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“„Š517.98

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€. ƒ. Šãáà ¥¢, ‘. ‘. Šãâ â¥« ¤§¥

Ž¡§®àᮢ६¥­­®£®á®áâ®ï­¨ï¨áá«¥¤®¢ ­¨©¢®¡« áâ¨ä㭪樮­ «ì­®£® ­ «¨§ ,à §¢¨¢ îé¨å

í¢à¨áâ¨ç¥áª¨©¯à¨­æ¨¯‹.‚.Š ­â®à®¢¨ç .Žá®¡®¥¢­¨¬ ­¨¥ã¤¥«¥­®¢­ãâ७­¨¬¢§ ¨¬®á¢ï§ï¬

¯à®áâà ­á⢊ ­â®à®¢¨ç , «£¥¡àã«ï¨ª®­â¨­ãã¬-¯à®¡«¥¬ëŠ ­â®à .

1. ‚¢¥¤¥­¨¥

 ãç­®¥­ á«¥¤¨¥‹.‚.Š ­â®à®¢¨ç ®£à®¬­®. …£®¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨¥¨áá«¥¤®¢ ­¨ï

®ª § «¨äã­¤ ¬¥­â «ì­®¥¢«¨ï­¨¥­ áâ ­®¢«¥­¨¥¨à §¢¨â¨¥ä㭪樮­ «ì­®£®

 ­ «¨-§ ,¢ëç¨á«¨â¥«ì­®©¬ â¥¬ â¨ª¨,⥮ਨíªáâ६ «ì­ë姠¤ ç,¤¥áªà¨¯â¨¢­®©â¥®à¨¨

ä㭪権. ‹. ‚.Š ­â®à®¢¨ç¯®¯à ¢ã ¢å®¤¨â¢ç¨á«®®á­®¢®¯®«®¦­¨ª®¢á®¢à¥¬¥­­®£®

íª®­®¬¨ª®-¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£® ­ ¯à ¢«¥­¨ï.

‘â®«ì ¢¯¥ç â«ïî饥 ¬­®£®®¡à §¨¥ ­ ¯à ¢«¥­¨© ¨áá«¥¤®¢ ­¨© ®¡ê¥¤¨­ï¥âáï

­¥â®«ìª®«¨ç­®áâìî‹.‚. Š ­â®à®¢¨ç ,­®¨¥¤¨­á⢮¬ ¥£®¬¥â®¤¨ç¥áª¨åãáâ ­®¢®ª.

Ž­¢á¥£¤  ¯®¤ç¥àª¨¢ «¢­ãâ७­¥¥ ¥¤¨­á⢮᢮¥£® ⢮àç¥á⢠, ¢§ ¨¬®¯à®­¨ª­®¢¥­¨¥

¨¤¥© ¨ ¬¥â®¤®¢, ¨á¯®«ì§ã¥¬ëå ¨¬ ¯à¨ à¥è¥­¨¨ á ¬ëå à §­®®¡à §­ëå ⥮à¥â¨ç¥áª¨å

¨ ¯à¨ª« ¤­ëå¯à®¡«¥¬ ¢ ¬ â¥¬ â¨ª¥ ¨ íª®­®¬¨ª¥. ‚¬¥á⥠á ⥬ å à ªâ¥à­®©ç¥à⮩

⢮àç¥á⢠‹. ‚. Š ­â®à®¢¨ç ï¢«ï¥âáï ¥£®â¥á­ ï ¢§ ¨¬®á¢ï§ì á­ ¨¡®«¥¥âà㤭묨

¯à®¡«¥¬ ¬¨¨á ¬ë¬¨¯¥àᯥªâ¨¢­ë¬¨¨¤¥ï¬¨á®¢à¥¬¥­­®©¥¬ã¬ â¥¬ â¨ª¨¨

íª®­®-¬¨ª¨. €­ «¨§ ¬¥â®¤®«®£¨¨ ⢮àç¥á⢠ ‹. ‚. Š ­â®à®¢¨ç  § á«ã¦¨¢ ¥â ᯥ樠«ì­ëå

¨áá«¥¤®¢ ­¨©. ¨¦¥ ¬ë®áâ ­®¢¨¬áï ª®à®âª® «¨èì­  ­¥ª®â®àëå äã­¤ ¬¥­â «ì­ëå

¨¤¥ïå ‹. ‚. Š ­â®à®¢¨ç  ª®â®àë¥, ­¥á®¬­¥­­®, á«¥¤ã¥â ®â­¥á⨠ª «ãç訬 ®¡à §æ ¬

¬ â¥¬ â¨ª¨¤¢ ¤æ â®£®á⮫¥â¨ï. à¨í⮬®£à ­¨ç¨¬áﮡ§®à®¬á®¢à¥¬¥­­®£®

á®áâ®-ï­¨ï¨áá«¥¤®¢ ­¨© ¢®¡« áâ¨ä㭪樮­ «ì­®£®  ­ «¨§ ,à §¢¨¢ îé¨åí¢à¨áâ¨ç¥áª¨©

¯à¨­æ¨¯ ‹. ‚. Š ­â®à®¢¨ç , á®á।®â®ç¨¢ ¢­¨¬ ­¨¥ ­  ¯®£à ­¨ç­ëå ¢®¯à®á å

⥮-ਨ ¯à®áâà ­á⢠Š ­â®à®¢¨ç  ¨ ¯à¨«®¦¥­¨©, ¡ã«¥¢®§­ ç­®£®  ­ «¨§  ¨ ¢ë¯ãª«®£®

 ­ «¨§ . Žá®¡®¥ ¢­¨¬ ­¨¥ 㤥«¥­® ¢­ãâ७­¨¬ ¢§ ¨¬®á¢ï§ï¬ ¯à®áâà ­áâ¢

Š ­â®à®-¢¨ç ,  «£¥¡à ã«ï ¨ ª®­â¨­ãã¬-¯à®¡«¥¬ë Š ­â®à . Ž¡§®à ¤àã£¨å  á¯¥ªâ®¢ ­ ãç­®£®

­ á«¥¤¨ï ‹. ‚. Š ­â®à®¢¨ç  á¬. ¢ [26, 41]. ‡¤¥áì ®â¬¥â¨¬ «¨èì ­¥áª®«ìª® à ¡®â

‹.‚. Š ­â®à®¢¨ç [23,24, 25,29],ª ¦¤ ï¨§ ª®â®àë寮á«ã¦¨« äã­¤ ¬¥­â «ì­ë¬¨

¢ª« ¤®¬¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 à §¤¥«¬ â¥¬ â¨ª¨ ¨íª®­®¬¨ª¨.

2. ã«¥¢ë  «£¥¡àë

Žá­®¢­ë¬ ®¡ê¥ªâ®¬ ­ è¥£® à áᬮâ७¨ï á«ã¦¨â K-¯à®áâà ­á⢮ ¨«¨, ¯®«­¥¥,

¯à®áâà ­á⢮ Š ­â®à®¢¨ç . ¥à §«ãç­®©á¯ã⭨楩 K-¯à®áâà ­á⢠ ï¥âáï

 «£¥¡-à  ã«ï. à®áâà ­á⢠ Š ­â®à®¢¨ç  ¨  «£¥¡àë ã«ï ¡ë«¨ ᮧ¤ ­ë ¢ à §­ë¥ í¯®å¨,

¤«ï ®¡á«ã¦¨¢ ­¨ï à §­®£® ªà㣠 § ¤ ç ¨ ­  ®á­®¢¥ à §«¨ç­ëå ⥮à¥â¨ç¥áª¨å

áâàãªâãà, ®ª § «¨áì ¢§ ¨¬®á¢ï§ ­­ë¬¨ ­ á⮫쪮, çâ® ¯® ᥩ ¤¥­ì ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¨å

¯«®¤®â¢®à­®¥¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥. ‚í⮩á¢ï§¨á«¥¤ã¥â ª®à®âª®®áâ ­®¢¨âìáï­  ¯®­ï⨨

¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë.

’¥®à¨ï ¡ã«¥¢ëå  «£¥¡à ¡¥à¥â ᢮¥ ­ ç «®®â ª« áá¨ç¥áª®£® á®ç¨­¥­¨ï „¦. ã«ï

ýˆáá«¥¤®¢ ­¨¥ § ª®­®¢¬ë᫨,­ ª®â®àëå®á­®¢ ­  ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨¥â¥®à¨¨«®£¨ª¨¨

⥮ਨ¢¥à®ïâ­®á⥩þ,¨§¤ ­­®£®¢1854 £®¤ã,á¬.[52]. –¥«ì¨§ ¤ ç¨í⮩ª­¨£¨ ¢â®à

áä®à¬ã«¨à®¢ « â ª: ý‚ ¯à¥¤« £ ¥¬®¬ ¢­¨¬ ­¨î ç¨â â¥«¥© âà ªâ â¥ ¬ë

­ ¬¥à¥¢ -¥¬áï ¨áá«¥¤®¢ âì äã­¤ ¬¥­â «ì­ë¥ § ª®­ë â¥å ®¯¥à æ¨©, ª®â®àë¥ á®¢¥àè ¥â à §ã¬

¢ ¯à®æ¥áᥠà áá㦤¥­¨©, ¤ ¡ë ¢ëà §¨âì ¨å ¢ ᨬ¢®«¨ç¥áª®¬ ï§ëª¥ ¨áç¨á«¥­¨ï ¨ ­ 

í⮩ ®á­®¢¥ ¯®áâநâì­ ãªã «®£¨ª¨ ¨ ¥¥ ¬¥â®¤þ. ‘«¥¤ãï â ª®© ãáâ ­®¢ª¥, „¦. ã«ì

¯à®¢¥«, ¯®áãé¥áâ¢ã, «£¥¡à ¨§ æ¨î ⮩«®£¨ç¥áª®©á¨á⥬ë, ª®â®à ï«¥¦¨â¢®á­®¢¥

ª« áá¨ç¥áª¨å¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨åà áá㦤¥­¨©. ’ ª¨¬®¡à §®¬¢®§­¨ª«  «£¥¡à ¨ç¥áª ï

áâàãªâãà , ¨¬¥­ã¥¬ ï ­ë­¥ ¡ã«¥¢®©  «£¥¡à®© ¨«¨, ०¥,  «£¥¡à®© ã«ï.  ¯®¬­¨¬

®¯à¥¤¥«¥­¨¥¡ã«¥¢®© «£¥¡àë.

“¯®à冷祭­®¥ ¬­®¦¥á⢮ X ­ §ë¢ îâ à¥è¥âª®©, ¥á«¨ «î¡ ï ¯ à  í«¥¬¥­â®¢

x ¨ y ¨§ X ¨¬¥¥â ª ª áã¯à¥¬ã¬ x_y:= supfx;yg, â ª ¨ ¨­ä¨¬ã¬ x^y:= inffx;yg.

(‡¤¥á쨭¨¦¥á¨¬¢®«:=®§­ ç ¥âýà ¢­ï¥âáﯮ®¯à¥¤¥«¥­¨îþ.) ¥è¥âªãX­ §ë¢ îâ

¤¨áâਡã⨢­®©, ¥á«¨

(x_y)^z=(x^z)_(y^z)

¤«ï «î¡ëå ¥¥ âà¥å í«¥¬¥­â®¢ x, y ¨ z. „®¯ãá⨬, çâ® ¢ à¥è¥âª¥ ¨¬¥îâáï

­ ¨¡®«ì-è¨©í«¥¬¥­â 1 ¨ ­ ¨¬¥­ìè¨©í«¥¬¥­â 0. «¥¬¥­â x

­ §ë¢ îâ ¤®¯®«­¥­¨¥¬ x, ¥á«¨

x_x

= 1 ¨ x^x

= 0. ‚ á«ãç ¥, ª®£¤  ¤«ï ª ¦¤®£® í«¥¬¥­â  x 2 X áãé¥áâ¢ã¥â

¤®¯®«­¥­¨¥,£®¢®àïâ,çâ®X ¥áâìà¥è¥âª á¤®¯®«­¥­¨ï¬¨. à¨í⮬ª ¦¤ë©í«¥¬¥­â

¨¬¥¥â ¥¤¨­á⢥­­®¥ ¤®¯®«­¥­¨¥, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¢®§­¨ª ¥â ®â®¡à ¦¥­¨¥ ()

: x 7! x

(x2 X). ã«¥¢®©  «£¥¡à®© ­ §ë¢ îâ ¤¨áâਡã⨢­ãîà¥è¥âªã á ¤®¯®«­¥­¨ï¬¨. ’

 -ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¡ã«¥¢®©  «£¥¡à¥ ¨¬¥îâáï ¤¢  ¢ë¤¥«¥­­ëå (®á®¡ëå) í«¥¬¥­â  0 ¨ 1,

­ §ë¢ ¥¬ë¥ ­ã«¥¬ ¨ ¥¤¨­¨æ¥©, ¨ âਠ®¯¥à æ¨¨ | ¤¢¥ ¤¢ã嬥áâ­ë¥ ®¯¥à æ¨¨ _, ^ ¨

®¤­  ®¤­®¬¥áâ­ ï ®¯¥à æ¨ï(),¯à¨ç¥¬¢ë¯®«­ïîâáï ¯à ¢¨« ( ªá¨®¬ë):

(1) ª®¬¬ãâ â¨¢­ë¥ § ª®­ë

x_y=y_x; x^y=y^x;

(2)  áá®æ¨ â¨¢­ë¥ § ª®­ë

(x_y)_z=x_(y_z); (x^y)^z=x^(y^z);

(3) ¤¨áâਡã⨢­ë¥ § ª®­ë

(x_y)^z=(x_z)^(y_z); (x^y)_z=x^z)_(y^z);

(4) § ª®­ë¯®£«®é¥­¨ï ( ¡á®à¡æ¨¨)

x_(x^y)=x; x^(x_y)=x;

(6) ᢮©á⢠ ¤®¯®«­¥­¨ï

x_x

=1; x^x

=0:

ã«¥¢ã  «£¥¡à㬮¦­®®¯à¥¤¥«¨âì¨ ª ª  «£¥¡à ¨ç¥áªãîá¨á⥬ã

(B;_;^;()

;0;1);

£¤¥B|¬­®¦¥á⢮,_¨^|¤¢ã嬥áâ­ë¥®¯¥à æ¨¨¢B,()

|®¤­®¬¥á⭠ﮯ¥à æ¨¨

¢B,0¨1|䨪á¨à®¢ ­­ë¥í«¥¬¥­â먧B,¤«ïª®â®à®©¢ë¯®«­¥­ë ªá¨®¬ë(1){(6).

ã«¥¢ã  «£¥¡àã­ §ë¢ î⯮«­®©,¥á«¨¢­¥©«î¡®¥¯®à浪®¢® ®£à ­¨ç¥­­®¥

¬­®-¦¥á⢮ ¨¬¥¥âáã¯à¥¬ã¬¨ ¨­ä¨¬ã¬.

à¨¬¥à®¬ ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë á«ã¦¨â ᮢ®ªã¯­®áâì ¢á¥å ¯®¤¬­®¦¥áâ¢

­¥ª®â®à®-£® 䨪á¨à®¢ ­­®£® ­¥¯ãá⮣® ¬­®¦¥á⢠ X, ª®â®àãî ¯à¨­ïâ® ®¡®§­ ç âì ᨬ¢®«®¬

P(X). à¨ í⮬ ¯®¤ ¡ã«¥¢ë¬¨ ®¯¥à æ¨ï¬¨ ¯®­¨¬ îâáï ⥮à¥â¨ª®-¬­®¦¥á⢥­­ë¥

®¯¥à æ¨¨ ®¡ê¥¤¨­¥­¨ï A _B := A[C, ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï A^B := A\C ¨ ¤®¯®«­¥­¨ï

A

:=XnA. ã«¥¬ ¢ P(X) á«ã¦¨â ¯ãá⮥¬­®¦¥á⢮,   ¥¤¨­¨æ¥© | á ¬® X. ã«¥¢ 

 «£¥¡à  P(X) ¯®«­ . — áâì ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë P(X) ­ §ë¢ îâ ¯®«¥¬ ¬­®¦¥áâ¢, ¥á«¨

®­  ᮤ¥à¦¨â ¯ãá⮥ ¬­®¦¥á⢮, ¢á¥ ¬­®¦¥á⢮ X ¨ § ¬ª­ãâ  ®â­®á¨â¥«ì­®

㪠§ ­-­ëå ⥮à¥â¨ª®-¬­®¦¥á⢥­­ëå ®¯¥à æ¨©. ®«¥ ¬­®¦¥á⢠ï¥âáï ¡ã«¥¢®©  «£¥¡à®©

á ⥬¨ ¦¥ ¡ã«¥¢ë¬¨ ®¯¥à æ¨ï¬¨, ç⮨ ¢ P(X). Ž¤¨­ ¨§ ¢ ¦­¥©è¨å⥮६ ⥮ਨ

¡ã«¥¢ëå «£¥¡àã⢥ত ¥â,ç⮢á猪ï¡ã«¥¢  «£¥¡à ¬®¦¥â¡ëâìॠ«¨§®¢ ­ ¢¢¨¤¥

¯®«ï¬­®¦¥áâ¢. â®âä ªâãáâ ­®¢¨«Œ. ‘â®ã­ ¢1936 £.

ã«¥¢ë «£¥¡à먬¥î⬭®£®ç¨á«¥­­ë¥á¢ï§¨áà §«¨ç­ë¬¨­ ¯à ¢«¥­¨ï¬¨

¬ â¥-¬ â¨ç¥áª®©­ ãª¨. Ž¡é¥â¥®à¥â¨ç¥áª®¥¨¯à¨ª« ¤­®¥§­ ç¥­¨¥¡ã«¥¢ëå «£¥¡à

®¯à¥¤¥-«ï¥âáï⮩áãé¥á⢥­­®©à®«ìî,ª®â®àãî®­¨¨£à î⢬ â¥¬ â¨ç¥áª®©«®£¨ª¥,⥮ਨ

¢¥à®ïâ­®á⥩ ¨ ª¨¡¥à­¥â¨ª¥. †¨¢® ¨ 㢫¥ª â¥«ì­® ® ¡ã«¥¢ëå  «£¥¡à å à á᪠§ ­® ¢

ª­¨£¥ [48] (á¬. â ª¦¥ ¯à®æ¨â¨à®¢ ­­ãî â ¬ «¨â¥à âãàã). „«ï ¯¥à¢®­ ç «ì­®£®

§­ -ª®¬á⢠ á ⥮ਥ© ¬­®¦¥áâ¢, ¡ã«¥¢ë¬¨  «£¥¡à ¬¨ ¨ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© «®£¨ª®© ¬®¦¥â

¯®á«ã¦¨âì ª­¨£  [46]. Žá­®¢ â¥«ì­®¥ ¨§«®¦¥­¨¥ ⥮ਨ ¡ã«¥¢ëå  «£¥¡à ¨¬¥¥âáï ¢

¬®­®£à ä¨ïå [7, 45, 55]. ­æ¨ª«®¯¥¤¨ç¥áª®¥ ¨§«®¦¥­¨¥ ⥮ਨ ¡ã«¥¢ëå  «£¥¡à á¬.

¢ [67].

3. ‚®§­¨ª­®¢¥­¨¥ ¯à®áâà ­á⢠Š ­â®à®¢¨ç 

ƒ« ¢­ë¬á¢®¨¬¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨¬¤®á⨦¥­¨¥¬‹.‚.Š ­â®à®¢¨ç áç¨â «à §¢¨â¨¥

⥮ਨK-¯à®áâà ­á⢢ à ¬ª åä㭪樮­ «ì­®£®  ­ «¨§ . “áâ ­®¢«¥­­ë¥ ¨¬

⥮à¥-¬ë® áâ஥­¨¨K-¯à®áâà ­á⢠¨à¥£ã«ïà­ë宯¥à â®à®¢ ¢­¨å ¢®è«¨¢ §®«®â®©ä®­¤

ᮢ६¥­­®©¬ â¥¬ â¨ª¨. ‚®á­®¢¥ ¥£®  ¡áâࠪ⭮£® ¨¤¥©­®£® ­ á«¥¤¨ï«¥¦¨â

¯à¥¤-«®¦¥­­ ï ¨¬ ª®­æ¥¯æ¨ï K-¯à®áâà ­á⢠, ¯à¥¤áâ ¢«ïîé ï ᮡ®© ᨭ⥧ ¤¢ãå

äã­¤ -¬¥­â «ì­ëå ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨å ¯®­ï⨩ | ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë ¨ ¤¥©á⢨⥫쭮£® ç¨á« .

‚á ¬®¬ ¤¥«¥, í«¥¬¥­â K-¯à®áâà ­á⢠ ¬®¦­® âࠪ⮢ â쪠ª ¤¥©á⢨⥫쭮¥ ç¨á«®,

ýà §¬ § ­­®¥þ­ ¤ ¡ã«¥¢®© «£¥¡à®©. ‘¯®á®¡â ª®©âࠪ⮢ª¨|£«ã¡®ª ï

¬ â¥¬ â¨-ç¥áª ï ⥮à¨ïá ¡®£ âë¬ á¯¥ªâ஬ ¯à¨«®¦¥­¨©, ª®â®à ï®á¢¥é¥­  ¢ ¬®­®£à ä¨ïå [1,

8, 27, 28, 61, 65]. Ž¤­ ª® ¨áâ®à¨ç¥áª¨®á­®¢­®© ®¡ê¥ªâ⥮ਨ | K-¯à®áâà ­á⢮ |

¢®§­¨ª«® ­ ¨­®©¨¤¥©­®© ®á­®¢¥. Ž¡à â¨¬áïª ¨á⮪ ¬K-¯à®áâà ­áâ¢.

‚ ¨áâ®à¨¨ ä㭪樮­ «ì­®£®  ­ «¨§  ¢®§­¨ª­®¢¥­¨¥ ⥮ਨ 㯮à冷祭­ëå

¢¥ªâ®à­ëå ¯à®áâà ­á⢠á¢ï§ë¢ îâ á ¨¬¥­ ¬¨ ƒ. ¨àª£®ä , ‹. ‚. Š ­â®à®¢¨ç ,

à §-¨áá«¥¤®¢ ­¨ï¯® 㯮à冷祭­ë¬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬á¨á⥬ ¬. ¥ª®â®à륯®­ïâ¨ï¨

¬¥-⮤ë,¢®§­¨ªè¨¥¯¥à¢®­ ç «ì­®¤«ï®¡é¨åà¥è¥â®ª,à¥è¥â®ç­®ã¯®à冷祭­ëå£à㯯

¨ ª®«¥æ, ¡ë«¨ ãᯥ譮 ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ¢ ⥮ਨ ¢¥ªâ®à­ëå à¥è¥â®ª, á¬. ¬®­®£à ä¨¨

ƒ. ¨àª£®ä  [2], ‹. ”ãªá  [47] ¨ ƒ. ƒà¥âæ¥à  [13]. Ž¤­ ª® ¤«ï ‹. ‚. Š ­â®à®¢¨ç 

à¥è î饥§­ ç¥­¨¥ ¨¬¥«®¢á¥ ¦¥ à §¢¨â¨¥ä㭪樮­ «ì­®£®  ­ «¨§ .

‚ ¤¢ ¤æ âë¥ £®¤ë ¯à®è«®£® ¢¥ª , ª®£¤  ä㭪樮­ «ì­ë©  ­ «¨§ ¨­â¥­á¨¢­®

®ä®à¬«ï«áï ¢ á ¬®áâ®ï⥫쭮¥ ­ ãç­®¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥, ®á­®¢­ë¬¨ ᨭ⥧¨àãî騬¨

¯®­ïâ¨ï¬¨ áâ «¨ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ¨ ®£à ­¨ç¥­­ë© «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à.

ˆ¬¥­­® á í⨬¨®¡ê¥ªâ ¬¨ ¡ë«¨ á¢ï§ ­ë ¢ ¦­¥©è¨¥  ¡áâà ªâ­ë¥¯®áâ஥­¨ï

äã­ª-樮­ «ì­®£®  ­ «¨§ . ‚ â® ¦¥ á ¬®¥ ¢à¥¬ï §­ ç¨â¥«ì­ë¥ ãᨫ¨ï ¡ë«¨ ­ ¯à ¢«¥­ë

­  ­ ª®¯«¥­¨¥ ä ªâ¨ç¥áª®£® ¬ â¥à¨ «  | ®á¬ëá«¥­¨¥ ®¡é¨å ¯®­ï⨩¢ ª®­ªà¥â­ëå

á¨âã æ¨ïå. ‚ç áâ­®áâ¨,¡®«ì讥§­ ç¥­¨¥¯à¨®¡à¥â «® ­ «¨â¨ç¥áª®¥¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥

«¨­¥©­ëåä㭪樮­ «®¢¨®¯¥à â®à®¢¢ ª®­ªà¥â­ë孮ନ஢ ­­ëå¯à®áâà ­á⢠å.

‚믮«­¥­­ë¥¢ 1934 £. à ¡®âë‹. ‚. Š ­â®à®¢¨ç  ¨ ƒ.Œ. ”¨å⥭£®«ìæ ¯®

¯à®-¡«¥¬¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï «¨­¥©­ëå ä㭪樮­ «®¢¨ ®¯¥à â®à®¢ «¨áì ¯¥à¢ë¬¨

¨áá«¥-¤®¢ ­¨ï¬¨ à®áá¨©áª¨å ¬ â¥¬ â¨ª®¢ ¯® ⥮ਨ ­®à¬¨à®¢ ­­ëå ¯à®áâà ­áâ¢. Š ⮬ã

¢à¥¬¥­¨(¢ 1927{1934 ££.) ‹. ‚. Š ­â®à®¢¨ç § à¥ª®¬¥­¤®¢ « á¥¡ï ª ª ¡«¥áâï騩

 ­ -«¨â¨ª,¯®«ã稢訩à勞¥à¢®ª« áá­ëå१ã«ìâ â®¢¢â ª¨åâà ¤¨æ¨®­­ëå¢â®¢à¥¬ï

®¡« áâïå ª ªâ¥®à¨ïä㭪権,⥮à¨ï¬­®¦¥áâ¢,¯à¨¡«¨¦¥­­ë¥¬¥â®¤ë ­ «¨§ .

Œ®-«®¤®£® â « ­â«¨¢®£® ¬ â¥¬ â¨ª  (¢ 1934 £®¤ã ‹¥®­¨¤ã ‚¨â «ì¥¢¨çã ¡ë«® ¢á¥£® 22

£®¤ ), § ­ï¢è¥£®áï ä㭪樮­ «ì­ë¬  ­ «¨§®¬, ª § «®áì ¡ë, á ¬  áã¤ì¡ 

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¯®-áâ஥­¨ï ä㭪樮­ «ì­®£®  ­ «¨§ ®­ ¢¢¥« ­®¢ë© ®¡ê¥ªâ | K-¯à®áâà ­á⢮. ’ ª®©

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¬®¦­® ᪫ ¤ë¢ âì ¨ 㬭®¦ âì ­  ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥ ç¨á« . ®á«¥¤­¥¥ ®§­ ç ¥â, çâ®

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…᫨㯮à冷祭­®¥¢¥ªâ®à­®¥¯à®áâà ­á⢮ï¥âáïà¥è¥âª®©,â® ¥£®­ §ë¢ îâ

¢¥ªâ®à­®©à¥è¥âª®© ¨«¨,ª ª¯à¨­ï⮢§ ¯ ¤­®©«¨â¥à âãà¥,¯à®áâà ­á⢮¬¨áá .

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¬­®¦¥á⢠AE, ­ §ë¢ î⯮«®á®©.

“¦¥ ¢ ¯¥à¢®© à ¡®â¥ ‹. ‚. Š ­â®à®¢¨ç  [17] ¯® ⥮ਨ 㯮à冷祭­ëå

¢¥ªâ®à-­ëå ¯à®áâà ­á⢠¨¬ ¡ë« ¢ë¤¥«¥­ ª« áá K-¯à®áâà ­á⢠| ª« áá ¢¥ªâ®à­ëå à¥è¥â®ª

á ¤®¯®«­¨â¥«ì­®©  ªá¨®¬®© (®¡®§­ ç ¥¬®© I

6

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¯®à浪®¢® ®£à ­¨ç¥­­®¥ ¬­®¦¥á⢮ ¨¬¥¥â áã¯à¥¬ã¬¨ ¨­ä¨¬ã¬. Š ¦¤ ï ¯®«®á L ¢

K-¯à®áâà ­á⢥ E ¤®¯ã᪠¥â ®¯¥à â®à ¯à®¥ªâ¨à®¢ ­¨ï ¯ à ««¥«ì­® ¤®¯®«­¨â¥«ì­®©

3.1. ’¥®à¥¬ .‘®¢®ªã¯­®áâì¢á¥å¯®«®áB(E)¢¥ªâ®à­®©à¥è¥âª¨E,

㯮à冷祭-­ ï ¯®¢ª«î祭¨î(L6K()LK), ï¥âáﯮ«­®©¡ã«¥¢®©  «£¥¡à®©,¢ ª®â®à®©

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ï¥âáï ¯®«­®©¡ã«¥¢®©  «£¥¡à®©, ¨§®¬®àä­®© B(E). ã«¥¢ë ®¯¥à æ¨¨ ¢ B(E)

¢ë-£«ï¤ïâá«¥¤ãî騬®¡à §®¬:

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ã«¥¢ã  «£¥¡àã B(E) (  ¨­®£¤  ¨ P(E)) ­ §ë¢ îâ ¡ §®© E. à®áâà ­á⢮

Š ­-â®à®¢¨ç  ¨¬¥­ãîâ à áè¨à¥­­®©, ¥á«¨ ¥£® ­¥«ì§ï ¯®£à㧨âì á á®åà ­¥­¨¥¬ £à ­¥© ¨

 «£¥¡à ¨ç¥áª¨å®¯¥à æ¨© ¢¡®«¥¥è¨à®ª®¥ K-¯à®áâà ­á⢮ á⮩¦¥ á ¬®©¡ §®©.

‚ ¦­ë© ¯à¨¬¥à à áè¨à¥­­®£® K-¯à®áâà ­á⢠ áâநâáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.

ãáâì B | ¯à®¨§¢®«ì­ ï ¯®«­ ï ¡ã«¥¢   «£¥¡à . „®¯ãá⨬, çâ® ª ¦¤®¬ã

¤¥©á⢨-⥫쭮¬ãç¨á«ãt2R ¯®áâ ¢«¥­¢á®®â¢¥âá⢨¥¥¤¨­á⢥­­ë©í«¥¬¥­âe(t)2B,¯à¨ç¥¬

¢ë¯®«­¥­ëâॡ®¢ ­¨ï:

(1) ¥á«¨ s6t, â® e(s)6e(t);

(2) supfe(t): t2Rg =1, inffe(t): t2Rg =0;

(3) supfe(s): s<t; s2Rg =e(t) ¤«ï¢á¥å t2R.

’®£¤  £®¢®àïâ,ç⮧ ¤ ­®à §«®¦¥­¨¥ ¥¤¨­¨æë e() ¢¡ã«¥¢®© «£¥¡à¥ B.

„«ïä®à¬ã«¨à®¢ª¨á«¥¤ãîé¨å¤¢ãå⥮६, ãáâ ­®¢«¥­­ëå‹.‚.Š ­â®à®¢¨ç¥¬,

­ã¦­ë ¥é¥ ¤¢  ¯®­ïâ¨ï. ®¤¯à®áâà ­á⢮ E

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¢¥ªâ®à­®© à¥è¥âª¨ E ­ §ë¢ îâ

¨¤¥- «®¬, ¥á«¨ ¨§ ᮮ⭮襭¨© x 2 E, y 2 E

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¨ jxj 6 jyj ¢ë⥪ ¥â x 2 E

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­ §ë¢ îâ ¯®à浪®¢® ¯«®â­ë¬, ¥á«¨ E ??

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3.2. ’¥®à¥¬ . Œ­®¦¥á⢮ ¢á¥å à §«®¦¥­¨© ¥¤¨­¨æëR(B) ¢ ¯®«­®©¡ã«¥¢®©

 «-£¥¡à¥B ¬®¦­®á­ ¡¤¨âì «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬¨®¯¥à æ¨ï¬¨¨¯®à浪®¬â ª,çâ®R(B)

¯à¥-¢à é ¥âáï¢ à áè¨à¥­­®¥¯à®áâà ­á⢮ Š ­â®à®¢¨ç ,¡ § ª®â®à®£® ¨§®¬®àä­ B.

3.3. ’¥®à¥¬ .ãáâìE|¯à®¨§¢®«ì­®¥K-¯à®áâà ­á⢮,¡ § ª®â®à®£®

¨§®¬®àä-­  ¯®«­®© ¡ã«¥¢®©  «£¥¡à¥ B. ’®£¤  E ¯®£à㦠¥âáï ¢ ª ç¥á⢥ ¯®à浪®¢® ¯«®â­®£®

¨¤¥ « ¢ à áè¨à¥­­®¥K-¯à®áâà ­á⢮ ¢á¥å à §«®¦¥­¨© ¥¤¨­¨æëR(B).

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, à áè¨à¥­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ Š ­â®à®¢¨ç  ¨ ¥£® ¡ §  ®¤­®§­ ç­®

®¯à¥¤¥«ïîâ¤à㣤à㣠¨,áâ «® ¡ëâì,⥮ਨ ¯®«­ëå ¡ã«¥¢ëå «£¥¡à ¨à áè¨à¥­­ëå

¯à®áâà ­á⢊ ­â®à®¢¨ç  ä ªâ¨ç¥áª¨ à ¢­®®¡ê¥¬­ë.

’¥®à¨ï ¢¥ªâ®à­ëåà¥è¥â®ª ¨ ¥¥ ®¡è¨à­ë¥ ¯à¨«®¦¥­¨ï ®á¢¥é¥­ë ¢ ¡®«ì讬

ª®-«¨ç¥á⢥ ¬®­®£à ä¨©, á¬. [1, 8, 27, 28, 33, 34, 36, 37, 49, 50, 54, 57, 61, 63, 64, 65, 66,

69, 71, 74]. Žâ¬¥â¨¬ â ª¦¥ ®¡§®à­ë¥ áâ âì¨ [4, 5, 6], ¢ ª ¦¤®© ¨§ ª®â®àëå ¨¬¥¥âáï

¡®£ â ï ¡¨¡«¨®£à ä¨ï.

4. ¢à¨áâ¨ç¥áª¨© ¯à¨­æ¨¯ ¯¥à¥­®á 

¨ ⥮६  • ­  |  ­ å 

ä㭪樮­ «ì­®£® ­ «¨§  ¢í⮬ª« áá¥. ¥à¢®©à ¡®â®© ‹.‚.Š ­â®à®¢¨ç  ¢

®¡« á-⨠㯮à冷祭­ëå ¢¥ªâ®à­ëå ¯à®áâà ­á⢡뫠 § ¬¥âª  1935 £®¤  [17], ¢ ª®â®à®© ®­

¯¨á «:

ý‚í⮩§ ¬¥âª¥ ï ®¯à¥¤¥«ïî­®¢ë© ⨯¯à®áâà ­áâ¢, ª®â®àë¥ï ­ §ë¢ î

«¨­¥©-­ë¬¨ ¯®«ã㯮à冷祭­ë¬¨ ¯à®áâà ­á⢠¬¨. ‚¢¥¤¥­¨¥ íâ¨å ¯à®áâà ­á⢠¯®§¢®«ï¥â

¨§ãç â쫨­¥©­ë¥ ®¯¥à æ¨¨ ®¤­®£®®¡é¥£® ª« áá  (®¯¥à æ¨¨, §­ ç¥­¨ï ª®â®àëå

¯à¨-­ ¤«¥¦ ââ ª®¬ã ¯à®áâà ­áâ¢ã)ª ª «¨­¥©­ë¥ä㭪樮­ «ëþ.

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ª®â®àãî⥯¥àì ­ §ë¢ î⠯ਭ樯®¬ Š ­â®à®¢¨ç  ¨«¨,¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­®, ¯à¨­æ¨¯®¬

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ˆ§ã祭¨¥ K-¯à®áâà ­á⢠‹¥®­¨¤ ‚¨â «ì¥¢¨ç á¢ï§ « á ¢ëïá­¥­¨¥¬ ®¡« áâ¨

¯à¨-¬¥­¨¬®á⨠äã­¤ ¬¥­â «ì­®© â¥®à¥¬ë • ­  |  ­ å  ¨ áä®à¬ã«¨à®¢ « ⥮६ã 3,

ª®â®à ï⥯¥àì¢ «¨â¥à âã२¬¥­ã¥âáï ⥮६®©• ­ |  ­ å  |Š ­â®à®¢¨ç .

 ¯®¬­¨¬ ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï. Ž¯¥à â®à p, ¤¥©áâ¢ãî騩 ¨§ ¢¥ªâ®à­®£®

¯à®áâà ­á⢠X ¢ã¯®à冷祭­®¥¢¥ªâ®à­®¥¯à®áâà ­á⢮ E,­ §ë¢ îâ áã¡«¨­¥©­ë¬,

¥á«¨ p(x) = p(x) ¨ p(x+y) 6p(x)+p(y) ¤«ï ¢á¥å x;y 2 X ¨ 0 6 2 R. ƒ®¢®àïâ,

çâ® ®¯¥à â®à T : X ! E ¬ ¦®à¨àã¥âáï ®¯¥à â®à®¬ p (¨«¨ p ¬ ¦®à¨àã¥â T), ¥á«¨

Tx6p(x) ¤«ï¢á¥å x2X.

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¬ ¦®à¨à®¢ ­­®¥ ¯à®¤®«¦¥­¨¥ «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢.

4.1. ’¥®à¥¬  • ­  |  ­ å  | Š ­â®à®¢¨ç . à®áâà ­á⢮ Š ­â®à®¢¨ç 

¤®¯ã᪠¥â¬ ¦®à¨à®¢ ­­®¥¯à®¤®«¦¥­¨¥ «¨­¥©­ë宯¥à â®à®¢.

âã ⥮६㠤®ª § « ‹. ‚. Š ­â®à®¢¨ç, á¬. [17]. …¥ ¬®¦­® áç¨â âì ¯¥à¢®©

⥮-६®©â¥®à¨¨K-¯à®áâà ­áâ¢. à¨ E=R ⥮६ 4.1¯à¥¢à é ¥âáï¢  ­ «¨â¨ç¥áªãî

ä®à¬ã â¥®à¥¬ë • ­  |  ­ å , [27]. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ⥮६  • ­  |  ­ å  |

Š ­â®à®¢¨ç  ä ªâ¨ç¥áª¨ã⢥ত ¥âáï, ç⮢ ª« áá¨ç¥áª®© ⥮६¥ ®

¬ ¦®à¨à®¢ ­-­®¬¯à®¤®«¦¥­¨¨«¨­¥©­®£®ä㭪樮­ « ¬®¦­®à¥ «¨§®¢ âì¯à¨­æ¨¯Š ­â®à®¢¨ç ,

â.¥. § ¬¥­¨âì ¢ ⥮६¥ • ­  |  ­ å  ¢¥é¥á⢥­­ë¥ ç¨á«  í«¥¬¥­â ¬¨

¯à®¨§¢®«ì-­®£® K-¯à®áâà ­á⢠,   «¨­¥©­ë¥ ä㭪樮­ «ë | «¨­¥©­ë¬¨ ®¯¥à â®à ¬¨ á®

§­ -祭¨ï¬¨ ¢ â ª®¬ ¯à®áâà ­á⢥. ‚ ¦­® ¯®¤ç¥àª­ãâì, çâ® ¢ ª« áᥠ㯮à冷祭­ëå

¢¥ªâ®à­ëå¯à®áâà ­á⢠å⮫쪮K-¯à®áâà ­á⢠®¡« ¤ îââ ª¨¬á¢®©á⢮¬. ’®ç­¥¥,

¨¬¥¥â ¬¥áâ® â ª¦¥ ®¡à é¥­¨¥â¥®à¥¬ë • ­  |  ­ å  | Š ­â®à®¢¨ç , ¯®«ã祭­®¥

§­ ç¨â¥«ì­® ¯®§¦¥, á¬.,­ ¯à¨¬¥à [1,37].

4.2. ’¥®à¥¬ ®­ ©á |‘¨«ì¢¥à¬ ­ |’ã.Š ¦¤®¥ã¯®à冷祭­®¥

¢¥ªâ®à-­®¥ ¯à®áâà ­á⢮,¤®¯ã᪠î饥 ¬ ¦®à¨à®¢ ­­®¥ ¯à®¤®«¦¥­¨¥«¨­¥©­ë宯¥à â®à®¢,

¯à¥¤áâ ¢«ï¥âᮡ®© ¯à®áâà ­á⢮Š ­â®à®¢¨ç .

‡ ¤ ç¥¬ ¦®à¨à®¢ ­­®£®¯à®¤®«¦¥­¨¥®¯¥à â®à ¯®á¢ï饭 ®¡è¨à­ ï

«¨â¥à âã-à ;¨áâ®à¨î ¢®¯à®á ¨ ®¡§®àà §«¨ç­ëå á¯¥ªâ®¢ ¬®¦­®­ ©â¨¢ [37, 53,61].

5. à®áâà ­á⢠  ­ å  | Š ­â®à®¢¨ç 

¢¢®-¢ , ­®à¬¨à®¢ ­­®£® í«¥¬¥­â ¬¨ K-¯à®áâà ­á⢮ [21]. ®«­ë¥ ¯®  ¡áâࠪ⭮©

­®à-¬¥ ¯à®áâà ­á⢠ áâ «¨ ­ §ë¢ âì ¯à®áâà ­á⢠¬¨ ⨯  B

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¯à®áâ-à ­á⢬®¦­®à áᬠâਢ â쪠ª¥é¥®¤­® ¯à®ï¢«¥­¨¥í¢à¨áâ¨ç¥áª®£®¯à¨­æ¨¯ 

Š ­-â®à®¢¨ç . ¥áª®«ìª® à ­ìè¥ ƒ. Šã९ [60] à áᬠâਢ « ýespaces pseudodistanciesþ,

â.¥. ¯à®áâà ­á⢠ᬥâਪ®©,¯à¨­¨¬ î饩§­ ç¥­¨ï¨§ 㯮à冷祭­®£® ¢¥ªâ®à­®£®

¯à®áâà ­á⢠. ¥à¢ë¥ ¯à¨¬¥­¥­¨ï ¢¥ªâ®à­ëå ­®à¬ ¨ ¬¥âਪ ¡ë«¨ á¢ï§ ­ë á

¬¥â®-¤®¬ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­ëå ¯à¨¡«¨¦¥­¨©¢ ç¨á«¥­­®¬  ­ «¨§¥, á¬. [21, 28, 30, 59, 70]. ‚

¯®á«¥¤ãî饬 ¯®ï¢¨«¨áì ¨ ¤à㣨¥¯à¨¬¥­¥­¨ï ¢¥ªâ®à­ëå ­®à¬, á¬., ­ ¯à¨¬¥à, [1, 8,

36].

’ ª¨¬ ®¡à §®¬ á ¬® ¢¢¥¤¥­¨¥ ¯à®áâà ­á⢠⨯  B

K

¨«¨, ª ª ⥯¥àì £®¢®àïâ,

¯à®áâà ­á⢠ ­ å  | Š ­â®à®¢¨ç , ¨¬¥«® ª ª  ¡áâà ªâ­ë¥ ª®à­¨, â ª ¨

®á­®¢ -⥫ì­ãî¯à¨ª« ¤­ã⨢ æ¨î. Œ¥â®¤¬ ¦®à ­â,¢®¡é¥©ä®à¬¥¯®áâ஥­­ë©

‹¥®-­¨¤®¬‚¨â «ì¥¢¨ç¥¬¢ ¯à®áâà ­á⢠偠­ å | Š ­â®à®¢¨ç ,¯®«ã稫áãé¥á⢥­­®¥

à §¢¨â¨¥ ª ª ¢¥£® ᮡá⢥­­ëå¨áá«¥¤®¢ ­¨ïå, â ª¨ ¢ à ¡®â å ¥£®ã祭¨ª®¢ ¨

¯®á«¥-¤®¢ â¥«¥©, ¨ § ­ï« ¢¨¤­®¥ ¬¥áâ® ¢  àᥭ «¥ ⥮à¥â¨ç¥áª¨å á।á⢠¢ëç¨á«¨â¥«ì­®©

¬ â¥¬ â¨ª¨.

 áᬮâਬ ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ X ¨ ¢¥é¥á⢥­­ãî ¢¥ªâ®à­ãî à¥è¥âªã E.

(‚á¥à áᬠâਢ ¥¬ë¥¢¥ªâ®à­ë¥à¥è¥âª¨áç¨â ¥¬ à娬¥¤®¢ë¬¨.) Žâ®¡à ¦¥­¨¥ :

X!E

+

¨¬¥­ãî⢥ªâ®à­®©(E-§­ ç­®©)­®à¬®©,¥á«¨®­®ã¤®¢«¥â¢®àï¥âá«¥¤ãî騬

 ªá¨®¬ ¬:

(1) x =0 () x=0 (x2X);

(2) x =jj x (2R, x2X);

(3) x+y 6 x + y (x;y2X).

‚¥ªâ®à­ãî­®à¬ã­ §ë¢ îâ à §«®¦¨¬®© ¨«¨­®à¬®© Š ­â®à®¢¨ç , ¥á«¨

(4) ¤«ï «î¡ëå e

1 ;e

2 2 E

+

¨ x 2 X, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ᮮ⭮襭¨î x =

e

1 +e

2

,áãé¥áâ¢ãîâx

1 ;x

2

2X â ª¨¥,çâ®x=x

1 +x

2 ¨ x

k =e

k

(k:=1;2).

’னªã ,

X; ;E ,

¨«¨, ¯à®é¥, (X;E), ,

X;

¨«¨ X, ®¯ãáª ï ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥¬ë¥

¯ à ¬¥âàë

­ §®¢¥¬ à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬ (­ ¤ E), ¥á«¨ |

íâ® E-§­ ç­ ï ­®à¬  ­  ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ X. …᫨ ¢¥ªâ®à­ ï ­®à¬ 

à §-«®¦¨¬ , â® ¯à®áâà ­á⢮ X â ª¦¥ ­ §ë¢ îâ à §«®¦¨¬ë¬. ‘¥âì (x

) ¢ X

­ §ë-¢ îâ bo-äã­¤ ¬¥­â «ì­®©, ¥á«¨ á¥âì ( x

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¯®à浪®¢® á室¨âáï ª

­ã-«î. ¥è¥â®ç­®­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ X ­ §ë¢ îâ bo-¯®«­ë¬ ¥á«¨ ¢á猪ï

bo-äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï á¥âì¢ ­¥¬bo-á室¨âáïª í«¥¬¥­âãí⮣® ¯à®áâà ­á⢠.  §«®¦¨¬®¥

bo-¯®«­®¥à¥è¥â®ç­®­®à¬¨à®¢ ­­®¥¯à®áâà ­á⢮ ¯à¨­ïâ®­ §ë¢ âì¯à®áâà ­á⢮¬

 ­ å  |Š ­â®à®¢¨ç .

‘⮨⯮¤ç¥àª­ãâì,ç⮨¬¥­­®¢áâ â쥋.‚.Š ­â®à®¢¨ç [18]¢¯¥à¢ë¥¯®ï¢¨« áì

­¥®¡ëç­ ï  ªá¨®¬  à §«®¦¨¬®á⨠¤«ï ¢¥ªâ®à­®© ­®à¬ë. ‚¯®á«¥¤ãîé¨å

¨áá«¥¤®¢ -­¨ïå ¤àã£¨å  ¢â®à®¢ íâ   ªá¨®¬  ç áâ® ®¯ã᪠« áì ª ª ­¥áãé¥á⢥­­ ï. ƒ«ã¡®ª¨©

á¬ëá«í⮩ ¡ë«®¡­ à㦥­¢ á¢ï§¨á ¡ã«¥¢®§­ ç­ë¬ ­ «¨§®¬ (á¬.[35, 36]).

6. ’¥®à¨ï ॣã«ïà­ëå ®¯¥à â®à®¢

Ž¤­®¢à¥¬¥­­® á ¢¢¥¤¥­¨¥¬ K-¯à®áâà ­á⢠‹. ‚. Š ­â®à®¢¨ç¥¬ ¡ë«¨ § «®¦¥­ë

®á­®¢ë ⥮ਨ ॣã«ïà­ëå ®¯¥à â®à®¢. â® ¡ë«® ᤥ« ­® ¢ à ¡®â¥ [18] 1936

£®-¤ , ¢ ª®â®à®© ¢¯¥à¢ë¥ ¯®ï¢¨«¨áì ¯®à浪®¢®¥ ¨áç¨á«¥­¨¥ ॣã«ïà­ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢

᢮-1928 £®¤ãáä®à¬ã«¨à®¢ « ­ «®£¨ç­®¥ ã⢥ত¥­¨¥¤«ï ç áâ­®£®á«ãç ï

¯à®áâà ­áâ-¢  ­¥¯à¥à뢭ëå «¨­¥©­ëå ä㭪樮­ «®¢ ­  ¢¥ªâ®à­®© à¥è¥âª¥ C[a;b], ¢¯¨á ¢ ⥬

á ¬ë¬ á¢®¥ ¨¬ï ¢ ç¨á«® ®á­®¢ â¥«¥© ⥮ਨ㯮à冷祭­ëå ¢¥ªâ®à­ëå ¯à®áâà ­áâ¢.

‹.‚.Š ­â®à®¢¨çãᨫ¨«ãª § ­­ë©à¥§ã«ìâ â”.¨áá ¢¤¢ãå®â­®è¥­¨ïå: ¢®-¯¥à¢ëå

¯à®áâà ­á⢮C[a;b]§ ¬¥­¨«­ ¯à®¨§¢®«ì­ãªâ®à­ãîà¥è¥âªã, ¢®-¢â®àëå

äã­ª-樮­ «ë§ ¬¥­¨«®¯¥à â®à ¬¨á® §­ ç¥­¨ï¬¨¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¬K-¯à®áâà ­á⢥. ˆâ ª,

§¤¥áì ¢­®¢ìáà ¡®â « í¢à¨áâ¨ç¥áª¨©¯à¨­æ¨¯Š ­â®à®¢¨ç .

‹¨­¥©­ë©®¯¥à â®àT ¨§¢¥ªâ®à­®©à¥è¥âª¨E ¢¢¥ªâ®à­ãîà¥è¥âªãF ­ §ë¢ îâ

¯®«®¦¨â¥«ì­ë¬, ¥á«¨ 06Tx ¤«ï¢á¥å 06x 2E. Ž¯¥à â®à ­ §ë¢ îâ ॣã«ïà­ë¬,

¥á«¨ ®­ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ à §­®á⨠¤¢ãå ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå ®¯¥à â®à®¢. ƒ®¢®àïâ, çâ®

®¯¥à â®àT :E !F ¯®à浪®¢®®£à ­¨ç¥­,¥á«¨®¡à §T([a;b])¯à®¨§¢®«ì­®£®

¯®à浪®-¢®£®®â१ª [a;b]E ᮤ¥à¦¨âáï ¢­¥ª®â®à®¬ ¯®à浪®¢®¬ ®â१ª¥ ¢F. ( ¯®¬­¨¬,

çâ®[a;b]:=fx2E: a6x6bg.) Œ­®¦¥á⢠¢á¥åॣã«ïà­ë宯¥à â®à®¢¨¯®à浪®¢®

®£à ­¨ç¥­­ë宯¥à â®à®¢®¡®§­ ç îâᮮ⢥âá⢥­­®á¨¬¢®« ¬¨L

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(E;F).

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(E;F),¯à¨ç¥¬í⮢ª«î祭¨¥¬®¦¥â®ª § âìáïáâண¨¬.

Ž¤­ ª®,¥á«¨E |K-¯à®áâà ­á⢮, â®L

r

(E;F)=L

(E;F),ª ª í⮫¥£ª®¢ë¢®¤¨âáï

¨§ á«¥¤ãî饩 ⥮६ë.

6.1. ’¥®à¥¬  ¨áá  | Š ­â®à®¢¨ç . ãáâìE | ¢¥ªâ®à­ ï à¥è¥âª ,  F |

­¥ª®â®à®¥ K-¯à®áâà ­á⢮. ’®£¤ , ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯®à浪®¢® ®£à ­¨ç¥­­ëå

®¯¥à -â®à®¢ L

(E;F), 㯮à冷祭­®¥ ª®­ãᮬ ¢á¥å ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå ®¯¥à â®à®¢ L

+

(E;F),

ï¥âáï K-¯à®áâà ­á⢮¬.

®«¥¥â®£®, ¢ãá«®¢¨ïå⥮६ë6.1¨¬¥î⬥áâ®ï¢­ë¥ ä®à¬ã«ë¢ëç¨á«¥­¨ï

¬®-¤ã«ï ¯®à浪®¢® ®£à ­¨ç¥­­®£® ®¯¥à â®à , áã¯à¥¬ã¬  ¨ ¨­ä¨¬ã¬ «î¡®£® ¯®à浪®¢®

®£à ­¨ç¥­­®£® ᥬ¥©á⢠ ¯®à浪®¢® ®£à ­¨ç¥­­ëå ®¯¥à â®à®¢ ¨ â.¤. ‘®¢®ªã¯­®áâì

â ª¨å ä®à¬ã«¯à¨­ïâ®­ §ë¢ âì ¨áç¨á«¥­¨¥¬ ॣã«ïà­ëå ®¯¥à â®à®¢.

’¥®à¥¬  6.1 ãáâ ­®¢«¥­  ‹. ‚. Š ­â®à®¢¨ç¥¬ ¢ [18]. ‚ ¯®á«¥¤ãîé¨å à ¡®â å

‹. ‚.Š ­â®à®¢¨ç  ¨¬­®£®ç¨á«¥­­ëå ¥£®¯®á«¥¤®¢ â¥«¥©¡ë«® ¤ ­®á¨á⥬ â¨ç¥áª®¥

¯®áâ஥­¨¥ ⥮ਨ ॣã«ïà­ëå ®¯¥à â®à®¢ ¨ à §­®®¡à §­ë¥ ¯à¨«®¦¥­¨ï ª ¢®¯à®á ¬

⥮ਨ ä㭪権¨ ä㭪樮­ «ì­®£®  ­ «¨§ . ’¥®à¨¨ ¯®à浪®¢® ®£à ­¨ç¥­­ëå ¨

¯®-«®¦¨â¥«ì­ëå ®¯¥à â®à®¢¯®á¢ï饭® ¡®«ì讥 ç¨á«® ¬®­®£à ä¨©(á¬. [1, 8, 27, 28,33,

34, 36, 50, 61, 69, 71, 74]). Žâ¬¥â¨¬â ª¦¥ ®¡§®à­ë¥ áâ âì¨ [3, 4], ¢ ª®â®àëå ¨¬¥¥âáï

¡®£ â ï ¡¨¡«¨®£à ä¨ï.

Œ®¦¥â á«®¦¨âáï ¢¯¥ç â«¥­¨¥, çâ® í¢à¨áâ¨ç¥áª¨© ¯à¨­æ¨¯ Š ­â®à®¢¨ç 

áà ¡ -â뢠¥â  ¢â®¬ â¨ç¥áª¨. Ž¤­ ª® íâ® ­¥ â ª. ˆ¬¥îâáï á¨âã æ¨¨, ª®£¤  § ¬¥­  ¯®«ï

¢¥é¥á⢥­­ëå ç¨á¥« ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ K-¯à®áâà ­á⢮¬ ¤®á⨣ ¥âáï ¯®ç⨠¤®á«®¢­ë¬

¯®¢â®à¥­¨¥¬ 㦥 ­ ©¤¥­­ëå ¤®ª § â¥«ìáâ¢. ® ç é¥ â ª ï § ¬¥­  âॡã¥â

¨§®é-७­ëå à áá㦤¥­¨©,   ¢ ­¥ª®â®àëå á«ãç ïå ¯à¨­æ¨¯ ¯¥à¥­®á  ¤ ¦¥ ¨ ­¥¢¥à­  ¡¥§

¤®¯®«­¨â¥«ì­ë宣࠭¨ç¥­¨©­ à áᬠâਢ ¥¬®¥K-¯à®áâà ­á⢮. ’ ª®¡á⮨⤥«®,

­ ¯à¨¬¥à,á¯à®¡«¥¬®©¯à®¤®«¦¥­¨ï¯®«®¦¨â¥«ì­®£®®¯¥à â®à ¯®¯®à浪®¢®©

­¥¯à¥-à뢭®áâ¨. „«ïä㭪樮­ «®¢â ª®¥¯à®¤®«¦¥­¨¥áâநâáﯮá奬¥ „ ­¨í«ï|

‘â®ã-­ ¯®áâ஥­¨ï ¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ . ®¤«ï®¯¥à â®à®¢á® §­ ç¥­¨ï¬¨¢ K-¯à®áâà ­á⢥

íâ®â१ã«ìâ â ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥âá﫨èì¯à¨¤®¯®«­¨â¥«ì­®¬¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¨.

®«®¦¨¬ := N N

| ®¡®§­ ç ¥â ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ®â®¡à ¦¥­¨© ¨§ N ¢ N.

à®áâ-à ­á⢮Š ­â®à®¢¨ç E ­ §ë¢ îâá« ¡®-¤¨áâਡã⨢­®©, ¥á«¨¤«ï«î¡®©

¯®à浪®-¢®®£à ­¨ç¥­­®©¤¢®©­®©¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâ¨(e

m;n

)

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2N

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m

2N inf

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m

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e

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(

m

)

;

Žâáë« ï ª [61] ¤«ï ¤¥â «ì­®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ¨ ¨áâ®à¨ç¥áª¨å ª®¬¬¥­â à¨©,

®£à ­¨-稬áï ä®à¬ã«¨à®¢ª®© á«¥¤ãî饩 ⥮६ë, ¯¥à¢ë© ¢ à¨ ­â ª®â®à®© ¡ë« ãáâ ­®¢«¥­

¢ [58].

6.2. ’¥®à¥¬  Š ­â®à®¢¨ç  | Œ ªè¥©­  | Œ ââ¥á  |  ©â .

à®áâ-à ­á⢮ Š ­â®à®¢¨ç 

F

¤®¯ã᪠¥â ¯à®¤®«¦¥­¨¥ ᥪ¢¥­æ¨ «ì­®

o

-­¥¯à¥à뢭ëå ®¯¥-à â®à®¢ ¯® á奬¥ „ ­¨í«ï | ‘â®ã­  ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤  ®­® á« ¡®

-¤¨áâਡã⨢­®.

7. ’¥®à¨ï ¬ ¦®à¨à㥬ëå ®¯¥à â®à®¢

• à ªâ¥à­®¥¤«ï⢮àç¥á⢠‹.‚.Š ­â®à®¢¨ç à §­®®¡à §¨¥¨­â¥à¥á®¢

á®ç¥â ¥â-áïá ¨¤¥©­®© 楫®áâ­®áâìî. ¥ã¤¨¢¨â¥«ì­®¯®í⮬ã,çâ®ã¦¥ ¢ ᢮¨å à ­­¨å à ¡®â å

‹.‚.Š ­â®à®¢¨ç®¡à é ¥âá絛ਫ®¦¥­¨ï¬â¥®à¨¨¯®«ã㯮à冷祭­ëå¯à®áâà ­áâ¢

¢ç¨á«¥­­ë嬥⮤ å. Ž­¯à¥¤«®¦¨«¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨© ¯¯ à â,¢ à ¬ª åª®â®à®£®

¬¥-⮤¬ ¦®à ­â,¢®á室ï騩ªŠ®è¨,®¡à¥â ¥â᢮î¥áâ¥á⢥­­ã ª®­ç¥­­ãîä®à¬ã.

„«ï í⮩ 楫¨ ¨¬ ¡ë«¨ ¢¢¥¤¥­ë äã­¤ ¬¥­â «ì­ë¥ ¯®­ïâ¨ï ¢¥ªâ®à­®£®

¯à®áâà ­áâ-¢ , ­®à¬¨à®¢ ­­®£® í«¥¬¥­â ¬¨ ¢¥ªâ®à­®© à¥è¥âª¨, ¨ «¨­¥©­®£® ®¯¥à â®à  ¢ â ª¨å

¯à®áâà ­á⢠å, ¬ ¦®à¨à㥬®£® «¨­¥©­ë¬ ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¬ ¨«¨ áã¡«¨­¥©­ë¬

¢®§à á-â î騬 ®¯¥à â®à®¬ [18, 21, 22, 59].  §¢¨â¨¥ í⮣® ­ ¯à ¢«¥­¨ï ¨¬¥«® ¤¢®ïªãî

¬®-⨢¨à®¢ªã | ⥮à¥â¨ç¥áªãî, ®¡ãá«®¢«¥­­ãî à §¢¨â¨¥¬ ®¡é¥© ⥮ਨ ®¯¥à â®à®¢ ¢

K

-¯à®áâà ­á⢠å (á¬. [17, 18, 19, 20]) ¨ ¯à¨ª« ¤­ãî, á¢ï§ ­­ãî á ¯à¨¡«¨¦¥­­ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨  ­ «¨§ (á¬. [21, 22,59]).

à¨¡«¨§¨â¥«ì­®£®¢®àï, ¨¤¥î¬ ¦®à¨à®¢ ­¨ï¬®¦­®¢ëà §¨âìá«¥¤ãî騬

®¡à -§®¬. …᫨ à áᬠâਢ ¥¬ë©®¯¥à â®à(¨«¨à áᬠâਢ ¥¬®¥ ãà ¢­¥­¨¥)

¬ ¦®à¨àã¥â-áï¤à㣨¬®¯¥à â®à®¬(ãà ¢­¥­¨¥¬),­ §ë¢ ¥¬ë¬¬ ¦®à ­â®©,â®á¢®©á⢠¯®á«¥¤­¥©

¨¬¥îâ áãé¥á⢥­­®¥ ¢«¨ï­¨¥ ­  ᢮©á⢠ ¨á室­®£® ®¯¥à â®à  (ãà ¢­¥­¨ï). ’ ª¨¬

®¡à §®¬, ®¯¥à â®à먫¨ ãà ¢­¥­¨ï, ¨¬¥î騥 ýå®à®è¨¥þ ¬ ¦®à ­âë, ¤®«¦­ë ¨¬¥âì

ýå®à®è¨¥þ ᢮©á⢠. ˆ¤¥©­ãîáâ®à®­ã᢮¥£® ¯®¤å®¤  ‹¥®­¨¤‚¨â «ì¥¢¨ç®¯¨á뢠¥â

¢ § ¬¥âª¥ 1936 £®¤  [21] á«¥¤ãî騬¨ á«®¢ ¬¨:

ýà¨ ¤®ª § â¥«ìá⢥ áãé¥á⢮¢ ­¨ï à¥è¥­¨ï à §«¨ç­ëå ª« áᮢ

ä㭪樮­ «ì-­ëåãà ¢­¥­¨©¢ ­ «¨§¥¢¥á쬠ç á⮯ਬ¥­ï¥âáïᯮᮡ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­ëå

¯à¨¡«¨-¦¥­¨©; ¯à¨í⮬¤®ª § â¥«ìá⢮ á室¨¬®á⨠íâ¨å ¯à¨¡«¨¦¥­¨©®á­®¢ë¢ ¥âáï ­ â®¬,

ç⮤ ­­®¥ãà ¢­¥­¨¥¬®¦¥â¡ëâì ¬ ¦®à¨à®¢ ­®­¥ª®â®àë¬ãà ¢­¥­¨¥¬¯à®á⮣®

¢¨-¤ . ’ ª®£® த  ¤®ª § â¥«ìá⢠ ¢áâà¥ç îâáï ¢ ⥮ਨ ¡¥áª®­¥ç­ëå á¨á⥬ «¨­¥©­ëå

ãà ¢­¥­¨© ¨ ¢ ⥮ਨ ¨­â¥£à «ì­ëå ¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëåãà ¢­¥­¨©.  áᬮâ७¨¥

¯®«ã㯮à冷祭­ëå¯à®áâà ­á⢨®¯¥à æ¨©¢­¨å¯®§¢®«ï¥âá¡®«ì让«¥£ª®áâìî

à §-¢¨âì ¢  ¡áâࠪ⭮© ä®à¬¥ ¯®«­ãî ⥮à¨î ä㭪樮­ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨© 㯮¬ï­ã⮣®

¢¨¤ þ.

‚ ¯®á«¥¤ãî騥 £®¤ë ¬­®£¨¥  ¢â®àë ¨§ãç «¨ à §«¨ç­ë¥ ç áâ­ë¥ á«ãç ¨

à¥è¥-â®ç­®­®à¬¨à®¢ ­­ëå ¯à®áâà ­á⢨ ª« ááë ¬ ¦®à¨à㥬ë宯¥à â®à®¢. Ž¤­ ª® íâ¨

¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¯à®¢®¤¨«¨áì¢ à ¬ª å ¨¢ ¤ãå¥â¥®à¨¨ ¢¥ªâ®à­ë娭®à¬¨à®¢ ­­ëå

á ¬®á-‚á«¥¤á⢨¥ í⮣® ¢ ¦­¥©è¨¥áâàãªâãà­ë¥ ᢮©á⢠ ¬ ¦®à¨à㥬ëå ®¯¥à â®à®¢¡ë«¨

¯®«ã祭뫨èì¢ ¯®á«¥¤­¥¥ ¢à¥¬ï.

ãáâì E ¨ F | ¢¥ªâ®à­ë¥ à¥è¥âª¨.  áᬮâਬ à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­ë©

¯à®áâà ­á⢠ (X;E) ¨ (Y;F). ‚®§ì¬¥¬ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à T : X ! Y ¨

¯®«®¦¨-⥫ì­ë©®¯¥à â®à S:E!F. …᫨ ¢ë¯®«­¥­®á®®â­®è¥­¨¥

Tx 6S ,

x

(x2X);

â® £®¢®àïâ, çâ® S ¬ ¦®à¨àã¥â T ¨«¨ çâ®S ï¥âáï ¬ ¦®à ­â®© ®¯¥à â®à  T. ‚

í⮩á¨âã æ¨¨®¯¥à â®àT ­ §ë¢ î⬠¦®à¨à㥬ë¬.

7.1. ’¥®à¥¬ . ãáâìX |à §«®¦¨¬®¥à¥è¥â®ç­®­®à¬¨à®¢ ­­®¥¯à®áâà ­á⢮,

 Y |¯à®áâà ­á⢮ ­ å |Š ­â®à®¢¨ç . ’®£¤ ,ª ¦¤ë©¬ ¦®à¨à㥬멮¯¥à â®à

T : X ! Y ¨¬¥¥â ­ ¨¬¥­ìèãî ¬ ¦®à ­âã T 2 L

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(E;F),   ¬­®¦¥á⢮ M(X;Y)

¬ ¦®à¨à㥬ë宯¥à â®à®¢¨§ X ¢ Y,á­ ¡¦¥­­®¥ L

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(E;F)-§­ ç­®©­®à¬®©T 7! T ,

ï¥âáï ¯à®áâà ­á⢮¬ ­ å | Š ­â®à®¢¨ç .

‚ ­ ç «¥ 80-å £®¤®¢ ¢ ⥮ਨ ¢¥ªâ®à­ëå à¥è¥â®ª ¯à®¨§®è«¨ ®¯à¥¤¥«¥­­ë¥

ª -ç¥á⢥­­ë¥ ¨§¬¥­¥­¨ï. ‚®§­¨ª«¨ ­®¢ë¥ ¬¥â®¤ë ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï, ®¡« áâì ¯à¨«®¦¥­¨©

áãé¥á⢥­­® à áè¨à¨« áì ¨ ®¡®£ â¨« áì. à¨­æ¨¯¨ «ì­® ­®¢ë¥ ¨¤¥¨ ¯à®­¨ª«¨ ¨§

¤à㣨åà §¤¥«®¢ ¬ â¥¬ â¨ª¨. ‚á¥í⮯ਢ¥«®ª ¢®§¬®¦­®áâ¨ã£«ã¡«¥­­®£® ¨§ã祭¨ï

¬ ¦®à¨à㥬ëå ®¯¥à â®à®¢ ¨ ª ä®à¬¨à®¢ ­¨î á ¬®áâ®ï⥫쭮© ⥮ਨ

¬ ¦®à¨àã¥-¬ë宯¥à â®à®¢. Žá­®¢­ë¥à¥§ã«ìâ â뮬 ¦®à¨à㥬ë宯¥à â®à å¨à §­®®¡à §­ëå

¨å ¯à¨«®¦¥­¨ïå, ¯®«ã祭­ë¥ ¢ ¯®á«¥¤­¨¥ ¤¢ ¤æ âì «¥â ¨ ¤¥¬®­áâà¨àãî騥

®¯à¥¤¥-«¥­­ãî §à¥«®áâì ⥮ਨ, ¨§«®¦¥­ë ¢ ¬®­®£à ä¨¨[61], £¤¥ ¨¬¥îâáï â ª¦¥ ®¡è¨à­ ï

¡¨¡«¨®£à ä¨ï¨ ¨áâ®à¨ç¥áª¨©ª®¬¬¥­â à¨©.

8. ã«¥¢®§­ ç­ë©  ­ «¨§

Š ªã¦¥ ®â¬¥ç «®áì ¢ëè¥,¯à®áâà ­á⢠Š ­â®à®¢¨ç  ¡ë«¨ ¢¢¥¤¥­ë¢1935 £®¤ã

ª ª ­¥ª®â®à®¥ ®¡®¡é¥­¨¥ ¯®­ïâ¨ï ç¨á« . ‘¯ãáâï á®à®ª á «¨è­¨¬ «¥â®ª § «®áì, çâ®

¤¥©áâ¢¨â¥«ì­®í«¥¬¥­âë¯à®áâà ­á⢠Š ­â®à®¢¨ç |áãâì ¡ã«¥¢®§­ ç­ë¥ç¨á« . ®

áãé¥áâ¢ã á í⮣® ä ªâ  ­ ç¨­ ¥âáï ­®¢ ï ¬ â¥¬ â¨ç¥áª ï ⥮à¨ï | ¡ã«¥¢®§­ ç­ë©

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ã«¥¢®§­ ç­ë¬  ­ «¨§®¬ ­ §ë¢ îâ à §¤¥«ä㭪樮­ «ì­®£® ­ «¨§ ,

¨á¯®«ì§ã-î騩 ᯥ樠«ì­ãî ⥮à¥â¨ª®-¬®¤¥«ì­ãî â¥å­¨ªã | ¡ã«¥¢®§­ ç­ë¥ ¬®¤¥«¨ ⥮ਨ

¬­®¦¥áâ¢. ‹î¡®¯ëâ­®, çâ®á®§¤ ­¨¥¡ã«¥¢®§­ ç­ë嬮¤¥«¥©­¥¡ë«®á¢ï§ ­®á

⥮à¨-¥©ã¯®à冷祭­ë墥ªâ®à­ëå¯à®áâà ­áâ¢. ¥®¡å®¤¨¬ë¥¤«ïí⮣®ï§ëª®¢ë¥¨

â¥å­¨-ç¥áª¨¥ á।á⢠ ®ª®­ç â¥«ì­®áä®à¬¨à®¢ «¨áì ¢à ¬ª å¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© «®£¨ª¨ã¦¥

ª 1960-¬ã £®¤ã. Ž¤­ ª® ¢á¥ ¥é¥ ­¥ ¡ë«® ⮩£¥­¥à «ì­®©¨¤¥¨, ª®â®à ï ¢¯®á«¥¤á⢨¨

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1963 £®¤ã  ¡á®«îâ­ãî ­¥à §à¥è¨¬®áâì (á¬. ­¨¦¥ ¯ à £à äë 9 ¨ 10) ª« áá¨ç¥áª®©

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¢®§­¨ª«¨ ¡ã«¥¢®§­ ç­ë¥ ¬®¤¥«¨ ⥮ਨ¬­®¦¥áâ¢, ᮧ¤ ­¨¥ ª®â®àëå ¯à¨­ïâ®

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8.1. ãáâì B | 䨪á¨à®¢ ­­ ï ¯®«­ ï ¡ã«¥¢   «£¥¡à  á ¥¤¨­¨æ¥© 1.

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â® âॡãîâ,çâ®¡ë¢ B-á¨á⥬¥X:=(X;=;R

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«®£¨ç¥á-ª¨ ¨á⨭­ë¥¯à¥¤«®¦¥­¨ï «®£¨ª¨ ¯¥à¢®£®¯®à浪 á à ¢¥­á⢮¬, ¢ëà §¨¬ë¥ ¢ï§ëª¥

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8.2.  áᬮâਬ ⥯¥àì ¡ã«¥¢®§­ ç­ãî ¨­â¥à¯à¥â æ¨î ï§ëª  ⥮ਨ ¬­®¦¥áâ¢

–¥à¬¥«® | ”७ª¥«ï á  ªá¨®¬®©¢ë¡®à  (=ZFC) ­  ª« áᥠX.  ¯®¬­¨¬, çâ®ï§ëª

í⮩⥮ਨL:=f=;2g¥áâìï§ëª¯¥à¢®£®¯®à浪 á¤¢ã¬ï¤¢ã¬¥áâ­ë¬¨¯à¥¤¨ª â ¬¨

= ¨ 2. ˆ­â¥à¯à¥â æ¨¨íâ¨å ¯à¥¤¨ª â®¢®¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§ [[=]] ¨ [[2 ]],

ᮮ⢥âáâ-¢¥­­®. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, [[=]];[[2]]:XX!B,¯à¨ç¥¬

[[=(x;y)]]=[[x=y]]; [[2(x;y)]]=[[x2y]] (x;y2X):

Œ®¦­® ¯®ª § âì(á¬. [39,38]), ç⮥᫨ ª®¯à¥¤¥«¥­¨îB-á¨á⥬뤮¡ ¢¨âì

­¥ª®-â®à륥áâ¥á⢥­­ë¥âॡ®¢ ­¨ï(â¥å­¨ç¥áª®£®å à ªâ¥à ),â®áãé¥áâ¢ã¥â¥¤¨­á⢥­­ ï

(á â®ç­®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ ) B-á¨á⥬  X:= (X;[[ = ]];[[ 2 ]]), ¢ ª®â®à®©

á¯à -¢¥¤«¨¢ë ¢á¥  ªá¨®¬ë (  §­ ç¨â ¨ ¢á¥ ⥮६ë) ⥮ਨ ¬­®¦¥á⢠ZFC, â. ¥. â ª¨¥,

çâ® X j=ZFC. ’ ªãî B-á¨á⥬㠭 §ë¢ îâ ¡ã«¥¢®§­ ç­®© ¬®¤¥«ìî ⥮ਨ ¬­®¦¥áâ¢

¨ ®¡®§­ ç îâ ᨬ¢®«®¬ V (

B

)

:= (V (

B

)

;[[ = ]], [[ 2 ]]). Š« áá V (

B

)

8.3. „«ï í«¥¬¥­â  X 2 V ¥£® á¯ã᪠X# § ¤ ¥âáï ¯à ¢¨«®¬ X#:= fx 2 V :

[[x2X]]=1g.

ãáâìf | ®â®¡à ¦¥­¨¥ ¨§ X ¢ Y ¢­ãâà¨V (B)

. â®®§­ ç ¥â,çâ®X;Y;f 2V (B)

¨ ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ [[f :X ! Y]] = 1. ‚ í⮩ á¨âã æ¨¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­®¥

®â®¡à ¦¥­¨¥ g : X#! Y#, ¤«ï ª®â®à®£® [[f(x) = g(x)]] = 1 ¯à¨ ¢á¥å x 2 X#. „«ï

®â®¡à ¦¥­¨ï g, ­ §ë¢ ¥¬®£® á¯ã᪮¬ ®â®¡à ¦¥­¨ï f, ¯à¨­ïâ® ®¡®§­ ç¥­¨¥ f#:= g.

‘¯ã᪠®â­®è¥­¨ï®¯à¥¤¥«ï¥âáï ­ «®£¨ç­®.

ã«¥¢®§­ ç­ë© áâ âãâ ¯®­ïâ¨ï K-¯à®áâà ­á⢠ ãáâ ­®¢«¥­ ¢ ­ ç «¥ 70-å £®¤®¢

….ˆ. ƒ®à¤®­®¬, ᬠ[10]. Žá­®¢­®©¥£® १ã«ìâ â ã⢥ত ¥â, ç⮫¥à áè¨à¥­­®¥

K-¯à®áâà ­á⢮ ¥áâì ¨­â¥à¯à¥â æ¨ï ¯®«ï ¢¥é¥á⢥­­ëå ç¨á¥« ¢ ¯®¤å®¤ï饩

¡ã«¥¢®-§­ ç­®©¬®¤¥«¨. ’®ç­¥¥ ¨¬¥¥â¬¥áâ®á«¥¤ãîé ï⥮६ .

8.4. ’¥®à¥¬  ƒ®à¤®­ .ãáâìB|¯®«­ ï¡ã«¥¢  «£¥¡à ¨R|㯮à冷祭­®¥

¯®«¥ ¤¥©á⢨⥫ì­ëå ç¨á¥« ¢ ¡ã«¥¢®§­ ç­®© ¬®¤¥«¨ V (B)

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í⮬áãé¥áâ¢ã¥â ¨§®¬®à䨧¬ ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë B ­  ¡ §ã P(R#) (= ¡ã«¥¢ã  «£¥¡àã

¯®à浪®¢ëå¯à®¥ªâ®à®¢¢R#) â ª®©, çâ®á¯à ¢¥¤«¨¢ëíª¢¨¢ «¥­â­®áâ¨

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(b)x6(b)y $ b6[[x6y]]

¤«ï ¢á¥åx;y2R¨b2B.

à¨ í⮬ ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® «î¡ ï ⥮६  (¢ à ¬ª å  ªá¨®¬ â¨ª¨ –¥à¬¥«® |

”७ª¥«ï á  ªá¨®¬®© ¢ë¡®à ) ® ¢¥é¥á⢥­­ëå ç¨á« å ¨¬¥¥â ᢮©  ­ «®£ ¤«ï

K-¯à®áâà ­á⢠R#,¯à¨ç¥¬¯¥à¥¢®¤®¤­¨å⥮६¢¤à㣨¥®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯®á।á⢮¬

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ç¨á-« þ®¡à¥â ¥â¢¡ã«¥¢®§­ ç­®¬ ­ «¨§¥ç¥âªã⥬ â¨ç¥áªãîä®à¬ã«¨à®¢ªã. ‘

¤àã-£®© áâ®à®­ë, í¢à¨áâ¨ç¥áª¨© ¯à¨­æ¨¯ ¯¥à¥­®á , ¨£à ¢è¨© ¢á¯®¬®£ â¥«ì­ãî,

­ ¢®¤ï-éãî஫좮¬­®£¨å¨áá«¥¤®¢ ­¨ï墤®¡ã«¥¢®§­ ç­®©â¥®à¨¨K-¯à®áâà ­áâ¢,

¯à¥¢à -é ¥âáï¢ à ¬ª å¡ã«¥¢®§­ ç­®£®  ­ «¨§ ¢ â®ç­ë©¨áá«¥¤®¢ â¥«ì᪨© ¬¥â®¤.

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£¨«ì¡¥àâ®-¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥, â® R# ¨§®¬®àä­®¯à®áâà ­áâ¢ã â¥å á ¬®á®¯à殮­­ëå ®¯¥à â®à®¢,

ã ª®â®àëå ᯥªâà «ì­ ï äã­ªæ¨ï ¤¥©áâ¢ã¥â ¢ B. â¨ ¤¢  ç áâ­ëå á«ãç ï ⥮६ë

ƒ®à¤®­ ¨­â¥­á¨¢­® ¨ ¯«®¤®â¢®à­® íªá¯«ã â¨à®¢ « ƒ. ’ ª¥ãâ¨, á¬.[72],   â ª¦¥

¡¨¡-«¨®£à ä¨î¢[39]. Ž¡ê¥ªâR#¤«ï®¡é¨å¡ã«¥¢ëå «£¥¡àà áᬮâ५⠪¦¥’.‰¥å[56],

¯¥à¥®âªà뢯®áãé¥áâ¢ã⥮६ヮम­ . Žâ«¨ç¨¥á®á⮨â¢â®¬,ç⮢[56]

(ª®¬¯«¥ª-á­®¥) à áè¨à¥­­®¥K-¯à®áâà ­á⢮ á ¥¤¨­¨æ¥© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï¤à㣮© á¨á⥬®©  ªá¨®¬

¨¨¬¥­ã¥âáﯮ«­®©áâ®ã­®¢®© «£¥¡à®©. ®¤à®¡­®¥ ¨§«®¦¥­¨¥â¥®à¨¨¡ã«¥¢®§­ ç­ëå

¬®¤¥«¥©, â ª¦¥à §­®®¡à §­ëå ¨å¯à¨«®¦¥­¨©¬®¦­®­ ©â¨¢[15, 39,42,51,72,73].

„ «ì­¥©è¥¥ à §¢¨â¨¥ ¡ã«¥¢®§­ ç­®£®  ­ «¨§  ¯®ª § «®, çâ® ¯®¤®¡­ë© ¯¥à¥¢®¤

(¯¥à¥­®á, âà ­á«ïæ¨ï), ¨§£®â®¢«ïî騩 ¨§ ¨§¢¥áâ­ëå 䠪⮢ ­®¢ë¥ ⥮६ë,

¢®§¬®-¦¥­­¥â®«ìª®¤«ïK-¯à®áâà ­áâ¢,­®¨¯à ªâ¨ç¥áª¨¤«ï¢á¥å®¡ê¥ªâ®¢,â ª¨«¨¨­ ç¥

á ­¨¬¨á¢ï§ ­­ë¬¨: ¤«ï ¯à®áâà ­áâ¢â¨¯ B

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­¥«¨-¤«ï ¯à®áâà ­áâ¢â¨¯  B

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39]¢ á«¥¤ãî饬¢¨¤¥.

8.5. ’¥®à¥¬ .„«ï«î¡®£®à¥è¥â®ç­®­®à¬¨à®¢ ­­®£®¯à®áâà ­á⢠(X;p;E)

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), ¤«ï ª®â®à®£® á¯ã᪠X# ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì­ë¬

à áè¨à¥­¨¥¬(X;p;E).

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à®áâà ­á⢮  ­ å  | Š ­â®à®¢¨ç  ¤®¯ã᪠¥â ¯®£à㦥­¨¥

¢¯®¤å®¤ïéãî¡ã«¥¢®§­ ç­ã¤¥«ì⥮ਨ¬­®¦¥áâ¢,¯à¥¢à é ïá좡 ­ å®¢®

¯à®áâ-à ­á⢮. ˆ­ ç¥ £®¢®àï, ¯à®áâà ­á⢮ ⨯  B

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9.Š®­â¨­ãã¬-¯à®¡«¥¬  Š ­â®à 

‘¯à¨­æ¨¯®¬‹. ‚.Š ­â®à®¢¨ç  |ýí«¥¬¥­âëK-¯à®áâà ­á⢠ áãâì ®¡®¡é¥­­ë¥

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®á­®¢¥à¥è¥­¨ïª®­â¨­ãã¬-¯à®¡«¥¬ë,¬®¦­®®á¬ë᫨â쪠ª¯®¨áª®¡®¡é¥­­ëåç¨á¥«

ᯥ樠«ì­®£® ¢¨¤ , ¯®á«¥ 祣® à¥è¥­¨¥ ¯à®¡«¥¬ë ª®­â¨­ã㬠 ᢮¤¨âáï ª

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¨¬¥îâáﭥ⮫쪮 ®¡®¡é¥­­ë¥ç¨á« , ­®¨®¡®¡é¥­­ë¥ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨¥®¡ê¥ªâë

«î-¡®© ¯à¨à®¤ë, áâ®«ì ¦¥ ᯥæ¨ä¨ç¥áª¨¥, ª ª ¨ ®¡®¡é¥­­ë¥ ç¨á« . “ª § ­­®¥

®¡áâ®ï-⥫ìá⢮(¡®«¥¥¢ëà §¨â¥«ì­®,­®¬¥­¥¥â®ç­®)¬®¦­®¢ë᪠§ âìá«¥¤ãî騬®¡à §®¬:

¢ ­¥ª®â®àëå K-¯à®áâà ­á⢠å, í«¥¬¥­âë ª®â®àëå à áᬠâਢ îâáï ª ª ®¡®¡é¥­­ë¥

ç¨á« , ­ àãè ¥âáï £¨¯®â¥§  ª®­â¨­ã㬠. ’ ª ï ¢­ãâ७­ïï ¢§ ¨¬®á¢ï§ì ª®­æ¥¯æ¨¨

K-¯à®áâà ­á⢠ á ¯à®¡«¥¬®©ª®­â¨­ã㬠¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáá쬠 ¯à¨¬¥ç â¥«ì­®©.

„¢  ¬­®¦¥á⢠ A ¨ B ­ §ë¢ îâ à ¢­®¬®é­ë¬¨ ¨«¨íª¢¨¢ «¥­â­ë¬¨, ¥á«¨

áã-é¥áâ¢ã¥â¢§ ¨¬­®®¤­®§­ ç­®¥®â®¡à ¦¥­¨¥®¤­®£®¨§­¨å­ ¤à㣮¥. ƒ®¢®àïâ,çâ®

¬­®-¦¥á⢮ A ¨¬¥¥â ¬®é­®áâì ª®­â¨­ã㬠 ¨«¨ çâ® ®­® ª®­â¨­ã «ì­®, ¥á«¨ A

íª¢¨¢ -«¥­â­®®â१ªãç¨á«®¢®©¯àאַ©[0;1]. ƒ¨¯®â¥§ ª®­â¨­ã㬠 ã⢥ত ¥â,ç⮫¥

¡¥áª®­¥ç­®¥ ­¥áç¥â­®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ®â१ª  [0;1] ª®­â¨­ã «ì­®. 

à®¡«¥¬  ¦¥

ª®­-⨭ã㬠 á®á⮨⠢ ⮬,¢¥à­ ¨«¨­¥â£¨¯®â¥§  ª®­â¨­ã㬠.

Œ®¦­®®£à ­¨ç¨âáïâ ª®© « ª®­¨ç­®©ä®à¬ã«¨à®¢ª®©¯à®¡«¥¬ëª®­â¨­ã㬠,­®

⮣¤  ®áâ ¥âáï ­¥ïá­ë¬, ¯®ç¥¬ã ®­  ¯à¨¢«¥ª«  ¢­¨¬ ­¨¥ ƒ. Š ­â®à  ¨ ¯®ç¥¬ã â ª

¢®«­®¢ «  ¬­®£¨å ¬ â¥¬ â¨ª®¢ ¢¯«®âì ¤® ­ è¨å ¤­¥©. ®í⮬㠪®à®âª® ®¡®§­ ç¨¬,

ç⮪ ª®­â¨­ãã¬-¯à®¡«¥¬¥¯à¨¢¥« «®£¨ª  à §¢¨â¨ï¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£® ­ «¨§ .

ƒ. Š ­â®à®¬ ¯à¨è¥« ª ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¡¥áª®­¥ç­ëå ¬­®¦¥áâ¢

¢á«¥¤á⢨¥¨§ã祭¨ï¬­®¦¥áâ¢á室¨¬®á⨠à冷¢”ãàì¥, ª®â®à륪⮬㠢६¥­¨

è¨-ப® áâ «¨ ¯à¨¬¥­ïâìáï ¢ à §«¨ç­ëå ¢®¯à®á å ¯à¨ª« ¤­®© ¬ â¥¬ â¨ª¨. ƒ. Š ­â®à

¯¥à¢ë©áâ «à áᬠâਢ â졥᪮­¥ç­ë¥¬­®¦¥á⢠ª ª ªâã «ì­®áãé¥áâ¢ãî騥,

£®-â®¢ë¥ áãé­®áâ¨. ’¥¬ á ¬ë¬ ®­ ¯®à¢ « á ¬­®£®¢¥ª®¢®© âà ¤¨æ¨¥©, ᮣ« á­® ª®â®à®©

¤®¯ãá⨬®«¨èìà áá㦤 â쮯®â¥­æ¨ «ì­®¡¥áª®­¥ç­®¬¬­®¦¥á⢥, â.¥. ®ª®­¥ç­®©,

­® ­¥®£à ­¨ç¥­­®à áâã饩 ᮢ®ªã¯­®áâ¨.

‚ 1873 £®¤ã ƒ. Š ­â®à ¯®áâ ¢¨« § ¤ çã ª« áá¨ä¨ª æ¨¨  ªâã «ì­® ¡¥áª®­¥ç­ëå

¬­®¦¥á⢠-¢ã A,­ §®¢¥¬ ª« áᮬ íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠¬­®¦¥á⢠ ¨®¡®§­ ç¨¬ ᨬ¢®«®¬ e

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á«®¢ ¬¨, ¥á«¨ Card(A)6Card(B)¨ Card(B)6Card(A), â® Card(A)=Card(B).

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9.2. ’¥®à¥¬  (Š ­â®à, 1874).‘¯à ¢¥¤«¨¢ë á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥­¨ï:

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(2) ¬®é­®áâì ª®­â¨­ã㬠 ¡®«ìè¥ áç¥â­®©¬®é­®áâ¨;ᨬ¢®«¨ç¥áª¨, c>!

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(3)¬®é­®áâ쬭®¦¥á⢠¢á¥åç á⥩«î¡®£®¬­®¦¥á⢠¡®«ìè¥,祬

¬®é­®á-⨠¤ ­­®£®¬­®¦¥á⢠ A;ᨬ¢®«¨ç¥áª¨,2

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­¥-¯ãá⮥ ¬­®¦¥á⢮ ª à¤¨­ «®¢ ¨¬¥¥â ­ ¨¬¥­ì訩 í«¥¬¥­â. à¨¬¥­¨¬ íâ®â 䠪⠪

¬­®¦¥áâ¢ã K ª à¤¨­ «®¢ , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ­¥à ¢¥­á⢠¬ !

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9.3. à®¡«¥¬ ª®­â¨­ã㬠.‘ãé¥áâ¢ãî⫨¬®é­®áâ¨,ª®â®à륡®«ìè¥

9.4. ƒ¨¯®â¥§ ª®­â¨­ã㬠.¥áãé¥áâ¢ã¥â¬®é­®á⨡®«ì襩áç¥â­®©

¬®é­®á-⨠¨®¤­®¢à¥¬¥­­®¬¥­ì襩¬®é­®á⨠ª®­â¨­ã㬠,â.¥. !

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ƒ¨¯®â¥§ ª®­â¨­ã㬠 ¡ë«  ¢¯¥à¢ë¥ ¢ë᪠§ ­  ƒ.Š ­â®à®¬ ¢ 1878 £®¤ã, á¬.[16].

Ž­¡ë«ã¡¥¦¤¥­,ç⮪®­â¨­ãã¬-£¨¯®â¥§ ï¢«ï¥âáï⥮६®©¨¤®ª®­æ ¦¨§­¨âé¥â­®

¯ëâ «áï ¥¥ ¤®ª § âì. ® ¯à¨ í⮬ ®­ ᮧ¤ « ¬®é­ë© ¬¥â®¤ ª®«¨ç¥á⢥­­®£®

 ­ «¨-§  ¯®­ïâ¨ï ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨, ®âªàë¢ ¨áç¨á«¥­¨¥ ¬®é­®á⥩ ¨ ⥮à¨î âà ­á䨭¨â­ëå

¯®à浪®¢ëåç¨á¥«, á¬.[14, 16,43].

‚1900£®¤ã¢ à¨¦¥­ IIŒ¥¦¤ã­ à®¤­®¬ª®­£à¥áᥬ â¥¬ â¨ª®¢¢ëáâ㯨«

„ -¢¨¤ƒ¨«ì¡¥àâá®á¢®¨¬§­ ¬¥­¨â묤®ª« ¤®¬ýŒ â¥¬ â¨ç¥áª¨¥¯à®¡«¥¬ëþ. à®¡«¥¬ 

ª®­â¨­ã㬠¡ë«  áä®à¬ã«¨à®¢ ­  ¯¥à¢®©¢ ¤®ª« ¤¥ „.ƒ¨«ì¡¥àâ (á¬. [44]).

Žáâ ¢ -ïáì ­¥à¥è¥­­®©¤¥áï⨫¥â¨ï¬¨, ®­  ¯®à®¦¤ «  £«ã¡®ª¨¥ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¢ ®á­®¢ ­¨ïå

¬ â¥¬ â¨ª¨,[15, 31,51].

10. ¥§ ¢¨á¨¬®áâì ª®­â¨­ãã¬-£¨¯®â¥§ë

‚ ¦­¥©è¨© ¨â®£ ¡®«¥¥ 祬 ¯®«ã¢¥ª®¢ëå ¨áá«¥¤®¢ ­¨© ¯® ¯à®¡«¥¬¥ ª®­â¨­ã㬠

¬®¦­®áä®à¬ã«¨à®¢ âì â ª:

10.1. ’¥®à¥¬ .ƒ¨¯®â¥§ ª®­â¨­ã㬠­¥¬®¦¥â¡ëâì­¨¤®ª § ­ ­¨®¯à®¢¥à£­ãâ 

¢à ¬ª å⥮ਨ¬­®¦¥áâ¢,â.¥. £¨¯®â¥§ ª®­â¨­ã㬠ï¥âáï­¥§ ¢¨á¨¬®©

⥮à¥â¨ª®-¬­®¦¥á⢥­­®© ªá¨®¬®©.

ˆáâ®à¨ç¥áª¨ íâ® ã⢥ত¥­¨¥ ¡ë«® ãáâ ­®¢«¥­® ¢ ¤¢  íâ ¯ : ¢ 1939 £®¤ã Šãàâ

ƒe¤¥«ì [9] ãáâ ­®¢¨«, çâ® £¨¯®â¥§  ª®­â¨­ã㬠 ᮢ¬¥áâ­  á  ªá¨®¬ ¬¨ ⥮ਨ

¬­®-¦¥áâ¢,  ¢1963 £®¤ã®«ì„¦.Š®í­[31]¤®ª § «,çâ®®âà¨æ ­¨¥£¨¯®â¥§ëª®­â¨­ã㬠

â ª¦¥á®¢¬¥áâ­® á  ªá¨®¬ ¬¨â¥®à¨¨¬­®¦¥áâ¢.

Ž¡ à¥§ã«ìâ â ãáâ ­ ¢«¨¢ îâáï¯ã⥬¯®áâ஥­¨ïᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å¬®¤¥«¥©,â.¥.

¯®áâ஥­¨¥¬ ã­¨¢¥àá㬠 ¬­®¦¥á⢨ ¨­â¥à¯à¥â æ¨¨â¥®à¨¨ ¬­®¦¥á⢠¢ í⮬

ã­¨¢¥à-á㬥. ƒ®¢®àï®â¥®à¨¨¬­®¦¥áâ¢,¯®¤à §ã¬¥¢ ¥¬ ªá¨®¬ â¨ç¥áªãî⥮à¨î–¥à¬¥«®|

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