III PEMODELAN SISTEM PENDULUM

III PEMODELAN SISTEM PENDULUM

Penelitian ini membahas keterkontrolan sistem pendulum, dengan menentukan model matematika dari beberapa sistem pendulum, dan dilakukan analisis dan menyederhanakan permasalahan dengan menggunakan persamaan ruang keadaan yang dibentuk matriks persegi. Kemudian dilakukan operasi baris dasar (OBD) hingga membentuk matriks segitiga atas pada sistem pendulum biasa dan pendulum terbalik.

Gambar 4, 5, dan 6 berikut mengilustrasikan satu buah pendulum biasa dan terbalik tunggal dengan lintasan datar dan miring, dan dua buah pendulum terbalik ganda dan dual dengan lintasan datar dan miring, dimuat pada motor yang dapat digerakkan. Diasumsikan pendulum biasa dan terbalik bergerak dalam dua dimensi berturut-turut, yaitu bergerak ke arah depan atau ke arah belakang, dan maju atau mundur, dengan posisi awal pendulum berada di titik nol, dan pendulum bergerak dari keadaan diam.

Gambar 4 Sistem Pendulum Biasa

(a) Tunggal (b) Ganda (c) Dual Gambar 5 Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Datar

2l

x η

u 

θ

µ

mg

 

2

2

µ

g g

u

x

    2     2

x

 

µ

g g

u

µ

2l

u

m

g θ

η

x

(a) Tunggal (b) Ganda (c) Dual Gambar 6 Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring

  massa motor (kg)     massa pendulum (kg)

   posisi motor (m)       panjang pendulum (m)

g   percepatan grafitasi bumi (m/s)    gaya bekerja pada motor (N)

   friksi (gaya gesekan) antara motor dengan lintasan (N)      friksi (gaya gesekan) antara pendulum dengan motor (N)    sudut antara pendulum dengan garis normal

   Sudut kemiringan lintasan   massa pendulum (kg)   panjang pendulum (m)

    friksi (gaya gesekan) antara pendulum dengan motor (N)     friksi (gaya gesekan) antara pendulum dengan pendulum (N)      1,2.

Massa motor dan pendulum masing-masing dilambangkan dengan dan m dengan satuan kilogram. Posisi pendulum awal dinotasikan titik nol, dan panjang pendulum dilambangkan 2l( dinyatakan dalam meter. Pendulum diasumsikan seragam (uniform) sehingga momen inersia adalah .  Diasumsikan friksi antara motor dengan lintasan sebesar , pendulum dengan motor sebesar , pendulum dengan pendulum sebesar , dan sudut yang dibentuk oleh pendulum dengan  adalah cukup kecil.

x µ u

α

µ

u

^x

  2   2

g

α    

θ 2l

u

mg µ

x α

Jika pendulum diberi gaya dorong sebesar u, maka diperoleh berturut-turut total energi kinetik (Ek), total energi potensial (Ep) dan total energi kinetik yang diakibatkan friksi ( ) antara motor dengan lintasan, pendulum dengan motor, dan pendulum dengan pendulum.

Untuk menyamaratakan koordinat perlu diperhatikan gerak translasi motor x, gerak osilasi pendulum pertama θ1, dan gerak osilasi pendulum kedua θ2 

sebagai dua dan tiga buah keluaran yang selalu berubah-ubah jika diberikan gaya dorong u.

Dengan adalah kecepatan motor dan , adalah kecepatan anguler pendulum pertama dan kedua pada saat t. Sedangkan dan

, adalah percepatan motor, percepatan sudut pendulum pertama dan kedua pada saat t. Deskripsi matematika dari karakteristik dinamik suatu sistem disebut model matematika (Ogata 1997). Untuk mendapatkan model matematika pada sistem pendulum biasa dan terbalik tunggal, ganda, dan dual maka dapat digunakan persamaan Euler-Lagrange (Thompson, 1990).

Karena persamaan diperoleh taklinear maka dilinearkan terlebih dahulu.

Dengan mengasumsikan sudut yang dibentuk oleh pendulum θ adalah cukup kecil, maka persamaan tersebut dapat dituliskan sin , cos 1, 0,

dan 0. Diasumsikan juga bahwa 0 0,  0 0, 0 0,  0

0, dan 0 yang artinya posisi awal motor masing-masing ada di titik 0, motor dan pendulum bergerak dari keadaan diam.

Untuk menentukan keterkontrolan sistem pendulum biasa dan terbalik tunggal, ganda, dan dual dengan lintasan datar dan miring, maka diasumsikan friksi antara motor dengan lintasan  adalah 0, friksi pendulum dengan motor

0 dan friksi pendulum dengan pendulum pertama dan kedua 0.

3.1 Sistem Pendulum Biasa dengan Lintasan Datar

Pada bagian ini diperhatikan sistem pendulum biasa tunggal seperti Gambar 7 berikut, mengilustrasikan satu buah pendulum biasa tunggal dengan lintasan datar dapat digerakkan. Diasumsikan pendulum biasa bergerak dalam dua dimensi yaitu bergerak ke arah depan atau ke arah belakang, dengan posisi awal pendulum berada di titik nol, dan pendulum bergerak dari keadaan diam.

 

 

Gambar 7 Sistem Pendulum biasa.

Dari Gambar 7 penurunan persamaan energi (lihat Lampiran 6) yang diperoleh persamaan sebagai berikut:

Ek m) cos (3.1) Ep mgl cosθ       3.2   D .       3.3) 

Bentuk umum fungsi Lagrange dari sistem dinyatakan sebagai berikut:

Ek Ep (3.4) dengan Ek adalah total energi kinetik, Ep adalah total energi potensial, dan adalah total energi kinetik akibat friksi. Dengan mensubstitusikan persamaan (3.1) dan (3.2) ke persamaan (3.4), maka diperoleh fungsi Lagrange sebagai berikut.

L = m) cos g  cos . (3.5)

Misalkan vektor koordinat sistem adalah q = ( ,  ) dengan = x dan

= θ dan misalkan dan maka persamaan Euler-Lagrange

untuk sistem ini diberikan sebagai berikut (lihat Lampiran 7):

Untuk gerak translasi motor

( – (3.6)

Untuk gerak osilasi pendulum

( – 0. (3.7) 2l

u

mg ηθ µ

x

Dari persamaan Euler-Lagrange persamaan (3.3) dan (3.5) diperoleh persamaan taklinear sebagai berikut (lihat Lampiran 8).

cos sin (3.8)

cos sin   sin g  sin   0. (3.9)

Bentuk linear dari persamaan (3.8) dan (3.9) sebagai berikut:

(3.10) θ g     0. (3.11)

Untuk menentukan keterkontrolan sistem pendulum biasa dengan lintasan datar maka diasumsikan friksi antara motor dengan lintasan =0 dan friksi pendulum dengan motor =0 sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:

(3.12) l θ g   0. (3.13)

3.2 Sistem Pendulum Terbalik Dengan Lintasan Datar

3.2.1 Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Datar

Penurunan model sistem pendulum terbalik dengan lintasan datar seperti Gambar 8 berikut. Diasumsikan Motor bergerak dalam dua dimensi yaitu motor dan pendulum bergerak maju atau mundur dalam bidang datar.

 

  

Gambar 8 Sistem Pendulum Terbalik Dengan Lintasan Datar.

Penurunan persamaan energi (lihat Lampiran 9) diperoleh persamaan sebagai berikut:

Ek  m) cos (3.14) Ep  gl cosθ (3.15)

η

x 2l

u M

θ

µ mg

. (3.16)

Fungsi Lagrange diperoleh

L m) cos g  cos . (3.17)

Disederhanakan persamaan Euler-Lagrange dari persamaan (3.16) dan (3.17) adalah taklinear (lihat Lampiran 10) diperoleh

cos sin (3.18)

cos sin   sin g  sin   0. (3.19)

Bentuk linear dari persamaan (3.18) dan (3.19) sebagai berikut

(M+m)  ml +  =  (3.20)    m     g sin   0   (3.21)

(Edisusanto. 2008).

Selanjutnya persamaan disederhanakan dengan mengasumsikan =0 dan

=0 maka diperoleh:

(3.22)   θ g   0. (3.23)

3.2.2 Sistem Pendulum Terbalik Ganda (Double) dengan Lintasan Datar Gambar 9 mengilustrasikan dua buah pendulum terbalik dimuat pada motor yang dapat digerakkan. Diasumsikan motor bergerak dalam dua dimensi, yaitu motor bergerak ke arah maju atau ke arah mundur, sedangkan pendulum pertama atau kedua bergerak maju atau mundur  dalam bidang datar.

Gambar 9 Sistem Pendulum Terbalik Ganda 2

2

µ

g

g

u

x

Penurunan persamaan energi (lihat Lampiran 11) diperoleh persamaan sebagai berikut:

+ 2 cos cos

2 cos 2 (3.24)

= g cos + g (2 cos cos        (3.25)    =  . (3.26) Fungsi Lagrange diperoleh

M+ 2 cos cos

2 cos 2  g 

 cos      g (2  cos    cos . (3.27)  

Misalkan vektor koordinat sistem adalah q = ( ,  ,  ) dengan = x ,

= θ, dan = , misalkan , dan   maka persamaan

Euler-Lagrange untuk sistem ini diberikan sebagai berikut (lihat Lampiran 12):

Untuk gerak translasi motor

( – . (3.28)

Untuk gerak osilasi pendulum pertama

( – 0. (3.29)

Untuk gerak osilasi pendulum kedua

( - 0. (3.30) Selanjutnya persamaan Euler-Lagrange dari persamaan (3.26) dan (3.27) diperoleh persamaan taklinear sebagai berikut (lihat Lampiran 13).

• ( + ) 2 cos 2 sin + 

cos   sin (3.31)

• 2   cos 2 sin 4

2 cos 2 sin 2 sin

2 sin 2 sin  g  sin

2  g  sin 0 (3.32)

•  cos sin 2 cos

2  sin 2 sin

sin -2 sin  g  sin 0. (3.33)

Diperoleh persamaan linear sebagai berikut:

• ( ) 2 +  (3.34)

• 2   4 2  g 

2  g    0 (3.35)

•   2  g  0 (3.36)

(Assidiqi 2008).

Diasumsikan friksi antara motor dengan lintasan =0 dan friksi pendulum dengan motor =0 serta friksi pendulum dengan pendulum =0 sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:

( ) 2 + (3.37)

2   4 2  g 

2  g  0 (3.38)   2  g 0. (3.39)

3.2.3 Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar

Gambar 10 mengilustrasikan dua buah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang dapat digerakkan. Diasumsikan motor bergerak dalam dua dimensi, yaitu motor bergerak ke arah maju atau ke arah mundur, sedangkan pendulum pertama atau kedua bergerak maju atau mundur dalam bidang datar.

     

x 2 2

µ

g g

u

Gambar 10 Sistem Pendulum Terbalik Dual

Penurunan energi (lihat Lampiran 14) dan diperoleh persamaan sebagai berikut:

cos cos

(3.40)

= g cosθ1  g cosθ2                 (3.41) D = ( + + . (3.42) Fungsi Lagrange diperoleh sebagai berikut:

( cos cos

g cos g cos . (3.43)

Selanjutnya persamaan Euler-Lagrange dari persamaan (3.42) dan (3.43) diperoleh persamaan taklinear sebagai berikut (lihat Lampiran 15):

( + )  cos cos – sin

sin   (3.44) cos g sin 0 (3.45) cos g sin 0.   (3.46) Diperoleh persamaan linear sebagai berikut:

( )    (3.47)

g 0 (3.48) g 0 (3.49) (Phillips. 1994).

Selanjutnya disederhanakan persamaan (3.47), (3.48), dan (3.47) sebagai berikut:

( )  (3.50) g 0 (3.51) g 0. (3.52)

3.3 Sistem Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring

3.3.1 Sistem Pendulum Terbalik Tunggal denganLintasan Miring

Pada bagian ini pertama kali yang dilakukan adalah menurunkan model sistem pendulum terbalik dengan lintasan miring. Gambar 11 mengilustrasikan satu buah pendulum terbalik dimuat pada motor yang dapat digerakkan.

Diasumsikan motor bergerak dalam dua dimensi, yaitu motor bergerak maju atau mundur, sedangkan pendulum bergerak ke arah maju atau mundur dalam bidang miring.

      

      

      

         

 

       

Gambar 11 Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Miring

Penurunan persamaan energi (lihat Lampiran 16) diperoleh sebagai berikut:

= ( ) + l cos + (3.53) Ep = gl cos (3.54) . (3.55) Fungsi Lagrange diperoleh sebagai berikut:

L = ( ) + l cos +  g l cos . (3.56)

Selanjutnya persamaan Euler-Lagrange dari persamaan (3.55) dan (3.56) diperoleh persamaan taklinear sebagai berikut (lihat Lampiran 17):

( )  l cos l   sin +  =  – gsin (3.57)

+ l  cos +   g sin = 0. (3.58) Sehingga diperoleh persamaan linear sebagai berikut:

( )  l cos +  =  – gsin (3.59) + l  cos   +   g cos g sin = 0 (3.60) (Edisusanto. 2008).

α θ η

mg 2l

u

µ x

Selanjutnya persamaan (3.59) dan (3.60) disederhanakan menjadi:

( m)  l cos =  – g sin (3.61) + l  cos     g cos gsin = 0. (3.62)

3.3.2 Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Miring

Gambar 12 mengilustrasikan dua buah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang dapat digerakkan. Diasumsikan motor bergerak dalam dua dimensi, yaitu motor bergerak maju atau mundur, sedangkan pendulum pertama atau kedua bergerak maju atau mundur dalam bidang miring.

Gambar 12 Pendulum Terbalik dengan Lintasan Miring

Penurunan persamaan energi (lihat Lampiran 18) yang diperoleh persamaan sebagai berikut:

         2 cos

cos 2 cos

2 (3.63)

= g cos + g(2 cos cos (3.64)

  =  . (3.65)

µ

g g

u

2

2

α

x

Fungsi Lagrange diperoleh sebagai berikut:

L M 2 cos cos

2 cos 2

g cos g (2 cos cos ). (3.66)

Dari persamaan Euler-Lagrange persamaan (3.65) dan (3.66) diperoleh persamaan taklinear sebagai berikut (lihat Lampiran 19):

• ( 2 cos  

2 sin   cos sin +   

g sin (3.67)

• 2   cos 2 sin

2 cos 2 sin 2 in

2 2 2 sin

2 sin  g sin  2  g sin +

( 0 (3.68)

•  cos sin   2 cos

2 sin 2 sin  

sin    2 sin g sin  

+  0. (3.69) Sehingga diperoleh persamaan linear sebagai berikut:

• 2 cosα  cos  +

g sin    (3.70)

• 2   cos  2 2 2

2   g cos    2   g sin  + ( 0 (3.71)

•  cos    2     g  cos   – sin   

+  0. (3.72)

Selanjutnya disederhanakan persamaan (3.70), (3.71), dan (3.72) diperoleh sebagai berikut:

•   2 cosα  cos 

g sin    (3.73)

• 2  cos  4 2

2   g  cos    2   g sin  0 (3.74)

•  cos    2 g  cos   – sin    0.       (3.75)

. 3.3.3 Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring

Gambar 13 mengilustrasikan dua buah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang dapat digerakkan. Diasumsikan motor bergerak dalam dua dimensi, yaitu motor bergerak maju atau mundur, sedangkan pendulum pertama atau kedua bergerak maju atau mundur dalam bidang miring.

       

 

Gambar 13 Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring Penurunan persamaan energi (lihat Lampiran 20) yang diperoleh persamaan sebagai berikut:

( cos

cos (3.76) Ep = g cos   m2g l2 cos        (3.77)

= + + = ( + + . (3.78)

Fungsi Lagrange diperoleh sebagai berikut.

x α

g

µ

g

u

2 2

L ( + cos

cos g cos - g cos . (3.79) 

Selanjutnya persamaan Euler-Lagrange dari persamaan (3.78) dan (3.79) diperoleh persamaan taklinear sebagai berikut (lihat Lampiran 21):

( + )  cos cos

sin sin   g sin (3.80)

cos g sin 0 (3.81)

cos g sin 0.   (3.82)

Sehingga diperoleh persamaan linear sebagai berikut:

( )  cosα cosα  

g sin (3.83)

cosα g cosα g  sinα 0 (3.84)

cosα g cosα g   sinα 0. (3.85)

Selanjutnya disederhanakan persamaan (3.83), (3.84), dan (3.85) diperoleh sebagai berikut:

( )  cosα cosα

g sin (3.86)

cosα g cosα g  sinα 0 (3.87)

cosα g cosα g   sinα 0. (3.88)