NAMA : NOVIYANTI, S.Pd USSERNAME : 18130318010017 MATEMATIKA UNTAN KELAS A
TUGAS AKHIR MODUL 4
Kerjakan semua soal berikut dengan cermat.
1. Jika diberikan busur lingkaran (lihat gambar di bawah). Berikan penjelasan anda, bagaimana cara menentukan letak titik pusat lingkarannya.
Penyelesaian:
Cara menentukan letak titik pusat lingkaan : a. Lukis sembarang talibusur AB pada busur
c. Tentukan titik potong dari kedua lingkaran misal titik P dan Titik Q. Tarik garis dari kedua titik potong tersebut.
d. Hapus kedua lingkaran yang berpusat pada titik A dan B, kemudian ulangi langkah pertama dengan menggambarkan tali busur sembarang, misal tali busur CD
f. Tentukan titik potong dari kedua lingkaran misal titik R dan Titik S. Tarik garis dari kedua titik potong tersebut.
g. Diperoleh perpotongan dari kedua garis yang telah dibentuk yang dimisalkan dengan titik O . Titik potong tersebut merupakan titik Pusat Lingkaran dari sebuah busur.
2. Diberikan tiga buah garis, yaitu : AB=5, ´ BC=6,´ dan AC=3. ´
a) Dapatkah ketiga garis tersebut membentuk sebuah segitiga? Berikan alasan anda.
Penyelesaian :
Berdasarkan Teorema Pertidaksamaan Segitiga yang menyatakan bahwa hasil penjumlahan dari dua sisi sebuah segitiga pasti lebih besar dari sisi ketiganya yaitu misalnya panjang suatu segitiga adalah a, b dan c maka berlaku :
b+c>a a+c>b
Berdasarkan pertidaksamaan segitiga ´
AB+ ´BC> ´AC yaitu 5+6>3 ´
BC+ ´AC> ´AB yaitu 6+3>5 ´
AB+ ´AC> ´BC yaitu 5+3>6
Jadi ketiga garis tersebut dapat membentuk sebuah segitiga
b) Jelaskan cara melukiskan segitiga tersebut: Penyelesaian:
Untuk melukis segitiga yang memiliki panjang sisi tertentu, lakukan langkah-langkah berikut.
1) Misalkan kita akan melukis segitiga dengan ukuran sisi-sisinya 5 cm, 6 cm, dan 3 cm. Pertama, lukislah sisi yang menjadi alas segitiga. Ukuran dari sisi alas ini dapat kita pilih sembarang dari ukuran sisi-sisi segitiga yang ditentukan. Misalkan kita pilih 5 cm sebagai panjang dari sisi alas segitiga.
3) Lakukan kembali langkah 2 tetapi dengan panjang sisi lainnya, yaitu 3 cm, dan pusat busur lingkaran terletak di ujung yang lain dari sisi alas segitiga yaitu titik A. Dari langkah ini kita mendapat titik perpotongan dua busur lingkaran yang terbentuk yaitu titik C
c) Tuliskan sudut terbesar dan sudut terkecilnya. Penyelesaian :
Sudut terbesar dari segitiga ABC adalah sudut A (karena menghadap sisi yang paling panjang yaitu BC=6´ cm)
Sudut terbesar dari segitiga ABC adalah sudut B (karena menghadap sisi yang paling pendek yaitu AC = 3 cm)´
3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y=x21
+1 di titik (1, 1 2)
Penyelesaian :
Jika terdapat kurva y=f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m=f'
(x1). Sementara itu x1 dan y1 memiliki
hubungan y1=f(x1) Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan
Menentukan Gradien kurva y=x21
Jadi persamaan garis singgung pada kurva y=x21
+1 di titik (1, 1
2) adalah x+2y=2
4. Tunjukkan bahwa persamaan x2
Peubah x dan peubah y berderajat/berpangkat dua dan tidak memuat suku perkalian x dan y nya (suku xy).
Koefisien x2 sama dengan koefisien y2
Selain itu untuk memastikan apakah persamaan tersebut merupakan sebuah lingkaran dapat diubah menjadi bentuk baku sbb: Jadi jelaslah bahwa persamaan x2
Berikut gambar grafiknya
5. Tentukan persamaan dari himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya : (a). Terhadap titik (±3,0) adalah 10
Penyelesaian : Titik Pertama (-3,0) Titik Kedua (3,0)
Menggunakan rumus jarak untuk memenuhi kondisi yang ditentukan yakni d1+d2=10
d1=√¿ ¿ ¿
d2=
√
(x−3)2+(y−0)2❑⇔
d2=
√
(x−3)2+y2karena d1+d2=10 maka diperoleh
√
(x+3)2+y2+√
(x−3)2+y2=10❑⇔ (x+3)2+y2=100−20
√
(x−3)2+y2+(x−3)2+y2Jadi persamaan dari himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap titik (-3,0) dan titik (3, 0) adalah 10 yaitu 16x2+25y2=400
(b) Terhadap titik (3,1) dan (9,1) adalah 10 Penyelesaian :
Titik Pertama (3,1) Titik Kedua (9,1)
Menggunakan rumus jarak untuk memenuhi kondisi yang ditentukan yakni d1+d2=10
❑⇔−18x+6x+81−9−100=−20
√
(x−3)2+(y−1)2Jadi persamaan dari himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap titik (3,1) dan titik (9, 1) adalah 10 yaitu 16(x−6)2+25(y−1)2=400
(c) Buat Sketsa dari masing masing gambar persamaan (a) dan (b). Penyelesaian :
6. Jika s={(x , y)|y=−x} dan t={(x , y)|y=2x−3. Tentukan sebuah persamaan untuk t'=Ms(t)
Periksa, apakah T merupakan sebuah transformasi? Penyelesaian :
Akan dibuktikan apakah T injektif
Jadi T(P)≠ T(Q) (ii) Untuk x<0
T(P)=(x1−1,y1) T(Q)=(x2−1,y2)
Jelas x1≠ x2 maka x1−1≠ x2−1 dan y1≠ y2 Jadi T(P)≠ T(Q)
Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa T tidak injektif
Akan dibuktikan apakah T surjektif
Ambil P(x1, y1) dan Q(x2, y2) dengan P ≠Q Akan dibuktikan T(P)≠ T(Q)
Karena P ≠Q maka x1≠ x2 atau y1≠ y2 (i) Untuk x ≥0
T(P)=(x1+1,y1) T(Q)=(x2+1,y2)
Karena x1≠ x2 maka x1+1≠ x2+1 dan y1≠ y2 Jadi T(P)≠ T(Q)
(ii) Untuk x<0 T(P)=(x1−1,y1) T(Q)=(x2−1,y2)
Karena x1≠ x2 maka x1−1≠ x2−1 dan y1≠ y2
