commit to user
2014 1
ANALISIS TAHAN HIDUP PENDERITA DEMAM BERDARAH DENGUE (DBD) DI KABUPATEN KARANGANYAR DENGAN PENDEKATAN BAYESIAN
Titian Peramu Cahyani, Sri Subanti dan Purnami Widyaningsih Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret Surakarta
Abstrak. Analisis tahan hidup merupakan analisis terhadap tahan hidup suatu individu, mulai dari
awal sampai terjadinya kejadian tertentu. Laju kesembuhan DBD dapat dimodelkan menggunakan model hazard proporsional. Model hazard proporsional merupakan model regresi linier untuk menganalisis data tahan hidup dan diinterpretasikan menggunakan odds ratio. Dalam penelitian ini variabel independen yang digunakan adalah tekanan darah, trombosit, hematokrit, dan hemoglobin, sedangkan variabel dependennya adalah lama rawat inap. Parameter model diestimasi menggunakan pendekatan bayesian. Variabel yang berpengaruh pada usia 11-20 tahun yaitu tekanan darah dan trombosit, usia 21-30 tahun yaitu tekanan darah dan hematokrit, usia lebih dari 30 tahun yaitu tekanan darah dan trombosit.
Kata kunci: Analisis tahan hidup, model hazard proporsional, bayesian, odds ratio. 1. Pendahuluan
Indonesia merupakan negara beriklim tropis yang sangat memungkinkan untuk berkembang biaknya jentik-jentik nyamuk. Berbagai jenis penyakit yang disebabkan oleh gigitan nyamuk cukup beraneka ragam, salah satunya Demam Berdarah Dengue (DBD). Jumlah penderita DBD khususnya di Indonesia selalu bertambah setiap tahunnya. Hal itu terhitung sejak tahun 1968 hingga tahun 2009. World Health Organization (WHO) mencatat bahwa Indonesia sebagai negara dengan jumlah kasus DBD tertinggi di Asia Tenggara. Penyakit DBD disebabkan oleh virus dengue melalui perantara nyamuk Aedes
Aegypti yang penyebarannya sangat cepat dan dapat menimbulkan kematian. Di Indonesia,
tingkat kesadaran masyarakat terhadap pentingnya sanitasi masih rendah sehingga dapat menimbulkan penyakit yang memicu Kejadian Luar Biasa (KLB) (Departemen Kesehatan [3]). Provinsi Jawa Tengah merupakan provinsi dengan jumlah penderita DBD yang cukup tinggi pada tahun 2010-2013 (Departemen Kesehatan [3]). Kabupaten Karanganyar merupakan salah satu kabupaten di Provinsi Jawa Tengah yang mengalami KLB pada tahun 2013 dengan jumlah kasus DBD meningkat hingga 485 penderita (Dinas Kesehatan Kabupaten Karanganyar [4]). Oleh karena itu, untuk meminimalkan lama rawat inap penderita DBD dilakukan analisis tahan hidup dengan menggunakan model hazard proporsional.
Analisis tahan hidup merupakan analisis terhadap tahan hidup suatu individu, mulai dari awal sampai terjadi kejadian tertentu. Model hazard proporsional merupakan model
commit to user
2014 2
analisis tahan hidup yang menghubungkan antara waktu dengan variabel lain (Hobcraft et
al. [8]; Kleinbaum dan Klein [9]; Fahrmeir dan Kneib [5]). Penelitian mengenai penerapan
model hazard proporsional telah dilakukan oleh Singh et al. [10], yaitu tentang analisis tahan hidup sebagai penentu demografi dan sosial ekonomi dinamika jarak kelahiran di Manipur, India. Analisis tahan hidup dengan model regresi Cox Weibull pada penderita DBD di Rumah Sakit Haji Sukolilo Surabaya telah diteliti oleh Bastyan [1]. Fahrmeir dan Kneib [5] membandingkan pendekatan maksimum likelihood dan bayesian dalam estimasi parameter dalam model hazard dengan beberapa variasi jumlah data yang tersensor. Hasilnya tidak jauh berbeda dari sisi akurasi estimasi. Namun dari sisi rata-rata probabilitas, cakupan pendekatan bayesian lebih baik dibandingkan maksimum likelihood terutama jika jumlah data yang tersensor cukup banyak. Keuntungan lain pendekatan bayesian adalah estimasi parameter yang tidak diketahui langsung distribusi posteriornya dapat mengakomodir informasi penelitian sebelumnya dalam bentuk prior. Dalam penelitian ini diterapkan dan dianalisis tahan hidup penderita DBD di Kabupaten Karanganyar dengan menggunakan pendekatan bayesian.
2. Metode Penelitian
Data dan variabel penelitian pada penelitian ini adalah data rekam medis penderita DBD pada awal rawat inap di RSUD Kabupaten Karanganyar tahun 2010 sampai dengan 2013. Variabel dependen dalam penelitan ini adalah lama rawat inap pasien DBD dalam satuan hari dan variabel independen yang digunakan adalah tekanan darah (mmHg), kadar trombosit (ribu mm3), kadar hematokrit (Vol %) dan kadar hemoglobin (G %) yang dibedakan untuk jenis kelamin laki-laki dan perempuan. Kelompok usia yang berbeda akan memiliki variabel independen yang berpengaruh terhadap lama rawat inap yang berbeda-beda pula. Pada penelitian ini dibagi menjadi 4 kelompok usia. Kelompok usia tersebut adalah usia kurang dari sama dengan 10 tahun, usia tahun, usia tahun, usia lebih dari 30 tahun. Pada artikel ini hanya disajikan perhitungan untuk kelompok usia lebih dari 30 tahun.
Langkah dalam penelitian ini yaitu melakukan uji asumsi pada data, melakukan pengujian variabel independen yang berpengaruh secara signifikan terhadap variabel dependen dan pemilihan model terbaik, melakukan pengujian distribusi data dan estimasi parameter model hazard proporsional menggunakan pendekatan bayesian.
commit to user
2014 3
3. Pendekatan Bayesian
Bernardo dan Smith [2] menjelaskan bahwa aturan Bayes menjadi salah satu dasar pada pendekatan baru dalam estimasi dan inferensi statistika. Berikut adalah teori yang terkait.
Teorema 3.1 Jika adalah kejadian saling asing, maka untuk
berlaku
( | ) ( ) ( | )
∑ ( ) ( | ) (3.1) dengan ( | ) merupakan probabilitas distribusi posterior, adalah probabilitas distribusi prior dan ( | ) adalah probabilitas fungsi likelihood.
Heinrich [7] menjelaskan bahwa estimasi parameter yang menggunakan pendekatan bayesian dapat diperoleh dengan memaksimumkan probabilitas distribusi posterior
̂ ( ( | )) (3.2) 4. Model Hazard Proporsional
Model umum hazard proporsional dijelaskan oleh Kleinbaum dan Klein [9], yang dinyatakan dengan persamaan
( ), (4.1) dengan h0(t) merupakan fungsi baseline hazard dan tergantung pada distribusi data waktu
tahan hidup yang digunakan dan adalah koefisien regresi dari masing-masing variabel independen yang berpengaruh. Asumsi proporsional dari model adalah plot ln[-ln(S(t))] terhadap waktu tahan hidup (t) untuk setiap variabel independen membentuk pola sejajar. Model hazard proporsional yang lebih dikenal dengan regresi Cox memiliki asumsi regresi linier yang harus dipenuhi yaitu tidak terdapat multikolinieritas antar variabel independen.
5. Odds Ratio
Menurut Kleinbaum dan Klein [9] odds ratio merupakan suatu ukuran yang digunakan untuk mengetahui tingkat resiko (kecenderungan) yaitu perbandingan antara
odd individu dengan kondisi variabel independen pada kategori sukses dengan
kategori gagal. Nilai odds ratio dinyatakan dengan rumus |
|
commit to user
2014 4
6. Hasil dan Pembahasan 6.1 Uji Asumsi
Uji multikolinieritas merupakan uji untuk mengetahui hubungan antar variabel independen. Uji multikolinieritas menggunakan nilai variance inflation factor (VIF), dengan
. VIF lebih dari 10 menunjukkan adanya multikolinieritas antar variabel independen (Gujarati [6]). Nilai VIF variabel independen pada kelompok usia lebih dari 30 tahun ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Variance inflation factors (VIF) Variabel independen VIF
Tekanan darah ( ) 2,0570
Trombosit ( ) 1,2270
Hematokrit ( ) 2,7900
Hemoglobin ( ) 4,4730
Berdasarkan Tabel 1, nampak bahwa nilai VIF untuk masing-masing variabel independen dan kurang dari 10. Hal itu berarti bahwa tidak terdapat hubungan antar variabel independen tersebut.
6.2 Pengujian Variabel Independen yang Berpengaruh Secara Signifikan terhadap Variabel Dependen dan Pemilihan Model Terbaik
Pada pengujian variabel independen yang berpengaruh terhadap variabel dependen dilakukan 2 pengujian, yaitu secara serentak dan parsial. Pengujian secara serentak dilakukan dengan menggunakan uji F dan pengujian secara parsial menggunakan uji t dengan menggunakan . H0 pada uji F yaitu semua variabel dan tidak berpengaruh secara signifikan terhadap variabel lama rawat inap. Berdasarkan hasil uji F diperoleh p-value sebesar 0,006 lebih kecil dari , sehingga H0 ditolak yang berarti bahwa paling tidak terdapat satu diantara variabel dan yang berpengaruh terhadap lama rawat inap pasien penderita DBD pada kelompok usia lebih dari 30 tahun.
Selanjutnya, dilakukan uji parsial menggunakan uji t untuk mengetahui pengaruh masing-masing variabel dan terhadap lama rawat inap, dengan H0 masing-masing variabel dan tidak berpengaruh terhadap variabel lama rawat inap. Pada Tabel 2 ditunjukkan p-value dari masing-masing variabel dan .
commit to user
2014 5
Tabel 2. P-value masing-masing variabel dan
Variabel p-value Tekanan darah ( ) 0,0231 Trombosit ( ) Hematokrit ( ) Hemoglobin ( ) 0,0106 0,2120 0,2959
Berdasarkan Tabel 2, nampak bahwa p-value untuk variabel dan pada kolom 2 kurang dari 0,05. Hal itu berarti variabel tekanan darah dan trombosit berpengaruh terhadap variabel lama rawat inap. Hal tersebut diperkuat dari pemilihan model terbaik seleksi backward yang diukur dari nilai akaike’s information criterion (AIC). Nilai AIC diperoleh dari rumus , dengan k adalah jumlah variabel yang digunakan dan L adalah nilai maksimum fungsi likelihood. Semakin kecil nilai AIC, semakin baik kesesuaian modelnya. Nilai AIC pada kelompok usia lebih dari 30 tahun ditunjukkan pada Tabel 3.
Tabel 3. Nilai akaike’s information criterion (AIC) pada masing-masing model
Berdasarkan Tabel 3 nampak bahwa nilai AIC terkecil yaitu pada model dengan variabel tekanan darah dan trombosit. Dengan cara yang sama dapat diperoleh model terbaik untuk kelompok usia 11-20 tahun yaitu model dengan menggunakan variabel tekanan darah dan trombosit dan pada kelompok usia 21-30 tahun yaitu dengan menggunakan variabel tekanan darah dan hematokrit.
6.3 Pengujian Distribusi Data
Uji distribusi data pada variabel dependen dilakukan menggunakan uji
Anderson-Darling, dengan H0 lama rawat inap mengikuti distribusi Weibull. Berdasarkan hasil
pengujian diperoleh nilai p = 0,2190 yang lebih dari 0,05, maka H0 tidak ditolak yang berarti bahwa lama rawat inap mengikuti distribusi Weibull. Berikut adalah fungsi densitas, fungsi tahan hidup dan fungsi hazard distribusi Weibull 2 parameter,
, ,
,
Variabel dalam model AIC
Tekanan darah ( ), trombosit ( ), hematokrit ( ) dan hemoglobin ( )
70,2898 Tekanan darah ( ), trombosit ( ) dan
hematokrit ( )
69,8615 Tekanan darah ( ) dan trombosit ( ) 68,5818
commit to user
2014 6
dengan adalah lama rawat inap, sedangkan dan adalah parameter distribusi Weibull. Model hazard proporsional dapat dinyatakan sebagai
̂ ̂ ̂
dengan ̂ ( ̂̂) dan ̂ ̂. Uji distribusi data pada variabel independen dilakukan dengan menggunakan histogram dan uji goodness of fit. Tabel 4 menunjukkan distribusi data masing-masing variabel bebas pada masing-masing kelompok usia.
Tabel 4. Distribusi data masing-masing kelompok usia Kelompok usia Variabel berpengaruh Distribusi data
11-20 tahun Tekanan darah Normal
Trombosit Normal
21-30 tahun Tekanan darah Normal
Hematokrit Normal
Lebih dari 30 tahun Tekanan darah Normal
Trombosit Eksponensial
Berdasarkan Tabel 4, distribusi data tersebut digunakan untuk mengestimasi parameter ̂ .
6.4 Estimasi Parameter Model Hazard Proporsional Menggunakan Pendekatan Bayesian
Nilai estimasi parameter dari model terbaik ditunjukkan pada Tabel 5. Tabel 5. Nilai estimasi parameter model terbaik
Variabel Estimasi
Intersep 0,8190
Tekanan darah ( ) -0,0611 Trombosit ( ) 0,0475
Berdasarkan Tabel 5 dapat dinyatakan nilai estimasi adalah sebesar 0,8190 dan standar deviasi lama rawat inap pasien ( ) adalah 2,121 sehingga dapat dihitung ̂ ̂ ̂ .
̂ ( ̂ ̂) ( ) ̂ ̂
Selanjutnya estimasi koefisien dari setiap variabel independen ( ̂ dapat diperoleh menggunakan pendekatan bayesian. Langkah awal dalam mengestimasi koefisien tersebut dengan menentukan probabilitas distribusi prior, kemudian menentukan probabilitas nilai
likelihood masing-masing kelas interval dari distribusi normal. Berdasarkan persamaan
(2.1) dapat ditunjukkan perhitungan probabilitas posterior variabel tekanan darah untuk kelompok usia lebih dari 30 tahun yang terdapat pada Tabel 6.
commit to user
2014 7
Tabel 6. Perhitungan probabilitas posterior variabel tekanan darah Prob. Prior Likelihood Prob. Prior x
Likelihood Prob. Posterior
87 0,11 0,0005 0,0270 102 0,11 0,0018 0,0967 117 0,56 0,0137 0,7527 132 0,11 0,0018 0,0967 147 0,11 0,0005 0,0270 0,0182 1,0000
Berdasarkan persamaan (2.2), estimasi parameter pada variabel tekanan darah diperoleh dengan memilih probabilitas distribusi posterior terbesar pada Tabel 5 yaitu sebesar 0,7527. Dengan cara yang sama dapat diperoleh estimasi parameter untuk variabel trombosit yaitu sebesar 0,9639. Berdasarkan persamaan (3.1) diperoleh model hazard proporsional yakni,
̂ ̂ ̂ ,
, .
Dengan cara yang sama, dapat diperoleh model hazard proporsional untuk usia 11-20 tahun yaitu dan kelompok usia 21-30 tahun yaitu . Pada kelompok usia kurang dari sama dengan 10 tahun tidak dapat dibentuk model hazard proporsional karena jumlah data yang sedikit.
7. Interpretasi Model Hazard Proporsional
Berdasarkan model hazard proporsional yang diperoleh, digunakan kelompok usia lebih dari 30 tahun sebagai contoh dalam interpretasi model.
1. Variabel tekanan darah memiliki nilai ̂ 0,7527 dan ̂ = 2,1226 artinya setiap penambahan 1 mmHg tekanan darah seorang pasien memiliki laju kesembuhan lebih cepat 2,1226 kali.
2. Variabel trombosit memiliki nilai ̂ 0,9639 dan ̂ = 2,6220 artinya setiap penambahan 1000 mm3 trombosit seorang pasien DBD akan memiliki laju kesembuhan lebih cepat 2,6220 kali.
8. Kesimpulan Berdasarkan hasil pembahasan dapat disimpulkan,
commit to user
2014 8
1. model hazard proporsional untuk kelompok usia 11-20 tahun yaitu . Kelompok ini dipengaruhi oleh variabel tekanan darah dan variabel trombosit.
2. model hazard proporsional untuk kelompok usia 21-30 tahun yaitu . Kelompok ini dipengaruhi oleh variabel tekanan darah dan variabel hematokrit.
3. model hazard proporsional untuk kelompok usia lebih dari 30 tahun yaitu Kelompok ini dipengaruhi oleh variabel tekanan darah dan variabel trombosit.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Bastyan, E., Analisis Survival dengan Model Regresi Cox Weibull pada Penderita Demam Berdarah Dengue (DBD) di Rumah Sakit Haji Sukolilo Surabaya, Jurnal Sains dan Seni POMITS 2(2013), no. 2, 2337-3520.
[2] Bernardo, J. M., and A. F. M. Smith, Bayesian Theory, John Wiley and Son Ltd, England, 1994.
[3] Departemen Kesehatan, Pedoman Penanggulangan KLB-DBD bagi Keperawatan di RS dan Puskesmas, Direktorat Bina Pelayanan Medik Departemen Kesehatan, Jakarta, 2006.
[4] Dinas Kesehatan Kabupaten Karanganyar, Laporan Tahunan Penyakit Menular, Dinkes, Karanganyar, 2013.
[5] Fahrmeir, L., and Kneib, T., A Mixed Model Approach for Structured Hazard Regression, Tech. report, Department of Statistics, University of Munich, 2004. [6] Gujarati, D., Basic Econometrics Fourth Edition, McGraw-Hill Companies, 2004. [7] Heinrich, G., Parameter Estimation for text Analysis, Tech. report, University of
Leipzig, Germany, 2008.
[8] Hobcraft, J., Mc Donald, J., Menken, J., Rodriguez, G., and Trussel, J., A Comparative Analysis of Determinans of Birth Intervals, Tech. report, WFS Comparative Study: Cross-National Summaries (World Fertility Surveys), International Statistical Institute, Vooberg, Netherland, 31pp, 1984.
[9] Kleinbaum, D. G., and Klein, M., Survival Analysis: A Self-Learning Text Second Edition, Spinger, New York, 2005.
[10] Singh, S.N., Singh, N., and Narendra, R.K., Demographic and Socio-economic Determinans of Birth Interval Dynamics in Manipur: A Survival Analysis, Online Journal of Health and Allied Sciences 9(2010), no. 4, 1-5.
