5.1. Transformasi Integral

5. Transformasi Integral dan Persamaan Integral

5.1. Transformasi Integral 5.2. Transformasi Laplace 5.3. Transformasi Fourier 5.4. Persamaan Integral

5.1. Transformasi Integral

Di dalam Fisika Matematika kita sering menjumpai pasangan fungsi yang dihubungkan sbb:

∫

= ^b

a

dt t K

t f

g(α) ( ) (α, )

Fungsi g(α) disebut transformasi (integral) dari f(t) dengan kernel K(α,t).

Æ Mapping fungsi f(t) di ruang-t dari fungsi g(α) di ruang-α.

Mengapa kita butuh transformasi integral??

Karena dalam banyak kasus masalah lebih mudah diselesaikan dengan cara transformasi dan inversi.

Kita membutuhkan representasi dalam ruang lain.

Contoh di fisika:

waktu Ù frekuensi

ruang real Ù ruang momentum

relatif mudah Problem asal

Solusi problem asal susah

Problem di ruang transformasi

Solusi di ruang transformasi Transformasi

integral

Inverse transformasi

dt e

t f

g

∫

^{∞ i t}

∞

−

= ^α

α π ( )

2 ) 1

(

dt e

t f

g ⁼ ∫

^{∞ − t}

0

) ( )

( α

^α

dt t tJ

t f g

b

a

∫

n

= ( ) ( )

)

(

α α

dt t

t f g

b

a

∫

⁻

= ( ) ¹

)

(

α

^α

Satu diantara transformasi yang terpenting Æ Fourier

Ada tiga lainnya:

Transformasi Laplace:

Transformasi Hankel ( Fourier-Bessel)

Transformasi Mellin

5.2. Transformasi Laplace

dt t F e

dt t F e

t F L s

f ^st

a

st a

) ( )

( )}

( { )

(

0 0

lim

_→∞

∫

⁻

⁼

^∞

∫

⁻

=

=

dt s e

L ^st 1

} 1 {

0

=

= ^∞

∫

⁻

k k s

dt s e

e e

L ^{kt st kt} >

= −

=

∫

^{∞ − 1 ,untuk}

} {

0

Transformasi Laplace f(s) atau L dari F(t) didefinisikan:

Beberapa fungsi sederhana:

1) F(t) = 1, t >0

2) F(t) = e^kt, t >0

2 2

1 1

2 )} 1

{cosh(

k s

s k

s k

kt s

L ⎟ = −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

= −

2 2

1 1

2 )} 1

{sinh(

k s

k k

s k

kt s

L ⎟ = −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

= −

3) Fungsi hiperbolik sinus dan kosinus Karena:

cosh (kt) = ½ (e^kt + e^-kt) dan sinh (kt) = ½ (e^kt - e^-kt)

Maka

dan

2

)}

2

{cos(

k s

kt s

L = +

2

)}

2

{sin(

k s

kt k

L = +

1 0

} !

{

₊

∞

−

=

= ∫

^{st n s}

t

s dt n

t e t

L

4) Fungsi sinus dan kosinus biasa dengan menggunakan:

cos (kt) = cosh (ikt) dan sin (kt) = −i sinh (ikt) diperoleh:

dan

5) F(t) = tⁿ

s 1

k s −

1

2

2 k

s s

−

2 2 k s

k

−

2

2 k

s s +

2

2 k

s k +

1

!

+

sn

n

Tabulasi:

tⁿ sin (kt) cos (kt) sinh (kt) cosh (kt)

e^kt 1

f(s) F(t)

Tabel lengkap dapat dilihat di Arfken

) ) (

(

_{2 2}

2

k s

s s k

f = +

) ) (

(

_{2 2}

k s

C Bs

s s A

f +

+ +

=

) (

) 1

(

_{2 2}

k s

s s s

f = − +

Contoh soal:

1. Carilah F(t) bila

Jawab:

Fungsi f(s) dapat diuraikan menjadi:

dengan substitusi balik, diperoleh A = 1, B = -1, C = 0, sehingga:

dengan demikian inverse f(s) menjadi:

F(t) = 1 − cos (kt)

2

)

2

( s k

s s

f = −

2. Carilah F(t) bila

Jawab:

Fungsi f(s) dapat diuraikan menjadi:

k s

D Cs

k s

B s As

f −

+ + +

= + ) (

dengan substitusi balik, diperoleh A =0, B = 1/2, C = 0, D=1/2 sehingg

2 2

2 2

k s

Dk Cks

Ds Cs

Bk Bs

Aks As

−

+ +

+ +

− +

= −

∞

∫

=

− 0

)}

( '

{ dt

dt e dF

t F

L

^st

∫

∞

∞ −

−

+

=

0

0

( )

) ( )}

( '

{ F t e F t s e F t dt

L

^{st st}

Turunan Transformasi Laplace per-definisi:

integrasi bagian:

= sL{F(t)} – F(0) kalau diteruskan

L{F⁽²⁾ (t)} = s² L{F(t)} – sF(t) – F′⁽⁰⁾ dan seterusnya:

L{F⁽ⁿ⁾ (t)} = sⁿ L{F(t)} – s^n-1F(t) – s^n-1F′ (t) …– F^(n-1)(0)

Contoh di Fisika:

Kasus osilator harmonis:

A t=0, y =y_o, y′=0 F = ^– ky Æ y′′ + ω²y = 0

Kalau pada persamaan diferensial kita lakukan tranformasi Laplace:

L{ y′′} = ^– ω^{2 L{y}}

s² L{y} – sy(0) – y′(0) = ^– ω² L{y}

masukkan syarat batas, diperoleh:

2 0

} 2

{ y

s y s

L = +

ω

inverse transformasi ini menghasilkan:

y = y_o cos ω^t (seperti yang diharapkan)

Pertanyaan, apabila syarat batas diubah menjadi t=0, y =0, y′=v_o

apa yang terjadi?

(Jawab: y = v_o/ω ^sin ωt, buktikan!)

2

)2

} ( sin

{ s a k

kt k e

L ^at

+

= −

2

)2

(

) } (

cos

{ s a k

a kt s

e L ^at

+

−

= −

⎭⎬

⎫

⎩⎨

= ⎧

∫

∞

t t L F

dx x f

s

) ) (

(

Sifat-sifat lain fungsi Laplace 1.Substitusi

f(s-a) = L{e^atF(t)} (buktikan!) Sehingga:

2. Translasi

e^-bs f(s) = L{F(t-b)} (buktikan!) 3. Turunan suatu transformasi

Turunan ke-n:

f⁽ⁿ⁾(s) = L{(-t)ⁿ F(t)} (buktikan!) 4. Integrasi suatu transformasi

Contoh kasus: Osilator Teredam

Kasus getaran harmonis teredam:

dengan m,k,b adalah konstan.

Bila kita gunakan kondisi inisial X(0)=X

₀

, X’(0)=0, maka persamaan transformasi menjadi:

dan

0 )

( )

( )

(

^'

"

t + bX t + kX t =

mX

0 )

( ]

) ( [

] )

(

[ s

²

x s − sX

₀

+ b s x s − X

₀

+ kx s = m

k bs

ms

b X ms

s

x + +

=

_{0 2}

+ )

(

Persamaan terakhir dapat diselesaikan dengan melengkapi ^kuadrat penyebut sbb:

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

= +

+

²₂

2 2

4

2 m

b m

k m

s b m

s k m s b

Apabila faktor redaman (damping) kecil, b

²

<4 km, suku terakhir adalah positif dan sebut sebagai ω

₁²

2 1 0 2

) 2 / (

) /

( + + ω

= +

m b

s

m b

X s s

x

2 1 2

1 1

2 0 1 0 2

) 2 / (

) 2

/ ( )

2 / (

2 /

ω ω ω

ω + + +

+ +

= +

m b

s

m X b

m b

s

m b

X s

Kita gunakan

Didapat:

dengan

2

)2

} ( sin

{ s a k

kt k e

L ^at

+

= −

2

)2

(

) } (

cos

{ s a k

a kt s

e L ^at

+

−

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= ⁻ t

m t b

e X t

X ^{b m t} ₁

1 1

) 2 / (

0 sin

cos 2 )

(

ω

ω ω

) cos( ₁

) 2 / ( 1 0

0

ω ϕ

ω

ω

₋

= X e^{− b m t} t

m k

m b

=

=

2 0

2

1

tan

ω

ϕ ω

RLC Analog

Ada keserupakan antara osilator harmonis teredam dengan rangkaian RLC

= 0 +

+ C

RI q dt

L dI

R

C I

L

1 0

2

2 + + I =

C dt

R dI dt

I L d

Dari hukum Kirchchoff:

Didiferensialkan:

0 )

( )

( )

(

^'

"

t + bX t + kX t =

mX

Analog dengan problem mekanika.

5.3. Transformasi Fourier

dt e

t f

g ^∞

∫

^{i t}

∞

−

= ^α

α π ^{( )}

2 ) 1

(

Secara Matematik transformasi Fourier dikembangkan dari deret Fourier. Secara detail dapat dilihat di Arfken.

Inversnya:

dt e

g t

f

∫

^{∞ i t}

∞

−

= α − ^α

π ^{( )}

2 ) 1

(

Berbagai macam bentuk TF

Pasangan transformasi Fourier

∞

∫

∞

−

= h t e− dt

H(f) ( ) ^i2πft

∫

^∞

∞

−

=

⇔ h(t) H( f )e^i2πftdf

∞

∫

∞

−

= f x e− dx

F(α) ( ) ^{iαx ∞}

∫

∞

−

= F e dx

x

f α ^iαx

π ^{( )} 2

) 1

⇔ (

∞

∫

∞

−

= g k e− dk

x

f ( ) ^ikx

2 ) 1

(

π

∞

∫

∞

−

= f x e dx

k

g ( ) ^ikx

2 ) 1

(

π

^⇔

∞

∫

∞

−

= g k e− dk

x

f ( ) ^ikx

2 ) 1

( π ^∞

∫

∞

−

= f x e dx

k

g ( ) ^ikx

2 ) 1

( π

∞

∫

∞

−

−

= g k e− dk

t x

f ( ) ^{ik(x t)}

2 ) 1

,

( ^ω

π

Di Mekanika Kuantum:

Paket gelombang, f(x), dengan gelombang dalam bilangan gelombang, g(k)

Ù

Lebih lengkap:

Jadi cukup banyak cara penulisan transformasi Fourier, pilih salah satu dan harus konsisten!

∞

∫

∞

−

=

h t e− dt f

H

( ) ( )

^2πift

)

|

(

) (

|

H f e^{iθ f}

) ( )

(

| ) (

| H f = R² f + I ² f

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

) (

) arctan (

)

( R f

f f I

θ

Sekarang kita lihat kenyataan bahwa pada umumnya hasil transformasi Fourier adalah fungsi kompleks.

Kompleks Maka:

H(f) = R(f) + i I(f)

(real) (imaginer)

=

fase dengan

Topik-topik tersisa

z

Teorema Konvolusi

z

Representasi Momentum

z

Persamaan Integral