MATEMATIKA DISKRIT HIMPUNAN INKLUSI EKSL

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2013/2014

MATA KULIAH : MATEMATIKA DISKRIT (HIMPUNAN, INKLUSI

–

EKLUSI, INDUKSI MATEMATIKA)

1. Misalkan V = {d}, W = {c, d}, X = {a, b, c}, Y = {a, b}, dan Z = {a, b, d}. Tentukan apakah masing-masing pernyataan berikut ini benar atau salah.

(1) Y X (2) Z V

(3) V X (4) V Y

(5) W V (6) X = W

Jawab :

(1) Y = {a, b} X = {a, b, c}. Karena tiap-tiap elemen/anggota Y adalah elemen X maka Y adalah subhimpunan X. Kita berkesimpulan Y X adalah benar

(2) Z = {a, b, d} V = {d}. Karena satu-satunya elemen V adalah elemen Z, maka dikatakan Z adalah superhimpunan V. Kita berkesimpulan Z

V adalah benar

(3) V = {d} X = {a, b, c}. Karena d V dan d X maka V bukanlah subhimpunan dari X. Kita berkesimpulan V X adalah salah

(4) V = {d} Y = {a, b}. Karena d V dan d Y maka V bukanlah subhimpunan dari Y. Kita berkesimpulan V Y adalah benar

(5) W = {c, d} V = {d}. Karena satu-satunya elemen V adalah elemen W, maka dikatakan W adalah superhimpunan V. Kita berkesimpulan W V adalah salah

(6) X = {a, b, c} = W = {c, d}. Karena a X dan a W maka X = W adalah salah

2. Defenisikan himpunan dari gambar-gambar berikut dalam bidang Euclid : Q = {x | x adalah segi-empat}

R = {x | x adalah empat-persegi-panjang} H = {x | x adalah belah-ketupat}

S = {x | x adalah bujur sangkar}

Tentukan himpunan-himpunan manakah yang adalah subhimpunan-subhimpunan sejati dari yang lainnya.

Karena sebuah bujursangkar (persegi) mempunyai 4 sudut siku-siku yang sama besar maka bujursangkar adalah sebuah empat-persegi panjang. Oleh karena itu, S R (S subhimpunan sejati dari R)

Karena sebuah bujursangkar mempunyai 4 sisi yang sama panjang maka bujursangkar adalah sebuah belahketupat. Oleh karena itu, S

H (S subhimpunan sejati dari H)

Karena sebuah bujursangkar mempunyai 4 sisi maka bujursangkar adalah sebuah segi-empat. Oleh karena itu, S Q (S subhimpunan sejati dari Q)

Karena sebuah empat-persegi-panjang dan juga belah-ketupat mempunyai 4 sisi maka empat-perpanjang adalah sebuah segi-empat dan belah-ketupat adalah segi-segi-empat. Oleh karena itu, R Q (R subhimpunan sejati dari Q) dan H Q (H subhimpunan sejati dari Q)

3. a) Buktikan A-B A Jawab :

∀ x (A-B) → x A

x (A-B) → x A dan x B

x A dan x B → x A (TERBUKTI)

b) Buktikan (A B) (A B) → A = B Jawab :

(1) ∀ x (A B) → x (A B) (2) x (A B) → x A atau x B (3) x (A B) → x A dan x B (4) x A atau x B → x A dan x B (5) x A → x A dan x B

x A → x B untuk A B (6) x B → x A dan x B

4. Diantara bilangan bulat 1 sampai 900. Berapa banyak yang bukan kelipatan 2, 7, dan 10 ?

Jawab :

|A| = Bilangan bulat kelipatan 2 |B| = Bilangan bulat kelipatan 7 |C| = Bilangan bulat kelipatan 10

|A B| = Bilangan bulat kelipatan 2 dan 7 |A C| = Bilangan bulat kelipatan 2 dan 10 |B C| = Bilangan bulat kelipatan 7 dan 10

|A B C | = Bilangan bulat kelipatan 2, 7 dan 10 |A| = 9 = 450

|B| = 9₇ = 128 |C| = 9 = 90

|A B| = 9 _{� 7} = 9 = 64 |A C| = 9 _� = 9 = 45

|B C| = _{7 �} 9 = 9₇ = 12

|A B C | = _{� 7 �} 9 = 9 = 6

|A B C |= |A| + |B| + |C| - |A B| - |A C| - |B C| + |A B C | = 450 + 128 + 90 – 64 – 45 – 12 + 76

= 623

5. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika : a) � – 4n + 6 terbagi habis oleh 3, n ≥ 1, n B

Jawab :

(1) P(1) benar

1 – 4(1) + 6 = 3 (terbagi habis oleh 3)

(2) Dianggap P(k) benar maka � – 4k + 6 terbagi habis oleh 3 (3) Akan dibuktikan untuk P(k + 1) juga benar maka :

� + 1 – 4(k + 1) + 6

= � + 3� + 3k + 1 – 4k – 4 + 6 = � + 3� –k + 3

= (� – 4k + 6) + (3� + k – 3) = (� – 4k + 6) + 3(� + k – 1)

b)

+

+

+ ... +

(3) Akan dibuktikan untuk P(k + 1) juga benar maka :

+

+

+ ... +

_{� �+}

+

_{�+ �+}

=

_{� +}�+

(3) Akan dibuktikan untuk P(k + 1) juga benar maka :

= � �+ +

�+ �+

=

_�+�2+ �+_�+

=

_�+�+ �+_�+

=

�+

�+

Terbukti _.

+

.

+

.7

+ ... +

�− �+

=

�