BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Seringkali kita dihadapkan pada hal-hal yang berhubungan dengan urutan, susunan, dan yang sejenisnya. Seperti penyusunan tempat duduk berdasarkan jabatan, pasangan pakaian yang akan dipakai, ataupun urutan nomor untuk plat kendaraan. Jika ditelaah lebih dalam, sebenarnya hal-hal yang amat dekat dengan kita ini bisa dicari problem solving-nya secara matematis. Maka muncullah teori peluang, di antaranya mengenai permutasi dan kombinasi untuk memudahkan kita jika sewaktu-waktu dihadapkan dengan permasalahan peluang di dalam keseharian kita.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah yang diangkat pada pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut:
1. Apa yang dimaksud dengan permutasi dan bagaimana cara menghitung nilai-nilai permutasi suatu peristiwa?
2. Apa yang dimaksud dengan variasi dan bagaimana cara menghitung nilai-nilai variasi suatu peristiwa?
3. Apa yang dimaksud dengan kombinasi dan bagaimana cara menghitung nilai-nilai kombinasi suatu peristiwa?
C. Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui pengertian permutasi dan cara menghitung nilai-nilai permutasi suatu peristiwa.
2. Mengetahui pengertian variasi dan cara menghitung nilai-nilai variasi suatu peristiwa.
3. Mengetahui pengertian kombinasi dan cara menghitung nilai-nilai kombinasi suatu peristiwa.
BAB II PEMBAHASAN
A. Permutasi
Permutasi adalah himpunana dari n buah unsur yang tiap kelompok terdiri dari n buah unsur pula dimana dalam tiap kelompok tersebut tidak boleh ada unsur yang sama. Dengan kata lain, permutasi adalah susunan unsur-unsur dengan memperhatikan urutan tertentu. Misalnya susunan AB
≠ BA. Permutasi terdiri atas:
a. Notasi faktorial
Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n.
Faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial, tanda (!) disebut dengan notasi faktorial.
Sehingga kita dapat menarik kesimpulan bahwa: Jika n bilangan asli maka n faktorial (n!) didefinisikan dengan n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x .... x 3 x 2 x 1
Dari definisi itu, maka kita juga memeroleh:
n! = n(n-1)!
Nilai dari 1! = 1. Oleh karena itu, untuk n = 1, diperoleh: 1! = 1(1-1)!
1! = 1
Jadi, untuk 0! bernilai 1. 0! = 1
Sebagai contoh, 7! bernilai 7×6×5×4×3×2×1 = 5040. [1]
Berikut ini adalah daftar sejumlah faktorial: 0! = 1
1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24
1[]Alimuddin. 2013. Kuasai Dasar-dasar Matematika SMA/MA.Jakarta:PT. Gramedia
5! = 120 6! = 720 7! = 5040 8! = 40320 9! = 362880 10! = 3628800 11! = 39916800 12! = 479001600 [1]
b. Permutasi r unsur berbeda dari n unsur (permutasi dengan unsur berbeda)
Permutasi r unsur dari n unsur r ≤n , adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi r
unsur dari n unsur ditulis nPr, Prn , P(n,r).
Nilai dari Pr n
= n !
(n−r)! , P = permutasi.[2]
Contoh :
Terdapat 6 Mahasiswa yang memenuhi syarat dan bersedia menjadi pengurus Himpunan Mahasiswa Jurusan (HMJ). Jika pengurus HMJ itu terdiri dari ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara. Ada berapa macam susunan pengurus yang mungkin di bentuk?
Jawab :
Persoalan ini termasuk dalam persoalan mencari banyak susunan terdiri dari 4 benda yang diambil dari 6
benda. Jadi kita hendak mencari P46 . P46 = 6.5.4.3 =
360.
Berikut ini adalah penjelasannya. Ada 6 mahasiswa yang bisa dipilih menjadi ketua. Seandainya ketua telah dipilah, maka 5 pilihan untuk wakil ketua. Jika ketua dan
1[] Hudoyo Herman. 1996/1997.Matematika. : Depdikbud
wakil ketua telah terpilih, maka ada 4 pilihan untuk sekretaris. Jika ketua, wakil ketua, dan sekretaris telah dipilih, maka tinggal 3 mahasiswa yang bisa dipilih untuk bendahara. Jadi banyaknya susunan pengurus yang mungkin 6.5.4.3 = 360 atau dapat diubah menjadi bentuk faktorial sebagai berikut:
P46
= 6! (6!−4!)
¿6! 2!
¿6×5×4×3×2! 2!
¿6×5×4×3
¿360
c. Permutasi dengan beberapa unsur sama
Dengan berapa cara kata yang terdiri dari huruf A, B, dan A dapat disusun? Susunan kata itu adalah ABA, AAB, dan BAA, yaitu ada 3 cara. Bila digunakan rumus permutasi, akan diperoleh 3P3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 kata yang dapat dibuat dari huruf A, B, dan A. Mengapa demikian? Karena pada permutasi, dua huruf A tersebut dibedakan. Sehingga diperoleh susunan-susunan kata sebagai berikut: A1BA2, A2BA1, A1A2B, A2A1B, BA1A2, dan
BA2A1.[1]
Pada kenyataannya huruf A tidak dibedakan, berarti ada dua susunan yang sama yaitu permutasi A1A2 yang
seharusnya dihitung satu kali. Sehingga untuk menghitung banyaknya susunan yang dapat dibuat dari n objek dengan beberapa objek yang sama adalah nPn dibagi dengan faktorial dari jumlah objek-objek yang sama.
Lebih lanjut dapat simpulkan sebagai berikut:
1. Banyaknya permutasi dari n objek dengan x objek sama (x ≤ n) adalah
2. Banyaknya permutasi yang terdiri dari n objek yang dipilih dari n objek di mana ada beberapa objek sama, misalnya ada m1 objek yang sama, ada m2 objek yang
sama, serta m3 objek yang sama, dan
seterusnya adalah
Contoh soal:
Berapa banyak cara dapat dibentuk dari huruf-huruf:
1. AKSARA 2. CACAH
Pembahasan contoh soal:
1. Perhatikan bahwa pada huruf-huruf AKSARA terdiri dari 6 huruf dengan satu jenis huruf yang sama, yaitu A, yang
berjumlah 3. Sehingga banyaknya permutasi yang dapat disusun ada sebanyak 6!/3! = 120 cara.
2. Pada huruf-huruf CACAH terdiri dari 5 huruf dengan dua jenis huruf yang sama, yaitu C dan A, yang masing-masing
d. Permutasi dengan ulangan
Permutasi dengan ulangan adalah himpunan n buah unsur yang setiap kelompok terdiri dari n unsur pula, serta memperhatikan urutannya dan unsur-unsur dalam tiap kelompok dapat berulang, yang diberi simbol dengan (Pn) dibaca: “Permutasi dengan langan dari n unsur”.[1]
Contoh Soal:
Tentukan permutasi dengan ulangan dari unsur abc.
Jawab:
{aaa, aab, aac, aba, abb, abc, aca, acb, acc, baa, bab, bac, bba, bbb, bbc, bca, bcb, bcc, caa, cab, cac, cba, cbb, cbc, cca, ccb, ccc}
atau Pn=nn e. Permutasi siklis
Permutasi siklis adalah susunan yang berbentuk lingkaran dari n unsur. Misalnya A, B, dan C disusun melingkar.
Jika kita pandang urutan itu searah jarum jam maka susunan ABC, CAB, dan BCA adalah sama. Sehingga banyaknya permutasi siklis dari 3 objek adalah 3!/3 = (3 × 2!)/3 = 2! = 2. Jadi, akan dihasilkan 2 susunan yang berbeda secara siklis dari huruf-huruf A, B, dan C, yaitu ABC dan ACB.
1[] Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
Andaikan sekarang kita mempunyai 4 objek yang akan disusun secara siklis.
Keempat gambar di atas menunjukkan permutasi yang sama. Sehingga banyaknya permutasi siklis dari 4 objek adalah 4!/4 = (4 × 3!)/4 = 3! = 6. Jadi, akan
dihasilkan 6 susunan yang berbeda secara siklis dari huruf-huruf A, B, C, dan D.
Dari kedua contoh diatas dapat disimpulkan bahwa, banyaknya permutasi siklis dari n objek dapat dinyatakan dengan (n – 1)![1]
P=(n−1)!
Untuk lebih memahami mengenai permutasi siklis, khususnya dalam pemecahan masalah, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh Soal:
Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anaknya makan bersama dan mengelilingi sebuah meja makan. Berapa banyaknya cara yang berlainan saat mereka dapat duduk, jika:
1. Mereka berpindah-pindah tempat. 2. Ayah dan Ibu selalu berdekatan. Pembahasan Contoh Soal:
1. Banyaknya anggota keluarga adalah 5 orang (seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anak). Sehingga, banyaknya cara yang
berlainan saat mereka duduk berpindah-pindah tempat adalah (5 – 1)! = 4! = 24 cara. 2. Perhatikan gambar berikut.
Ayah dan ibu selalu berdampingan, sehingga pasangan ini dapat kita anggap satu.
Sehingga terdapat 4 objek yang akan disusun secara siklis. Akan tetapi pasangan ayah dan ibu dapat disusun kembali menjadi 2P2 cara. Sehingga banyaknya susunan agar ayah dan ibu selalu berdekatan adalah (4 – 1)! × 2P2 = 3! × 2! = 12 cara.
B. Variasi
Variasi adalah himpunan n buah unsur yang tiap kelompok terdiri dari r buah unsur dimana r < n dengan memperhatikan urutan dan unsur dalam tiap kelompok tidak ada yang sama. Dan dilambangkan dengan :
Vn r
dibaca “variasi r buah dari n unsur”.
r adalah banyaknya unsur dari tiap kelompok. n adalah banyaknya unsur yang divariasikan. [1]
Contoh Soal 1:
Tentukan variasi 2/2 (dibaca dua dua) dari unsur a b c d
1[] Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
Jawab:
Banyaknya variasi 2/2dari unsur abcd adalah {ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc} atau di peroleh dengan cara:
Untuk r = 2 dan n = 4, diperoleh : V42 = 4 (4-1) = 12
Contoh Soal 2:
Tentukan variasi 2/2 dari n unsur . Jawab:
Misalkan unsur 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . . . . n maka didapatkan sebagai berikut:
Sehingga banyaknya kelompok adalah : Vn2 = n (n – 1) Demikian pula untuk Vn3 = n ( n -1) (n – 2)
Vn4 = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) .
. .
Vn
Contoh soal 1 di atas jika kita gunakan rumus variasi di peroleh :
V42 =
4!
2! = 4 . 3 = 12
Variasi Dengan Ulangan
Variasi dengan ulangan adalah himpunan yang diambil dari n buah unsur yang tiap kelompok terdiri dari r buah unsur dimana urutan di perhatikan serta unsur dari tiap-tiap anggotnya
dapat diulang; dengan simbol: Vn r
dibaca “ variasi dengan
ulangan r unsur yang diambil dari n buah unsur “.[2]
Contoh Soal 1:
Tentukan banyaknya variasi dengan ulangan dari unsur-unsur abcd yang di pariasikan 2 unsur.
Jawab:
Tentukan banyaknya variasi dengan ulangan dari unsur-unsur pqr yang divariaskan 2 unsur.
Jawab:
n = 3 , k = 2
Dapat selesaikan dengan cara seperti berikut:
1[]Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
Hal. 124-125.
2[]Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
Jadi banyaknya susunan ada 9 pasang.
C. Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk r ≤n . Setiap himpunan bagian dengan r unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi r unsur dari n yang dilambangkan
dengan, nCr, Crn , atau C (n,r) dengan rumus:
Crn= n !
(n−r)!r ! , C = Kombinasi
Perbedaan antara permutasi dan kombinasi terletak pada masalah “urutan atau kedudukan” penyusunan dari sekelompok objek. Dalam permutasi masalah urutan atau kedudukan menjadi sangat penting, sedangkan dalam kombinasi tidak mementingkan urutan atau kedudukan dari sekelompok objek tersebut. Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan. {1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.[1]
Contoh soal:
Berapa banyak cara sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang bisa dipilih dari 6 orang?
Jawab:
Karena panitia yang terdiri dari 4 orang merupakan susunan yang tidak terurut, maka masalah ini merupakan kombinasi-4 dari 6 unsur yang tersedia, dimana n = 6 dan r = 4 diperoleh:
C64= 6! (6−4)!4!=
6!
2!4!=
6.5 2 =15
Jadi terdapat 15 cara untuk membentuk sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang bisa dipilih dari 6 orang.
a. Kombinasi pengulangan
Jika S adalah suatu himpunan yang memiliki 4 buah anggota, maka kita dapat menghitung banyak semua himpunan bagian yang beranggotakan 3 elemen dengan cara mendaftar semua himpunan bagian tersebut atau dengan memakai kombinasi, C(4, 3). Karena C(4, 3) = 4, maka banyak semua anggota himpunan bagian S yang beranggotakan 3 elemen ada 4 himpunan. Misalkan S = (a, b, c, d), maka keempat himpunan bagian tersebut adalah {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, dan {b, c, d}. Atau dengan kata lain, kita memiliki 4 cara dalam memilih 3 dari 4 anggota himpunan S tersebut tanpa memperhatikan urutan sedemikian sehingga 3 anggota tersebut semuanya berbeda.
Akan tetapi, berapa cara yang dapat kita lakukan untuk memilih 3 anggota dari himpunan S tersebut tanpa memperhitungkan urutan jika pengulangan diperbolehkan? Agar mudah untuk membayangkannya, kita dapat menganggap anggota-anggota S tersebut sebagai kategori dari objek-objek yang akan kita pilih. Misalkan, jika kategori-kategorinya dilabeli dengan a, b, c, dan d dan tiga anggota dipilih, ada kemungkinan kita akan memilih 2 anggota dalam kategori a dan 1 anggota dari kategori d, atau tiga anggota yang kita pilih semuanya masuk kategori b, atau tiga anggota yang kita pilih masing-masing masuk dalam kategori a, c, dan d. Secara berturut-turut kita dapat menotasikan pilihan-pilihan tersebut sebagai [a, a, d], [b, b, b], dan [a, c, d]. Perhatikan bahwa, karena urutan diabaikan maka [a, a, d] = [a, d, a] = [d, a, a]. [1]
Selanjutnya, perhatikan contoh berikut.
Contoh Soal:
Tulislah semua kombinasi-3 dari {a, b, c, d} sedemikian sehingga pengulangan diperbolehkan.
Jawab:
Karena urutan dari anggota yang dipilih tidak
diperhatikan, maka sebaiknya kita menulis kombinasi-3 tersebut dengan urutan menaik, untuk memastikan bahwa tidak adanya kombinasi yang sama ditulis lebih dari satu kali.
[a, a, a], [a, a, b], [a, a, c], [a, a, d] yang terdiri dari n buah unsur yang tiap anggotanya terdiri dari r buah unsur dan unsur-unsur tersebut dapat pula
Dengan demikian sama dengan kombinasi 5 unsur yang diambil 2/2. Dan pada umumnya berlaku bahwa:
Cnr=Crn+r−1= (n+r−1)!
r !(n+r−1−r)!
b. Kombinasi tanpa pengulangan
Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:
Dimana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.
Contoh:
Kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan rumus di atas maka diperoleh, = 10 kombinasi. Jadi,ada 10 kombinasi pensil yang dapat dibawa ke sekolah.
c. Segitiga Pascal dan Binomium Newton Jika kita ambil
Dari perpangkatan tersebut diperoleh koefisiennya adalah:
1
Selanjutnya barisan koefisien tersebut oleh Newton dianggap sebagai barisan atau deret kombinasi yang beraturan, misalnya:
(a + b)2 = C
1[] Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
(a + b)3 = C
Tentukan koefisien x9 dari perpangkatan (x2 + 3x)8
Jawab:
Suku umumnya dapat ditulis C8r (x2)8-r (3x)r
Dimana: 2(8-r)+r = 9, r = 7. Sehingga koefisiennya
adalah: C87 (x2) (3x)7 = 8.3x9 = 24x9.
D. Perpangakatan Suku Banyak
Bentuk (a+b+c+d+…)n . Misalkan kita akan menghitung banyaknya jenis dari perpangkatan (a+b+c+d+e)n , maka untuk ini harus hitung sebagai berikut :
Banyaknya jenis suku, ini adalah sebuah kombinasi dengan ulangan yang terdiri dari 5 buah unsur yaitu a,b,c,d,e yang dikombinasikan n/n dan boleh mengadakan ulangan dari unsur-unsur itu yang maksimun banyaknya ulangan dari tiap-tiap unsur dalam sebuah kombinasi adalah n buah, misalkan unsur a kita kombinasikan aaaa. . . .n buah menghasilkan
an . Demikian pula unsur-unsur lainnya. Selanjutnya dapat pula dikombinasikan n-1 buah unsur a dan misalnya sebuah unsur b yaitu
an−1 b, demikian seterusnya. Sehingga banyaknya macam unsur itu
adalah sebuah kombinasi dengan ulangan dari 5 unsur yang tiap-tiap kombinasi terdiri dari n unsur dengan demikian didapat:
C n5 = C nn +5-1 = C nn +4
Sehingga jika pada perpangkatan ( a1 + a2 + a3 +. . . .+
ar )n banyaknya jenis suku adalah:
Tentukan banyaknya jenis suku dari perpangkatan
Banyaknya faktor dari perpangkat tersebut adalah
V 7
4 = 47 =16.384
Selanjutnya untuk menghitung koefisien dari apbq; arbsctdu
dan seterusnya. Dari perpangkatan (a+b+c+d)n maka kita peroleh
Dengan singkatan dapat ditulis:
Berapa banyak suku dan faktor dari perpangkatan (a+b+c+d+e)5.
atau sebuah daftar sebagai berikut:
Perpangkatan denga bentuk: (a + bx + cx2 + dx3 + ex4 + ...)n, untuk
menentukan banyak sukunya juga dipergunakan cara seperti di atas yaitu:
atau pada perpangkatan:
(a + ax + ax2 + ax3 + ... + a
nxn-1)n = ( aƩ r xr-1)n
= Ʃ p n !
1! p2! p3! p4!… pn!
ap1ap2ap3… aprxp2+2p3+3p4+4p5+…+(r−1)pr
Dimana:
p1+p2+p3+…+pr=n dan
p2+2p3+3p4+4p5+…+(k−1)pk=r
(r adalah pangkat yang bersangkutan)[1]
Contoh Soal:
Tentukan koefisien x6 dari perpangkatan: (1 + 3x + 5x2 +
7x3)5.
Jawab:
Suku umumnya adalah: p !q !r ! s !5! 1p3q5r7sXq+2r+3s
dimana: p+q+r+s = 5 dan q+2r+3s = 6.
Dengan satu daftar kita dapat harga-harga yang memenuhi yaitu:
P q r s
1 3 5 7
3 - - 2
2 - 3
1 2 2
-1[] Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
Hal. 131-134.
n !
p !q !r ! s !t !u ! v ! w !a p
bqcrdsetfugvhwxq+2r+3s+4t+5u+6v+7w
Dimana p+q+r+s+t+u+v+w = n, dan q+2r+3s+4t+5u+6v+7w = n
Koefisien
0 4 1
-Sehingga koefisien x6 adalah
= ( 5!
3!2!7
2 + 5!
2!3!5
3 + 5!
2!2!3
252 +5!
4!3
45 )x6
= 1051 x6
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa:
1. Permutasi adalah himpunana dari n buah unsur yang tiap kelompok terdiri dari n buah unsur pula dimana dalam tiap kelompok tersebut tidak boleh ada unsur yang sama.
2. Permutasi terdiri atas:
a. Notasi Faktorial
n! = n(n-1)!
b. Permutasi dengan beberapa unsur berbeda
Pr n
= n ! (n−r)!
P= n !
k !l! …m!
d. Permutasi siklis
P=(n−1)!
3. Variasi adalah himpunan n buah unsur yang tiap kelompok terdiri dari r buah unsur dimana r < n dengan memperhatikan urutan dan unsur dalam tiap kelompok tidak ada yang sama.
Vnr
=
n !(n−r)! Rumus Variasi
4. Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk r ≤n .
Crn
= n !
(n−r)!r ! , C = Kombinasi
5. Kombinasi terdiri atas:
a. Kombinasi pengulangan
Cnr=Crn+r−1= (n+r−1)!
r !(n+r−1−r)!
b. Kombinasi tanpa pengulangan
Crn= n ! (n−r)!r !
c. Segitiga Pascal dan Binomium Newton
∑
r=0n
Cnr
a
n-rb
r ; (Rumus Binomium Newton)n buah, misalkan unsur a kita kombinasikan aaaa. . . .n buah menghasilkan an .
C nr = C nn +r-1 (banyaknya jenis suku)
Cmn
=Cmn+n−1
=(m+n−1)!
n !(m−1)!
V n
r = rn (banyaknya faktor perpangkatan) Vmn=mn
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta: Erlangga
Hudoyo Herman.1996/1997. Matematika:Depdikbud.
Alimuddin. 2013. Kuasai Dasar-dasar Matematika SMA/MA.Jakarta:PT Gramedia Widiasarana Indonesia.
LEMBAR PERTANYAAN
Kelompok 7:
Jelaskan kembali seluruh materi yang Anda paparkan secara terperinci beserta pembuktian dan contohnya!
Jawaban:
(Materi telah dijelaskan secara terperinci yang dilengkapi dengan pembuktian dan contoh)
Penjelasan tertulis sebagai berikut:
1. Untuk materi Notasi Faktorial dapat dilihat pengertian yang dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 3-4.
2. Untuk materi Permutasi r unsur berbeda dari n unsur (permutasi dengan unsur berbeda) dapat dilihat pengertian yang dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 4-5.
3. Untuk materi Permutasi dengan beberapa unsur sama dapat dilihat pengertian yang dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 5-7.
5. Untuk materi Permutasi siklis dapat dilihat pengertian yang dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 7-9.
6. Untuk materi Permutasi siklis dapat dilihat pengertian yang dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 7-9.
7. Untuk materi Variasi dapat dilihat pengertian yang dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 10-11.
8. Untuk materi Variasi dengan ulangan dapat dilihat pengertian yang dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 11-12.
9. Untuk materi Kombinasi dapat dilihat pengertian yang dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 12-13.
10. Untuk materi Kombinasi pengulangan dapat dilihat pengertian yang dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 13-15.
11. Untuk materi Kombinasi tanpa pengulangandapat dilihat pengertian yang dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 15-16.
