(SDC)
Rifqi Choiril Affan, Purnami Widyaningsih, Dewi Retno Sari Saputro Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Prevalensi penyakit diabetes tergolong cukup tinggi. Pemodelan matema-tika untuk mempelajari perubahan prevalensi diabetes telah dijelaskan melalui model
diabetes complication(DC). Insidensi pada modelDC diasumsikan konstan tanpa
mem-pertimbangkan faktor penyebabnya. Dalam artikel ini, modelDCdikembangkan menjadi
modelsusceptible diabetes complication (SDC) dengan mempertimbangkan faktor gaya
hidup dan genetik sebagai penyebab insidensi. ModelSDC berbentuk sistem persamaan
diferensial nonlinier orde satu. Model tersebut diterapkan di Amerika Serikat dengan mengestimasi nilai parameter berdasarkan data tahun 2000-2011. Keakuratan model diukur berdasarkan eror relatif tahun 2012-2014. Rata-rata eror relatif S, D, C, dan
prevalensi berturut-turut adalah 0.00219, 0.06231, -0.14461, dan -0.04884. Dengan demi-kian model cukup akurat dalam memprediksi banyaknya individu pada masing-masing kelompok maupun prevalensi diabetes. Selama 2011-2030, prevalensi diabetes dipredik-sikan meningkat lebih dari dua kali lipat dengan rata-rata peningkatan 4% per tahun, sedangkan kematiannya meningkat lebih dari dua kali lipat dengan rata-rata peningkatan 5% per tahun.
Kata Kunci: diabetes, insidensi, komplikasi, SDC.
1. Pendahuluan
Diabetes merupakan suatu penyakit kronis yang ditandai dengan kadar gula darah yang tinggi. Organ pankreas tidak dapat bekerja dengan optimal sehingga mengakibatkan tubuh kekurangan insulin. Tanpa adanya insulin yang cukup, sel-sel tubuh tidak dapat menyerap dan mengolah glukosa menjadi energi sehingga kadar gula dalam darah meningkat.
Menurut catatan International Diabetes Federation [8] tahun 2015, prevalensi penderita diabetes cukup besar yaitu sekitar 9.1% dari penduduk dunia. Diabetes tergolong sebagai penyakit yang mematikan dengan menempati urutan ke- 6 pe-nyebab kematian terbanyak di dunia versi World Health Organization (W HO) [14]. Menurut Deshpande et al. [4], kematian penderita diabetes umumnya terjadi pa-da pasien yang mengalami komplikasi penyakit lain. Selain itu, komplikasi penyakit diabetes juga merupakan penyebab utama amputasi yang mengakibatkan cacat per-manen pada penderitanya. Oleh sebab itu, komplikasi merupakan komponen yang penting dalam pembahasan penyakit diabetes, termasuk pembahasan dari sudut pandang epidemiologi.
Pada tahun 2004 Boutayeb et al. [2] memperkenalkan modeldiabetes compli-cation (DC) untuk mengetahui perubahan banyaknya penderita diabetes tanpa komplikasi (D) dan dengan komplikasi (C). Pada model tersebut banyaknya pende-rita baru (insidensi) penyakit diabetes diasumsikan konstan. Sementara itu menurut dataWHO [13], banyaknya insidensi diabetes tidak konstan dan cenderung mening-kat setiap tahunnya. Peningmening-katan ini disebabkan karena gaya hidup penduduk dunia semakin jauh dari nilai-nilai kesehatan. Menurut Gerungan [6], salah satu faktor yang mempengaruhi gaya hidup seseorang adalah interaksi sosial dengan orang-orang di sekitarnya. Interaksi sosial merupakan faktor yang berpengaruh signifikan terhadap perubahan gaya hidup sehingga dapat meningkatkan potensi seorang indi-vidu yang sehat namun rentan (susceptible) menjadi penderita diabetes (Gary-Webb
et al. [5]). Di samping itu, insidensi diabetes juga sering dikaitkan dengan faktor genetik dari orang tua yang mempunyai riwayat penyakit diabetes (Rich [11]).
Berbeda dengan Boutayeb et al. [2], pada penelitian ini banyaknya insiden-si tidak konstan. Banyaknya ininsiden-sideninsiden-si ditentukan dengan memperhatikan faktor gaya hidup dan faktor genetik. Dengan mempertimbangkan perbedaan tersebut, lebih lanjut diteliti “penyebaran”penyakit diabetes dengan model susceptible dia-betes complication (SDC). Tujuan penelitian ini adalah menurunkan modelSDC, mengukur keakuratan model tersebut dalam penerapan, serta menggunakan model untuk memprediksi prevalensi dan banyaknya kematian karena diabetes.
2. Model DC
ModelDC pertama kali dikenalkan oleh Boutayebet al. [2] pada tahun 2004. Populasi pada model ini adalah penderita diabetes yang kemudian diklasifikasikan berdasarkan kondisi kesehatannya menjadi dua kelompok individu yaitu penderita diabetes tanpa komplikasi (D) dan penderita diabetes dengan komplikasi (C).
adanya individu yang sembuh dari penyakit komplikasi. Model DC Boutayeb et al. [2] juga memperhatikan kematian alami pada kedua kelompok individu dengan laju kematian alami yang besarnya sama dan dinotasikan denganµ. Karena adanya kematian alami, kelompok individu Ddan C berturut-turut berkurang sebesarµD dan µC. Insidensi penyakit diabetes pada model ini diasumsikan konstan sebesar I dan dikategorikan menderita diabetes tanpa komplikasi. Banyaknya individu pa-da kelompok D bertambah sebanyak I karena adanya insidensi. Dengan demikian model DC menurut Boutayeb et al. [2] dapat dituliskan sebagai
dD
dt =I−λD+γC−µD dC
dt =λD−γC−δC−νC −µC
(2.1)
denganI, λ, γ, µ, δ, ν >0. Model (2.1) merupakan sistem persamaan diferensial orde satu.
3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Model SDC. Peningkatan jumlah penderita diabetes dipengaruhi oleh
ba-nyaknya insidensi yang terjadi. Insidensi penyakit diabetes sebagian besar disebab-kan oleh gaya hidup yang tidak sehat seperti tingkat aktivitas fisik yang rendah, pola makan yang tidak teratur, dan kebiasaan-kebiasaan lain yang bertentangan dengan pola hidup sehat. Penderita diabetes yang mengalami komplikasi biasanya sudah menyadari kelemahan kondisi fisiknya sehingga lebih memperhatikan gaya hidup yang dijalani dalam aktivitas sehari-hari. Sebaliknya, penderita diabetes yang tidak disertai komplikasi belum dapat menjaga gaya hidupnya, terlebih pada penderita diabetes yang belum terdiagnosis (undiagnosis diabetes).
Dalam menjalani aktivitas sehari-hari, penderita diabetes tanpa komplikasi cenderung memiliki gaya hidup yang tidak sehat. Menurut Hill et al. [7], interaksi antara penderita diabetes yang memiliki gaya hidup tidak sehat dengan individu yang sehat dapat mengakibatkan terjadinya “penularan”gaya hidup. Dampak dari “penularan”gaya hidup adalah insidensi. Untuk menentukan banyaknya interaksi yang mungkin terjadi, banyaknya individu yang sehat namun rentan juga harus ter-ukur dalam suatu kelompok individu yaitususceptible (S). Karena adanya kelompok individususceptible, modelDC(2.1) dimodifikasi menjadi modelsusceptible diabetes complication (SDC). Jika laju interaksi yang menyebabkan terjadinya insidensi di-notasikan dengan β, maka banyaknya insidensi yang terjadi karena faktor gaya hi-dup sebanyak βSD
N . Setiap individu yang baru saja terkena diabetes diasumsikan
belum mengalami komplikasi sehingga kelompok individu D bertambah sebanyak βSD
N . Pada saat yang sama, kelompok individu S juga berkurang sebanyak β SD
N .
kelompok individu D dan C. Oleh karena itu banyaknya individu pada kelompok S berkurang sebanyak µS karena kematian alami. Dengan memperhatikan faktor gaya hidup sebagai penyebab insidensi, model SDC dapat dituliskan sebagai
dS dt =−β
SD N −µS dD
dt =β SD
N −λD+µD+γC dC
dt =λD−(γ+δ+ν+µ)C.
(3.1)
ModelSDC (3.1) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu yang memuat tiga variabel terikat yaitu S, D, dan C.
Selain disebabkan oleh gaya hidup yang tidak sehat, insidensi diabetes juga di-sebabkan oleh faktor genetik orang tua yang mempunyai riwayat penyakit diabetes (Wu et al. [15]). Keturunan dari seorang penderita diabetes berpotensi memiliki kelainan genetik yang mengakibatkan pankreas tidak dapat memproduksi insulin dengan semestinya. Pada penelitian ini diasumsikan bahwa individu sehat hasilkan keturunan yang sehat pula, sedangkan individu penderita diabetes meng-hasilkan keturunan dengan kelainan genetik, namun tidak menutup kemungkinan menghasilkan keturunan yang sehat.
Jika proporsi terjadinya kelahiran dengan kelainan genetik dinotasikan dengan ρ dan laju kelahiran dinotasikan dengan α, maka banyaknya kelahiran individu sehat adalahαS+α(1−ρ)(D+C) dan banyaknya kelahiran dengan kelainan genetik adalahαρ(D+C). Kelahiran individu sehat meningkatkan banyaknya individu pada kelompok S sedangkan kelahiran individu dengan kelainan genetik meningkatkan jumlah individu pada kelompok D. Dengan memperhatikan faktor genetik sebagai penyebab insidensi, model SDC dapat dituliskan sebagai
dS
dt =αS+α(1−ρ)(D+C)−β SD
N −µS dD
dt =αρ(D+C) +β SD
N −λD+µD+γC dC
dt =λD−(γ+δ+ν+µ)C,
(3.2)
dengan α, β, γ, δ, λ, µ, ν > 0, dan 0 ≤ ρ ≤ 1. Model SDC (3.2) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu
dimodifikasi. Individu yang mengalami disabilitas merupakan bagian dari pendu-duk yang masih hidup dan keberadaannya tidak perlu dikeluarkan dari populasi. Individu yang mengalami disabilitas tetap dipertahankan dalam populasi dengan menjadi bagian dari kelompok individu C.
Dengan demikian, model SDC yang memperhatikan faktor gaya hidup dan faktor genetik sebagai penyebab insidensi serta tidak mengeluarkan individu yang mengalami disabilitas dari populasi dapat dinyatakan sebagai
dS
dt =αS+α(1−ρ)(D+C)−β SD
N −µS dD
dt =αρ(D+C) +β SD
N −λD+µD+γC dC
dt =λD−(γ+δ+µ)C
(3.3)
denganS(0)>0,D(0) >0, danC(0) >0. Parameterα, β, γ, δ, λ, µ, danρ berturut-turut menyatakan laju kelahiran, laju interaksi, laju kesembuhan komplikasi, laju kematian komplikasi, laju terjadinya komplikasi, laju kematian alami, dan proporsi terjadinya kelahiran dengan kelainan genetik. Nilai parameter α, β, γ, δ, λ, dan µ > 0, sedangkan 0≤ρ≤1. ModelSDC (3.3) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu.
Penyelesaian model SDC (3.3) dapat digunakan untuk menentukan prevalensi diabetes. Prevalensi merupakan standar pengukuran individu berpenyakit dalam populasi. Prevalensi diabetes dapat dihitung dengan formula (D(tN)+(tC)(t)).
3.2. Penerapan. Pada penerapan ini, model SDC digunakan untuk mengetahui perubahan prevalensi diabetes di Amerika Serikat. Populasi diasumsikan homogen dan tidak memperhatikan persebaran populasi berdasarkan wilayah kependudukan maupun kategori usia. Komplikasi dibatasi pada lima penyakit yang paling sering dijumpai pada penderita diabetes yaitu cardiovascular diseases (CVD), penyakit ginjal kronis, lower extrimity conditions (LEC), gangguan penglihatan, dan ketoa-cidosis. Data diperoleh dariCenters for Disease Control and Prevention (CDC) [3],
National Vital Statistics Report (NVSR) [9], danWorld Bank [12] tahun 2000-2014. Data tahun 2000-2011 digunakan untuk mengestimasi parameter, sedangkan data tahun 2012-2014 digunakan untuk mengukur keakuratan model.
ke sistem (3.3), diperoleh model SDC yang diterapkan di Amerika Serikat yaitu dS
dt = 0.00859S+ 0.01498(D+C)−0.1626 SD
N dD
dt = 0.00125(D+C) + 0.1626 SD
N −0.6852D+ 0.3714C dC
dt = 0.6776D−0.3858C.
(3.4)
Sistem (3.4) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier yang secara analitik sulit ditentukan penyelesaian eksaknya, oleh karena itu digunakan penye-lesaian pendekatan menggunakan algoritme Runge-Kutta orde empat. Algoritme Runge-Kutta orde empat memerlukan nilai awal. Nilai awal yang digunakan meng-acu pada banyaknya individu S, D, dan C tahun 2011 (t = 0). Menurut data
CDC [3], 6.67% dari 310.5 juta penduduk Amerika Serikat adalah penderita dia-betes yang terdiri dari 9.65 juta penderita diadia-betes yang tanpa komplikasi dan 11.05 juta penderita diabetes yang mengalami komplikasi, sedangkan 289.8 juta yang la-innya merupakan individu yang sehat namun rentan terkena diabetes. Berdasarkan data tersebut diperoleh nilai awal dalam satuan jutaan penduduk yaitu
(S(0), D(0), C(0)) = (289.8,9.65,11.05). (3.5)
Selanjutnya, ditentukan penyelesaian sistem (3.4) dengan syarat awal (3.5) da-lam kurun waktu 3 tahun pertama (2011-2014). Penyelesaian tersebut dibandingkan dengan data yang diperoleh dariCDC [3] sehingga dapat diukur nilai eror relatifnya. Nilai eror relatif pada kelompok individu S, D, dan C, serta eror relatif prevalensi diabetes untuk tahun 2011-2014 ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Eror relatif masing-masing kelompok individu dan eror rela-tif prevalensi diabetes
Tahun S D C Prevalensi 2011 0.00055 0.07625 -0.09924 -0.01756 2012 0.00075 0.10426 -0.15162 -0.03161 2013 0.00528 0.00642 -0.18298 -0.09736 Rata-rata 0.00219 0.06231 -0.14461 -0.04884
SDC hanya 4.88% lebih tinggi dibandingkan data sebenarnya. Dengan demikian, model SDC (3.4) cukup akurat dalam memprediksi prevalensi diabetes.
Selanjutnya, prevalensi diabetes berdasarkan penyelesaian model SDC (3.4) dalam rentang waktu 2011-2030 ditunjukkan pada Gambar 1. Dari Gambar 1
ter-Gambar 1. Prevalensi diabetes tahun 2011-2030
lihat bahwa prevalensi diabetes pada tahun 2011 adalah 6.67% dan diprediksikan mencapai 14% pada tahun 2030, terjadi peningkatan lebih dari dua kali lipat (110%) dalam kurun waktu 19 tahun pertama. Prevalensi diabetes cenderung selalu me-ningkat setiap tahunnya dengan rata-rata peme-ningkatan 4% per tahun.
Peningkatan prevalensi berakibat pada peningkatan banyaknya kematian kare-na diabetes. Pada tahun 2011 terdapat 73831 individu yang meninggal karekare-na dia-betes. Banyaknya kematian karena terus mengalami peningkatan setiap tahunnya, rata-rata terjadi peningkatan 5% dibandingkan banyaknya kematian pada tahun sebelumnya. Kematian karena diabetes pada tahun 2030 diprediksikan mencapai 206260 jiwa, lebih dari dua kali lipat dibandingkan kematian pada tahun 2011. Jika diakumulasikan, maka terdapat 2.74 juta individu yang meninggal karena diabetes dalam rentang waktu 2011-2030.
4. Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dilakukan, diambil 3 kesimpulan.
(1) Model SDC adalah
dS
dt =αS+α(1−ρ)(D+C)−β SD
N −µS dD
dt =αρ(D+C) +β SD
N −(λ+µ)D+γC dC
dt =λD−(γ+δ+µ)C
[image:7.595.157.465.198.319.2]laju terjadinya komplikasi, laju kematian alami, dan proporsi terjadinya ke-lahiran dengan kelainan genetik.
(2) Model SDC diterapkan di Amerika Serikat, nilai parameter diestimasi ber-dasarkan data 2000-2011, diperoleh nilai parameterα= 0.01623,β = 0.1626, γ = 0.3714, δ = 0.0068, λ = 0.6776, µ = 0.00764, dan ρ = 0.077. Penye-lesaian model dibandingkan dengan data 2012-2014. Berdasarkan rata-rata eror relatifnya, modelSDC cukup akurat untuk memprediksiS,D,C, serta prevalensi diabetes.
(3) Dalam rentang waktu 2011-2030, prevalensi diabetes diprediksikan mening-kat lebih dari dua kali lipatnya dengan rata-rata peningmening-katan 4% per tahun. Sedangkan banyaknya kematian karena diabetes meningkat lebih dari dua kali lipatnya dengan rata-rata peningkatan 5% per tahun. Diprediksikan terdapat 2.74 juta individu yang meninggal karena diabetes selama periode 2011-2030.
DAFTAR PUSTAKA
1. Berkman, L. F. and I. Kawachi, Social Epidemiology, Oxford University Press, New York, 2001.
2. Boutayeb, A., E. H. Twizell, K. Achouayb, and A. Chetouani,A Mathematical Model for The Burden of Diabetes and Its Complication, BioMedical Engineering Online3(2004), no. 20. 3. Centers for Disease Control and Prevention (CDC),National Data of Diabetes, 2015.
4. Deshpande, A. D., M. Harris-Hayes, and M. Schootman, Epidemiology of Diabetes and Diabetes-Related Complications, Physical Therapy 88(2008), no. 11, 1254–1264.
5. Gary-Webb, T. L., S. F. Suglia, and P. Tehranifar,Social Epidemiology of Diabetes and Asso-ciated Conditions, Current Diabetes Reports13(2013), no. 6, 850–859.
6. Gerungan, W.A.,Psikologi Sosial, Refika Aditama, Bandung, 2004.
7. Hill, J., M. Nielsen, and M. H. Fox, Understanding the Social Factors That Contribute to Diabetes: A Means to Informing Health Care and Social Policies for the Chronically Ill, The Permanente Journal2(2013), no. 17, 67–72.
8. International Diabetes Federation (IDF),IDF Atlas Seventh Edition, 2015.
9. National Vital Statistics Reports (NVSR),Deaths : Final Data 2000-2014, 2000-2014. 10. Nold, J. L. and M. K. Georgieff,Infant of Diabetic Mothers, Pediatric Clinics of North America
51(2004), 619–637.
11. Rich, S. S., Genetics of Diabetes and Its Complications, Journal of The American Society of Nephrology17(2006), 353–360.
12. World Bank,Birth and Death Rate, Crude, 2015.
13. World Health Organization (WHO), Definition and Diagnosis of Diabetes Mellitus and Inter-mediate Hyperglycaemia, Report of a WHO/IDF Consultation, 2016.
14. World Health Organization (WHO),The Top 10 Causes of Death, 2017.
