M01379

(1)

Desman P. Gulo / Komputasi Numerik Kapasitas Panas Debye Kristal Monoatomik 363

Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVIII HFI Jateng & DIY, Yogyakarta, 26 April 2014 ISSN : 0853-0823

Komputasi Numerik Kapasitas Panas Debye Kristal Monoatomik

Desman P. Gulo dan Suryasatriya Trihandaru

Program Studi Pendidikan Fisika dan Fisika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro No.52–60 Salatiga 50711, Jawa Tengah-Indonesia, telp (0298) 321212 192010022@student.uksw.edu

Abstrak –_{Salah satu karakteristik material zat padat dapat diperoleh dengan penentuan kapasitas panasnya. Kapasitas}

panas berdasarkan konsep fisika klasik akan mengikuti hukum Dulong-Petit. Berdasarkan fisika modern ada dua model kapasistas panas yaitu model Einstein dan model Debye. Makalah ini akan membahas tentang penurunan kapasitas panas pada kristal monoatomik menggunakan model Debye. Model Debye yang biasa ditemukan dalam buku teks fisika umumnya menggunakan relasi dispersi pada medium kontinyu. Jika relasi ini diterapkan pada model kristal monoatomik maka tidak dapat diperoleh penyelesaian persamaan secara analitik. Perhitungan frekuensi Debye diperoleh dengan penentuan akar persamaan menggunakan metode belah dua (bisection), sedangkan penyelesaian integral menggunakan aturan trapesium. Makalah ini menyajikan hasil simulasi numerik penentuan kapasitas panas untuk logam aluminium.

Kata kunci: model Debye untuk kapasitas panas, kristal monoatomik, metode belah dua, aturan trapesium

Abstract –One of the solid state material characteristics is determined by its heat capacity. Heat capacity, according to

classical physics, will follows the law of Dulong-Petit. According to modern physics there are two noted models, Einstein and Debye models. This paper will discuss the decrease of Debye model for heat capacity using monoatomic crystals. Debye model which commonly found in the Physics text books is using dispersion relation for continuous medium. When monoatomic crystals model is applied, the equation cannot be solved analytically. The calculation of Debye frequency is solved using bisection method for finding roots, while the integral operation is solved using trapezoidal rule. This paper presents the numerical simulation for aluminum metal.

Keywords: Debye model for heat capacity, monoatomic crystals, bisection method, trapezoidal rule

I. PENDAHULUAN

Salah satu sifat penting dari material sebuah benda padat adalah panas. Sifat panas, perpindahan panas dan perlakuan panas mempunyai dampak pada material benda padat tersebut [1]. Sifat panas tersebut salah satunya adalah kapasitas panas. Kapasitas panas merupakan banyaknya panas yang diperlukan untuk menaikan suhu suatu zat. Kapasitas panas di bagi menjadi dua bagian, yakni kapasitas pada tekanan tetap (Cp) dan kapasitas panas pada vulome tetap (Cv). Salah satu dasar teori tentang kapasitas panas volume tetap adalah kapasitas panas Debye yang diturunkan dari fungsi energi sistem osilator harmonik kuantum dan rapat keadaan. Pada persamaan model Debye dengan tinjauan kristal monoatomik, penyelesaian integrasinya tidak dapat diselesaikan secara analitik.

Dalam penelitian ini, dilakukan metode numerik untuk memecahkan integrasi model Debye tersebut. Oleh sebab itu, tujuan penelitian ini adalah untuk mensimulasikan profil kapasitas panas benda padat yang diasumsikan terbentuk dari kristal monoatomik.

II. KAJIAN PUSTAKA

I. Kapasitas Panas

Sejumlah panas yang diperlukan per mol zat untuk menaikkan suhunya disebut kapasitas kalor. Bila kenaikan suhu zat , maka kapasitas panas adalah [2]:

T Q

C_v T

∆ ∆

= (1)

Jika proses penyerapan panas berlangsung pada volume tetap Cv, maka panas yang diserap sama dengan

peningkatan energi dalam zat. ∆Q = ∆E, dengan E merupakan energi dalam. Dalam hal ini persamaan Kapasitas panas Cv menjadi:

dT T dE T

T E v

C =

∆ ∆

= (2)

Kapasitas panas memiliki kapasitas spesifik Cv yang

besarnya pada suhu tinggi mendekati nilai 3R dengan R menyatakan tetapan gas umum. Secara matematis dapat ditulis [2]:

(3)

Menurut Dulong-Petit (1820), Cv hampir sama untuk

semua material yaitu 6 cal/mole K.

II. Kapasitas Panas Debye

Dalam model Einstein, atom-atom dianggap bergetar secara terisolasi dari atom di sekitarnya. Anggapan ini jelas tidak dapat diterapkan karena gerakan atom akan saling berinteraksi dengan atom-atom lainnya. Hal ini seperti pada kasus penjalaran gelombang mekanik dalam zat padat. Oleh karena itu, rambatan gelombang menyebabkan atom-atom akan bergerak kolektif. Frekuensi getaran atom bervariasi dari sampai dengan . Batas frekuensi disebut frekuensi potong Debye. Menurut model Debye, energi total E getaran atom pada kisi diberikan oleh [3]:

60 , 5

3 =

=

= R

dT dE C

v

v cal mole K

(2)

364 Desman P. Gulo / Komputasi Numerik Kapasitas Panas Debye Kristal Monoatomik

= D g d

E ω ω ω ω ε 0 ) ( )

( (4)

) (ω

ε merupakan energi rata-rata osilator seperti pada model Einstein sedangkan g(ω) adalah rapat keadaan. Nilai energi rata-rata dapat di tulis [1]:

1 / 1 2 1 − + = T k

e ω B

ω

ε (5)

Pada suhu mendekati 0°K nilai . Ini

merupakan tingkat energi minimum sistem. Selain itu pada fungsi Debye, pada temperatur tinggi nilai C_v mendekati nilai yang diperoleh Einstein.

III.Kisi Monoatomik Satu-Dimensi

Pada vibrasi benda padat kontinu, persamaan dispersi gelombang diberikan oleh [4,5] :

K v. =

ω

(6)

Dengan turunan v adalah kecepatan dan K adalah vektor gelombang. Turunan pertamanya adalah :

v d

dK 1

=

ω (7)

Pada dispersi gelombang satu dimensi, bilangan gelombang pada sebuah batang dengan panjang L bernilai diskrit. Keadaan tersebut bila di tuliskan dalam ruang-k

dimana K=

(

2π/L

)

n dengan n=0, ,

menyatakan ragam (moda) gelombang. Jika panjang batang L lebih besar (L>>), maka jarak 2π/L akan mendekanti nol dan titik-titik dalam ruang – k semakin berdekatan (ruang – k mendekati melar) [6] seperti terlihat pada Gambar 1.

K

(a)

[image:2.612.84.279.423.578.2]

(b)

Gambar 1. Ruang –k satu dimensi : (a) diskret dan (b) malar.

Berdasarkan Gambar 1 dapat didefinisikan jumlah

ragam gelombang elastik mempunyai bilangan

gelombang antara k dan k+dk (dalam interval dk) adalah :

dK L L dK = π π 2

2 (8)

Jumlah ragam gelombang untuk setiap satuan volume disebut rapat keadaan atau g(k)dKatau frekuensi sudut

ω ω d

g( ) , sehingga persamaannya menjadi :

dK L dK k g π 2 )

( = (9)

Persamaan (9) jika dipandang dalam bentuk satu dimensi maka rapat keadaan akan memenuhi :

dK k g d

g(ω) ω= ( )

) ( ) ( ) ( ω ω d dK k g

g = (10)

ω

d

dK/ pada persamaan (10) disubstitusikan kedalam bentuk persamaan (7) menjadi :

v k g

g(ω)= ( )1 (11)

Karena gerak rambat gelombang bisa ke kiri dan ke kanan, maka fungsi tersebut menjadi L/π, sehingga persamaan (11) menjadi :

v L g

π ω =)

( (12)

Menurut model Debye dengan model medium kontinu harga E memenuhi :

= ω π ω ε d v L

E ( ) (13)

Pada vibrasi harmonik kristal atom monoatomik satu dimensi, nilai frekuensi sudut memenuhi persamaan :

2 / 1 ) cos 1 ( 2 − − = Ka m c

ω (14)

dengan c merupakan konstanta gaya antara bidang tetangga terdekat, m adalah massa atom, dan a adalah jarak antar bidang [2]. Persamaan (14) dapat juga ditulis sebagai berikut :

2 sin 2 Ka m c =

ω (15)

di mana 2 c/m [7] dapat dinyatakan dengan ω0 sehingga persamaan (15) dapat ditulis :

2 sin 0

Ka

ω

ω= (16)

Nilai ω₀ yang diberikan secara umum adalah sekitar 1013 rad s-1. Dalam kajian satu dimensi, sekarang harga g(ω) yang diberikan adalah :

2 2 0 ) ( ω ω π ω − = a L

g ₍₁₇₎

Nilai ω menurut Debye bernilai 0 sampai ω_D yang dapat diperoleh dari :

= D d g N ω ω ω 0 )

( ₍₁₈₎

atau ω ω ω π d a L N − = 2 2 0 2 (19)

dengan nilai L=Na (dalam satu dimensi), sehingga persamaan (19) menjadi :

ω ω ω π ω d D − =

0 2 2

0 1 2

1 ₍₂₀₎

k k+dk dk

0

+

−

(3)

Desman P. Gulo / Komputasi Numerik Kapasitas Panas Debye Kristal Monoatomik 365

Untuk mencari frekuensi Debye ωD dapat dihitung

dengan cara mencari akar persamaan berikut ini :

(

)

ω

ω ω π ω

ω

d f

D

− −

=

0 2 2

0 1 2

1 ₍₂₁₎

Pada persamaan Debye berdimensi satu dijabarkan dalam persamaan (4) dengan mensubstitusikan semua variabel fungsinya sehingga persamaan energi untuk sebuah atom yang terbentuk adalah :

− −

+

= D

B

d e

E

T k

ω

ω ω

ω ω ω

π 0 2 2

0 /

1

1 1 2

1 2

(22)

Persamaan (22) ini secara umum sulit untuk mencari solusinya secara analitik kecuali hanya dapat diselesaikan dengan integrasi numerik. Salah satunya adalah metode integrasi numerik Trapesium.

III. METODE PENELITIAN

Pada penelitian ini, langkah pertama yang dilakukan adalah dengan mencari nilai frekuensi Debye ωD.

Frekuensi Debye pada persamaan (21) dapat diselesaikan menggunakan integrasi numerik trapesium yakni dengan cara mencari akar persamaannya. Mencari akar persamaannya dapat diselesaikan dengan metoda belah dua (bisection). Caranya diberikan pada algoritma berikut:

a. Tentukan nilai TOLX dan TOLF b. Tentukan nilai m/ sebagai parameter c

c. Tentukan ω_a=TOLX dan ω_b =0,9999 m/c

d. Hitung

f

a

=

f

(

ω

a

)

dan

f

b

=

f

(

ω

b

)

e. Jika

f

_a

×

f

_b

>

0

maka ada kesalahan f. Hitung

ω

_c

=

(

ω

_a

+

ω

_b

)

/

2

g. Hitung

f

c

=

f

(

ω

c

)

h. Jika f_a×f_c <0maka

ω

_b

=

ω

_cdan

f

_b

=

f

_c, selain itu

ω

_a

=

ω

_cdan

f

_a

=

f

_c

i. Kembali kelangkah f sampai dicapai kondisi TOLF

c

f < atau ω_c <TOLXtercapai.

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

Persamaan (20) merupakan persamaan yang digunakan untuk mendapatkan besar frekuensi Debye ωD.

Persamaan tersebut diselesaikan dengan membuat pola algoritma sehingga menghasilkan nilai frekuensi Debye sebesar ωD ≈ ω0 atau tepatnya ωD = 0,99990ω0. Hasil

perhitungan frekuensi Debye ωD sebagai fungsi ω0 yang

menunjukan kurva linear dalam skala logaritmik disajikan pada Gambar 2.

Grafik pada Gambar 2 menunjukan suhu logam aluminium dari rendah sampai sebesar 4280K. Secara teori, nilai Cv = ∂E/∂T akan bernilai maksimum sebesar

nilai konstanta Boltzman kB. Padahal kapasitas panas

pada suhu tinggi akan bernilai 3R. Dengan demikian perhitungan numerik dapat dinormalisasikan dengan cara membagi Cv dengan kB dan mengalikannya dengan 3R.

[image:3.612.87.304.65.208.2]

Hasil numerik dari data aluminium dapat dilihat pada Gambar 3.

Grafik pada Gambar 3 menunjukan perubahan kapasitas panas Debye selama terjadi perubahan suhu (T) Debye logam aluminium. Referensi grafik pada Gambar 3 diambil dari grafik kapasitas panas Einstein dengan mengubah :

B k B k

hv

E 0

ω

θ = =

₍₂₂₎

Gambar 2. Hasil perhitungan numerik frekuensi Debye ωD sebagai fungsi ω0

Gambar 3. Grafik Kapasitas Panas Debye Cv terhadap suhu

(K) Debye jenis logam.

Dari persamaan (22) ini diperoleh grafik kapasitas panas Debye terhadap perubahan suhu (T) dalam bentuk satu dimensi dengan menggunakan fungsi persamaan (21). Dari grafik pada Gambar 3 tersebut ternyata terlihat titik-titik perubahan kapasitas panas (Cv) tidak segaris

dengan grafik normalisasi. Grafik pada Gambar 3 tersebut dapat segaris jika dikembangkan ke dalam model tiga dimensi.

V. KESIMPULAN

Persamaan Debye berdimensi satu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik, dapat diselesaikan dengan integrasi numerik yakni integrasi numerik trapesium. Untuk mencari akar-akar persamaannya bisa dengan metode belah dua (bisection).

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

0 1 2 3 4 5 6x 10

-21

Temperatur(K)

T

in

g

k

a

t

E

n

e

rg

i

(J

)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

0 5 10 15 20 25

Temperatur(K)

K

a

p

a

s

it

a

s

p

a

n

a

s

(

J

/K

[image:3.612.333.545.115.305.2] [image:3.612.334.542.340.529.2]

(4)

366 Desman P. Gulo / Komputasi Numerik Kapasitas Panas Debye Kristal Monoatomik

PUSTAKA

[1] P. L. Gareso, E. Juarlin, A. Limbong, FMIPA Universitas Hasanuddin, Integrasi Numerik Kapasitas Panas Debye Material Logam Menggunakan Metode Newton-Cotes, vol.13, SIGMA, Juli 2010, pp 107-113

[2] MIT OpenCourseWare, Physical Chemistry II, 2008. Website: http://ocw.mit.edu/terms, diakses tanggal 11 Februari 2014

[3] Darpublic, Sifat-sifat Termal. Website :

www.darpublic.com, diakses tanggal 23 Maret 2014 [4] Fisika FMIPA UNY, Sifat Thermal Kristal, 2012.

Website:

http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/Rita%2 0Prasetyowati,%20M.Si./SIFAT%20THERMAL%20KRI STAL.pdf, di akses 1 April 2014

[5] N. Isma K., S. Dio, dkk, Fonon I : Getaran Kristal, UNJ, 2012, pp 2-9.

[6] Fisika Pendidikan UPI, Vibrasi Kristal. Website :

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIK A/195708071982112-WIENDARTUN/4.BAB_IV-(VIBRASI_KRISTAL).pdf, diakses 18 Februari 2014 [7] A. H. Harker, Solid State Physics, In : A. S. Prasad, Ed.,