106
3. Perbandingan Pendugaan ... 107
4. Perbandingan antara Kedua Pendugaan yang Mendekati Populasi ... 108
F. Penerapan Kasus Lain ... 110
BAB V PENUTUP ... 114
A. Kesimpulan ... 114
B. Saran ... 114 DAFTAR PUSTAKA
1 BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Penarikan sampel merupakan pemilihan bagian dari populasi untuk diamati sehingga pengamat dapat menduga informasi bagi seluruh populasi. Penarikan sampel memiliki peranan di dunia statistika yang salah satunya dapat digunakan untuk menduga total populasi. Sampel yang baik merupakan sampel yang dapat merepresentasikan populasi sehingga informasi dalam populasi dapat diperoleh hanya dengan mengambil sampelnya. Penarikan sampel terdiri dari penarikan sampel probabilitas dan nonprobabilitas, namun prosedur penarikan sampel yang secara matematika berkembang adalah penarikan sampel probabilitas.
Pada kasus di lapangan, unit-unit dalam populasi biasanya memiliki probabilitas yang berbeda untuk dimasukkan dalam sampel, contohnya seorang walikota ingin mengetahui jumlah lansia di kotanya, kota tersebut terdiri dari kecamatan-kecamatan dan akan dilakukan penarikan sampel. Jarang sekali ditemui kasus setiap kecamatan memiliki jumlah rumah tangga yang sama sehingga untuk kasus seperti ini penarikan sampel yang lebih tepat digunakan adalah penarikan sampel dengan probabilitas tidak sama.
Secara umum penarikan sampel dilakukan dengan pengembalian dan tanpa pengembalian. Penarikan sampel dengan pengembalian kurang efisien dibandingkan penarikan sampel tanpa pengembalian karena dalam penarikan sampel dengan pengembalian suatu obyek dapat terambil dua kali dan hal tersebut tidak memberikan informasi tambahan mengenai populasi. Pada tugas akhir ini penarikan sampel dilakukan tanpa pengembalian dengan metode penarikan sampel klaster satu-tahap.
Penduga yang akan digunakan adalah penduga Horvitz-Thompson yang diperkenalkan oleh Horvitz dan Thompson pada tahun 1952.
Untuk mensimulasikan metode tersebut akan digunakan data yang bersumber dari Badan Pusat Statistik Indonesia, yaitu data produksi padi pada provinsi-provinsi di pulau Jawa. Simulasi dilakukan untuk menduga total hasil panen padi di pulau Jawa dengan galat baku (standard error) pendugaan sebagai ukuran kebaikan terduga.
Apabila sebelum dilakukan penarikan sampel informasi mengenai keadaan populasi (seperti luas wilayah populasi, pembagian wilayah populasi) telah diketahui, informasi ini dapat digunakan untuk memilih unit penarikan sampel primer dengan unit penarikan sampel sekunder yang besar sebagai sampel dan kemungkinan akan didapatkan pendugaan yang lebih baik. Untuk membuktikan pernyataan tersebut, pada tugas akhir ini, akan dilakukan pembandingan hasil pendugaan apabila sampel diambil secara acak dan apabila sampel diambil secara langsung pada unit penarikan sampel primer (primary sampling unit) dengan jumlah unit penarikan sampel sekunder (secondary sampling unit) terbesar. B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut
1. Apa itu metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa pengembalian dengan penduga Horvitz Thompson?
2. Bagaimana aplikasi metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa pengembalian dalam menduga total suatu populasi?
3. Bagaimana perbandingan hasil pendugaan populasi dengan memilih sampel secara acak dan dengan memilih sampel secara langsung dari unit penarikan sampel primer dengan unit penarikan sampel sekunder terbesar?
C. Batasan Masalah
Batasan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut
1. Penarikan sampel yang dibahas hanya penarikan sampel dengan probabilitas tidak sama dengan metode penarikan sampel satu-tahap tanpa pengembalian, selebihnya hanya sebagai pengantar.
2. Sampel yang diambil pada masing-masing pendugaan populasi adalah sebanyak 2 unit.
3. Sampel yang diambil berdasarkan unit penarikan sampel primer dengan unit penarikan sampel sekunder terbanyak hanya dapat dilakukan apabila informasi mengenai wilayah populasi sudah diketahui.
4. Teori Probabilitas yang dibahas hanya teori yang berkaitan dengan materi pokok.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut
1. Mengetahui pendugaan populasi yang probabilitas unit-unitnya tidak sama dengan menerapkan metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa pengembalian dengan penduga Horvitz-Thompson.
2. Mengetahui perbedaan hasil dugaan apabila sampel diambil secara acak dan sampel diambil berdasarkan unit penarikan sampel primer dengan unit penarikan sampel sekunder terbesar.
3. Menerapkan metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa pengembalian dengan penduga Horvitz-Thompson dalam kasus nyata.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat penulisan dalam tugas akhir ini adalah
1. Dapat mempelajari metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa pengembalian dengan penduga Horvitz-Thompson pada populasi yang probabilitas setiap unit penarikan sampel primernya tidak sama.
2. Dapat mengetahui seberapa baik sampel yang diambil secara acak dan sampel yang diambil secara langsung dari unit penarikan sampel primer dengan unit penarikan sampel sekunder terbesar.
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku serta jurnal-jurnal yang berkaitan dengan penarikan sampel dengan probabilitas tidak sama menggunakan metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa pengembalian dan dasar-dasar probabilitas yang digunakan.
G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan
BAB II DASAR-DASAR TEORI PENARIKAN SAMPEL A. Probabilitas
B. Distribusi Probabilitas C. Distribusi Penarikan Sampel D. Pendugaan Parameter
E. Istilah-Istilah dalam Penarikan Sampel F. Probabilitas Inklusi
G. Sampel Acak Sederhana
H. Pendugaan Parameter Sampel Acak Sederhana
BAB III METODE PENARIKAN SAMPEL KLASTER SATU-TAHAP TANPA PENGEMBALIAN
A. Metode Penarikan Sampel Klaster
B. Metode Penarikan Sampel dengan Probabilitas tidak Sama
C. Metode Penarikan Sampel tanpa Pengembalian dengan Probabilitas tidak Sama
D. Memilih Unit Penarikan Sampel Utama
E. Metode Penarikan Sampel Klaster Satu-Tahap tanpa Pengembalian dengan Probabilitas tidak Sama
BAB IV APLIKASI METODE PENARIKAN SAMPEL KLASTER SATU-TAHAP TANPA PENGEMBALIAN DENGAN PROBABILITAS TIDAK SAMA
A. Tujuan Penarikan Sampel B. Populasi Sasaran
C. Unit Penarikan Sampel D. Pemilihan Sampel E. Data dan Analisis Data BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
6 BAB II
DASAR-DASAR TEORI PENARIKAN SAMPEL
A. Probabilitas 1. Ruang Sampel
Definisi 2.1. Ruang Sampel
Himpunan semua kemungkinan hasil dari percobaan statistik disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan simbol .
Setiap hasil dalam suatu ruang sampel disebut elemen atau anggota dari ruang sampel, atau titik sampel. Jika ruang sampel memiliki sejumlah berhingga dari elemen-elemen, daftar anggota-anggota dinyatakan dengan koma dan ditutup kurung.
Contoh 2.1
Dalam percobaan pelemparan dua buah dadu sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel dalam percobaan tersebut.
Jawab:
Ruang sampel dalam percobaan dua buah dadu adalah
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
Sehingga diperoleh banyaknya anggota ruang sampel (titik sampel) ( ) .
Definisi 2.2. Ruang Sampel Diskrit dan Kontinu
Jika sebuah ruang sampel terdiri atas sejumlah berhingga titik sampel atau sejumlah tak berhingga titik sampel tetapi terbilang disebut ruang sampel diskrit. Ruang sampel yang tidak diskrit disebut ruang sampel kontinu.
2. Kejadian
Definisi 2.3. Kejadian
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Contoh 2.2
Diberikan ruang sampel * | +, dengan adalah umur dalam tahun dari elektronik tertentu, kemudian kejadian adalah umur elektronik yang rusak sebelum tahun kelima, tentukan kejadian .
Jawab:
* | +.
Definisi 2.4. Komplemen Dua Kejadian
Komplemen dari sebuah kejadian di dalam adalah himpunan bagian dari semua elemen-elemen yang tidak di . Komplemen dari dinotasikan dengan simbol .
Contoh 2.3
Dimisalkan ruang sampel
*buku, telepon genggam, laptop, alat tulis, botol minum+ Misalkan *buku, alat tulis, laptop+. Tentukan komplemen dari . Jawab:
Didapatkan komplemen dari adalah *telepon genggam, botol minum+.
Definisi 2.5. Irisan Dua Kejadian
Irisan dari dua kejadian dan , dinotasikan dengan simbol , merupakan kejadian yang terdiri dari elemen-elemen yang sama antara dan .
Contoh 2.4
Misalkan *buku, telepon genggam, laptop, alat tulis, botol minum+ dan *telepon genggam, laptop, kertas, mp3+. Tentukan irisan dari dan .
Jawab:
Didapatkan irisan dari dan ,
* +
Definisi 2.6. Kejadian Saling Asing
Dua kejadian dan saling asing, jika , yaitu, jika dan tidak memiliki elemen-elemen yang sama.
Contoh 2.5
Diandaikan percobaan pelemparan sebuah dadu. Masing-masing melempar dadu sebanyak dua kali. Didapatkan * + dan * +. Apakah saling asing?
Jawab:
Karena dadu yang dilempar dan tidak menghasilkan bilangan yang sama, maka
sehingga saling asing.
Definisi 2.7. Gabungan Dua Kejadian
Gabungan dari dua kejadian dan , dinotasikan dengan simbol , merupakan kejadian yang memuat semua elemen-elemen yang berada di atau atau keduanya.
Contoh 2.6
Misalkan * + dan * +. Tentukan . Jawab:
Didapatkan * +.
3. Menghitung Banyaknya Titik Sampel Teorema 2.1
Bila terdapat elemen, yaitu dan elemen, yaitu , maka dapat dibentuk pasang yang memuat satu elemen dari setiap kelompok.
Bukti: . . . . . .
Pada persegi gambar 2.1, terdapat satu persegi dalam tabel untuk setiap , pasang dan oleh karena itu jumlahnya persegi. Gambar 2.1. Jumlah Pasangan (𝒂𝒊 𝒃𝒋)
Contoh 2.7
Berapa banyaknya titik sampel pada ruang sampel percobaan sepasang dadu yang dilempar satu kali?
Jawab: Dimisalkan,
kemungkinan mata dadu yang didapatkan dadu pertama , kemungkinan mata dadu yang didapatkan dadu kedua ,
Sehingga didapatkan kemungkinan mata dadu yang didapatkan dari sepasang dadu tersebut.
Definisi 2.8. Permutasi
Banyaknya cara menyusun obyek berbeda yang diambil dari obyek disebut permutasi yang disimbolkan dengan .
Teorema 2.2
( )( ) ( ) ( ) Bukti:
Simbol merupakan banyaknya cara mengisi posisi dengan objek yang berbeda. Terapkan teorema 2.1, dilihat bahwa objek pertama dapat dipilih satu dari cara. Setelah itu, kedua dapat dipilih ( ) cara, ketiga ( ) cara, dan ke- dapat dipilih dengan ( ) cara. Oleh karena itu, banyaknya jumlah dari susunan yang berbeda adalah
( )( ) ( ) Dinyatakan dalam, ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) dengan ( ) ( )( ) dan .
Contoh 2.8
Nama dari 3 karyawan diambil secara acak, tanpa pengembalian, dari mangkok yang terdiri dari 30 nama karyawan dari perusahaan kecil. Orang yang namanya terambil pertama mendapatkan $100, dan nama yang terambil kedua dan ketiga mendapatkan $50 dan $25, berturut-turut. Berapa banyak titik sampel dari kasus ini?
Jawab:
Akan dicari titik sampel yang terkait dengan kasus ini. Karena hadiah yang diberikan berbeda, banyaknya titik sampel adalah banyaknya susunan dari nama yang mungkin terambil nama. Sedemikian sehingga, banyaknya titik sampel dalam adalah
( )( )( )
Teorema 2.3
Banyaknya cara membagi objek berbeda ke mdalam kelompok berbeda yang terdiri dari objek, berturut-turut, dengan setiap objek muncul dalam tepat satu kelompok dan ∑ , yaitu
. /
Bukti:
adalah banyaknya susunan yang berbeda dari objek dalam sebuah baris untuk kasus dimana penyusunan kembali dari objek dalam kelompok yang tidak dihitung. Contoh huruf hingga disusun dalam tiga kelompok, dimana dan
| | merupakan satu susunan.
Banyaknya susunan yang berbeda dari objek, diasumsikan semua
objekberbeda, adalah . Sehingga sama dengan banyaknya cara membagi objek kedalam kelompok, abaikan susunan dalam kelompok
dikalikan dengan banyaknya cara menyusun elemen dalam setiap kelompok. Penerapan dari perluasan aturan diberikan
( ) ( )
dengan adalah banyaknya susunan yang berbeda dari objek dalam kelompok . Penyelesaian untuk , didapatkan
. /
Contoh 2.9
Berapa banyak cara untuk 7 mahasiswi pascasarjana ditempatkan 1 kamar berisi 3 tempat tidur dan 2 kamar berisi 2 tempat tidur?
Jawab:
Banyaknya cara adalah
. /
Definisi 2.9. Kombinasi
Banyaknya kombinasi obyek yang diambil dari obyek adalah banyaknya himpunan bagian berukuran , dapat dibentuk dari obyek. Banyaknya kombinasi dinotasikan dengan atau . /
Teorema 2.4
Banyaknya himpunan bagian tidak terurut sebanyak dipilih (tanpa pengembalian) dari objek yang ada, yaitu
. /
( ) Bukti:
Memilih objek dari jumlah ekuivalen dengan membagi objek ke dalam kelompok, dipilih, dan ( ) yang tersisa. Ini kasus khusus dari penanganan masalah pembagian umum dalam teorema 2.3.
Dalam kasus yang diberikan, dan ( ) dan, karena itu,
. / . /
( )
Contoh 2.10
Seorang anak meminta 5 permainan dari 10 koleksi permainan petualangan dan 5 koleksi permainan olahraga. Berapa banyak cara untuk mendapatkan 3 koleksi permainan petualangan dan 2 koleksi permainan olahraga?
Jawab:
Banyaknya cara memilih 3 dari 10 permainan petualangan adalah . /
( )
Banyaknya cara memilih 2 dari 5 permainan olah raga adalah . /
( )
Menggunakan Teorema 2.1 didapatkan dan sehingga ( )( ) cara.
4. Probabilitas dari Sebuah Kejadian
Definisi 2.10. Probabilitas Sebuah Kejadian
Bila merupakan ruang sampel yang berkaitan dengan sebuah percobaan. Untuk setiap kejadian dalam ( merupakan himpunan bagian dari ), ( ) merupakan probabilitas dari , jika memenuhi aksioma berikut: Aksioma 1: ( )
Aksioma 2: ( )
Aksioma 3: Jika membentuk barisan kejadian yang saling asing berpasangan di dalam , maka
( ) ∑ ( )
Contoh 2.11
Sebuah koin dengan dua sisi, yaitu gambar (G) dan angka (A) dilempar dua kali. Berapa banyak probabilitas paling sedikit muncul 1 gambar? Jawab:
merupakan ruang sampel koin dengan dua sisi, didapatkan * +
Misalkan probabilitas dari setiap titik sampel, maka atau . Jika menyatakan kejadian paling sedikit gambar muncul, maka
* + dan ( )
5. Probabilitas Bersyarat
Definisi 2.11. Probabilitas Bersyarat
Probabilitas bersyarat dari kejadian , diketahui kejadian telah terjadi, sama dengan
( | ) ( ) ( )
apabila ( ) . ( | ) adalah probabilitas dari jika diketahui .
Contoh 2.12
Sebuah dadu dilempar satu kali misalkan merupakan kejadian munculnya mata dadu ganjil dan Q merupakan kejadian munculnya mata dadu lebih dari 2. Tentukan probabilitas munculnya mata dadu ganjil jika diketahui munculnya kejadian mata dadu lebih dari dua.
Jawab:
Diketahui ruang sampel * + kemudian * + * + * +
( ) ( )
Didapatkan,
( | ) ( ) ( )
⁄
⁄
Definisi 2.12. Kejadian Saling Bebas
Dua kejadian dan dikatakan bebas jika salah satu dari pernyataan berikut terpenuhi
( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) Selainnya, kejadian dikatakan saling bergantung.
Contoh 2.13
Terdapat 1 set kartu berisi abjad, kemudian kartu tersebut diambil secara acak. Didefinisikan kejadian dan , yaitu
* +
* +
Tunjukkan apakah kejadian dan saling bebas. Jawab:
Diketahui ruang sampel dari 1 set kartu tersebut,
* + Sehingga diperoleh elemen , ( ) .
( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ⁄ ⁄
( | ) ( ) ( ) ⁄ ⁄ ( ) ( ) Jadi kejadian dan saling bebas.
6. Aturan Dua Probabilitas Teorema 2.5
Probabilitas dari gabungan dua kejadian dan adalah ( ) ( ) ( ) ( )
Jika dan kejadian yang tidak memiliki irisan, maka ( ) dan ( ) ( ) ( )
Bukti:
Ilustrasi pada gambar 2.2 digunakan untuk memperjelas bukti.
Gambar 2.2 Ilustrasi Diagram Venn untuk Teorema 2.5
Dari gambar dapat dinyatakan ( ) dengan dan ( ) kejadian saling asing. Kemudian, ( ) ( ), dengan ( ) dan ( ) kejadian saling asing. Maka,
( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( ) Didapatkan ( ) ( ) ( ), sehingga
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A
B
Teorema 2.6
Jika merupakan sebuah kejadian, maka ( ) ( ) Bukti:
Ilustrasi pada gambar 2.3 digunakan untuk memperjelas bukti.
Gambar 2.3 Ilustrasi Diagram Venn untuk Teorema 2.6
Dari gambar, . Karena dan merupakan kejadian saling asing, maka ( ) ( ) ( ). Dari definisi 2.10 ( ) , sehingga ( ) ( ) , oleh karena itu ( ) ( ).
Definisi 2.13. Partisi dari Ruang Sampel
Untuk suatu bilangan bulat positif , misalkan himpunan sedemikian sehingga
1. . 2. , untuk .
Maka kumpulan dari himpunan * + dikatakan partisi dari .
Teorema 2.7
Diasumsikan bahwa * + merupakan partisi dari sedemikiam sehingga ( ) , untuk . Maka untuk sebarang kejadian ( ) ∑ ( | ) ( )
A
𝐴𝑐 𝑆Bukti:
Sebarang himpunan bagian dari dapat ditulis
( )
( ) ( ) ( ) Karena * + merupakan partisi dari , jika , maka
( ) ( ) ( )
( ) dan ( ) merupakan kejadian yang tidak memiliki irisan. Oleh karena itu
( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ∑ ( | ) ( ) Teorema 2.8
Diasumsikan * + merupakan partisi dari sedemikian sehingga ( ) , untuk . Maka
( | ) ( | ) ( ) ∑ ( | ) ( ) Bukti: Didapatkan, ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ∑ ( | ) ( ) 7. Variabel Acak
Definisi 2.14. Variabel Acak
Variabel acak adalah fungsi yang memetakan elemen-elemen dalam ruang sampel ke himpunan bilangan real.
Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital, misal , dan nilainya dinotasikan dengan huruf kecil, misal .
Definisi 2.15. Variabel Acak Diskrit dan Kontinu
Variabel acak dikatakan diskrit jika himpunan dari kemungkinan hasilnya berhingga atau tak berhingga tetapi terbilang. Jika tidak diskrit maka variabel dikatakan kontinu.
Contoh 2.14 (Variabel Acak Diskrit)
Dua bola diambil berurutan tanpa pengembalian dari sebuah mangkok yang terdiri dari 4 bola merah dan 3 bola hitam. Tentukan kemungkinan hasil yang didapatkan dan nilai dari variabel acak , dengan jumlah bola merah.
Jawab:
Ruang sampel pada percobaan tersebut adalah * +. Setiap elemen pada ruang sampel dipetakan ke himpunan bilangan real adalah variabel acak .
Nilai dari adalah . 𝑀𝑀 𝑀𝐻 𝐻𝑀 𝐻𝐻
Gambar 2.4 Pemetaan Elemen-Elemen dalam Ruang Sampel ke Bilangan Real untuk Contoh 2.14
Contoh 2.15 (Variabel Acak Kontinu)
Misalkan variabel acak yang didefinisikan berat badan mahasiswa. Diasumsikan tidak ada mahasiswa yang mempunyai berat badan kurang dari 20 kg dan lebih dari 175 kg. Sehingga merupakan variabel acak untuk semua nilai antara . Karena merupakan sebuah interval maka merupakan variabel acak kontinu.
8. Sampel Acak
Definisi 2.16. Sampel Acak
Misalkan dan menunjukkan banyaknya elemen dalam populasi dan sampel. Jika penarikan sampel dilakukan dengan cara setiap ( ) sampel memiliki probabilitas yang sama untuk terpilih, penarikan sampel dikatakan acak, dan hasilnya merupakan sampel acak.
Contoh 2.16
Dalam suatu populasi terdapat 5 elemen, dari populasi tersebut akan diambil sampel berukuran 2. Berapa banyak cara sampel tersebut akan terpilih secara acak?
Jawab:
Banyaknya cara adalah
( )
9. Bilangan Acak
Bilangan acak merupakan bilangan yang dihasilkan oleh mekanisme yang menghasilkan ketidakpastian (irregularity) dalam arti tertentu akan dibuat presisi. Proses yang menghasilkan digit-digit acak (desimal) ketika proses tersebut menyajikan variabel acak yang saling bebas dan ambil nilai 0, 1, …, 9 dengan probabilitas yang sama, variabel acak tersebut memenuhi distribusi seragam diskrit (variabel acak memiliki probabilitas yang sama untuk muncul). Definisi serupa diterapkan untuk bilangan acak
yang lebih dari 10, untuk sebarang himpunan bilangan bulat yang berdekatan, atau, secara umum untuk sebarang himpunan yang memenuhi distribusi seragam diskrit. Bilangan acak digunakan pada sampel probabilitas, yaitu dalam penarikan sampel probabilitas unit sampel dipilih dari populasi dengan penarikan sampel probabilitas. Pada sebuah kasus penarikan sampel, biasanya setiap unit populasi dinomori, kemudian bilangan bulat acak yang terpilih (unit yang telah dinomori) akan menjadi unit sampel. Kegunaan lain bilangan acak adalah dalam rancangan percobaan untuk memutuskan perlakuan percobaan yang akan diterapkan, dsb.
Salah satu cara untuk mendapatkan bilangan acak dengan menggunakan tabel bilangan acak. Tabel bilangan acak pertama kali dikenalkan oleh Tippett pada tahun 1927. Tabel bilangan acak merupakan tabel yang berisi digit angka. Digit yang diberikan dalam tabel dipilih secara acak dari digit 0, 1, 2, 3, …, 9 oleh proses acak dengan setiap digit memiliki probabilitas yang sama untuk dipilih.
Contoh 2.17
Misalkan akan diambil tiga orang sebagai sampel dari populasi tujuh orang. Cara pengambilan sampel dapat dilakukan dengan cara menomorinya pada potongan kertas dari 1 sampai 7, kemudian acak potongan kertas yang telah digulung dan diambil tiga dari tujuh gulungan kertas tersebut. Dengan cara yang berbeda, dapat dilakukan dengan menunjuk secara acak pada titik awal di Tabel Bilangan Acak. Andaikan titik yang ditunjuk secara acak adalah baris 15 pada kolom 9 dengan digit 97735 dan yang dipilih adalah digit yang berada pada sisi paling kanan yaitu 5. Proses ini layaknya seperti mengambil gulungan kertas secara acak dan didapatkan kertas yang berisi angka 5. Kemudian proses ini dilanjutkan dengan memilih digit dari arah manapun untuk mendapatkan sampel sisanya. Ditentukan arah yaitu ke bawah dari digit yang terpilih pertama, sehingga dari tabel didapatkan 49442, dipilih digit yang berada
pada sisi paling kanan yaitu 2. Dilanjutkan ke baris selanjutnya, dari tabel didapatkan 01188, dipilih digit yang berada pada sisi paling kanan yaitu 8, tetapi hanya ada 7 elemen populasi sehingga diabaikan. Kemudian dilanjutkan ke baris setelahnya. Dua baris selanjutnya didapatkan angka 5, karena angka 5 telah terpilih maka keduanya diabaikan. Pada baris selanjutnya dari tabel didapatkan 51851, dipilih digit yang berada pada sisi paling kanan yaitu 1. Akhirnya, sampel yang terpilih adalah orang bernomor 5, 2, dan 1.
B. Distribusi Probabilitas
1. Distribusi Probabilitas Diskrit
Definisi 2.17. Fungsi Probabilitas Diskrit
Himpunan pasangan terurut ( ( )) merupakan fungsi probabilitas, fungsi masa probabilitas, atau distribusi probabilitas dari variabel acak diskrit jika untuk setiap hasil yang mungkin , memenuhi
a. ( ) b. ∑ ( )
Contoh 2.18
Pengiriman 20 komputer yang sama menuju toko pengecer diantaranya terdapat 3 komputer yang cacat. Jika sebuah sekolah membelinya secara acak 2 dari komputer-komputer tersebut,
a. tentukan distribusi probabilitas jumlah komputer yang cacat. b. buktikan bahwa ( ) merupakan distribusi probabilitas diskrit. Jawab:
a. Misalkan variabel acak yang nilai -nya merupakan kemungkinan banyaknya komputer cacat yang dibeli oleh sekolah. Sehingga * +
( ) . / . / . /
( ) . / . / . / ( ) . / . / . /
Jadi himpunan pasangan terurut distribusi probabilitas juga dapat dinyatakan dalam bentuk tabel 2.1 berikut
Tabel 2.1.
Distribusi Probabilitas dari Variabel Acak Diskrit untuk Contoh 2.18
( )
b. Akan dibuktikan ( ) memenuhi definisi 2.17, 1) ( ) terlihat dari hasil jawaban a, 2) ∑ ( ) ∑ ( )
Jadi, terbukti bahwa ( ) merupakan distribusi probabilitas diskrit.
Definisi 2.18. Fungsi Distribusi Kumulatif Variabel Diskrit
Fungsi distribusi kumulatif ( ) dari variabel acak diskrit dengan distribusi probabilitas ( ) adalah
( ) ( ) ∑ ( ) untuk
Contoh 2.19
Tentukan fungsi distribusi kumulatif variabel acak pada contoh 2.18. Jawab:
Dari contoh 2.18 didapatkan distribusi probabilitas ( ) ⁄ ( ) ⁄ ( ) ⁄ . Akan dicari ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sehingga didapatkan fungsi distribusi kumulatif dari adalah
( ) {
Definisi 2.19. Fungsi Probabilitas Bersama Variabel Diskrit
Fungsi ( ) merupakan distribusi probabilitas bersama atau fungsi massa probabilitas dari variabel acak diskrit dan jika
a. ( ) untuk ( ), b. ∑ ∑ ( )
Peluang bernilai dan bernilai dinotasikan dengan
( ) ( ), untuk setiap daerah di bidang dan ,( ) - ∑ ∑ ( ).
Contoh 2.20
Dua bolpoin terpilih secara acak dari kotak yang terdiri dari 3 bolpoin biru, 2 bolpoin merah, dan 3 bolpoin hijau. Jika merupakan banyaknya bolpoin biru yang terpilih dan merupakan banyaknya bolpoin merah yang terpilih, tentukan
a. fungsi probabilitas bersama ( ),
b. ,( ) - bila merupakan daerah *( )| +. Jawab:
Nilai dari pasangan terurut ( ) yang mungkin adalah ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) dan ( ).
a. Misalkan ( ) merupakan probabilitas bolpoin berwarna merah dan hijau terpilih. Banyaknya cara memilih 2 bolpoin dari kotak adalah ( ) . Banyaknya cara memilih 1 bolpoin merah dari 2 bolpoin merah dan 1 bolpoin hijau dari 3 bolpoin hijau adalah ( )( ) . Oleh karena itu, ( ) ⁄ ⁄ . Perhitungan yang sama dapat digunakan untuk kasus lain. Hasil distribusi probabilitas bersama pada tabel 2.2 dapat dinyatakan dengan
( ) . / . / . /
( )
untuk dan .
Tabel 2.2
Hasil Distribusi Probabilitas Bersama untuk Contoh 2.20 Jumlah Baris ( ) ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ Jumlah Kolom ⁄ ⁄ ⁄
b. Probabilitas ( ) pada daerah adalah
,( ) - ( ) ( ) ( ) ( )
Sebagai penunjang dari tugas akhir ini, selanjutnya akan dijelaskan salah satu contoh distribusi probabilitas diskrit yaitu Distribusi Binomial.
Contoh lain dari distribusi probabilitas diskrit adalah Distribusi Geometrik, Distribusi Hypergeometrik, dan Distribusi Poisson.
Definisi 2.20. Percobaan Binomial
Percobaan Binomial memenuhi sifat berikut: a. Percobaan terdiri atas ulangan yang identik.
b. Setiap ulangan menghasilkan satu dari dua kemungkinan hasil, yaitu berhasil ( ) atau gagal ( ).
c. Probabilitas berhasil adalah dan tetap sama untuk ulangan lainnya. Probabilitas gagal adalah ( ).
d. Ulangan bersifat saling bebas.
e. Variabel acak adalah banyaknya ulangan sukses yang teramati selama ulangan
Contoh 2.21
Sistem deteksi peringatan dini untuk pesawat terdiri dari 4 unit radar identik yang beroperasi secara independen (saling bebas) satu sama lain. Misalkan setiap unit radar memiliki peluang 0.95 untuk mendeteksi adanya gangguan pada pesawat. Ketika ada gangguan pada pesawat, variabel acak merupakan banyaknya unit radar yang tidak mendeteksi gangguan. Apakah hal ini merupakan percobaan Binomial?
Jawab:
Jika permasalahan pada soal merupakan percobaan Binomial, maka permasalahan pada soal harus memenuhi sifat-sifat pada definisi 2.21. Variabel acak dalam percobaan ini merupakan banyaknya unit radar yang tidak mendeteksi gangguan, sehingga percobaan ini dapat menjadi binomial jika dan hanya jika unit radar tidak dapat mendeteksi merupakan ulangan sukses.
a. Percobaan memuat 4 ulangan yang identik. Setiap ulangan menentukan apakah unit radar mendeteksi pesawat.
b. Setiap ulangan menghasilkan satu dari dua hasil, yaitu radar dapat mendeteksi atau radar tidak dapat mendeteksi.
c. Karena radar mendeteksi dengan probabilitas yang sama, maka probabilitas pada setiap ulangan sama, dan ( ) ( ) .
d. Ulangan-ulangan saling bebas karena unit-unit beroperasi secara independen.
e. Variabel acak merupakan banyaknya ulangan sukses dalam 4 ulangan.
Sehingga, percobaan tersebut merupakan percobaan Binomial, dengan , , dan .
2. Distribusi Probabilitas Kontinu (Fungsi Densitas) Definisi 2.21. Fungsi Densitas Probabilitas Kontinu
Fungsi ( ) merupakan fungsi densitas untuk variabel acak kontinu , jika
a. ( ) untuk b. ∫ ( )
Peluang variabel acak berada dalam interval , - dinyatakan dengan ( ) ∫ ( )
Contoh 2.22
Misalkan variabel acak kontinu memiliki fungsi densitas probabilitas ( ) ,
Buktikan bahwa ( ) merupakan fungsi densitas. Jawab:
Akan dibuktikan ( ) memenuhi definisi 2.21, a. Jelas ( )
b. ∫ ( ) ∫ |
Terbukti bahwa ( ) merupakan fungsi densitas.
Definisi 2.22. Fungsi Distribusi Kumulatif Variabel Kontinu
Fungsi distribusi kumulatif ( ) dari variabel acak kontinu dengan fungsi densitas ( ) adalah
( ) ( ) ∫ ( ) untuk
Contoh 2.23
Untuk fungsi densitas dari contoh 2.22, tentukan ( ) dan ( ) Jawab: Untuk ( ) ∫ ( ) ∫ | Sehingga didapatkan, ( ) { dan ( ) ( ) ( ) .
Definisi 2.23. Fungsi Densitas Bersama Variabel Kontinu
Fungsi ( ) merupakan fungsi densitas bersama dari variabel acak kontinu dan jika
a. ( ) ( ), b. ∫ ∫ ( ) ,
Peluang dan di dalam daerah dinotasikan dengan
,( ) - ∫ ∫ ( ) untuk setiap daerah di bidang .
Contoh 2.24
Diberikan fungsi densitas bersama sebagai berikut:
( ) 8 ⁄ ( )
a. Tunjukkan bahwa fungsi di atas memenuhi definisi 2.23.
b. Tentukan ,( ) - dengan 2( )| 3. Jawab: a. - Jelas bahwa ( ) , - Integral dari ( ) ∫ ∫ ⁄ ( ) ∫ 4 5| ∫ ( ) ( )| b. Didapatkan ,( ) - ( ) ∫ ⁄ ∫ ⁄ ⁄ ( ) ⁄ ∫ 4 5| ⁄ ⁄ ⁄ ∫ ( ) ⁄ ⁄ 4 5| ⁄ ⁄
[( ) ( )]
Salah satu contoh dari distribusi probabilitas kontinu yang penting adalah Distribusi Normal. Grafik dari distribusi Normal disebut kurva Normal. Variabel acak yang distribusinya berbentuk lonceng seperti gambar 2.5 disebut variabel acak Normal. Persamaan matematika untuk distribusi probabilitas variabel Normal tergantung pada parameter yang merupakan rata-rata dan yang merupakan standar deviasi.
Definisi 2.24. Distribusi Normal
Variabel acak dikatakan berdistribusi Normal jika dan hanya jika untuk dan , fungsi densitas dari adalah
( ) √
( )
Sifat-sifat kurva distribusi Normal adalah
- Modus, dimana titik pada sumbu horizontal dengan kurva maksimum terjadi pada ,
( )
𝜎
𝑥 Gambar 2.5 Kurva Distribusi Normal
𝜎
- Kurva simetris terhadap sumbu vertikal yang melalui rata-rata , - Kurva memiliki titik belok pada , kurva cekung ke bawah
pada dan kurva cekung ke atas untuk nilai lainnya,
- Kurva Nornal mendekati sumbu horizontal secara asimtotik jika atau ,
- Luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu horizontal sama dengan 1.
3. Variabel Acak Saling Bebas
Definisi 2.25. Variabel Acak Saling Bebas
Misalkan dan variabel acak, diskrit atau kontinu. mempunyai fungsi probabilitas ( ), mempunyai fungsi probabilitas ( ), dan
dan mempunyai fungsi probabilitas bersama ( ). Maka dan dikatakan saling bebas jika dan hanya jika
( ) ( ) ( ) untuk setiap pasangan bilangan real ( ).
Contoh 2.25 Misalkan
( ) { Tunjukkan bahwa dan saling bebas.
Jawab: ( ) { ∫ 4 | 5 ∫ Demikian pula,
( ) {
∫ ∫
Oleh karena itu,
( ) ( ) ( ) untuk semua bilangan real ( ) sehingga dan bebas.
4. Nilai Harapan
Definisi 2.26. Nilai Harapan Variabel Acak
Misalkan variabel acak dengan distribusi probabilitas diketahui. Rata-rata, atau nilai harapan, dari adalah
( ) ∑ ( ), jika variabel acak diskrit dan
( ) ∫ ( ) , jika variabel acak kontinu.
Contoh 2.26
Muatan 7 komponen diambil sampel untuk pemeriksaan kualitas, muatan tersebut terdapat 4 komponen yang bagus dan 3 komponen yang cacat. Diambil 3 sampel. Tentukan nilai harapan dari jumlah komponen yang bagus dalam sampel.
Jawab:
Misalkan merupakan jumlah sampel komponen yang bagus. Distribusi probabilitas dari adalah
( ) . / . /
. / sehingga didapatkan:
( ) . / . /
( ) . / . / . / ( ) . / . / . / ( ) . / . / . /
nilai harapan adalah ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Contoh 2.27
Tentukan nilai harapan dari fungsi densitas berikut. ( ) , Jawab: ( ) ∫ ∫ | Teorema 2.9
Misalkan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas ( ) dan ( ) ( ) ( ) adalah fungsi dari . Maka
, ( ) ( )- , ( )- , ( )- Bukti:
, ( ) ( ) ( )- ∑, ( ) ( ) ( )- ( )
∑, ( ) ( ) ( ) (
, ( )- , ( )-
Teorema 2.10
Misalkan variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas ( ) dan ( ) ( ) ( ) adalah fungsi dari . Maka
, ( ) ( )- , ( )- , ( )- Bukti: , ( ) ( )- ∫ *, ( ) ( )- ( )+ ∫ , ( ) ( ) ( ) ( )- ∫ , ( )- ∫ , ( )- , ( )- , ( )- , ( )- Teorema 2.11
Diberikan suatu konstanta tak nol , maka ( ) . Bukti:
Untuk variabel acak diskrit,
( ) ∑ ( ) ∑ ( )
Untuk variabel acak kontinu,
( ) ∫ ( ) ∫ ( )
Jadi, terbukti ( ) .
Teorema 2.12
Diberikan suatu konstanta tak nol , maka ( ) ( ). Bukti:
( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( )
Untuk variabel acak kontinu, ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) Jadi, terbukti ( ) ( ). Teorema 2.13
Jika dan konstanta, maka
( ) ( ) Bukti:
Untuk variabel acak diskrit,
( ) ∑( ) ( )
∑ ( ( )) ( ( ))
∑ ( ( )) ∑ ( )
( ) Untuk variabel acak kontinu,
( ) ∫ ,( ) ( )- ∫ , ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) Jadi terbukti ( ) ( ) .
Definisi 2.27. Nilai Harapan Fungsi Variabel Acak
Misalkan ( ) merupakan fungsi dari variabel acak, , yang memiliki fungsi probabilitas ( ) Maka nilai harapan dari ( ) adalah
, ( )- ∑
∑ ( ) ( )
Jika variabel acak kontinu dengan fungsi densitas gabungan ( ), maka , ( )- ∫ ∫ ( ) ( ) Contoh 2.28
Misalkan dan mempunyai fungsi densitas bersama sebagai berikut ( ) { Tentukan ( ) Jawab: ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ 4 | 5 ∫ ( ) |
Teorema 2.14
Misalkan dan variabel acak saling bebas dan ( ) dan ( ) fungsi dari dan , berturut-turut. Maka
, ( ) ( )- , ( )- , ( )-
Bukti:
Misalkan ( ) adalah fungsi densitas bersama dan . Hasil ( ) ( ) merupakan fungsi dari dan . Dengan definisi 2.27 dan asumsi bahwa dan saling bebas (definisi 2.25).
Untuk variabel diskrit,
, ( ) ( )- ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) , ( )- , ( )-
Untuk variabel kontinu
, ( ) ( )- ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) 6∫ ( ) ( ) 7
∫ ( ) ( ) , ( )- , ( )- ∫ ( ) ( ) , ( )- , ( )- 5. Variansi
Definisi 2.28. Variansi Variabel Acak
Misalkan variabel acak dengan distribusi probabilitas yang telah diketahui dan rata-rata . Variansi adalah
( ) ,( ) - { ∑( ) ( ) ∫ ( ) ( )
Akar kuadrat positif dari ( ), disebut standar deviasi dari .
Contoh 2.29 (Variabel Acak Diskrit) Tentukan variansi dari contoh 2.26. Jawab:
Dari contoh 2.26 didapatkan ( ) ⁄ ( ) ⁄
( ) ⁄ ( ) ⁄ , dan ( ) ⁄ . Sehingga ( ) ∑. ⁄ / ( ) . ⁄ / . ⁄ / . ⁄ / . ⁄ / . ⁄ / . ⁄ / . ⁄ / . ⁄ /
Contoh 2.30 (Variabel Acak Kontinu) Tentukan variansi dari contoh 2.27. Jawab:
Dari contoh 2.27, didapatkan ( ) ⁄ . Sehingga ( ) ∫ ( ⁄ ) 4 5 ∫ 4 5 6 7 ( ) Teorema 2.15
Variansi dari variabel acak adalah
( ) ,( ) - ( ) Bukti
Untuk variabel acak diskrit,
( ) ∑( ) ( ) ∑( ) ( )
∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( )
Karena dari definisi 2.26 ∑ ( ) dan definisi 2.17 ∑ ( ) untuk setiap distribusi probabilitas diskrit, ini berarti
( ) ∑ ( ) ( )
Untuk variabel acak kontinu, ( ) ∫ ( ) ( )
∫ ( ) ( )
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
Karena dari definisi 2.26 ∫ ( ) dan definisi 2.21 ∫ ( ) untuk setiap distribusi probabilitas kontinu, ini berarti
( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) Jadi, terbukti ( ) ( ) . Teorema 2.16
Diberikan konstanta tak nol , maka ( ) ( ). Bukti: ( ) 0( ( )) 1 ,( ) - , - , - , - , - , - , - (, - ) ( ) Teorema 2.17
Diberikan konstanta tak nol , maka ( ) ( ). Bukti: ( ) 0(( ) ( )) 1 0(( ) ( )) 1 , - , -
, - ,( ) - ( )
Teorema 2.18
Diberikan suatu konstanta tak nol a, maka ( ) . Bukti:
( ) 0( ( )) 1 ,( ) - ( )
6. Probabilitas Marginal dan Probabilitas Bersyarat Definisi 2.29. Fungsi Probabilitas Marginal
Misalkan dan merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas bersama ( ) Maka fungsi probabilitas marginal dari dan adalah ( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) Contoh 2.31
Sebuah supermarket memiliki 3 konter pembayaran, yaitu konter 1, konter 2, dan konter 3. Dua pelanggan datang pada waktu yang berbeda ketika konter sepi. Setiap pelanggan memilih konter secara acak, saling bebas. Misalkan merupakan jumlah pelanggan yang memilih konter 1 dan jumlah pelanggan yang memilih konter 2. Tentukan fungsi probabilitas marginal dari dan .
Jawab:
Misalkan pasangan ( ) merupakan kejadian dimana pelanggan pertama memilih konter dan pelanggan kedua memilih konter , dengan
. Dari teorema 2.1 didapatkan ruang sampel yang terdiri dari titik sampel. Sehingga ruang sampelnya adalah
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ Bila masing-masing titik sampel berpeluang sama, maka ( ) merupakan fungsi probabilitas pelanggan pertama memilih konter dan pelanggan kedua memilih konter , adalah
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) sehingga ( ) dan ( ) adalah:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Didapatkan fungsi probabilitas marginal dari adalah ( ) ( ) ( ) dan fungsi probabilitas marginal dari adalah
( ) ( ) ( )
Definisi 2.30. Fungsi Probabilitas Bersama Diskrit Bersyarat
Jika dan merupakan variabel acak diskrit bersama dengan fungsi probabilitas bersama ( ) dan fungsi probabilitas marginal ( ) dan
( ), maka fungsi probabilitas diskrit bersyarat dari diberikan adalah ( | ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) Contoh 2.32
Dari contoh 2.31, tentukan distribusi bersyarat dari , diberikan . Jawab: ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( )
Sehingga, dalam supermarket tersebut jika satu pelanggan memilih konter 2 (jika ), maka pelanggan lain memilih konter 1 memiliki probabilitas tinggi (jika ).
Definisi 2.31. Nilai Harapan Bersyarat Variabel Acak Diskrit
Nilai harapan bersyarat dari variabel acak diskrit dan , diberikan , adalah ( | ) ∑ ( | ) dengan ( | ) | ( | ) ( ) ( )
Teorema 2.19
Dinotasikan ( | ) merupakan fungsi variabel acak yang nilainya pada adalah ( | ), sehingga dipenuhi salah satu sifat nilai harapan bersyarat
( ) , ( | )- jika variabel acak diskrit, maka
, ( | )- ∑ ( | ) ( ) Bukti: Akan dibuktikan ( ) ∑ ( | ) ( ), , ( | )- ∑ ( | ) ( ) ∑ ∑ ( | ) ( ) ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ( ) ( )
Definisi 2.32. Variansi Bersyarat
Variansi bersyarat dari diberikan , adalah ( | ) *, ( | )- | +
Teorema 2.20
Variansi probabilitas bersyarat memenuhi sifat
Bukti:
Akan dicari persamaan dari , ( | )-,
, ( | )- * ( | ) , ( | )- + ( ) 0( ( | )) 1 Akan dicari persamaan dari , ( | )-,
, ( | )- *, ( | )- + * , ( | )-+ *, ( | )- + , ( )- Didapatkan, , ( | )- , ( | ( ) *, ( | )- + *, ( | )- + , ( ( ) , ( ( ) 7. Kovariansi Definisi 2.33. Kovariansi
Jika dan merupakan variabel acak dengan rata-rata dan , kovariansi dari dan adalah
( ) ,( )( )-
Teorema 2.21
Jika dan merupakan variabel acak dengan rata-rata dan , maka ( ) ,( )( )- ( ) Bukti: ( ) ,( )( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Teorema 2.22
Jika dan merupakan variabel acak saling bebas, maka ( )
Jadi, variabel acak saling bebas tidak berkorelasi. Bukti:
Dari teorema 2.21 didapatkan
( ) ( ) Karena dan saling bebas, dari teorema 2.14 didapatkan
( ) ( ) ( ) Sehingga,
( ) ( )
Contoh 2.33
Misalkan dan mempunyai fungsi densitas bersama ( ) { Tentukan kovariansi dari dan .
Jawab: ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ( 7 ) ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ -
∫
Dari contoh 2.28, didapatkan ( ) , sehingga ( ) ( )
( ) ( )
Jadi dan merupakan variabel acak saling bebas yang tidak berkorelasi.
Definisi 2.34. Fungsi Linear
Jika merupakan konstanta, fungsi linear untuk variabel acak adalah
∑
Teorema 2.23
Misalkan dan merupakan variabel acak dengan ( ) dan ( ) . Didefinisikan
∑
∑
untuk konstanta dan . Maka berlaku a. ( ) ∑
b. ( ) ∑ ( ) ∑ ∑ ( )
dengan penjumlahan ganda untuk semua ( ) pasang dengan . c. ( ) ∑ ∑ ( ). Bukti: a. Didapatkan ( ) (∑ )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ b. Didapatkan ( ) , ( [∑ ∑ ] [∑ ( )] [ ∑ ( ) ∑ ∑ ( )( ) ] ∑ ( ) ∑ ∑ [( )( )] ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) karena ( ) ( ), maka ( ) ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) c. Didapatkan ( ) *, ( )-, ( )-+ *(∑ ∑ ) (∑ ∑ )+
,[∑ ( )] *∑ ( )+- *∑ ∑ ( ) ( )+ ∑ ∑ [( )( )] ∑ ∑ ( )
C. Distribusi Penarikan Sampel
Distribusi penarikan sampel dari sebuah statistik tergantung pada distribusi dari populasi, ukuran sampel, dan metode pemilihan sampel.
Definisi 2.35. Distribusi Probabilitas Bersama Sampel Acak
Misalkan variabel acak yang saling bebas, masing-masing memiliki distribusi probabilitas ( ) yang sama. Didefinisikan sebagai sampel acak berukuran dari populasi ( ) dan distribusi probabilitas bersamanya adalah
( ) ( ) ( ) ( )
Definisi 2.36. Statistik
Statistik adalah fungsi dari variabel acak yang diobservasi dalam sampel acak. Statistik digunakan untuk membuat kesimpulan (pendugaan atau keputusan) mengenai parameter populasi yang tidak diketahui. Karena semua statistik merupakan fungsi dari variabel acak yang diamati dalam sampel, maka semua statistik merupakan variabel acak. Karena itu, semua statistik memiliki distribusi probabilitas yang merupakan distribusi penarikan sampel.
Teorema 2.24
Misalkan merupakan variabel acak saling bebas dengan ( ) dan ( ) . Maka,
̅ ∑
memiliki rata-rata ( ̅) dan variansi ( ̅) ⁄ Bukti:
Karena ̅ merupakan fungsi linear dari dengan semua konstanta , yaitu
̅ ∑ ( ) ( ) ( )
Dengan teorema 2.23(a), ( ̅) ∑ ∑ ∑ ∑ Dengan teorema 2.23(b), ( ̅) ∑ ( ) ∑ ∑ ( )
Semua kovarian bernilai nol, karena variabel acak saling bebas. Oleh karena itu didapatkan ( ̅) ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ D. Pendugaan Parameter
Setiap populasi memiliki karakteristik yang dinyatakan dengan sebuah bilangan yang disebut parameter. Parameter yang menjadi objek penelitian disebut parameter sasaran. Tujuan dari penelitian statistik adalah untuk menduga satu atau lebih parameter yang relevan. Distribusi penarikan sampel memiliki peran yang penting dalam pendugaan parameter.
Definisi 2.37. Penduga
Sebuah penduga merupakan aturan yang sering kali dinyatakan dalam rumus, yang menghitung nilai dari sebuah penduga berdasarkan pengukuran-pengukuran yang termuat dalam sampel.
Salah satu penduga adalah penduga titik. Penduga titik merupakan penduga yang menghasilkan nilai tunggal dalam menduga parameternya.
Contoh 2.34
Rata-rata sampel dinyatakan dengan rumus ̅ ∑
merupakan salah satu penduga titik dari rata-rata populasi .
Penduga titik yang baik harus memenuhi sifat tak bias atau memiliki bias sekecil mungkin, maksudnya adalah menduga distribusi penarikan sampel agar sama dengan parameter yang diduga yaitu ( ̂) Diandaikan adalah titik yang digunakan untuk menduga parameter populasi. Penduga dari akan disimbolkan dengan ̂.
Definisi 2.38. Penduga Tak Bias untuk Penduga Titik
Misalkan ̂ merupakan penduga titik untuk parameter . Maka ̂ merupakan penduga tak bias jika ( ̂) . Jika ( ̂) , maka ̂ dikatakan bias.
Definisi 2.39. Variansi Populasi dalam Penarikan Sampel
Misalkan merupakan populasi, maka variansi dari sebuah populasi adalah
∑( ̅ )
Definisi 2.40. Variansi Sampel
Misalkan merupakan sampel acak, maka variansi sampel adalah ∑( ̅)
dengan ̅ merupakan rata-rata sampel.
Teorema 2.25
Misalkan merupakan sampel acak dengan ( ) dan ( ) . Maka
∑( ̅)
merupakan penduga tak bias untuk . Bukti:
Berdasarkan definisi 2.38 akan ditunjukkan bahwa ( ) , ( ) [ ∑( ̅) ] [∑( ̅) ] [∑( ̅ ̅ ) ] [∑ ∑ 4∑ 5 4∑ 5 ] [∑ 4∑ 5 ∑ ] [∑ ̅ ] [ (∑ ) ( ̅ )]
Menurut teorema 2.15 ( ) ( ) sehingga ( ) ( ) ( ) , ( )- dapat juga ditulis ( ) ( ) , ( )- , ( ̅ ) ( ̅) , ( ̅)- Didapatkan, [∑ ( ) ( ̅ )] [∑( ) 4 5 ] , ( ) - ( ) ( )
Jadi, terbukti bahwa merupakan penduga tak bias dari .
Definisi 2.41. Bias Penduga Titik Bias dari penduga titik ̂ adalah
( ̂) ( ̂) .
Definisi 2.42. Rata-Rata Kuadrat Galat Penduga Titik
Rata-rata kuadrat galat (Mean Squared Error) dari penduga titik ̂ adalah ( ̂) 0( ̂ ) 1
Definisi 2.43. Variansi Penduga Titik Variansi dari penduga titik ̂ adalah
( ̂) [. ̂ ( ̂)/ ]
Teorema 2.26
( ̂) ( ̂) [ ( ̂)] Bukti: ( ̂) 0( ̂ ) 1 0( ̂ ( ̂) ( ̂) ) 1 {0. ̂ ( ̂)/ ( ( ̂) )1 } [. ̂ ( ̂)/ . ̂ ( ̂)/ ( ( ̂) ) ( ( ̂) ) ] [. ̂ ( ̂)/ ] 0 . ̂ ( ̂)/ ( ( ̂) )1 0( ( ̂) ) 1 ( ̂) 0. ̂ ( ̂)/ ( ( ̂) )1 [ ( ̂)] ( ̂) [ ( ̂)] ( ̂) [ ( ̂)]
Definisi 2.44. Galat Baku
Galat baku (Standard Error) dari penduga titik ̂, dinotasikan dengan ( ̂) √ ( ̂)
Teorema 2.27
Variansi dari penduga titik ̂ memenuhi
( ̂) ( ̂ ) [ ( ̂)] Bukti: ( ̂) [. ̂ ( ̂)/ ] [ ̂ ̂ ( ̂) . ( ̂)/ ] ( ̂ ) [ ̂ ( ̂)] [ ( ̂)] ( ̂ ) ( ̂) ( ̂) [ ( ̂)]
( ̂ ) [ ( ̂)] [ ( ̂)] ( ̂ ) [ ( ̂)]
E. Istilah-Istilah dalam Penarikan Sampel
Sampel yang baik harus representatif yang berarti karakteristik dari populasi dapat diwakili atau diduga dari sampel dengan derajat akurasinya yang diketahui. Berikut akan disebutkan beberapa istilah dalam penarikan sampel beserta definisinya.
Definisi 2.45. Populasi
Populasi merupakan kumpulan/agregat dari elemen-elemen, dengan kesimpulan akan dibuat.
Contoh 2.35
Sebuah partai politik A ingin mengetahui dengan proporsi suara yang mungkin didapatkan sehingga sebagai evaluasi apakah perkiraannya masuk dalam pemilihan daerah. Populasinya merupakan kumpulan semua pemilih yang terdaftar di daerah tersebut.
Perlu dicatat bahwa populasi yang sama akan memiliki himpunan pengukuran yang berbeda untuk variabel yang berbeda yang akan dipelajari.
Populasi disebut berhingga atau tidak berhingga, tergantung pada banyaknya unit-unit dari populasi. Populasi pemilih yang terdaftar dalam contoh 2.35 merupakan populasi berhingga. Populasi air dalam tangki atau lembaran logam dapat dipertimbangkan sebagai populasi tidak berhingga berdasarkan dari jumlah molekulnya.
Definisi 2.46. Sampel
Sampel merupakan himpunan bagian dari populasi yang dipilih dari kerangka penarikan sampel untuk menarik kesimpulan tentang karakteristik populasi. Banyaknya unit yang dipilih untuk sampel kurang dari ukuran populasi.
Contoh 2.36
Dari contoh 2.35, pilihan untuk partai A hanya akan ditanyakan dari pemilih yang terdaftar dan terpilih sebagai sampel. Informasi ini kemudian akan digunakan untuk menentukan penduga proporsi semua suara (populasi) yang didapatkan partai A.
Definisi 2.47. Unit Pengamatan
Unit pengamatan merupakan sebuah obyek yang akan diukur, yang merupakan unit dasar pengamatan, dapat disebut sebagai elemen.
Dalam mempelajari populasi manusia, unit-unit pengamatan sering kali merupakan individual-individual.
Contoh 2.37
Survei nasional korban kekerasan dimaksudkan untuk mempelajari tingkat korban. Survei dikelola oleh biro sensus U.S. dan biro statistik keadilan. Jika karakteristik yang dipelajari merupakan jumlah total penghuni rumah di U.S. yang menjadi korban kejahatan tahun lalu, maka elemen-elemennya merupakan penghuni rumah dapat menjadi unit pengamatan.
Definisi 2.48. Populasi Sasaran
Populasi sasaran merupakan himpunan yang lengkap dari pengamatan yang ingin dipelajari.
Contoh 2.38
Dari contoh 2.37, yang menjadi populasi sasaran adalah semua penghuni rumah di U.S.
Definisi 2.49. Kerangka Sampel
Kerangka sampel merupakan daftar, peta, atau rincian lain dari unit penarikan sampel dalam populasi yang mungkin terpilih.
