KAJIAN BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING

(1)

KAJIAN BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING

Oleh:

RUZIKA RIMADHANY 1209 100 042

Dosen Pembimbing:

DIAN WINDA SETYAWATI, S.Si, M.Si

(2)

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

PEMBAHASAN METODE PENELITIAN

PENDAHULUAN

Latar Belakang Rumusan Masalah

Batasan masalah Tujuan

Manfaat

PENUTUP

(3)

LATAR BELAKANG

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Rumusan Masalah Batasan masalah

Tujuan Manfaat

Ring merupakan suatu himpunan tak kosong R disertai dengan dua operasi biner, penjumlahan dan perkalian , yang memenuhi :

a) <R, +> adalah grup abelian;

b) <R, . > bersifat asosiatif serta c) <R, +, . > bersifat distributif [1].

RING

Inv ers

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

(4)

LATAR BELAKANG

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Rumusan Masalah Batasan masalah

Tujuan Manfaat

Contoh dari semiring adalah

• Bentuk-bentuk ideal pada semiring yang akan dikaji antara lain ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal , ideal prima, ideal maksimal, ideal semiprima dan ideal primary.

• Operasi biner, penjumlahan dan perkalian, yang digunakan bukan operasi penjumlahan dan perkalian pada umumnya tetapi didefinisikan sebagai FPB dan KPK [3].

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN PENUTUP

(5)

RUMUSAN MASALAH

PENDAHULUAN

Latar Belakang Rumusan Masalah

Manfaat

1. Bagaimana bentuk ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal dan ideal semiprima pada semiring

2. Bagaimana hubungan antara ideal maksimal dengan ideal utama pada semiring

3. Bagaimana hubungan antara ideal primary dengan ideal prima pada semiring

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

(6)

BATASAN MASALAH

PENDAHULUAN

Batasan masalah

Tujuan Manfaat

Bentuk-bentuk ideal yang dibahas adalah ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal, ideal prima, ideal maksimal, ideal semiprima dan ideal primary.

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN PENUTUP

(7)

TUJUAN

PENDAHULUAN

Batasan masalah Tujuan Manfaat

1.

Mengetahui ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal dan ideal semiprima pada semiring

2. Mengetahui hubungan antara ideal maksimal dengan ideal utama pada semiring

3. Mengetahui hubungan antara ideal primary dengan ideal prima pada semiring

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

(8)

MANFAAT

PENDAHULUAN

Manfaat

1. Sebagai penerapan ilmu dari mata kuliah yang telah diperoleh, yaitu aljabar 2 dan teori bilangan.

2. Sebagai tambahan wawasan dan referensi mengenai bentuk-bentuk ideal pada semiring .

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN PENUTUP

(9)

TINJAUAN PUSTAKA

PENDAHULUAN

Grup

Semiring

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

(10)

Berikut diberikan contoh-contoh dari grup .

GRUP

Grup

Semiring

METODE PENELITIAN TINJAUAN PUSTAKA

PENDAHULUAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

(11)

Pada grup terdapat struktur bagian yang disebut dengan subgrup.

Definisi dari subgrup diberikan sebagai berikut.

GRUP

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

(12)

SEMIRING

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

(13)

SEMIRING

Selanjutnya, diberikan definisi dari ideal pada semiring R sebagai berikut.

Bentuk-bentuk ideal yang dibahas pada tugas akhir ini adalah ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal, ideal maksimal, ideal prima, ideal semiprima, dan ideal primary.

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

(14)

SEMIRING

Untuk memperjelas definisi ideal utama diberikan sebuah contoh sebagai berikut.

Selanjutnya, dibahas mengenai pengertian dari ideal subtraktif melalui definisi berikut.

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

(15)

SEMIRING

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

(16)

SEMIRING

Untuk memperjelas definisi dan lemma dari Q-ideal diberikan contoh sebagai berikut.

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

(17)

SEMIRING

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

(18)

SEMIRING

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

(19)

SEMIRING

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

(20)

METODE PENELITIAN

Diagram Alur

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

(21)

DIAGRAM ALUR METODE PENELITIAN

Diagram Alur

Menunjukkan bentuk ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal dan ideal semiprima pada semiring

Menunjukkan hubungan antara ideal maksimal dengan ideal utama pada semiring

Menunjukkan hubungan antara ideal primary dengan ideal prima pada semiring

Penarikan kesimpulan dan saran

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

PENUTUP

(22)

PEMBAHASAN

Bentuk-Bentuk Ideal Pada Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

PENUTUP

(23)

BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING

Pada subbab ini dijelaskan mengenai bentuk-bentuk ideal pada semiring melalui teorema, lemma, akibat, dan contoh.

Adapun bentuk-bentuk ideal yang akan dibahas antara lain ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal, dan ideal semiprima.

Sebelum membahas mengenai ideal utama, terlebih dahulu dibahas tentang definisi ideal utama pada semiring yang diberikan melalui definisi berikut.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

(24)

BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING

Selanjutnya melalui lemma 3.1.2 dibahas mengenai suatu pembangun pada semiring dapat dinyatakan dengan kelipatannya.

Dari lemma diatas dapat diberikan suatu akibat berikut ini.

Selanjutnya dibahas bentuk dari ideal utama melalui lemma 3.1.4.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

PENUTUP

(25)

BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING

Setelah mengetahui bentuk dari ideal utama, berikutnya dibahas mengenai bentuk dari ideal subtraktif. Adapun pembahasannya diberikan melalui lemma 3.1.5.

Selanjutnya dibahas tentang bentuk dari Q-ideal melalui lemma 3.1.6 dan teorema 3.1.7

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

(26)

BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING

Berdasarkan teorema 3.1.7 dapat diberikan suatu akibat sebagai berikut.

Berikutnya dibahas mengenai bentuk dari ideal semiprima melalui teorema 3.1.9.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

PENUTUP

(27)

BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING

Setelah mengetahui bentuk dari ideal utama, ideal subtraktif, Q- ideal, dan ideal semiprima berikutnya dibahas mengenai keterkaitan antara ideal maksimal dengan ideal utama pada semiring .

Selanjutnya dibahas tentang keterkaitan antara ideal primary dengan ideal prima pada semiring melalui teorema 3.1.11.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

(28)

PENUTUP

Kesimpulan

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN PENUTUP

Saran

(29)

KESIMPULAN

1. Pada semiring terdapat beberapa bentuk ideal

diantaranya adalah ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal, dan ideal semiprima. Setiap ideal pada semiring merupakan ideal utama, ideal subtraktif, ideal semiprima tetapi bukan

merupakan Q-ideal. Satu-satunya bentuk Q-ideal yaitu {0} dan 2. Terdapat suatu keterkaitan antara ideal utama dan ideal maksimal

yaituI adalah ideal maksimal di jika dan hanya jika I = <p> untuk suatu p adalah bilangan prima.

3. Terdapat suatu keterkaitan antara ideal primary dengan ideal prima yaitu setiap ideal tak nol dari semiring adalah ideal primary jika dan hanya jika ideal tersebut adalah ideal prima.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN PENUTUP

Kesimpulan

(30)

SARAN

Q-ideal memiliki bentuk ideal yang unik. Setiap ideal pada semiring bukan merupakan Q-ideal. Satu-satunya bentuk Q-ideal pada semiring adalah {0} dan . Oleh karena itu, saran yang diberikan adalah penelitian ini dapat dilanjutkan dengan mengulas mengenai Q-ideal pada semiring yang lain.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

Kesimpulan Saran

(31)

[1] Khanna,VJ. (1993), A Course in Abstact Algebra, Vikas Publishing House PVT LYD.

[2] Setyawati, DW., (2011), Prime Ideal On Semiring , Jurnal Matematika Vol.14,No.1, 14-18.

[3] Chaudhari, JN, Ingale, KJ, (2012), A Note On Strongly Euclidean Semirings, International Journal of Algebra, Vol.6, No.6, 271-275.

[4] Gupta,V, Chaudhari, JN, (2011), Prime Ideals in Semiring, Bulletin of the Malaysian Mathematical Science Society, http : // math. usm. my

/bulletin

[5] Subiono, Diktat Ajar SM 091318: Aljabar I, Surabaya: Jurusan Matematika FMIPA-ITS, 2011.

[6] Dummit, DS, Foote, RM. (1991), Abstract Algebra, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J. 07632

[7] Subiono (2012). Aljabar Maxplus dan Terapannya, Version 1.1.0.

DAFTAR PUSTAKA

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

PENUTUP

(32)

TERIMA KASIH

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA