Matematika Lanjut 1
Setiap matriks persegi atau bujur sangkar
memiliki nilai determinan
Nilai determinan
skalar
Matriks
Singular
= Matriks yang determinannya
bernilai 0
Misalkan A suatu matriks bujursangkar
Determinan dari A dinotasikan
det(A)
|A|
Untuk matriks ordo 2×2
Misal
𝐴 =
𝑎
𝑎
11
𝑎
12
21
𝑎
22
Maka
det A = 𝐴 =
𝑎
𝑎
11
𝑎
12
Contoh
Misal
𝐴 = 2
−5
−3
9
Maka
det A = 𝐴 = 2
−3
−5
8 = 2 ⋅ 8 − −3 ⋅ −5 = 1
Untuk matriks ordo 3×3 (Metode Sarrus)
12
21
33
11
23
32
13
22
31
32
21
13
31
23
12
33
22
11
)
det(
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Contoh
det(A) = |A| =
= [(-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0)]
–
(-3
·1 ·2)
–
(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1)
= 2 +12+0+6-0-2
= 18
Determinan & Invers - Onggo Wr
6
1
0
2
3
1
1
3
2
2
Definisi 1:
Minor
Misal A
n×n
MINOR unsur a
ij
adalah determinan
yang berasal dari determinan orde ke-n tadi
dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.
Dinotasikan dengan M
ij
Contoh Minor dari elemen a
11
Minor-minor dari Matrik A
3×3
Definisi 2:
Kofaktor
Misal A
n×n
KOFAKTOR dari baris i dan kolom
ke-j dituliskan dengan
Dinotasikan dengan c
ij
Contoh
Kofaktor dari elemen a
23
23
23
3
2
23
(
1
)
M
M
Determinan dari suatu matriks sama dengan
jumlah perkalian elemen-elemen dari
sembarang baris atau kolom dengan
kofaktor-kofaktornya
Contoh:
Determinan Matriks A dengan metode
ekspansi
kofaktor baris pertama
Contoh:
Determinan Matriks A dengan metode
ekspansi
kofaktor baris kedua
|A|
Determinan & Invers - Onggo Wr
12
Contoh:
Determinan Matriks A dengan metode
ekspansi
kofaktor kolom pertama
Teorema
Misalkan A adalah matriks bujursangkar
Jika A memiliki satu baris nol atau kolom nol,maka
det(A) = 0
det(A) = det (
A
T
)
Teorema
Jika A adalah matriks segitiga
n
n
(segitiga atas,
segitiga bawah atau diagonal), maka det(
A
) adalah
perkalian entri-entri pada diagonal utamanya
det(
A
) =
a
11
a
22
...
a
nn
Teorema
Misalkan A adalah matriks bujursangkar
Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari
perkalian suatu
baris atau kolom dengan skalar
k ≠ 0 maka
det(B) = k det(A)
Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari
pertukaran dua
baris atau kolom
dari A maka
det(B) = –det(A)
Jika B adalah matriks yang dihasilkan ketika
suatu baris
ditambahkan dengan kelipatan baris lain
atau suatu kolom
ditambahkan dengan kelipatan kolom lain dari A, maka
Contoh
Determinan & Invers - Onggo Wr
16
11
12
13
11
12
13
21
22
23
21
22
23
31
32
33
31
32
33
ka
ka
ka
a
a
a
a
a
a
k a
a
a
a
a
a
a
a
a
11
12
13
11
12
13
31
32
33
21
22
23
21
22
23
31
32
33
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
11
31
12
32
13
33
11
12
13
21
22
23
21
22
23
31
32
33
31
32
33
a
ka
a
ka
a
ka
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Teorema
Misal
E
adalah matriks elementer ordo
n
n
,
Jika
E
dihasilkan dari suatu baris
I
n
dikali
k
,
maka det(
E
) =
k
Jika
E
dihasilkan dari pertukaran dua baris
pada
I
n
, maka det(
E
) =
1
Jika
E
dihasilkan dari suatu baris ditambah
kelipatan baris lain di
I
Contoh
Determinan & Invers - Onggo Wr
18
1
0
0
0
1
0
2
0
0
2
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
2
0
0
1
0
1
0
0
1
Teorema
Jika
A
adalah matriks bujursangkar
dimana terdapat dua baris atau dua
kolom yang
saling berkelipatan
, maka
Contoh
Determinan & Invers - Onggo Wr
20
1
3 0
2
4
1
5
2
2
A
1
3 0
2
4
1
5
2
2
2
2
1
B
B
1
3
0
0
2
1
5
2
2
3
5
1
B
B
1
3
0
0
2
1
0
13
2
1
2
1
3
0
2 0
1
0 13
2
B
3
13
B
2
17
( 2)(1)(1)
17
2
=
1
2
17
2
1
3
0
2 0
1
0
0
Contoh
1
0
0
3
2
7
0
6
0
6
3
0
7
3
1
5
A
1
0
0
3
2
7
0
6
0
6
3
0
7
3
1
5
4
3
1
C
C
1
0
0
0
2
7
0
0
(1)(7)(3)( 26)
546
0
6
3
0
7
3
1
26
Teorema
Jika A dan B adalah matriks bujursangkar
dengan ukuran sama, maka
det(AB) = det(A).det(B)
Teorema
Jika A invertible, maka
Determinan & Invers - Onggo Wr
22
1
1
det(
)
det( )
A
A
Definisi
Jika A
n
n
, C
ij
kofaktor dari a
ij
, maka
disebut
matriks kofaktor
dari A.
Transposenya disebut matriks
Adjoin
dari A,
ditulis
Adj(A)
.
11
12
1
21
22
1
2
n
n
n
nn
C
C
C
C
C
C
C
C
Contoh
Kofaktor dari A
C
11
= 12,
C
21
= 4,
C
31
= 12,
C
12
= 6,
C
22
= 2,
C
32
=
10,
C
13
=
16,
C
23
= 16,
C
33
= 16
Maka matriks kofaktor dari A adalah
Determinan & Invers - Onggo Wr
24
3
2
1
1
6
3
2
4
0
A
12
6
16
4
2
16
12
10
16
12
4
12
Adj( )
6
2
-10
-16 16
16
A
Teorema
Jika A adalah matriks invertible, maka
Teorema (Aturan Cramer)
Jika
A
x
=
b
adalah spl dengan
n
peubah, det(
A
) ≠
0 maka spl mempunyai solusi tunggal
dimana
A
i
adalah matriks
A
dengan kolom ke-
i
diganti dengan
b
1
1
Adj( )
det( )
A
A
A
det( )
det( )
i
i
A
x
A
Contoh
Tentukan solusi dari spl
2𝑥
1
− 3𝑥
2
= 6
4𝑥
1
+ 𝑥
2
= 25
Jawab
𝐴𝒙 = 𝒃
2 −3
4
1
𝑥
𝑥
1
2
= 6
25
Matriks
Kofaktor
dari A adalah =
1 −4
3
2
Adjoin
A adalah Kofaktor
T
=
1
3
−4 2
Determinan A =
𝐴 = 2 −3
4
1 = 2 −
Definisi
Misal A
n
×
n
, maka A
-1
disebut
invers matriks
dari A jika
𝐴 ∙ 𝐴
−1
= 𝐴
−1
𝐴 = 𝐼
untuk I = matriks identitas ordo n
×
n.
Teorema
Misal matriks A dan B invertibel (punya
invers).
𝐴𝐵
−1
= 𝐵
−1
𝐴
−1
Teorema
Misal matriks A invertibel
Rahmi Rusin, Determinan.
