PENENTUAN BANYAKNYA SUBMATRIKS GANJIL BERUKURAN 2 2 DARI MATRIKS (0,1) MELALUI MATRIKS HADAMARDNYA GRESI GARNITA

GRESI GARNITA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

PENENTUAN BANYAKNYA SUBMATRIKS GANJIL BERUKURAN

2× 2 DARI MATRIKS (0,1) MELALUI MATRIKS HADAMARDNYA

GRESI GARNITA G54101029

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

ALIATININGTYAS and TEDUH WULANDARI.

Matrix (0,1) is a matrix with entries 0 and 1. From this matrix it was found the number of 2

2× odd submatrices. Odd submatrices were introduced by Pinelis at 1994. Pinelis denoted N as the number of submatrices in matrix (0,1) and E is even submatrices, so the number of odd submatrices is N – E.

In the year 2003, Mark et all introduced the theorems that in count add submatrices direcly without calculating N and E. The theorems use a Hadamard matrix. Hadamard matrix is an orthogonal matrics with entries 1 and -1.

The number of 2×2 odd submatrices of (0,1) is a multiplications between a combinations of elected 2 rows from m rows with the number of coloums which the same entries and the number of coloums which yhe different entries.

The number of odd submatrices is maximized if the number of coloums which the same entries and the number of coloums which the different entries have the same or as nearly same integer value.

Thus the number of 2×2 odd submatrices will be maximum if hadamard matrix from matrix (0,1) is exist and if any rows from m rows is deleted, than the yields of deleting still maximum.

Moreover, if matrix B is a matrix obtained from A by exchange any pair of rows and any pair of coloums, replace the 0’s by 1’s anf 1’s by 0’1 or take the transpose, than the number of

2

2× odd submatrices of A and B are same.

ABSTRAK

GRESI GARNITA. Penentuan Banyaknya Submatriks Ganjil Berukuran 2×2 dari Matriks (0,1) Melalui Matriks Hadamardnya. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan TEDUH WULANDARI.

Matriks (0,1) adalah matriks yang unsur-unsurnya hanya terdiri dari angka 0 dan 1. Dari matriks ini akan ditentukan banyaknya submatriks ganjil berukuran 2×2. Istilah submatriks ganjil pertama kali diperkenalkan oleh Pinelis pada tahun 1994 dalam karyanya yang berjudul Designs, Codes, and Cryptography. Dalam karyanya tersebut, Pinelis menotasikan N  sebagai banyaknya submatriks yang mungkin diperoleh dari matriks (0,1) dan E  sebagai submatriks genapnya, sehingga banyaknya submatriks ganjil dapat diperoleh dengan mengurangkan N oleh E.

Akan tetapi pada tahun 2003, Mark dkk. menemukan formula (teorema) yang dapat langsung digunakan untuk mencari sumatriks ganjil tanpa harus menentukan N dan E terlebih dahulu, melainkan melalui matriks Hadamardnya. Matriks Hadamard adalah matriks yang unsur- unsurnya hanya memuat angka 1 dan -1 dan memiliki sifat AA^T=nI dan A^TA=nI. Banyaknya submatriks ganjil dari matriks (0,1) merupakan perkalian antara kombinasi pemilihan 2 baris dari m baris dengan banyaknya kolom yang unsur-unsurnya sama dan banyanya kolom yang unsur- unsurnya tidak sama.

Banyaknya submatriks ganjil dari matriks (0,1) akan bernilai maksimum jika banyaknya kolom yang unsur-unsurnya sama dengan banyaknya kolom yang unsur-unsurnya tidak sama bernilai sama atau mendekati sama.

Dengan demikian banyaknya submatriks ganjil berukuran 2×2 akan bernilai maksimum jika matriks Hadamard dari matriks (0,1) ada dan jika sembarang baris dari m baris di hapus dari matriks tersebut, maka matriks dengan m sisa penghapusannya akan tetap bernilai maksimum.

Selain itu, jika matriks B yang diperoleh dari A dengan menukar setiap pasang baris, mengganti unsur 0 dengan 1 dan unsur 1 dengan 0, juga dengan melakukan transpose matriks, maka banyaknya submatriks ganjil pada kedua matriks tersebut adalah sama.

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

GRESI GARNITA G54101029

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

Judul : Penentuan banyaknya submatriks ganjil berukuran

2×2

dari matriks (0,1) melalui matriks Hadamardnya

Nama : Gresi Garnita

NRP : G54101029

Menyetujui:

Pembimbing I,

Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si.

NIP. 131 779 501

Pembimbing II,

Teduh Wulandari, M.Si.

NIP. 132 232 006

Mengetahui:

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasim, DEA NIP 131 578 806

Tanggal Lulus:

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Allah SWT, atas segala kekuatan yang telah diberikan sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan.

2. Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si. selaku dosen pembimbing I.

3. Teduh Wulandari, M.Si. selaku dosen pembimbing II.

4. Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. selaku moderator seminar dan dosen penguji.

5. Kedua orang tua yang dengan sabar menanti dan mendukung penulis. Bapa, ibu, ini sedikit hadiah kecil yang baru bisa ku persembahkan saat ini. Semoga Allah selalu menyayangi mpa & mbu, seperti kalian yang dengan sabar menyayangi teteh hingga teteh jadi seperti sekarang ini. Untuk kedua adikku, kalian adalah motifator terbesar, semoga teteh bisa jadi contoh untuk kalian. Raihlah cita-cita dan impian kalian, teteh akan selalu mendukung lahir dan bathin, karena teteh sayang kalian. Kepada keluarga besar Bandung juga Pekalongan, terima kasih atas doa, kesabaran, dukungan, dan semua perhatiannya.

6. Isdad Fuadi Sakbana, S.Si. terima kasih atas segala perhatian, kasih sayang, dukungan dan kesabaran lahir bathin yang diberikan selama ini. Semoga Allah senantiasa selalu melindungi kita dan memberkahi setiap langkah kita. Amin.

7. Teman-teman 38 yang telah jauh mendahului penulis, terima kasih atas kebersamaan dan semoga silaturahmi kita akan selalu terjaga.

8. Saudari satu kosan tercinta, Mba’Weni, Dewi, Utie, Sarmah, Eka, Yani, terima kasih atas segala-galanya. Semoga Allah selalu menjaga silaturahmi dan kelak akan mempersatukan kita kembali dalam keadaan yang lebih indah dari hari-hari yang telah kita lalui bersama.

9. Novi (38), ikhe & Weni (39), terima kasih kalian selalu bersedia menjadi pendengar setia saat penulis kalut, Sugeng (38), maksih atas tumpangannya, semoga cepat menyusul, Nisa (40) dan Nidya(41), terima kasih bersedia jadi pembahas.

10. Bu Susi, Bu Ade, Bu Marisi, Mas Bono, Mas Deni, Pak Yono, terima kasih atas segala bantuannya.

11. Orang tua murid-murid ku yang telah menjadi orang tua kedua dan murid-muridku yang selalu membagi keceriaannya.

12. Semua pihak yang tak mungkin penuis sebutkan satu per satu. Terima kasih atas segalanya.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Mei 2008

Gresi Garnita

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandung pada tanggal 2 Agustus 1983 sebagai anak pertama dari empat bersaudara. Ayah penulis bernama Ido Rusdiana dan Ibu bernama Euis Ismayati.

Pada tahun 1995 penulis menyelesaikan pendidikan di SD Negeri Sukagalih Barat, Bandung.

Ditahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan di SLTP Indonesia Raya, Bandung. Pada tahun 2001 penulis lulus dari SMU Pasundan 3, Bandung dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB.

Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan mahasiswa yaitu sebagai anggota Departemen Kaderisasi dan Kesekretariatan (Diskret) Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) IPB periode 2001/2002 dan sebagai seksi konsumsi dalam acara Cerdas Tangkas Matematika (CTM) Gumatika IPB periode 2002/2003. Penulis juga aktif sebagai panitia pada beberapa acara antara lain Pesta Sain 2002, Masa Perkenalan Departemen tahun 2003 dan tahun 2004. Menjadi pengajar bimbingan belajar Ampuh pada tahun 2004. Ditahun yang sama penulis mulai aktif sebagai pengajar privat hingga sekarang.

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

II LANDASAN TEORI 2.1 Definisi matriks (0,1) ... 2

2.2 Definisi Matriks Ganjil ... 3

2.3 Definisi Matriks Sempurna ... 3

2.4 Definisi Matriks Hadamard ... 4

2.5 Bentuk Umum Formula Submatriks Ganjil ... 6

III PEMBAHASAN 4.1 Teorema 3.1 ... 8

4.2 Teorema 3.2 (Bentuk Umum Submatriks Ganjil dari Matriks (0,1) Sempurna dan Mendekati Sempurna ... 9

4.3 Teorema 3.3 (Banyaknya Submatriks Ganjil dari Matriks (0,1) Dengan n = 4k ... 9

4.4 Teorema 3.4 (Banyaknya Submatriks Ganjil dari Matriks (0,1) Dengan n = 4k-1 .. 10

4.5 Teorema 3.5 (Banyaknya Submatriks Ganjil dari Matriks (0,1) Dengan n = 4k+1 11

4.6 Teorema 3.6 (Banyaknya Submatriks Ganjil dari Matriks (0,1) Dengan n = 4k-2 .. 11

IV SIMPULAN 4.1 Simpulan ... 12

DAFTAR PUSTAKA ... 13

LAMPIRAN ... 14

10

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1. Contoh Ilustrasi teorema 3.1 ... 13 2. Contoh Ilustrasi teorema 3.3 – 3.6 ... 17

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Submatriks dari matriks A adalah sembarang matriks yang didapat dengan cara menghilangkan beberapa baris atau kolom tertentu dari matriks A . Matriks A itu sendiri dapat dipandang sebagai submatriks dari A.

Istilah submatriks ganjil pertama kali dikemukakan oleh Pinelis (1994). Dalam karyanya tersebut, Pinelis mendefiniskan submatriks ganjil sebagai submatriks yang jumlah unsur-unsurnya merupakan bilangan bulat ganjil.

Pada karyanya tersebut, dijelaskan bahwa untuk menentukan banyaknya submatriks ganjil Pinelis harus mencari submatriks genap dari semua submatriks yang ada pada matriks (0,1). Langkah awal untuk menghitungnya adalah dengan menentukan N yang telah ditetapkan (Designs, Codes, and Cryptography (1994)).

Jika banyaknya submatriks ganjil yang mungkin diperoleh dari matriksA dinotasikan dengan G

(

A;p,q

)

dan banyaknya submatriks genap yang mungkin diperoleh dari matriks

A dinotasikan dengan E

(

A;p,q

)

, maka

menurut Pinelis banyaknya submatriks yang mungkin diperoleh dari matriks A adalah

(

A p q

)

E

(

A p q

)

G

N = ; , + ; ,

Demikian sehingga submatriks ganjil diperoleh dari selisih antara N dan E

Akan tetapi, Mark dkk. (2003) menemukan formula (teorema) yang dapat langsung digunakan untuk menghitung banyaknya submatriks ganjil tanpa harus mencari submatriks genap terlebih dahulu melainkan melalui matriks Hadamardnya.

Dalam karya ilmiah ini, submatriks ganjil yang akan dibahas adalah submatriks berorde 2× . Semua bahasan tersebut direkonstruksi 2 dari tulisan Mark dkk. (2003).

1.2 Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah 1. Membuktikan bahwa untuk sembarang

matriks B yang diperoleh dari matriks A, dengan ketentuan tertentu, maka jumlah submatriks ganjil dari kedua matriks tersebut adalah sama.

2. Menghitung banyaknya submatriks ganjil berukuran 2× dari matriks (0,1) melalui 2 matriks Hadamardnya.

II. LANDASAN TEORI

Definisi 2.1

Matriks merupakan kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang atau bujursangkar dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Secara umum

dapat ditulis matriks A=

( )

aij dengan a _ij

adalah unsur matriks A, dan

n j

m

i=1,2,K, ; =1,2,K, matriks A dapat ditulis dalam bentuk:

12

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

mn m

m

n n

a a a

a a a

a a a A

L M O M M

L L

2 1

2 22 21

1 12 11

(Anton, 1987)

Definisi 2.2

Putaran (transpos) dari suatu matriks A, ditulis A^T adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti setiap baris dari A menjadi kolom, atau sebaliknya. Sehingga, jika A=

( )

aij _m×n, maka

( )

ji _{n m}

T a

A = _× , seperti berikut:

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

mn n

n

m m T

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

L M O M M

L L

L M O M M

L L

2 1

2 22

12

1 21

11

2 1

2 22

21

1 12

11

Jika matriks A berukuran m× , maka n AT berukuran n× . m

(Anton, 1987)

Definisi 2.3

Suatu matriks A yang unsur-unsurnya hanya memuat angka 0 dan 1 disebut sebagai matriks (0,1) atau binary matrices.

(Mark dkk, 2003) Definisi 2.4

Suatu matriks (0,1) dikatakan ganjil jika jumlah dari semua unsurnya merupakan bilangan bulat ganjil, dan dikatakan genap jika sebaliknya.

Sebagai ilustrasi, dapat dilihat pada contoh berikut:

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

0 1 1 0

1 1 0 0

1 0 1 0

0 0 0 0 , 0 1 0 0

1 1 0 0

1 0 1 0

0 0 0 0

C B

Matriks B merupakan contoh matriks- (0,1) ganjil, karena jumlah unsur-unsur pada

matriks tersebut 5 sedangkan matriks C merupakan contoh matriks-(0,1) genap karena jumlah unsur-unsur pada matriks tersebut 6.

(Mark dkk, 2003)

Definisi 2.5

Diberikan A adalah matriks-(0,1) berorde m× . Untuk sembarang baris ke-s n dan ke-t pada A, A menyatakan submatriks _st yang dibangun oleh baris ke-s dan ke-t.

(Mark dkk, 2003)

Definisi 2.6

Diberikan matriks A (0,1) berukuran n

m× dan A adalah submatriks yang _st dibangun oleh baris ke-s dan ke-t dari matriks A.

1. Banyaknya submatriks genap berukuran q

p× dari A dinotasikan dengan _st

(

^{A p q}

)

e _st; , dan ^E

(

^A;p,q

)

menotasikan banyaknya submatriks genap yang mungkin diperoleh oleh matriks A.

2. Banyaknya submatriks ganjil berukuran q

p× dari A dinotasikan dengan _st

(

^{A p q}

)

g _st; , dan G

(

A;p,q

)

menotasikan banyaknya submatriks ganjil yang mungkin diperoleh oleh matriks A.

(Mark dkk, 2003)

Definisi 2.7

Diberikan matriks A (0,1) berorde m× . n Untuk sembarang baris ke- s dan ke-t pada

A, S ,

( )

st menyatakan banyaknya kolom yang unsur-unsur pada baris ke- s dan ke-t bernilai sama (keduanya 0 atau keduanya 1), sedangkan D ,

( )

st menyatakan banyaknya kolom yang unsur-unsur pada baris ke-s dan

ke-t bernilai tidak sama (baris ke- s bernilai 0 dan ke-t bernilai 1, atau sebaliknya).

(Mark dkk, 2003) Dari definisi di atas diperoleh sifat berikut

Diberikan matriks A (0,1) berorde m× . n Jika dari A diperoleh S ,

( )

st dan D ,

( )

st , maka banyaknya submatriks ganjil dari setiap pemilihan baris ke-s dan ke-t dari matriks

Adiperoleh sebanyak

( ) ( )

st Dst S , ⋅ ,

Sebagai ilustrasi, diberikan contoh berikut ini

Misal diberikan matriks (0,1) berikut:

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

= 1 0 1

1 0 0

0 1 1 A

Misalkan baris kedua adalah baris yang terpilih sebagai s dan baris ketiga adalah baris yang terpilih sebagai t, maka diperoleh seperti berikut

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

1 0 1

1 0 0 A23

Dari pemilihan baris tersebut S

( )

s,t =2 sedangkan D

( )

s,t =1, maka banyaknya submatriks ganjil berorde 2× menurut Sifat 2 1 adalah sebanyak S

( ) ( )

s,t ⋅Ds,t =2.

Begitu pula untuk pemilihan baris-baris yang lainnya, dapat ditentukan dengan cara yang sama.

Definisi 2.8

Misalkan s dan t adalah baris-baris dari matriks A berukuran m× . Pasangan baris n

( )

s,t dikatakan sempurna jika

( ) ( )s,t −Ds,t =0

S . Pasangan

( )

s,t dikatakan mendekati sempurna jika S

( ) ( )

s,t −Ds,t =1.

(Mark dkk, 2003)

Definisi 2.9

Suatu matriks-(0,1) dikatakan sempurna jika setiap pasang barisnya sempurna, dan dikatakan mendekati sempurna jika setiap pasang barisnya mendekati sempurna.

(Mark dkk, 2003) Dari definisi di atas diperoleh sifat berikut

Diberikan matriks A (0,1) berorde m× . n 1. Untuk n genap maka kemungkinan yang

terjadi adalah

a. Matriks A merupakan matriks (0,1) yang sempurna

b. Matriks A merupakan matriks (0,1) yang tak sempurna

2. Untuk n ganjil maka kemungkinan yang terjadi adalah

a. Matriks A merupakan matriks (0,1) yang mendekati sempurna

b. Matriks A merupakan matriks (0,1) yang tak sempurna

Bukti:

1. Untuk n genap

a. Diberikan matriks A (0,1) berorde m× . Dari setiap pemilihan baris n pada A yang akan dibentuk menjadi

A pastilah terdiri dari 2 baris dan 2 st

kolom. Menurut Definisi 7, S ,

( )

st adalah banyaknya kolom yang sama dan D ,

( )

st adalah sebaliknya sehingga

( ) ( )

st Dst n

S , + , = . Karena jumlah kolom pada matriks A adalah genap,

14

akibatnya jika

( ) ( )

, 2

, n

t s D t s

S = = , dan

menurut definisi 8, S

( ) ( )

s,t −Ds,t =0 maka A dengan n genap adalah matriks sempurna.

b. Sedangkan jika S

( )

s,t ≠D

( )

s,t , maka

( ) ( )

s,t −Ds,t ≠0

S dan juga

( ) ( )

s,t −Ds,t ≠1

S , sehingga menurut

Definisi 8, matriks tersebut bukan matriks yang sempurna ataupun mendekati sempurna.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa matriks (0,1) dengan n genap genap pastilah matriks yang sempurna atau tak sempurna.

2. Untuk n ganjil

a. Diberikan matriks A (0,1) berorde m× . Dari setiap pemilihan baris n pada A yang akan dibentuk menjadi

A pastilah terdiri dari 2 baris dan 2 st

kolom. Menurut Definisi 7, S ,

( )

st adalah banyaknya kolom yang sama dan D ,

( )

st adalah sebaliknya sehingga

( ) ( )

st Dst n

S , + , = . Karena jumlah kolom pada matriks A adalah ganjil, akibatnya S

( ) ( )

s,t −Ds,t =1, menurut Definisi 8, A adalah matriks yang mendekati sempurna.

b. Sedangkan jika S

( )

s,t ≠D

( )

s,t , maka

( ) ( )

s,t −Ds,t ≠0

S dan juga

( ) ( )

s,t −Ds,t ≠1

S , sehingga menurut

Definisi 8, matriks tersebut bukan matriks yang sempurna ataupun mendekati sempurna.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa matriks (0,1) dengan n genap,

pastilah matriks yang sempurna atau tak sempurna. Sedangkan matriks (0,1) dengan n ganjil, pastilah matriks yang mendekati sempurna atau tak sempurna.

Definisi 2.10

Misalkan A adalah matriks (1,-1) berorde n . Matriks A dikatakan matriks Hadamard jika AA^T =nI atau A^TA=nI. Contoh:

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

= −

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 A

(Zhang, 1999)

Definisi 2.11

Misalkan A adalah matriks (0,1) dan B adalah matriks (1,-1).

a. J

( )

B menotasikan matriks (0,1) yang diperoleh dari B dengan mengganti angka 1 dengan 0 dan angka -1 dengan 1.

b. K( )A menotasikan matriks (1,-1) yang diperoleh dari A dengan mengganti angka 0 dengan 1 dan angka 1 dengan -1.

(Mark dkk, 2003) Sebagai ilustrasi, dapat dilihat pada contoh berikut

Diberikan matriks A dan B sebagai berikut

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 1 0 0 A

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

−

−

−

=

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 B

Maka menurut definisi 2.11 kedua matriks tersebut menjadi

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

1 0 0 1

1 0 1 0

0 1 0 1

1 1 0 0 ) (B

J ^dan

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

−

−

−

=

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 ) ( A K

Teorema 2.1

Misalkan H adalah matriks (1,-1).

Pernyataan berikut ekuivalen : a) H adalah matriks Hadamard.

b) J( )H sempurna Bukti:

Akan dibuktikan jika H adalah matriks Hadamard, maka J( )H adalah matriks (0,1) yang sempurna

Diketahui bahwa H adalah matriks Hadamard. Menurut Definisi 2.11, jika H adalah matriks Hadamard, maka J( )H adalah matriks (0,1) yang sempurna yang diperoleh dari H dengan mengganti unsur yang bernilai 1 dengan 0 dan unsur yang bernilai -1 dengan 1. Jadi terbukti bahwa jika H adalah Hadamard, maka J( )H adalah matriks (0,1) yang sempurna.

Akan dibuktikan jika J( )H adalah matriks (0,1) yang sempurma, maka H adalah matriks Hadamard.

Diberikan J( )H adalah matriks (0,1) yang sempurna. Menurut Definisi 2.11, J( )H adalah matriks (0,1) yang sempurna yang diperoleh dari matriks Hadamard dengan mengganti unsur yang bernilai 1 dengan 0 dan unsur yang bernilai -1 dengan 1. Jadi terbukti

bahwa jika J( )H adalah matriks (0,1) yang sempurna, maka H adalah matriks Hadamard.

Selanjutnya karena untuk kedua kondisi tersebut terbukti bahwa untuk H adalah matriks Hadamard maka J( )H sempurna.

Selanjutnya, dari Teorema tersebut akan mengakibatkan kondisi berikut

Akibat ( )

J B merupakan matriks sempurna jika dan hanya jika B adalah matriks Hadamard.

( )

K A merupakan matriks Hadamard jika dan hanya jika A adalah matriks (0,1).

Bukti:

Berdasarkan Definisi 2.11 dan Teorema 2.1, jelas bahwa akibat 1 berlaku.

Dari penjabaran beberapa teori di atas dapat disimpulkan bahwa banyaknya submatriks ganjil berukuran 2× dari matriks 2 (0,1) adalah hasil perkalian dari kombinasi dua baris dengan banyaknya kolom yang unsur-unsurnya sama dan banyaknya kolom yang unsur-unsurnya tidak sama. Misalkan banyaknya kolom yang unsur-unsurnya sama dinotasikan dengan

⎥⎦⎥

⎢⎣⎢ 2

n dan banyaknya

kolom yang unsur-unsurnya tidak sama dinotasikan dengan

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ 2

n atau berlaku

sebaliknya, maka akan diperoleh kondisi berikut

Diberikan matriks A (0,1) berorde m× . n Banyaknya submatriks ganjil berorde 2× 2 dari matriks A dapat ditentukan oleh:

16

( )

( )

, ganjil

2 1 2

1 2 2

, 2

; ,

genap 2 ,

2 2 2

, 2

; ,

n n m n

n m G

n n m n n

m G

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ −

⎥⎦⎥

⎢⎣⎢ +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

≤⎛

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎦⎥

⎢⎣⎢

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

≤⎛

(1)

(Mark dkk, 2003) Sebagai ilustrasi, dapat dilihat pada contoh berikut

Misal diberikan matriks C seperti di bawah ini, angka 0 dan 1 dipasangkan sedemikian sehingga dapat menghasilkan jumlah submatriks 2× yang maksimum. 2

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

0 1 1 0

1 1 0 0

1 0 1 0

0 0 0 0 A

• Dari matriks A di atas, pilih baris ke-1 dan ke-2 untuk dijadikan subsmatriks, sehingga diperoleh bentuk sebagai berikut:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

1 0 1 0

0 0 0 0 A12

Menurut Definisi 7, jumlah S

( )

1,2 =2 dan D

( )

1,2 =2, sehingga diperoleh

(

A₁₂;2,2

)

=4

g atau S

( ) ( )

1,2⋅ D1,2 =4.

• Pilih kembali submatriks yang akan dibentuk, misalkan pilih baris ke-1 dan ke-3, sehingga diperoleh bentuk sebagai berikut:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

1 1 0 0

0 0 0 0 A13

Menurut Definisi 7, jumlah S

( )

1,3 =2 dan D

( )

1,3 =2, sehingga diperoleh

(

A₁₃;2,2

)

=4

g atau S

( ) ( )

1,3⋅ D1,3 =4.

• Begitu pula untuk pemilihan baris ke-1 dan ke-4, diperoleh bentuk sebagai berikut:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

0 1 1 0

0 0 0 0 A14

Menurut Definisi 7, jumlah S

( )

1,4 =2 dan D

( )

1,4 =2, sehingga diperoleh

(

A₁₄;2,2

)

=4

g atau S

( ) ( )

1,4⋅ D1,4 =4.

• Pilih baris ke-2 dan ke-3, sehingga diperoleh bentuk sebagai berikut:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

1 1 0 0

1 0 1 0 A23

Menurut Definisi 7, jumlah S

( )

2,3 =2 dan D

( )

2,3 =2, sehingga diperoleh

(

A23^;2,2

)

=⁴

g atau S

( ) ( )

2,3⋅ D2,3 =4.

• Pilih baris ke-2 dan ke-4, sehingga diperoleh bentuk sebagai berikut:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

0 1 1 0

1 0 1 0 A24

Menurut Definisi 7, jumlah S

( )

2,4 =2 dan D

( )

2,4 =2, sehingga diperoleh

(

A24^;2,2

)

=⁴

g atau S

( ) ( )

2,4⋅ D2,4 =4.

• Pilih baris ke-3 dan ke-4, sehingga diperoleh bentuk sebagai berikut:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

0 1 1 0

1 1 0 0 A34

Menurut Definisi 7, jumlah S

( )

3,4 =2 dan D

( )

3,4 =2, sehingga diperoleh

(

A34^;2,2

)

=⁴

g atau S

( ) ( )

3,4⋅ D3,4 =4. Dari penjabaran di atas, banyaknya submatriks ganjil yang diperoleh dari matriks

A adalah sebanyak 4+4+4+4+4+4 = 24 di mana penjumlahan tersebut menghasilkan jumlah submatriks yang maksimum. Hal ini disebabkan karena matriks Hadamard dari matriks A ada, sehingga G

(

4,4;2,2

)

dari matriks tersebut maksimum.

Hasil di atas dapat diperoleh juga dengan menggunakan persamaan (1), yakni

( )

( )

24 1 4 2 1 2

1 2 3 4

4 16

! 2

! 2

! 4

2 4 2 4 2 4

2 2 2

2 2 2 2

, 2

; 3 , 3

= × × ×

×

×

= ×

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎦⎥

⎢⎣⎢

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

n m n

n m n G

Adapun contoh untuk matriks yang tidak menghasilkan submatriks ganjil maksimum adalah sebagai berikut.

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

0 0 1 1

1 0 0 1

1 1 0 0

1 0 1 0 X

• Dari matriks X di atas, pilih baris ke- 1 dan ke-2 untuk dijadikan subsmatriks, sehingga diperoleh bentuk sebagai berikut:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

1 1 0 0

1 0 1 0 X12

Menurut Definisi 7, jumlah S

( )

1,2 =2 dan D

( )

1,2 =2, sehingga diperoleh

(

X12^;2,2

)

=⁴

g atau S

( ) ( )

1,2⋅ D1,2 =4.

• Pilih kembali submatriks yang akan dibentuk, misalkan pilih baris ke-1 dan ke-3, sehingga diperoleh bentuk sebagai berikut:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

1 0 0 1

1 0 1 0 X13

Menurut Definisi 7, jumlah S

( )

1,3 =2 dan D

( )

1,3 =2, sehingga diperoleh

(

X₁₃;2,2

)

=4

g atau S

( ) ( )

1,3⋅ D1,3 =4.

• Begitu pula untuk pemilihan baris ke-1 dan ke-4, diperoleh bentuk sebagai berikut:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

0 0 1 1

1 0 1 0 X14

Menurut Definisi 7, jumlah S

( )

1,4 =2 dan D

( )

1,4 =2, sehingga diperoleh

(

X₁₄;2,2

)

=4

g atau S

( ) ( )

1,4⋅ D1,4 =4.

• Pilih baris ke-2 dan ke-3, sehingga diperoleh bentuk sebagai berikut:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

1 0 0 1

1 1 0 0 X23

Menurut Definisi 7, jumlah S

( )

2,3 =2 dan D

( )

2,3 =2, sehingga diperoleh

(

X₂₃;2,2

)

=4

g atau S

( ) ( )

2,3⋅ D2,3 =4.

• Pilih baris ke-2 dan ke-4, sehingga diperoleh bentuk sebagai berikut:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

0 0 1 1

1 1 0 0 X24

Menurut Definisi 7, jumlah S

( )

2,4 =0 dan D

( )

2,4 =4, sehingga diperoleh

(

X₂₄;2,2

)

=4

g atau S

( ) ( )

2,4 ⋅ D2,4 =0.

• Pilih baris ke-3 dan ke-4, sehingga diperoleh bentuk sebagai berikut:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

0 0 1 1

1 0 0 1 X34

Menurut Definisi 7, jumlah S

( )

3,4 =2 dan D

( )

3,4 =2, sehingga diperoleh

(

X34^;2,2

)

=⁴

g atau S

( ) ( )

3,4 ⋅ D3,4 =4. Dari penjabaran di atas, banyaknya submatriks ganjil yang diperoleh dari matriks

X adalah sebanyak 4+4+4+4+0+4 = 20.

Perhatikan bahwa ada submatriks ganjil dari pemilihan baris-baris yang tidak maksimum dan menyebabkan banyaknya submatriks ganjil dari X tidak maksimum, hal ini lebih dikarenakan matriks X tidak memiliki matriks Hadamard.

Hasil yang diperoleh oleh matriks X kurang dari jumlah maksimum yang

18

seharusnya diperoleh, dengan demikian hasil tersebut juga bisa didapat dengan persamaan (1) seperti berikut

( )

( )

24 1 4 2 1 2

1 2 3 4

4 16

! 2

! 2

! 4

2 4 2 4 2 4

2 2 2

2 2 2 2

, 2

; 4 , 4

< × × ×

×

×

< ×

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

< ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

<⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

<⎛

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎦⎥

⎢⎣⎢

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

<⎛

n m n

n m n G

III. PEMBAHASAN

Pada bagian ini, akan dibuktikan beberapa teorema yang berkaitan dengan bagaimana cara menentukan banyaknya submatriks ganjil berorde 2× dari matriks 2

A. Akan tetapi sebelumnya akan diberikan teorema berikut yang memperlihatkan bahwa untuk setiap matriks B yang diperoleh dari

A dengan ketentuan tertentu, maka

(

A;2,2

) (

gB;2,2

)

g = .

Teorema 3.1

Misalkan A adalah matriks (0,1) dan B adalah matriks yang diperoleh dari A dengan salah satu ketentuan berikut berlaku:

1. Menukar setiap pasang baris dan kolom.

2. Pada setiap baris dan kolom tersebut, ganti angka 0 dengan 1 dan angka 1 dengan 0.

3. Adanya perputaran matriks (transpos matriks).

Maka g

(

A;2,2

) (

=g B;2,2

)

.

Bukti :

Diberikan A matriks (0,1) berukuran m× . Misalkan diberikan pula matriks n B, yang diperoleh dengan cara mengganti unsur pada setiap baris dan kolom pada matriks A, yaitu mengganti angka 1 dengan angka 0, dan angka 0 dengan angka 1, maka banyaknya pasangan unsur-unsur yang sesuai dan tidak sesuai dari matriks A akan sama dengan matriks B. Dengan demikian banyaknya submatriks ganjil yang diperoleh dari matriks

A sama dengan banyaknya submatriks ganjil yang diperoleh dari matriks B.

Ilustrasi dapat dilihat pada bagian lampiran.

Teorema berikut merupakan bentuk umum yang dapat digunakan untuk menghitung jumlah submatiks ganjil.

Teorema 3.2

Misal A adalah matriks (0,1) berukuran m× . Jika n A adalah matriks sempurna atau mendekati sempurna, maka g

(

A;2,2

)

akan bernilai maksimum. Selanjutnya berlaku:

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− ⋅

=

(4) ganjil 4 ,

1 2

(3) genap 8 ,

) 1 ( ) 2 , 2

; ,

( ₂

2

n n m

n m n

m n

m G

Bukti :

Diberikan A matiks-(0,1) berukuran m× . Misalkan n A adalah matriks yang sempurna atau mendekati sempurna, maka banyaknya S ,

( )

st dan D ,

( )

st dari matriks tersebut adalah sama atau mendekati sama maka g

(

A;2,2

)

maksimum. Karena g

(

A;2,2

)

maksimum, akibatnya persamaan (1) maksimum, sehingga diperoleh:

• Untuk n genap

( )

( )

( )( )

(

2

)

! 4

2

! 2 1

4

! 2

! 2

! 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

, 2

; ,

2 2

n m

m m m

n m

m n m n

n m n

n m n n

m G

− ×

−

= −

− ×

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ ⋅

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎦⎥

⎢⎣⎢

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

(

1

)

2

8 m m− n

= ⋅

(3)

• Untuk n ganjil

( )

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + ⋅ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎛ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎦⎥

⎢⎣⎢

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

2 1 2

1 2

2 1 2

1 2

2 2 2 2 , 2

; ,

n m n

n m n

n m n n

m G

4 1 2

2−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛m n

(4)

Selanjutnya, jika diberikan matriks (0,1) yang matriks Hadamardnya ada, maka nilai maksimum akan diperoleh dengan membatasi banyaknya kolom pada matriks Hadamard, yakni n=4k, n= k4 −1, n= k4 +1,

2 4 −

n= k . Hal ini ditunjukkan oleh teorema- teorema berikut

Teorema 3.3

Diberikan A matriks (0,1). Jika matriks Hadamard dari A ada, maka untuk m≤4k berlaku

(

m,4k;2,2

)

2m(m 1)k²

G = −

Bukti :

• Untuk kasus m=4k

Jika H_4k adalah matriks Hadamard berorde 4k maka menurut Definisi 2.11 dan Terorema 2.1, A=J

(

H₄k

)

adalah matriks- (0,1) yang sempurna.

Selanjutnya menurut Toerema 3.2, jika A adalah matriks yang sempurna maka

) 2 , 2

; (A

g akan maksimum, akibatnya

(

m, k4 ;2,2

)

G maksimum.

• Untuk kasus m<4k

Jika H_4k adalah matriks Hadamard berorde 4k maka menurut Definisi 2.11 dan Terorema 2.1, A=J

(

H₄k

)

adalah matriks- (0,1) yang sempurna.

Misal mˆ menotasikan baris-baris dari matriks A yang akan dihapus. Jika mˆ baris dihapus dari matriks A, maka penghapusan

m

m− ˆ baris, dengan m>mˆ, masih menyisakan baris yang sempurna sehingga matriks dengan m sisa barisnya masih merupakan matriks yang sempurna sehingga

20

menurut Toerema 3.2, jika A adalah matriks yang sempurna maka g(A;2,2) akan maksimum, akibatnya G

(

m, k4 ;2,2

)

maksimum.

Selanjutnya karena untuk kedua kasus di atas menghasilkan G

(

m, k4 ;2,2

)

yang maksimum, dengan demikian dari persamaan (1) diperoleh bentuk berikut

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

²

2

2

1 2

2 4 1

4 16

! 2 2

! 2 1

2 4 2 4

! 2

! 2

! 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

, 2

; 4 ,

k m m

m k m

k m

m m m

k k m

m n m n

n m n

n m n k

m G

−

=

− ×

=

− ×

−

= −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

− ×

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ ⋅

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎦⎥

⎢⎣⎢

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

Teorema 3.4

Diberikan A matriks (0,1). Jika matriks Hadamard dari A ada, maka untuk

1 4 −

m≤ k berlaku

(

m,4k−1;2,2

)

=m(m−1)k(2k−1) G

Bukti :

Jika H_4k adalah matriks Hadamard berorde 4k maka menurut Definisi 2.11 dan Terorema 2.1, A=J

(

H₄k

)

adalah matriks- (0,1) yang sempurna.

Didefinisikan matriks B adalah matriks yang diperoleh dengan menghapus kolom pertama pada matriks A, sehingga diperoleh matriks baru berorde 4k−1

(

B4k× k4−1

)

. Menurut Definisi 2.9 (2), suatu matriks (0,1)

dengan n ganjil maka matriks tersebut merupakan matriks yang mendekati sempurna.

Karena B adalah matriks yang mendekati sempurna, maka untuk penghapusan mˆ baris- baris dari matriks B, sisa penghapusan

m

m− ˆ baris, dengan m>mˆ, masih menyisakan matriks yang mendekati sempurna sehingga menurut Toerema 3.2, jika

B adalah matriks yang mendekati sempurna maka g(B;2,2) akan maksimum, akibatnya

(

m^,4k−^1;2,2

)

G maksimum.

Dengan demikian dari persamaan (1) diperoleh bentuk berikut

( )

( )

( )( )

( )

( )

( ) ( )

(

1

) (

2 1

)

1 2 2 2

1

2 2 4

1

4 8 16

! 2 2

! 2 1

2 2 4 2 4

! 2

! 2

!

2 1 1 4 2

1 1 4 2

2 2 2

2 2 2 2 , 2

; 1 4 ,

2

2

−

−

=

−

− ×

=

−

− ×

=

× −

−

−

= −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅ −

− ×

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − + ⋅ − −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎦⎥

⎢⎣⎢

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

−

k k m m

k m k

m

k m k

m

k k m

m m m

k k m

m

k m k

n m n

n m n k

m G

Teorema 3.5

Diberikan A matriks (0,1). Jika matriks Hadamard dari A ada, maka untuk

k m≤4 berlaku

(

m,4k+1;2,2

)

=m(m−1)k(2k+1) G

Bukti :

Jika _H4k adalah matriks Hadamard berorde 4k maka menurut Definisi 2.11 dan

Terorema 3.2, A=J

(

H_4k

)

adalah matriks- (0,1) yang sempurna.

Didefinisikan matriks W adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan satu kolom pada matriks A, sehingga diperoleh matriks baru berorde 4k×4k+1 atau

(4k 4k 1)

W _{× +} . Menurut Definisi 2.9 (2), suatu matriks (0,1) dengan n ganjil maka matriks tersebut merupakan matriks yang mendekati sempurna.

Karena W adalah matriks yang mendekati sempurna, maka untuk penghapusan mˆ baris-baris dari matriks W, sisa penghapusan m−mˆ baris, dengan

m

m> ˆ, masih menyisakan matriks yang mendekati sempurna sehingga menurut Toerema 3.2, jika W adalah matriks yang mendekati sempurna maka _g(W;2,2) akan maksimum, akibatnya G

(

m,4k+1;2,2

)

maksimum.

Dengan demikian dari persamaan (1) diperoleh bentuk berikut

( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

(

1

) (

2 1

)

2 1

2 2 4

1

1 2

! 2 2 2

! 2 1

2 2 4 2 4

! 2

! 2

!

2 1 1 4 2

1 1 4 2

2 2 2

2 2 2 2 , 2

; 1 4 ,

2 2

+

×

−

=

+

×

−

=

+

− ×

=

+

⋅

− ×

−

= −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅ +

− ×

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + − ⋅ + +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎦⎥

⎢⎣⎢

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛ +

k k m m

k k m m

k m k

m

k m k

m m m

k k m

m

k m k

n m n

n m n k

m G

Teorema 3.6

Diberikan A matriks (0,1). Jika matriks Hadamard dari A ada, maka untuk

2 4 −

≤ k

m berlaku

( ) ( )(

2 1

)

²

2 2 1 , 2

; 2 4

, − =mm− k−

k m G

Bukti:

Diberikan _H4k adalah matriks Hadamard berorde 4k , menurut Definisi 2.11 dan Terorema 2.1, A=J

(

H₄k

)

adalah matriks- (0,1) yang sempurna.

Didefinisikan C adalah matriks yang diperoleh dengan menghapus dua kolom pada matriks A sehingga diperoleh matriks baru berorde 4k× k4 −2. Menurut Definisi 9, suatu matriks dikatakan sempurna jika pasangan baris dari unsur-unsurnya juga sempurna, artinya setiap pasangan baris pada

A sempurna, sehingga jika dua kolom dari matriks A dihapus, maka matriks dengan sisa kolom yang lain masih merupakan matriks yang sempurna, atau matriks C berorde

2 4

4k× k− merupakan matriks yang sempurna. Hal ini menyebabkan g

(

Cst;2,2

)

maksimum.

Selanjutnya, menurut Teorema 3.2, jika

(

C_st;2,2

)

g maksimum akibatnya G

(

C;2,2

)

maksimum. Sehingga dari persamaan (3) diperoleh:

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

²

2 2

2

1 2 2

1

1 4 2 4

1

4 16 8 16

1 2 8 4

2 1 , 2

; 2 4 ,

− −

=

+

− −

=

+

− −

=

− −

=

−

m k m

k m k

m

k m k

m m k k m

m G

22

IV. SIMPULAN

Banyaknya submatriks ganjil dari suatu matriks (0,1) dapat dicari dengan menggunakan berbagai macam cara, salah satunya adalah melalui konstruksi matriks Hadamard.

Jika diberikan matriks (0,1) yang matriks Hadamardnya ada, maka banyaknya submatriks ganjil berukuran 2× dari matriks 2 tersebut akan maksimum

Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan menukar setiap pasang baris dan kolom, mengganti unsur 0 dengan 1 dan unsur 1 dengan 0, juga dengan melakukan transpose matriks, maka banyaknya submatriks ganjil pada A akan sama dengan banyaknya submatriks ganjil padaB.

V. DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. 1987. Elementary Linear Algebra.

5^th ed. Wiley, New York.

Hadamard Matrices. 2007. Hadamard Matrices.http://mathworld.wolfram.com/

Hadamard Matriks.html.

Iosif Pinelis. On The Minimal Number of Even Submatrices of (0,1) matrices.

Designs, Codes and Criptography, 9:85- 93, 1994.

Leon, S J. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya . Erlangga, Jakarta.

Marks, M, R Noorwood & G Pole. 2003.

The Maximum number of 2× odd 2 submatrices in (0,1)-matrices . Electronic Journal of Linear Algebra. Vol 10:223- 231.

Zhang, F. 1999. Matrix Theory, basic result and techniques.

L A M P I R A N

24

Lampiran 1 Contoh Ilustrasi Untuk Teorema 3.1 Misal diberikan matriks seperti berikut

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

1 0 1 0

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 0 0 A

matriks B adalah matriks yang diperoleh dari A dengan menukar setiap pasang baris dan kolom, mengganti unsur 0 dengan 1 dan unsur 1 dengan 0, atau melakukan transpose pada A, maka diperoleh matriks B sebagai berikut:

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

0 1 0 1

0 0 1 1

1 0 0 1

1 1 1 1 B

Banyaknya submatriks ganjil dari matriks A adalah sebagai berikut:

• Pilih baris ke-1 dan baris ke-2, sedemikian sehingga diperoleh

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

0 1 1 0

0 0 0 0

A12

Dari submatriks di atas jelas bahwa S(1, 2) = 2 dan D(1, 2) = 2, sehingga menurut Definisi 2.7 deperoleh

4 2 2

) 2 , 1 ( ) 2 , 1 ( ) 2 , 2

; ( ₁₂

=

⋅

=

⋅

=S D

A g

• Pilih baris ke-1 dan baris ke-3, sedemikian sehingga diperoleh

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

1 1 0 0

0 0 0 0

A13

Dari submatriks di atas jelas bahwa S(1, 2) = 2 dan D(1, 3) = 2, sehingga menurut Definisi 2.7 deperoleh

4 2 2

) 3 , 1 ( ) 3 , 1 ( ) 2 , 2

; ( ₁₃

=

⋅

=

⋅

=S D

A g

• Pilih baris ke-1 dan baris ke-4, sedemikian sehingga diperoleh

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

1 0 1 0

0 0 0 0

A14

Dari submatriks di atas jelas bahwa S(1, 2) = 2 dan D(1, 4) = 2, sehingga menurut Definisi 2.7 deperoleh

4 2 2

) 4 , 1 ( ) 4 , 1 ( ) 2 , 2

; ( ₁₄

=

⋅

=

⋅

=S D

A g

• Pilih baris ke-2 dan baris ke-3, sedemikian sehingga diperoleh

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

1 1 0 0

0 1 1 0

A23

Dari submatriks di atas jelas bahwa S(2, 3) = 2 dan D(2, 3) = 2, sehingga menurut Definisi 2.7 deperoleh

4 2 2

) 3 , 2 ( ) 3 , 2 ( ) 2 , 2

; ( ₂₃

=

⋅

=

⋅

=S D

A g

• Pilih baris ke-2 dan baris ke-4, sedemikian sehingga diperoleh

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

1 0 1 0

0 1 1 0

A24

Dari submatriks di atas jelas bahwa S(2, 4) = 2 dan D(2, 4) = 2, sehingga menurut Definisi 2.7 deperoleh

4 2 2

) 4 , 2 ( ) 4 , 2 ( ) 2 , 2

; ( ₂₄

=

⋅

=

⋅

=S D

A g

• Pilih baris ke-3 dan baris ke-4, sedemikian sehingga diperoleh

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

1 0 1 0

1 1 0 0

A34

Dari submatriks di atas jelas bahwa S(3, 4) = 2 dan D(3, 4) = 2, sehingga menurut Definisi 2.7 deperoleh

4 2 2

) 4 , 3 ( ) 4 , 3 ( ) 2 , 2

; ( ₃₄

=

⋅

=

⋅

=S D

A g

Dengan demikian banyaknya submatriks ganjil dari matriks A adalah sebanyak 24, atau menurut persamaan (1) diperoleh sebagai berikut

( )

( )

24

1 4 2 1 2

1 2 3 4

4 16

! 2

! 2

! 4

2 4 2 4 2 4

2 2 2

2 2 2 2

, 2

; 3 , 3

=

×

×

×

×

×

= ×

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎥⎥ ⎤

⎢⎢ ⎡

⎥⎦ ⎥

⎢⎣ ⎢

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

n m n

n m n

G

Dengan cara yang sama banyaknya submatriks ganjil dari matriks B adalah sebagai berikut:

• Pilih baris ke-1 dan baris ke-2, sedemikian sehingga diperoleh

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

1 0 0 1

1 1 1 1

B12

Dari submatriks di atas jelas bahwa S(1, 2) = 2 dan D(1, 2) = 2, sehingga menurut Definisi 2.7 deperoleh

4 2 2

) 2 , 1 ( ) 2 , 1 ( ) 2 , 2

; ( ₁₂

=

⋅

=

⋅

=S D

B g

• Pilih baris ke-1 dan baris ke-3, sedemikian sehingga diperoleh

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

0 0 1 1

1 1 1 1

B13

Dari submatriks di atas jelas bahwa S(1, 2) = 2 dan D(1, 3) = 2, sehingga menurut Definisi 2.7 deperoleh

4 2 2

) 3 , 1 ( ) 3 , 1 ( ) 2 , 2

; ( ₁₃

=

⋅

=

⋅

=S D

B g

• Pilih baris ke-1 dan baris ke-4, sedemikian sehingga diperoleh

26

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

0 1 0 1

1 1 1 1

B14

Dari submatriks di atas jelas bahwa S(1, 2) = 2 dan D(1, 4) = 2, sehingga menurut Definisi 2.7 deperoleh

4 2 2

) 4 , 1 ( ) 4 , 1 ( ) 2 , 2

; ( ₁₄

=

⋅

=

⋅

=S D

B g

• Pilih baris ke-2 dan baris ke-3, sedemikian sehingga diperoleh

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

0 0 1 1

1 0 0 1

B23

Dari submatriks di atas jelas bahwa S(2, 3) = 2 dan D(2, 3) = 2, sehingga menurut Definisi 2.7 deperoleh

4 2 2

) 3 , 2 ( ) 3 , 2 ( ) 2 , 2

; ( ₂₃

=

⋅

=

⋅

=S D

B g

• Pilih baris ke-2 dan baris ke-4, sedemikian sehingga diperoleh

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

0 1 0 1

1 0 0 1

B24

Dari submatriks di atas jelas bahwa S(2, 4) = 2 dan D(2, 4) = 2, sehingga menurut Definisi 2.7 deperoleh

4 2 2

) 4 , 2 ( ) 4 , 2 ( ) 2 , 2

; ( ₂₄

=

⋅

=

⋅

=S D

B g

• Pilih baris ke-3 dan baris ke-4, sedemikian sehingga diperoleh

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

0 1 0 1

0 0 1 1

B34

Dari submatriks di atas jelas bahwa S(3, 4) = 2 dan D(3, 4) = 2, sehingga menurut Definisi 2.7 deperoleh

4 2 2

) 4 , 3 ( ) 4 , 3 ( ) 2 , 2

; ( ₃₄

=

⋅

=

⋅

=S D

B g

Dengan demikian banyaknya submatriks ganjil dari matriks B adalah sebanyak 24, atau menurut persamaan (1) diperoleh sebagai berikut

( )

( )

24

1 4 2 1 2

1 2 3 4

4 16

! 2

! 2

! 4

2 4 2 4 2 4

2 2 2

2 2 2 2

, 2

; 3 , 3

=

×

×

×

×

×

= ×

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎥⎥ ⎤

⎢⎢ ⎡

⎥⎦ ⎥

⎢⎣ ⎢

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

n m n

n m n

G