suku banyak dan teorema sisa

Suku Banyak

Dan

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukan

hasilbagi dan sisa

Pengertian Sukubanyak

(P o l i n u m)

Bentuk: a_nxn + a

n-1xn-1 + …+ a1x + a0

dinamakan sukubanyak dalam x yang berderajat n

a_k adalah koefisien xk,

Contoh

Tentukan derajat dan koefisien:

x4 dan x2 dari suku banyak

x5 - x4 + x3 – 7x + 10

Jawab: derajat suku banyak = 5

Nilai Sukubanyak

polinum a_nxn + a

n-1xn-1 + …+ a1x + a0

dapat dinyatakan dengan P(x). Nilai sukubanyak P(x)

Contoh

Tentukan nilai suku banyak

2x3 + x2 - 7x – 5 untuk x = -2

Jawab:

Nilainya adalah

Pembagian

Sukubanyak

Pembagian sukubanyak P(x) oleh (x – a) dapat ditulis dengan

P(x) = (x – a)H(x) + S

Keterangan:

Teorema Sisa

Jika sukubanyak P(x)

dibagi (x – a), sisanya P(a)

Contoh 1:

Tentukan sisanya jika

2x3 – x2 + 7x + 6 dibagi x + 1

atau dibagi x – (-1)

Jawab: sisanya adalah

P(-1) = 2.(-1)3 – (-1)2 + 7(-1) + 6

Contoh 2:

Tentukan sisa dan hasil baginya

jika x3 + 4x2 - 5x – 8 dibagi x - 2

Jawab:

Dengan teorema sisa, dengan

mudah kita dapatkan sisanya,

yaitu P(2) = 8 + 16 - 10 - 8

tapi

untuk menentukan

hasilbaginya kita gunakan:

Pembagian Horner:

dengan menggunakan bagan

Contoh 3:

Tentukan sisa dan

hasil baginya

jika 2x3 - 7x2 + 11x + 5

Jawab:

(2x3 - 7x2 + 11x + 5) : (2x – 1)

Sisa:

P(½) = 2(½)3 – 7(½)2 + 11.½ + 5

2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1

Dapat ditulis:

2x3 – 7x2 + 11x + 5 =(2x -1)H(x) + S Pembagi : 2x - 1

2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1 →x =

Sehingga dapat ditulis :

½

2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1

Dapat ditulis:

2x3 – 7x2 + 11x + 5

=(x - ½)(2x2 – 6x + 8) + 9 =(2x – 1)(x2 – 3x + 4) + 9 Pembagi : 2x - 1

Contoh 4:

Nilai m supaya

4x4 – 12x3 + mx2 + 2 habis

dibagi 2x – 1 adalah…. Jawab: habis dibagi → S = 0 P(½) = 0

P(½) = 0

4(½)4 – 12(½)3 + m(½)2 + 2 = 0

¼ - 1½ + ¼m + 2 = 0

¼m = -¼ + 1½ - 2 (dikali 4) m = -1 + 6 – 8

Pembagian Dengan (x –a)(x – b)

Bentuk pembagiannya dapat ditulis sebagai

P(x) = (x – a)(x – b)H(x) + S(x) berarti:

Contoh 1:

Suku banyak

(x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6)

dibagi (x2 – x – 2), sisanya

Jawab:

Bentuk pembagian ditulis:

P(x) = (x2 – x – 2)H(x) + S(x)

sehingga

• bentuk pembagian ditulis:

x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6

= (x2 – x – 2)H(x) + px + q

x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6

p = -8 disubstitusi ke –p + q = -8

8 + q = -8  q = -16

Sisa: px + q = -8x + (-16)

Contoh 2:

Suatu suku banyak bila dibagi oleh x + 2 bersisa -13, dibagi oleh x – 3 sisanya 7.

Suku banyak tersebut bila dibagi

Jawab:

Misal sisanya: S(x) = ax + b P(x): (x + 2)

 S(-2) = -13  -2a + b = -13

P(x): (x – 3)

a = 4 disubstitusi ke -2a + b = -13

_{-8 + b = -13}

 _{b = -5}

Contoh 3:

Jika suku banyak

P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + b

dibagi oleh (x2 – 1) memberi

P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + b

P(x) : x2 - 1 _ sisa = 6x + 5

Pembagi : x2 -1 = (x+1) (x-1)

Maka:

P(x):(x – 1)  sisa =P(1)

Contoh 4:

Jika suku banyak

2x3 – x2 + px + 7 dan sukubanyak

2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x + 1)

Jawab:

2x3 – x2 + px + 7 dibagi (x + 1)

2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x + 1)

Sisanya P(-1) = -2 + 3 + 4 – 1 = 4

Karena sisanya sama, Berarti 5 – p = 4

Contoh 5:

Jika suku banyak

x3 – 7x + 6 dan sukubanyak

x3 – x2 – 4x + 24 dibagi (x + a)

Jawab:

x3 – 7x + 6 dibagi (x + a)

Sisanya P(-a) = a3 – 7a + 6

x3 – x2 – 4x + 24 dibagi (x + a)

Sisanya P(-a) = a3 – a2 – 4a + 24

a3 – 7a + 6 = a3 – a2 – 4a + 24

a2 – 7a + 4a + 6 – 24 = 0

a2 – 3a – 18 = 0

(a + 3)(a – 6) = 0 a = -3 atau a = 6

Contoh 6:

Jika suku banyak

P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3

dibagi oleh (x2 – 4) memberi

P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3

P(x) : x2 - 4 _ sisa = x + 23

Pembagi : x2 -1 = (x + 2)(x – 2)

Maka:

P(x):(x – 2)  sisa =P(2)