2x T2K t T

PERSA MA A N DIFFERENSIA L PA RSIA L

Fo rmula si ma te ma tik d a ri ke b a nya ka n p e rma sa la ha n d a la m ilmu p e ng e ta hua n d a n te kno lo g i d a p a t d ip re se nta sika n d a la m b e ntuk p e rsa ma a n d iffe re nsia l p a rsia l. Pe rsa ma a n te rse b ut me rup a ka n la ju p e rub a ha n te rha d a p d ua a ta u le b ih va ria b le b e b a s ya ng b ia sa nya a d a la h wa ktu d a n ja ra k (rua ng ).

Pe rsa ma a n d iffe re nsia l d a p a t d ib e d a ka n me nja d i tig a je nis ya itu :

A. Pe rsa m a a n Diffe re nsia l Pa ra b o lik

è Bia sa nya me rup a ka n p e rsa ma a n ya ng te rg a ntung p a d a wa ktu (tid a k p e rm a ne n) d a n p e nye le sa ia nnya me me rluka n ko nd isi a wa l d a n b a ta s. Pe rsa ma a n p a ra b o lik p a ling se d e rha na a d a la h p e ra mb a ta n p a na s.

2

x

T

2

K

t

T

∂

∂

=

∂

∂

Pe nye le sa ia n d a ri p e rsa ma a n d i a ta s a d a la h me nc a ri te mp e ra tur T untuk nila i x p a d a se tia p wa ktu t.

B. Pe rsa m a a n Diffe re nsia l Elip tik

è Bia sa nya b e rhub ung a n d e ng a n ma sa la h ke se timb a ng a n a ta u ko nd isi p e rma ne n (tid a k te rg a ntung wa ktu) d a n p e nye le sa ia nnya me me rluka n ko nd isi b a ta s d i se ke liling d a e ra h tinja ua n. Se p e rti a lira n a ir ta na h d i b a wa h b e nd ung a n d a n ka re na a d a nya p e mo mp a an, d e fle ksi p la t a kib a t p e m b e b a na n, d sb .

0

2

y

2

2

x

2

=

∂

ϕ

∂

+

∂

ϕ

∂

C . Pe rsa m a a n Diffe re nsia l Hip e rb o lik

è Bia sa nya b e rhub ung a n d e ng a n g e ta ra n a ta u p e rma sa la ha n d ima na te rja d i d isko ntinue d a la m wa ktu, se p e rti g e lo mb a ng ke jut ya ng te rja d i d isc o ntinue d a la m ke c e p a ta n, te ka na n d a n ra p a t m a ssa .

2 x

U 2 2 C 2 t

U 2

Sta b ilita s Ske m a Eksp lisit

Da la m ske ma e ksp lisit, T_in te rg a ntung p a d a tig a titik se b e lumnya

ya itu: T_in₋₁−1, T_in−1 d a n T_in₊−₁1. Ke a d a a n ini d a p a t me nye b a b ka n ke tid a ksta b ila n d a ri ske ma te rse b ut, ya ng b e rup a te rja d inya a mp lifika si ha sil hitung a n d a ri ko nd isi a wa l. Ag a r sta b il d ib utuhka n sua tu sya ra t ya itu :

0 < π < ½ _{d e ng a n} π ₌ 2 x

t

∆ ∆

C o nto h:

Dima na : k = 1

∆x = 0,1

∆t = 0,001

π =

2 x

t

∆ ∆ ₌

2

1 , 0

001 , 0

= 0,1 < 0,5 (sta b il)

Sya ra t b a ta s : p a d a t = 0 ; T = 2x ; 0 ≤ x ≤½L

T = 2(1-x) ; ½L ≤ x ≤ L

De ng a n me ng g una ka n p e rsa ma a n (6.2), hitung a n d ila kuka n d a ri i

= 2 sa m p a i d e ng a n 5 d a n d a ri n = 1 sa m p a i wa ktu ya ng d ike he nd a ki (N). Untuk n = 1 d a n i b e rg e ra k d a ri i = 2 sa mp a i i = 6 ,

1 2

T = 0,2 + 1 . 0,1 . (0 – 2 . 0,2 + 0,4) = 0,2

1 3

T = 0,4 + 1 . 0,1 . (0,2 – 2 . 0,4 + 0,6) = 0,4

1 4

T = 0,6 + 1 . 0,1 . (0,4 – 2 . 0,6 + 0,8) = 0,6

1 5

T = 0,8 + 1 . 0,1 . (0,6 – 2 . 0,8 + 1) = 0,8

1 6

T = 1 + 1 . 0,1 . (0,8 – 2 . 1 + 0,8) = 0,96

untuk n = 2 d a n i b e rg e ra k d a ri i =2 sa mp a i i = 6,

2 2

T = 0,2 + 1 . 0,1 . (0 – 2 . 0,2 + 0,4) = 0,2

2 3

T = 0,4 + 1 . 0,1 . (0,2 – 2 . 0,4 + 0,6) = 0,4

2 4

T = 0,6 + 1 . 0,1 . (0,4 – 2 . 0,6 + 0,8) = 0,6

2 5

T = 0,8 + 1 . 0,1 . (0,6 – 2 . 0,8 + 0,96) = 0,796

2 6

T = 0,96 + 1 . 0,1 . (0,8 – 2 . 0,96 + 0,8) = 0,928

De mikia n p e rhitung a n te rus d ila njutka n s/ d wa ktu ya ng d ike he nd a ki (N).

Ta b e l ha sil ske m a e ksp lisit

i = 1 2 3 4 5 6 7

x = 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

t = 0 0 0 .2 0.4 0.6 0.8 1 0.8

t = 0,001 0 0 .2 0.4 0.6 0.8 0.96 0.8

t = 0,002 0 0.2 0.4 0.6 0.796 0.928 0.796

t = 0,003 0 0.2 0.4 0.5996 0.7896 0.9016 0.7896

. . . .

. . . .

. . . .

t = N N N N N N N N

2. Pe nye le sa ia n Pe rsa m a a n Pa ra b o lik d e ng a n Ske m a Im p lisit

Da la m ske ma e ksp lisit, rua s ka na n d a ri p e rsa ma a n d itulis p a d a wa ktu n ya ng nila inya sud a h d ike ta hui. Se d a ng ka n p a d a ske ma imp lisit, rua s ka na n te rse b ut d itulis p a d a wa ktu n+1 d i m a na nila inya b e lum d ike ta hui.

G a mb a r d i b a wa h ini me nunjukka n ja ring a n titik simp ul d a ri ske ma imp lisit. De ng a n me ng g una ka n ske ma te rse b ut, fung si f(x,t) d a n turuna nnya d a la m rua ng wa ktu d id e ka ti o le h b e ntuk b e rikut ini.

n + 1

n

n - 1

i

i - 1 i + 1

2

1 n

1 i 1 n i 1 n

1 i 2 2

1 n

1 i 1 n

1 i

n i 1 n i

1 n i n

i

x ?

f f 2 f

x t) f(x,

x ? 2

f f x

t) f(x,

t ?

f f t

t) f(x,

f a ta u f

t) (x, f

+ + + +

− + − + +

+

+

+ ⋅ − = ∂ ∂

⋅ − = ∂ ∂

− = ∂ ∂

Pe rsa ma a n te rse b ut d a p a t d ise le sa ika n d e ng a n me to d e p e nye le sa ia n p e rsa m a a n se re nta k se p e rti ya ng dib a ha s p a d a Ba b 2 untuk m e nd a p a tka n nila i Ti (i =1...M).

Pe nye le sa ia n d e ng a n me ng g una ka n ske ma imp lisit le b ih sulit d ib a nd ing d e ng a n ske ma e ksp lisit. Ke le b iha n d a ri ske ma imp lisit a d a la h ske ma te rse b ut sta b il ta np a sya ra t, la ng ka h wa ktu ? t d a p a t d ia mb il se mb a ra ng (b e sa r) ta np a me nimb ulka n ke sa la ha n p e mo to ng a n d a la m b a ta s-b a ta s ya ng d a p a t d ite rim a .

3. Pe nye le sa ia n Pe rsa m a a n Elip tik

Pe nye le sa ia n d ila kuka n d e ng a n me nd iskre tisa si sua tu p e rsa ma a n d iffe re nsia l p a rsia l e lip tik d e ng a n ko nd isi b a ta s untuk d a p a t d itra nsfo rma sika n ke d a la m sua tu siste m d a ri N p e rsa ma a n d e ng a n N b ila ng a n a nu.

Pe nye le sa ia n p e rsa ma a n e lip tik d ila kuka n d e ng a n la ng ka h-la ng ka h b e rikut ini.

1. Me mb ua t ja ring a n titik simp ul d i d a la m se luruh b id a ng ya ng d itinja u d a n b a ta s-b a ta snya .

2. Pa d a se tia p titik d a la m b id a ng te rse b ut d ib ua t turuna n-turuna nnya d a la m b e ntuk b e d a hing g a .

3. Ditulis nila i-nila i fung si p a d a se mua titik d i b a ta s ke liling b id a ng d e ng a n me mp e rha tika n ko nd isi b a ta s.

Da ri p e rsa m a a n b e ntuk e lip tik b e rikut :

0

2

y

2

2

x

2

=

∂

ϕ

∂

+

∂

ϕ

∂

Se hing g a :

0

y

2

x

2

2

1 j , i j , i 1 j , i 2

j , 1 i j , i j , 1

i

₌

∆

ϕ

+

ϕ

−

ϕ

+

∆

ϕ

+

ϕ

−

ϕ

_{− + − +}

Untuk ∆x = ∆y, m a ka p e rsa m a a n d i a ta s m e nja d i :

C o nto h So a l :

De te rmine the ste a d y sta te te mp e ra ture o f the fo llo wing p la te using a = 1 a nd ? x = 1 ft.

Ja w a b :

? No de 1 ? No d e 3

T

b

T

d

T

c

T

a

1

3

5

2

4

6

-4

1

1

1

1

10 + 40 - 4 T

1

+ T

2

+ T

3

= 0

T

a

= 10°F

T

b

= 40°F

T

d

= 20°F

T

c

= 0°F

y

x

4 ft

3 ft

1

3

5

2

4

6

T

a

= 10°F

T

b

= 40°F

T

d

= 20°F

T

c

= 0°F

1

3

5

2 4

6

-4

1

1

1

1

40 + T

1

- 4 T

3

+ T

4

+ T

5

= 0

T

b

T

d

T

c

? No de 2 ? No d e 4

? No de 5 ? No d e 6

Se hing g a ha sil p e rsa ma a n -p e rsa ma a n te rse b ut d a p a t d ib e ntuk d a la m sua tu m a trik :

1

3

5

2

4

6

-4

1

1

1

1

10 + 20 + T

1

-4 T

2

+ T

4

= 0

T

b

T

d

T

c

T

a

1 3

5

2

4

_-4

6

1

1

1

1

20 + T

2

+ T

3

-4 T

4

+ T

6

= 0

T

b

T

d

T

c

T

a

1 3

5

2

4 6

-4

1

1

1

1

40 + T

3

-4 T

5

+ T

6

= 0

1 3

5

2

4 6

-4

1

1

1

1

T

b

T

d

T

c

T

a

1

3 5

2 4

6

_-4

1

1

1

1

20 + T

4

+ T

5

- 4 T

6

= 0

T

b

T

d

T

c

T

a

-4 1 1 1 0 0 T

1

D

1

1 -4 0 1 0 0

T

2

D

2

1 0 -4 0 0 0

T

3

D

3

0 1 1 -4 0 1

T

4

D

4

0 0 1 0 -4 1

T

5

D

5

0 0 0 1 1 -4

T

6

D

6

=

.

T

1

= 23,561 °F

T

2

= 18,344 °F

T

3

= 25,901 °F

T

4

= 19,814 °F

T

5

= 20,228 °F