NAMA : KELAS : theresiaveni.wordpress.com

(1)

theresiaveni.wordpress.com

NAMA

:

(2)

TURUNAN/DIFERENSIAL

Definisi :

Laju perubahan nilai f terhadap variabelnya adalah :

0 lim ) ( '   h x f h x f h x f(  ) ( ) = dx dy x y x     lim0 = dx df

f ’(x) merupakan fungsi baru disebut turunan fungsi f atau perbandingan diferensial, proses mencarinya disebut menurunkan / mendifferensialkan, bagian kalkulus yang berhubungan dengan itu disebut kalkulus differensial.

f ’(x) dapat ditulis dengan notasi lain : y’ atau

dx df

atau

dx dy

( 2 notasi yang terakhir disebut notasi Leibnitz).

RUMUS-RUMUS TURUNAN

1. Turunan fungsi konstan:

f (x) = k , maka f ‘(x)= lim ( ) ( ) lim 0 0 0        _h k k h x f h x f h h Jadi f (x) = k maka f ‘(x)= 0

2. Turunan fungsi Pangkat

f (x)= xn maka h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0     =

h

x

h

x

n n h







)

(

lim

0 = 0 lim  h _h h x n n h n ... 1 . 2 ) 1 ( nxn-1   2 2  = ... 1 . 2 ) 1 ( lim 1 2 0       x h n n nxn n h f ‘ (x ) = n1 nx f(x+h)=(x+h)n xnnx ... 1 . 2 ) 1 ( 2 2 1      h x n n h n n f(x) = xn f(x+h)-f(x) = nx ... 1 . 2 ) 1 ( 2 2 1      h x n n h n n

Rumus tsb dibuktikan berlaku untuk n bulat positif ,tetapi ternyata berlaku juga untuk n bulat negatif dan n

pecah. Jadi rumus berlaku untuk n rasional.

3. Turunan Hasil Kali Konstanta Dengan Fungsi

) ( . ) (x ku x f  maka h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0     = h x u k h x u k h ) ( . ) ( . lim 0    =





h x u h x u k h ) ( ) ( . lim 0    = k.





h x u h x u h ) ( ) ( . lim 0    f' x( )= k.u'(x)

(3)

4. Turunan Jumlah /Selisih Fungsi Fungsi

) ( ) ( ) (x u x v x f   maka h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0     = h x v x u h x v h x u h ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0       =











 

_h

x

v

h

x

v

h

x

u

h

x

u

h h

)

(

)

(

lim

)

(

)

(

lim

0 0 f ‘(x) = u ‘(x) + v ‘(x)

5. Turunan Hasil Kali Fungsi Fungsi

) ( ). ( ) (x u x v x f  maka h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0     = h x v x u h x v h x u h ) ( ). ( ) ( ) ( lim 0     = h x v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( lim 0         =



 







h x v h x v x u h x u h x u h x v h h ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim 0 0         = v(x).u'(x)u(x)v'(x) = u'(x).v(x)u(x)v'(x)

6. Turunan Hasil Bagi Fungsi Fungsi

Jika f (x) =

)

(

)

(

x

v

x

u

maka u(x) = f (x) v(x)

Menurut rumus sebelumnya u ‘(x) = f ‘(x) v(x) + f (x)v ‘(x) f ‘(x). v (x) = u’ (x) - f (x) v ‘(x) f ‘(x) =

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

'

x

v

x

v

x

v

x

u

x

u







2

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

'

)

(

'

x

v

x

v

x

u

x

v

x

u

x

f





7. Turunan Fungsi Komposisi ( Dalil Rantai )

(4)

Tabel Rumus Turunan dan Contoh:

No f(x) _{f ’(x) = y’ =}𝒅𝒇 𝒅𝒙=

𝒅𝒚

𝒅𝒙 (turunan pertama dari f(x))

Contoh

1 f(x) = a dengan a adalah konstanta

Turunan Fungsi Konstan

f ’(x) = 0  f(x) = a  f (x) = 0  f(x) = 2  f (x) = 0  f(x) = -100  f (x) = 0  f(x) = 1 2 f (x) = 0

2 f(x) = x Turunan Fungsi Identitas

f ’(x) = 1  f(x) = 2x  f (x) = 2 . (1) = 2  f(x) = -35x  f (x) = -35. (1) = -35  f(x) = 3 2𝑥 f (x) = 3 2 . (1) = 3 2

3. f(x) = axn _{Turunan Fungsi Pangkat} f ’(x) = n . a xn-1  f(x) = axn _{f ’(x) = n . a x}n-1  f(x) = x2_{berarti a = 1, n = 2} f (x) = 2. (1) x2-1_{= 2x}1_{= 2x}  f(x) = -8x3_{berarti a = -8, n = 3} f (x) = 3. (-8) x3-1_{= -24x}2  f(x) = 3 4x 4_{berarti a =}3 4, n = 4 f (x) = 4. (3 4) x4-1 = 3x3  f(x) = 2√𝑥 = 2𝑥12_{berarti a = 2, n =}1 2 f (x) = 1 2. 2𝑥 1 2 − 1 = 1. 𝑥− 21=𝑥− 12₌1 𝑥12 = 1 √𝑥  f(x) = 3 √𝑥2 3 = 3 𝑥23 = 3 . 𝑥− ₃2 berarti a = 3, n = − 2 3 f (x) = (- 2 3). 3𝑥 − _{3 − 1}2 _{= -2. 𝑥}− ₃5₌−2 𝑥 35 = −2 √𝑥5 3 4. f(x) = u(x)  v(x)

Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi f ’(x) = u  (x)  v  (x)  f(x) = u(x)  v(x)  f ’(x) = u  (x)  v  (x)  f(x) = -3x+ 4  f (x) = -3 (1) + 0 = -3  f(x) = 12x - 2  f (x) = 12 (1) - 0 = 12  f(x) = 7x2_{+3x - 6} f (x) = 2 (7)x2-1_{+ 3(1) – 0 = 14x+ 3}  f(x) = - 10x4_{+ x}3_{- 2000} f (x) = 4 (-10)x4-1_{+ 3x}3-1_{– 0 = - 40x}3_{+ 3x}2  f(x) = x5_{- 6 x}3_{+ x} f (x) = 5x4_{- 18x}2_{+ 1}  f(x) = 2x2_{- 4} f (x) = 4x Ingat:  _𝑎1_𝑛= 𝑎−𝑛  _𝑎1_−𝑛= 𝑎𝑛  𝑛√𝑎𝑚 _{= 𝑎}𝑚 𝑛  𝑏 √𝑎𝑚 𝑛 = 𝑏 . 𝑎− 𝑚 𝑛

(5)

No f(x) _{f ’(x) = y’ =}𝒅𝒇 𝒅𝒙=

𝒅𝒚

Contoh

5. f(x) = u(x) . v(x)

Turunan Hasil Kali Dua Fungsi

f(x) = u(x). v(x) + u(x).v (x)

 f(x) = u(x).v(x)  f(x) = u (x).v(x) + u(x).v(x)  f(x) = (x+ 4)(3x-2)

berarti u(x) = x+ 4 dan v( x) = 3x- 2 u (x) = 1 , v (x) = 3 maka f (x) = u (x) . v(x) + u(x) . v (x) f(x) = 1(3x- 2) + (x+4)3 = 3x – 2 + 3x +12 =6x + 10 Cara lain: f(x) = (x+ 4)(3x-2) = 3x2_{+ 10x – 8 = 6x + 10}  f(x) = (x2_{+ 2x + 1)(x-1)}

berarti u(x) = x2_{+ 2x +1 dan v( x) = x- 1} u (x) = 2x+2 , v (x) = 1

maka f (x) = u (x) . v(x) + u(x) . v (x) f (x) = (2x+2 )(x-1) + (x2_{+ 2x + 1) 1} = 2x2_{- 2+ x}2_{+ 2x + 1=3x}2_{+ 2x - 1} 6. _{f(x) =}𝑢(𝑥)

𝑣(𝑥) Turunan Hasil Bagi Dua Fungsi f (x) = 𝑢(𝑥).𝑣(𝑥)− 𝑢(𝑥) .𝑣 (𝑥) 𝑣2_(𝑥)  f(x) = 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥) f (x) = 𝑢(𝑥).𝑣(𝑥)− 𝑢(𝑥) .𝑣 (𝑥) 𝑣2_(𝑥)  f(x) = 2𝑥

𝑥+3 berarti u(x) = 2x dan v( x) = x+3

u (x) = 2 , v (x) = 1 maka f (x) = 𝑢(𝑥).𝑣(𝑥)− 𝑢(𝑥) .𝑣 (𝑥) 𝑣2_(𝑥) f (x) = 2(𝑥+3)−2𝑥(1) (𝑥+3)2 = 2𝑥+6−2𝑥 (𝑥+3)2 = 6 𝑥2_+6𝑥+9  f(x) = 𝑥−4

𝑥+1 berarti u(x) = x - 4 dan v( x) = x+1

u (x) = 1 , v (x) = 1 maka f (x) = 𝑢(𝑥).𝑣(𝑥)− 𝑢(𝑥) .𝑣 (𝑥) 𝑣2_(𝑥) f (x) = 1(𝑥+1)−(𝑥−4)(1) (𝑥+1)2 = 𝑥+1−𝑥+4 (𝑥+1)2 = 5 𝑥2_+2𝑥+1 7. f(x) = a.(u(x))n _Turunan Aturan/Teorema/Dalil Rantai f (x) = n. a. (u(x))n-1_{. u}_(x)  f(x) = (4x – 3)5 berarti a = 1, n = 5, u(x) = 4x – 3 u (x) = 4 maka f (x) = n. a. (u(x))n-1_{. u}_(x) f (x) = 5 . 1 (4x – 3)5-1_{. 4} = 5 . 1. 4 (4x – 3)4_{= 20 (4x – 3)}4  f(x) = 2(3𝑥 + 1)12 berarti a = 2, n =1₂, u(x) = 3x+ 1 u (x) = 3 maka f (x) = n. a. (u(x))n-1_{. u}_(x) f (x) = 1 2 .2(3𝑥 + 1) 1 2−1_{. 3}

(6)

No f(x) _{f ’(x) = y’ =}𝒅𝒇 𝒅𝒙=

𝒅𝒚

Contoh = 1. 3(3𝑥 + 1)− 1₂₌ 3 (3𝑥+1)12 = 3 √3𝑥+1  f(x) = (x+1)(4x – 3)5

berarti u(x) = x+ 1 dan v( x) = (4x – 3)5 u (x) = 1 , v (x) = 20 (4x – 3)4 maka f (x) = u (x) . v(x) + u(x) . v (x) f (x) = 1(4x – 3)5_{+ (x+1) (20 (4x – 3)}4₎ = (4x – 3)4_{(( 4x – 3) + 20(x+1))} = (4x – 3)4_{( 4x – 3 + 20x+20)} = (4x – 3)4_{( 24x + 17)}  f(x) = (4x – 3) 5 𝑥+1 berarti u (x) = (4x – 3)5_{dan v(x) = x +1} u (x) = 20 (4x – 3)4_{, v}_{(x) = 1} maka f (x) = 𝑢(𝑥).𝑣(𝑥)− 𝑢(𝑥) .𝑣 (𝑥) 𝑣2_(𝑥) f (x) = 20(4x – 3) 4 .(𝑥+1)−(4x – 3) 5_.1 (𝑥+1)2 = (4x – 3) 4 .(20𝑥+20) −(4x – 3) 5 𝑥2_+2𝑥+1 =(4x – 3) 4 ((20𝑥+20) −(4x – 3)) 𝑥2_+2𝑥+1 = (4x – 3) 4 (20𝑥+20−4x+3) 𝑥2_+2𝑥+1 = (4x – 3) 4 (16𝑥+23) 𝑥2_+2𝑥+1 Latihan 1 :

Carilah turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut:

Untuk soal no 1 – 3 tentukan juga turunan kedua fungsi f (x) atau f (x)!

f (x) adalah turunan kedua fungsi f(x) , dapat dicari dengan mencari turunan dari f(x) 1. f (x) = 4x5_{- 2x}4_{+ 5x}2_{– x} 2. 𝑓(𝑥) =3 8𝑥 4₋2 3𝑥 3_{+ 3𝑥 + 15} 3. f(x) = 4x− 2 3+ 4x − 1000 4. f(x) = (4x − 1)(2x + 3) 5. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)(𝑥 + 2) 6. 𝑓(𝑥) =2𝑥−5 𝑥−3 7. f (x) = 3 2 2   x x 8. 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 4)3 9. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 12)7 10. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 3)(𝑥 − 5)3 11. 𝑓(𝑡) = √𝑡 + 2 12. 𝑓(𝑥) = √2 − 𝑥3

(7)

theresiaveni.wordpress.com 13. 𝑓(𝑝) = 1 √𝑝 3 14. f (x) = x2₊ 2 2 1 x 15. f (x) = 3 3 2

7 x

x



16. f(x) =(3𝑥−1 2𝑥+5) 2 17. f(x) = √𝑥3 4_{+ 5𝑥}2_{− 7} 18. g(x) = 𝑥3−2 √𝑥2 3 19. f(x) = ((√𝑥 + 𝑥)(√𝑥 − 1) 20. f(x) = 1 3𝑥2_{+ 5𝑥−1} 21. g(x) = 4 √(2𝑥2₊₇₎3 22. g(x) = 1+√2𝑥 √2𝑥 23. g(x) = √1 + √𝑥 24. g(x) = 𝑥_𝑥3+2𝑥₂_+𝑥2 25. g(x) = (3x2₊₅₎3_{(3x - 1)}2 26. f(x) = 𝑥2+ 2𝑥−3 √𝑥−2

Persamaan Garis Singgung di Suatu Titik pada Kurva

Ingat:

 Pada titik (x, y), x adalah absis dan y adalah ordinat.

 Persamaan garis lurus jika diketahui melalui dua titik, yaitu (x1, y1) dan (x2, y2) adalah: 𝒚− 𝒚𝟏

𝒚𝟐− 𝒚𝟏=

𝒙− 𝒙𝟏

𝒙𝟐− 𝒙𝟏

 Persamaan garis lurus jika diketahui gradiennya (m) dan melalui (x1, y1) adalah: y – y1 = m (x – x1)

 Diketahui persamaan garis k: y = m1x + p dan persamaan garis 𝑙: y = m2x + p a. Jika garis k  𝑙 (saling sejajar) maka m1 = m2

b. Jika garis k  𝑙 (saling tegak lurus) maka m1 . m2 = -1

Gradien garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (x1, y1) adalah turunan pertama kurva y = f(x), yaitu m = f ’(x). Persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) dengan gradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah : y – y1 = m (x – x1).

Contoh:

1. Tentukan persamaan garis singgung pada fungsi kuadrat y = 2 + x - x2_yang a. melalui titik (0, 2)

b. sejajar pada garis y + 3x - 3 = 0

(8)

theresiaveni.wordpress.com 2. Tentukan persamaan garis singgung dari y = x2_{– 4x + 8, di titik dengan absis x = -1!}

Latihan 2: Soal diambil dari buku paket

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Definisi :

Fungsi Naik :

Suatu fungsi f disebut naik dalam suatu interval jika untuk setiap nilai x1 dan x2 pada interval itu, berlaku jika x1<x2 maka f(x1)<f(x2)

Fungsi Turun :

Suatu fungsi f disebut turun pada suatu interval untuk setiap nilai x1 dan x2 dalam interval itu, berlaku jika x1 < x2 maka f(x1)> f(x2)

Fungsi Naik, Fungsi Turun & Turunan Pertama :

Perhatikan gambar:

Dari gambar terlihat bahwa :

Jika fungsi naik, gradien garis singgung positif turunan pertama positif. Jika fungsi turun, gradien garis singgung negatif turunan pertama negatif.

Jadi turunan pertama dapat dipakai untuk melihat apakah sebuah fungsi (sedang) naik atau turun.

(9)

theresiaveni.wordpress.com 1. Tentukan interval dimana fungsi : 𝑓(𝑥) = 𝑥2_{− 8𝑥 + 2 naik dan turun}

Jawab : 𝑓(𝑥) = 𝑥2_{− 8𝑥 + 2, 𝑓}′_{(𝑥) =}

Fungsi naik: Fungsi turun :

Jadi fungsi naik dalam interval : dan turun dalam interval :

2. Tentukan interval dimana fungsi f (x) = 𝑥3₋3 2𝑥

2_{naik dan dimana turun!}

Jawab : 𝑓′_{(𝑥) =}

3. Tentukan interval dimana fungsi ini f (x) = 3 x – 5 naik dan dimana turun! Jawab :

f (x) = 3 x – 5

f ‘(x) = 3 > 0 f ‘(x) positif untuk semua interval  fungsi monoton naik

4. Tentukan interval dimana fungsi f (x) = 2 - x3 naik dan dimana turun Jawab:

f ‘(x) = - 3 x 2 ₀_{turunan fungsi ini negatif atau nol untuk semua interval (fungsi tidak pernah} naik).

5. Tentukan interval dimana fungsi f (x) = x3 + 3 naik dan dimana turun! Jawab:

f ‘(x) = 3 x 2 0

 turunan fungsi ini positif atau nol untuk semua interval (fungsi tidak pernah turun

)

Catatan

Jika f ‘(x) > 0 disemua interval : fungsi monoton naik (selalu naik)

f ‘(x) < 0 disemua interval : fungsi monoton turun (selalu turun) f ‘(x) 0 disemua interval : fungsi tidak pernah turun

f ‘ (x) 0 disemua interval : fungsi tidak pernah naik

f ‘ (x) = 0: fungsi diam atau fungsi tidak naik dan tidak turun, atau fungsi stasioner. Latihan 3: soal diambil dari buku paket

Kecekungan kurva dan Turunan kedua

Sebuah kurva disebuat cekung keatas/kebawah apabila bentuknya sebagai berikut

(10)

Kurva cekung keatas:

Jika x < a ; f ‘(x) <0

x = a ; f ‘(x)= 0  f ‘(x) naik  f ‘’(x) > 0 x > a ; f ‘(x) >0

Kurva cekung kebawah:

Jika x < a : f ‘(x) > 0

x = a : f ‘(x) = 0  f ‘(x) turun  f “(x) < 0 x > a : f ‘(x) < 0

Kesimpulan : Jika kurva cekung keatas maka f “(x) >0 Jika kurva cekung kebawah maka f “(x) < 0

x< a x =a x>a f ’ (x) - 0 + Sketsa gambar x< a x =a x>a f ’ (x) + 0 - Sketsa gambar

(11)

Nilai Stasioner

Perhatikan grafik y = f ( x ) berikut :

di x = a ; f ‘ (x) = 0 , grafik tidak sedang naik dan juga tidak sedang turun , fungsi mencapai

keadaan kritis, nilai fungsi di x = a disebut nilai stasioner ( critical value / stasionery value )

di x = b ; dan juga di x = c terjadi hal yang sama.

Jenis Nilai Stasioner

Jadi jika f ’(x) = 0 terdapat nilai stasioner , nilai stasioner tsb ada 4 jenis :

1. Nilai ( Balik ) Maksimum

Pada x < a ; f ‘(x) > 0

x = a ; f ‘ (x) = 0

x > a ; f ‘(x) < 0

di x = a mengalami perubahan dari naik menjadi turun.



) (a

f

nilai ( balik ) maksimum (a , f(a) ) : titik balik

maksimum.

2. Nilai (balik ) minimum

Pada x < a ; f ‘ (x) < 0

x = a ; f ‘ (x) =0

x > a ; f ‘ (x) > 0

di x =a fungsi mengalami perubahan dari turun menjadi naik.

f (a ) : nilai (balik) minimum. ( a , f(a) ) : titik balik minimum

x< a x = a x>a f ’ (x) Sketsa gambar x< a x = a x>a f ’ (x) Sketsa gambar

(12)

3. Ordinat titik belok horizontal (nilai belok positif)

Pada x < a : f ‘(x) > 0

x = a ; f ‘ (x) = 0

x > a ; f ‘(x) > 0

f (a)= ordinat titik belok horisontal.

(a , f(a)): titik belok horisontal.

Titik belok adalah titik dimana terjadi perubahan dari konkaf

(cekung) ke bawah ke ke atas atau sebaliknya.

4. Ordinat titik belok horisontal (nilai belok negatif)

Pada x < a ; f ‘ (x) < 0

x = a ; f ‘(x) = 0

x> a ; f ‘(x) < 0

f ( a ) : ordinat titik belok horisontal

( a , f(a) ) : titik belok horisontal.

Menentukan Jenis Nilai Stasioner dengan “Uji Turunan Kedua “

Jika : Jika f ‘ (a) = 0

f ‘’ (a) > 0  f(a):nilai balik minimum Jika f ‘ (a) = 0

f ‘’ (a) < 0  f(a):nilai balik maksimum Jika f ‘ (a) = 0

f ‘’(a) = 0  mungkin ( a , f(a) ) ; berupa titik belok horizontal

(apabila tanda f “(x) dikiri dan kanannya berbeda tanda )

Latihan 4 :

Tentukan nilai stasioner fungsi –fungsi berikut, titik stasioner dan tentukan pula jenis nilai

stasionernya :

1. f(x) = x

2

_{- 4x - 5}

_{6. f(x) =}

2 3

x

3

+ 2x

2

– 6x

2. f(x) = x

3

_-3x

2

_{+3x +4}

_{7. f(x) = 2 – x}

3

3. f(x) = x

4

_+2x

3

_{- 3x}

2

_{- 4x + 4}

_{8. f(x) = x(x – 6)}

2

4. f(x) = - x

2

_{+ 8}

_{9. f(x) = 4x}

3

_{– 15x}

2

_{+ 12x + 4}

5. f(x) = −

1₄

x

4

_{+ x}

3

_{+ x}

2

_{- 4x - 3}

_{10. f(x) = x}

3

_{- 3x}

2 x< a x = a x>a f ’ (x) Sketsa gambar x< a x = a x>a f ’ (x) Sketsa gambar

(13)

Menggambar Grafik Fungsi

Dalam menggambar grafik suatu fungsi y = f(x), ada beberapa langkah yang diperlukan, sebagai berikut:

1. Menentukan titik potong dengan sumbu – sumbu koordinat ( sumbu x dan sumbu y ). a. Tentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu saat y = 0.

b. Tentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu saat x = 0. 2. Menentukan titik-titik stasioner atau titik ekstrim dan jenisnya 3. Menentukan beberapa titik bantu,(jika diperlukan).

Pilihlah beberapa nilai x kemudian carilah nilai y-nya dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi f(x).

4. Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat. 5. Hubungkan titik-titik ini dengan kurva yang mulus.

Latihan 5

Gambarlah grafik fungsi berikut:

1. 𝑓(𝑥) = −1 3𝑥 3_{+ 4𝑥}2_{− 12𝑥} _{6. f(x) =- x}3_{- 6x}2_{- 9x +7} 2. 𝑓(𝑥) = 1 4𝑥 4_{− 2𝑥}3_{+ 4𝑥}2 _{7. f (x) = x}2_{+ 4x +8} 3. f(x) = 2x3_{+ x - 4} _{8. f(x) = x}3_+3x2_{+6x +14} 4. f(x) = 4x2 _{- 8x + 5} _{9. f(x) = 5 - 4x –x}2 5. 𝑓(𝑥) = 𝑥4− 2𝑥3 10.f(x) = x3_{– 6} x y

(14)

Nilai Maksimum dan Minimum di Interval Tertutup

Langkah-langkah menentukan nilai maksimum dan minimum di interval tertutup sebagai berikut: a. Menentukan nilai stasioner fungsi tersebut.

b. Menentukan nilai fungsi pada ujung-ujung interval yang diberikan.

c. Menentukan nilai maksimum dan minimum dari hasil (a) dan (b) yang masuk dalam interval.

Latihan 6

Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi berikut pada domain yang diberikan: a. f(x) = -x2_{+ 10x dengan -2 ≤ x ≤ 5} _{d. y = 2x}2_{- 4x + 5 dengan -3 ≤ x ≤ 0} b. f(x) = x3_{- 6x}2_{+1 dengan -5 ≤ x ≤ 5} _{e. y =x}2_{- x dengan 1 ≤ x ≤ 2} c. f(x) = 1 3 x 3 _–x2_{-3x dengan -4 ≤ x ≤ 4} _{f. y = 𝑓(𝑥) =}1 4𝑥4− 3 2𝑥3 dengan 0 ≤ x ≤ 2

(15)

Penggunaan Turunan dalam Permasalahan yang berkaitan bidang Ekonomi

Latihan 7

Selesaikan setiap permasalahan berikut:

1. Misalkan biaya produksi dari x unit barang adalah C (x) = 20 x3 – 60x2 + 100. a. Berapa biaya marjinalnya?

b. Kapankah biaya marjinalnya merupakan fungsi naik?

2. Hasil penjualan x potong kaos dinyatakan oleh fungsi p(x) = 90 – 3x2_{(dalam ribuan rupiah). Tentukan} hasil penjualan maksimum yang diperoleh!

3. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar 2.500 + 1.000x + 10x2 rupiah. Jika semua produk perusahaan tersebut terjual dengan harga Rp. 2.000,00 untuk setiap produknya, tentukan laba maksimum yang dapat diperoleh!

4. Untuk meningkatkan penjualan x unit barang diperlukan biaya produksi yang dinyatakan dengan (8x2_{-120x) dalam ribuan rupiah. Harga penjualan tiap barang dinyatakan dengan}₍1

3𝑥

2_{− 10𝑥 + 200)}

dalam ribuan rupiah. Tentukan banyak barang yang diproduksi supaya diperoleh keuntungan maksimum! 5. Untuk memproduksi x unit barang per hari diperlukan biaya (x3– 2.000x2 + 3.000.000x) rupiah.

Tentukan banyaknya barang per hari yang harus diproduksi untuk mendapatkan biaya produksi per unit

barang yang paling rendah!

6. Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari. Biaya proyek per hari adalah (4x + 4000_𝑥 - 64) ribu rupiah. Tentukanlah besarnya biaya proyek minimumnya!

7. Untuk memproduksi x buah pulpen diperlukan biaya sebesar C (x) = 0,005x2 +20x +150.

a. Tentukan biaya marjinal (dlm $) jika dibuat 100 pulpen dan ketika dibuat 1.000 pulpen. b. Jika biaya marjinalnya $1.000, berapa buah pulpen yang diproduksi?

Catatan:

C(x) = Total biaya produksi x unit produk selama periode waktu tertentu = fungsi biaya

M(x) = biaya marjinal = C’(x)

= biaya tambahan produksi setiap penambahan 1 unit produksi R (x) = Total hasil penjualan x unit produk selama periode waktu tertentu = fungsi pendapatan

P(x) = Total keuntungan penjualan x unit produk selama periode waktu tertentu = fungsi keuntungan

Jika semua produk terjual, hubungan fungsi-fungsi itu adalah : P(x) = R(x) – C(x)