Abstrak- Epidemik adalah kejadian penyebaran suatu penyakit menular pada manusia yang disebabkan oleh banyak faktor dan dapat menyebabkan banyak kerugian. Secara lebih spesifiknya, terdapat suatu penyebaran penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri dan juga dipengaruhi peran serta hospes sebagai suatu inang pembawa bakteri tersebut yang kemudian akan disebarluaskan pada populasi manusia. Misalnya saja, pada beberapa penyakit seperti disentri, kolera dan demam tifoid itu penyebaran penyakitnya ditularkan melalui makanan atau air yang ditransmisikan dalam populasi manusia oleh lalat yang membawa bakteri penyakit ini. Dengan demikian, kepadatan hospes yang dapat tumbuh bersama dengan kepadatan populasi manusia terkait dengan sanitasi di lingkungan sangat berperan penting dalam penyebaran beberapa penyakit menular. Oleh kareni itu, akan dianalisis titik kesetimbangan dan kestabilan dari model penyebaran penyakit menular dengan bakteri dan hospes, untuk mengetahui arah pertumbuhan penyakit dan pola penyebaran penyakit sehingga dapat dilakukan suatu tindakan preventif terutama yang berhubungan dengan migrasi bakteri dan hospes di lingkungan.
Kata kunci: Epidemik, Bakteri, Hospes, Model SIS, Kesetimbangan, Kestabilan.
I. PENDAHULUAN
enyebaran penyakit menular dengan mempertimbangkan kontak langsung antara individu yang rentan terinfeksi penyakit dengan mempertimbangkan kontak langsung antara individu yang rentan terinfeksi penyakit (susceptible) dan individu yang terjangkit dan dapat menularkan penyakit (infected), namun tidak mempertimbangkan peran bakteri yang ada di lingkungan telah dimodelkan dan dianalisis oleh Anderson, dkk [1]. Padahal, sebenarnya terdapat penyakit menular yang disebabkan bakteri dan penyebarannya dipengaruhi oleh faktor dari lingkungan, misalnya adalah typus [2]. Kurangnya sanitasi dan munculnya berbagai macam hospes (sering disebut sebagai carriers), misalnya lalat, kutu, tungau yang berada di lingkungan menjadi faktor penting dalam penyebaran penyakit menular. Hospes mengangkut bakteri penyakit menular seperti demam tifoid, kusta, kolera, konjungtivitis, TBC, disentri, diare, dari lingkungan untuk ditularkan pada susceptible sehingga menyebabkan penyakit tersebut tersebar pada populasi manusia. Beberapa penyakit seperti disentri, kolera, dan demam tifoid merupakan beberapa contoh penyakit yang ditularkan melalui makanan atau air dan ditransmisikan dalam populasi manusia oleh lalat yang membawa bakteri penyakit ini. Dengan demikian kepadatan hospes, yang dapat tumbuh bersama dengan faktor kepadatan populasi
manusia terkait dengan sanitasi di lingkungan, memainkan peran penting dalam penyebaran beberapa penyakit menular. Seperti disebutkan di atas, meskipun pemodelan dan analisis penyakit menular telah dilakukan oleh beberapa peneliti [1-2], efek dari adanya bakteri dan hospes di lingkungan pada penyebaran penyakit menular belum diteliti dengan menggunakan model matematika [2]. Hethcote [3] membahas model epidemik di mana populasi hospes diasumsikan konstan. Tapi, secara umum, ukuran populasi hospes tidak konstan dan tergantung pada kondisi habitat di lingkungan. Ghosh dkk [4] telah mempertimbangkan pertumbuhan populasi hospes yang tergantung pada sampah rumah tangga dan faktor kepadatan populasi lainnya yang terkait dalam model tersebut. Mereka menunjukkan bahwa penyebaran penyakit menular meningkat karena mobilitas bakteri oleh hospes tetapi mereka mengabaikan interaksi bakteri dengan susceptible serta mereka juga mengabaikan interaksi antara bakteri dengan hospes di lingkungan. Begitu juga dengan, Ghosh dkk. [5,6] yang telah mempelajari penyebaran penyakit menular dengan bakteri di lingkungan tetapi mereka mengabaikan peran keberadaan hospes di lingkungan.
Hingga akhirnya pada tahun 2011, J.B Shukla, dkk [7] mempublikasikan jurnalnya dan membahas model SIS dengan imigrasi untuk penyebaran penyakit menular yang disebabkan oleh debit bakteri dalam lingkungan dengan
infected dan interaksi bakteri dengan susceptible. Selain itu
juga diasumsikan bahwa penyakit menyebar dengan kontak langsung antara susceptible dan infected serta dipengaruhi juga oleh bakteri yang diangkut oleh hospes untuk
susceptible.
Oleh karena itu, berikut ini akan dibahas tentang analisis dari model penyebaran penyakit menular dengan bakteri dan hospes, yang ditemukan oleh J.B Shukla dkk [7] untuk mendapatkan titik kesetimbangan dan kestabilan dari model epidemik tersebut, sehingga dapat diketahui arah pertumbuhan penyakit, pola penyebaran penyakit dan dapat dilakukan suatu tindakan preventif terutama yang berhubungan dengan migrasi bakteri dan hospes di lingkungan.
II. METODEPENELITIAN
A. Tahap Telaah/Studi Literatur
Dari permasalahan dan tujuan yang telah dirumuskan selanjutnya dilakukan studi literatur untuk memberi acuan pemecahan permasalahan. Studi literatur dilakukan terhadap jurnal-jurnal ilmiah, tugas akhir, dan buku-buku yang berhubungan dengan model penyebaran penyakit menular
Analisis Model Penyebaran Penyakit Menular
Dengan Bakteri dan Hospes
Desy Khoirun Nisa, dan Drs. Kamiran, M.Si
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
E-mail: kamiran@matematika.its.ac.id
dengan bakteri dan hospes.
B. Pengkajian Model Penyebaran Penyakit Meular dengan Bakteri dan Hospes
Pada tahap ini, model penyebaran penyakit menular dengan bakteri dan hospes akan dikaji terlebih dahulu dengan menyusun asumsi-asumsi tertentu sehingga mudah untuk memahaminya.
C. Analisis Titik Kesetimbangan dan Kestabilan
Dari model penyebaran penyakit menular dengan bakteri dan hospes akan didapatkan 4 macam titik kesetimbangan yang meliputi: titik kesetimbangan bebas penyakit dan bebas hospes/ disease and carrier free equilibrium (DCFE), titik kesetimbangan bebas penyakit/ disease free equilibrium
(DFE), titik kesetimbangan bebas hospes/ carrier free equilibrium (CFE), dan titik kesetimbangan endemik/ endemic equilibrium (EE). Kemudian dari titik-titik
kesetimbangan yang didapatkan tersebut akan digunakan acuan untuk menganalisis kestabilannya.
D. Simulasi Model
Dari model penyebaran penyakit menular dengan bakteri dan hospes akan dibuat suatu simulasi modelnya dengan menggunakan softwere MATLAB untuk mengetahui bentuk grafik yang terbentuk.
E. Kesimpulan dan Saran
Setelah dilakukan analisa dan pembahasan pada model penyebaran penyakit menular dengan bakteri dan hospes maka akan diambil suatu kesimpulan dan saran yang berfungsi sebagai masukan untuk pengembangan penelitian lebih lanjut.
III. ANALISISDANPEMBAHASAN
A. Model Penyebaran Penyakit Menular Dengan Bakteri dan Hospes
Model penyebaran penyakit menular dan hospes adalah sebagai berikut: Dengan: dan
Model (1) mempunyai asumsi-asumsi sebagai berikut : a. adalah jumlah total populasi manusia yang terbagi
menjadi 2 kelompok yaitu:
merupakan jumlah populasi susceptible yaitu individu-individu yang rentan terhadap penyakit.
merupakan jumlah populasi infected yaitu individu-individu yang terjangkit dan dapat menularkan penyakit. b. adalah jumlah populasi bakteri yang terdapat pada
lingkungan yang dapat menyebabkan infeksi.
c. adalah jumlah dari populasi bakteri yang diangkut ke
susceptible oleh hospes.
d. adalah jumlah dari populasi hospes yang ada pada lingkungan.
e. Diasumsikan jumlah bakteri yang diangkut oleh hospes sebanding dengan jumlah dari bakteri dan hospes, yaitu sebagai .
f. Diasumsikan konstanta adalah jumlah imigrasi dari populasi susceptible, dan juga diasumsikan susceptible terinfeksi secara kontak langsung dengan infected dengan tingkat kontak sehingga disebut sebagai .
Susceptible juga mengalami kontak dengan hospes yang
membawa bakteri secara langsung sebesar , sehingga disebut sebagai . Susceptible juga terinfeksi secara kontak langsung dengan bakteri karena adanya interaksi dengan lingkungan yang penuh dengan bakteri sebesar , sehingga disebut sebagai .
g. Laju kematian alami pada manusia yaitu itu proporsional dengan tingkat kesembuhan, yang lebih lanjut diasumsikan bahwa adalah tingkat kematian alami pada susceptible dan adalah tingkat kematian alami pada infected sedangkan adalah tingkat kematian pada infected yang disebakan oleh penyakit. Dengan asumsi beberapa infected akan sembuh dan bergabung pada susceptible dengan tingkat pemulihan sebesar pada infected maka disebut sebagai . h. Tingkat penurunan populasi bakteri akibat tindakan
pengendalian sebesar disebut sebagai , sedangkan laju peluruhan bakteri sebesar dalam lingkungan akibat transportasi oleh hospes dianggap proporsional dengan jumlah populasi hospes dan jumlah populasi bakteri yang kemudian disebut sebagai . Sedangkan banyaknya populasi bakteri yang dipancarkan oleh individu infected diasumsikan sebagai .
i. Dengan adanya interaksi susceptible pada lingkungan yang penuh bakteri maka, tingkat peluruhan bakteri sebesar karena terbawa oleh susceptible dianggap proporsional dengan jumlah populasi susceptible dan bakteri sehingga disebut sebagai .
j. Diasumsikan konstanta adalah jumlah populasi bakteri dari lingkungan yang akan dibawa hospes untuk ditularkan pada susceptible sehingga disebut sebagai , konstanta adalah laju deplesi dari di lingkungan karena adanya suatu tindakan pengendalian. k. Diasumsikan jumlah hospes mengikuti model logistik
dengan tingkat pertumbuhan intrinsik dan kapasitas lingkungan sebesar sehingga disebut sebagai
dan laju pertumbuhan populasi hospes sebesar meningkat seiring dengan faktor kondusif kepadatan manusia yang terkait sehingga disebut sebagai . Sedangkan konstanta adalah laju deplesi pada hospes karena adanya suatu tindakan pengendalian sehingga disebut sebagai . Yang perlu dijadikan catatan bahwa .
Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut maka dapat disusun diagram kompartemen sebagai berikut:
Gambar 1. Diagaram kompartemen model penyebaran penyakit menular dengan bakteri dan hospes
Dengan menggunakan asumsi bahwa atau dengan kata lain maka model (1) dapat direduksi menjadi sebagai berikut:
Didapatkan daerah penyelesaian dari model (2) sebagai berikut,
Dari daerah penyelesaian yang didapatkan pada persamaan (3) maka dapat diketahui bahwa model (2) memiliki jumlah populasi yang terbatas.
B. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit dan Bebas Hospes
Kesetimbangan Bebas Penyakit dan Bebas Hospes/ Disease and Carrier Free Equilibrium (DCFE) adalah suatu keadaan dimana tidak terjadi penyebaran penyakit menular dan hospes dalam populasi. Titik tersebut didapatkan pada saat dan . Maka untuk mendapatkan titik kesetimbangan bebas penyakit dan hospes, dilakukan penghitungan sebagai berikut: a. Mendapatkan titik kesetimbangan dari
dilakukan substitusi sehingga,
b. Mendapatkan titik kesetimbangan dari
substitusi , dan (4) pada (5) sehingga didapatkan,
c. Mendapatkan titik kesetimbangan dari
Substitusi (6) dan pada (7) sehingga didapatkan,
Jadi, dari hasil (4), (6), (8), dan didapatkan titik kesetimbangan bebas penyakit dan hospes/DCFE, yaitu:
C. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
Kesetimbangan Bebas Penyakit/Disease Free Equilibrium (DFE) adalah suatu keadaan dimana tidak terjadi penyebaran penyakit menular dalam populasi. Titik tersebut didapatkan pada saat dan . Maka untuk mendapatkan titik kesetimbangan bebas penyakit, , dilakukan langkah penghitungan sebagai berikut
dan
sehingga
didapatkan,
D. Titik Kesetimbangan Bebas Hospes
Kesetimbangan Bebas Hospes/Carriers Free Equilibrium (CFE) adalah suatu keadaan dimana terjadi penyebaran penyakit menular dalam populasi namun tidak ada campur tangan dari hospes. Titik tersebut didapatkan pada saat dan . Maka untuk mendapatkan titik kesetimbangan bebas hospes, dilakukan penghitungan sebagai berikut:
Dari persamaan (11) didapatkan;
Dengan substitusi pada (15) sehingga didapatkan,
Dari persaamaan (12) didapatkan,
Dari substitusi pada (13) didapatkan,
Dari substitusi (17), (18) pada (14) didapatkan,
Karena maka persamaan (17) dapat direduksi menjadi sebagai berikut,
Dari persamaan (20) didapatkan 3 asumsi sebagai berikut: a. akan bernilai positif jika
b.
c. pada
Dengan demikian, maka dari akan memiliki sebuah nilai positif dari , kita sebut sebagai yang terletak pada
dengan syarat . Dengan
substitusi nilai pada (17) dan (18) maka didapatkan,
Jadi, (16), (21), (22), dan adalah titik kesetimbangan bebas hospes/CFE, yaitu:
Kesetimbangan bebas hospes ini ada jika memenuhi syarat , didefinisikan nilai sebagai berikut;
E. Titik Kesetimbangan Endemik
Titik kesetimbangan endemik didapatkan pada saat dan . Maka untuk mendapatkan titik kesetimbangan endemik yaitu, dilakukan penghitungan sebagai berikut;
Dari persamaan (24) didapatkan;
Dari persamaan (25) didapatkan;
Karena terdapat syarat , maka persamaan (31) dapat direduksi menjadi,
Dari substitusi (30) pada (32) didapatkan,
Dari substitusi (30) dan (33) pada (26) dan jika didefinisikan , didapatkan;
Dari substitusi (33) dan (34) pada (27) didapatkan;
Dari substitusi (30), (34), (35) pada (28) didapatkan;
Karena maka persamaan (36) dapat direduksi menjadi sebagai berikut,
Dari persamaan (37) didapatkan 3 asumsi sebagai berikut: a. akan bernilai positif
jika b.
c. pada
Dengan demikian, maka dari akan memiliki sebuah nilai positif dari , kita sebut sebagai yang terletak pada
dengan syarat . Dengan
substitusi nilai pada persamaan (30), (33), (34) dan (35) sehingga didapatkan, Dengan Jadi, (38), (39), (40), (41) dan adalah titik kesetimbangan endemik, yaitu:
Syarat kesetimbangan endemik ini ada ketika memenuhi syarat
Didefinisikan:
dan
F. Kestabilan Lokal pada dan
Titik kesetimbangan dikatakan stabil asimtotis/lokal jika dan hanya jika nilai eigen dari matriks Jacobiannya bernilai negatif dan tidak stabil jika sedikitnya satu dari nilai eigennya mempunyai nilai positif.
Adapun bentuk matriks Jacobiannya didapatkan dari model (2) yang dimisalkan sebagai berikut,
Bentuk matriks Jacobian dari model (43) adalah sebagai berikut; (44) Dan didefinisikan,
Dengan mendapatkan nilai eigen dari
, dimana titik-titik kesetimbangan yang akan dicari kestabilannya disubstitusikan pada matriks umum pada persamaan (44), maka jika nanti ditemukan paling sedikit satu saja nilai eigen yang bernilai positif maka sudah dapat disimpulkan bahwa titik kesetimbangan tersebut tidak stabil.
Pada dan didapatkan hasil analisis sebagai berikut:
a. Pada
Pada hasil perhitungan terdapat nilai
eigen yang bernilai positif yaitu:
Jadi dapat disimpulkan bahwa tidak stabil lokal. b. Pada
Pada hasil perhitungan terdapat nilai
eigen yang bernilai positif yaitu:
Jadi dapat disimpulkan bahwa tidak stabil lokal. c. Pada
Pada hasil perhitungan terdapat nilai
eigen yang bernilai positif yaitu:
Jadi dapat disimpulkan bahwa tidak stabil lokal.
G. Kestabilan Lokal Pada
Karena bentuk dari akan menghasilkan persamaan karakteristik yang sangat kompleks dan rumit maka nilai eigennya tidak dapat ditemukan. Oleh karena itu, untuk menentukan titik kestabilan lokal dari titik kesetimbangan endemik, maka dengan mengikuti fungsi definit positif pada fungsi Lyapunov yang berhubungan dengan linearisasi sistem pada
model (2) dengan titik kesetimbangan
sehingga didapatkan suatu fungsi Lyapunov yang memenuhi syarat definit positif sebagai berikut:
Dengan koefisien adalah sutau konstanta positif sedangkan adalah perturbasi kecil disekeliling titik kesetimbangan endemik , dengan kata lain
.
Differensiasi persamaan (45) terhadap waktu yang mengikuti linearisasi model (2) dengan pemilihan nilai
maka didapatkan,
Dengan menggunakan subtitusi teorema dari [7] sebagai berikut:
Dengan dan mengikuti pertidaksamaan sebagai berikut: Dengan dan
Adapun nilai dan memenuhi persamaan:
dan
Maka didapatkan
akan bernilai definit negatif. Karena
sudah memenuhi definit positif dan memenuhi definit negatif maka dapat disimpulkan bahwa titik kesetimbangan
adalah stabil lokal.
H. Simulasi Model
Dalam simulasi model berikut ini digunakan parameter sebagai berikut:
Dengan nilai awal sebagai berikut:
Sehingga diperoleh grafik di bawah ini, a. Grafik terhadap t
Gambar 2. Grafik terhadap t
Pada gambar 2 grafik warna hijau menunjukkan bahwa populasi mengalami penurunan dan mendekati nol pada minggu kedua sehingga menunjukkan suatu kondisi stabil.
Pada grafik warrna biru menunjukkan populasi mengalami kenaikan sehingga mencapai suatu titik konstan yang stabil.
Pada grafik warna magenta menunjukkan populasi yang semula mengalami kenaikan kemudian mengalami penurunan, berarti populasi bakteri yang ada pada lingkungan mulai berkurang bisa dikarenakan adanya tindakan pengendalian sehingga bakteri mengalami penurunan populasi.
Pada grafik warna hitam menunjukkan populasi juga mengalami penurunan dikarenakan ketersediaan bakteri yang ada di lingkungan (yaitu populasi ) juga mengalami penurunan sehingga populasi bakteri yang bisa diangkut oleh hospes untuk disebarkan pada populasi susceptible juga mengalami penurunan.
Pada grafik putus titik warna merah menunjukkan populasi hospes yaitu C semakin meningkat bisa dikarenakan kurang berpengaruhnya kontrol lingkungan terhadap pengendalian populasi hospes.
Oleh karena itu, suatu kontrol lingkungan bisa berupa tindakan sanitasi lingkungan yang dapat menekan laju populasi bakteri dan juga hospes sangat diperlukan agar dapat mengurangi populasi bakteri yang diangkut ke
susceptible oleh hospes sehingga bisa menurunkan populasi infected.
IV. KESIMPULANDANSARAN
Berdasarkan keseluruhan hasil analisis yang telah dilakukan di atas, maka dapat diambil kesimpulan bahwa: 1. Pada model penyebaran penyakit menular dengan bakteri
dan hospes di lingkungan ini memiliki empat macam titik kesetimbangan dengan asumsi kestabilan lokal sebagai berikut:
a. Titik kesetimbangan bebas penyakit dan bebas hospes/ disease and carrier free equilibrium(DCFE), selalu ada dan bersifat tidak stabil.
b. Titik kesetimbangan bebas penyakit/disease free
equilibrium(DFE), selalu ada dan bersifat tidak stabil.
c. Titik kesetimbangan bebas hospes/carrier free
equilibrium(DCE), ada jika memenuhi syarat
dan bersifat tidak stabil.
d. Titik kesetimbangan endemik/endemic equilibrium ada jika memenuhi syarat dan bersifat stabil maka akan terjadi penyebaran penyakit. 2. Dengan adanya hospes yang bisa mengangkut bakteri dari
lingkungan untuk ditularkan pada susceptible sehingga dapat menyebabkan terjadi peningkatan populasi infected. Maka dibutuhkan suatu tindakan sanitasi lingkungan agar dapat menekan laju populasi hospes dan populasi bakteri di lingkungan. Dengan tujuan agar dapat mengurangi populasi bakteri yang diangkut ke susceptible oleh hospes dan juga untuk mengurangi populasi bakteri yang dapat menyebar secara langsung dari lingkungan kepada
susceptible agar terjadi penurunan populasi infected.
Adapun untuk penelitian selanjutnya dapat dilakukan analisis kestabilan dari titik kesetimbangan endemiknya baik lokal maupun global dengan menggunakan metode Lyapunov.
V. DAFTARPUSTAKA
[1] R.M.Anderson, R.M.May.(1979).“Population Biology of Infectious Diseases Part-I”.Nature Vol 280.Hal 361-367.
[2] J.Gonzalez-Guzmem.(1989).”An Epidemiological Model for Direct and Indirect Transmission of Typhoid Fever”.Math-Biosci Vol 96.Hal 33-46.
[3] H.W.Hetchote.(1976).”Qualitative Analysis of Communicable Disease Models”.Math-Biosci Vol 28.Hal 335-356.
[4] M.Ghosh, P.Chandra, P.Sinha, J.B.Shukla.(2004). ”Modelling The Spread of Carrier-Dependent Infectious Diseases With Environmental Effect”.Elsevier-Appl.Math.Comput.Vol 152.Hal 385-402. [5] M.Ghosh, P.Chandra, P.Sinha, J.B.Shukla.(2005). “Modelling The
Spread of Bacterial Disease: Effect of Service Providers From An Environmentally Degraded Region”.Elsevier-Appl.Math.Comput. Volume 160.Hal 615-647.
[6] M.Ghosh, P.Chandra, P.Sinha, J.B.Shukla.(2006). ”Modelling The Spread of Bacterial Infectious Disease with Environmental Effect in A Logistically Growing Human Population”.Nonlinear Analysis. Real Word Application Vol 7.Hal 341-363.
[7] J.B. Shukla, V. Singh, A.K. Misra.(2011). ”Modelling The Spread of An Infectious Disease With Bacteria and Carriers in The Environment”.Nonlinear Analysis. Real Word Application Vol 12.Hal 2541-2551.
[8] Finizio N, Landas G.(1998).”Ordinary Differential Equation With Modern Application”. California: Wasdsworth Publishing Company. [9] Dinita,R.(2010).”Pemodelan Matematika dan Analisis Stabilitas Dari
Penyebaran Penyakit Flu Burung”. Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS. Surabaya. [10]P.B Khan.(1989).”Mathematical Methods for Scientist and
Engineers”.New York: A Wiley Interscience Publication.
[11]google.1 Juni 2013. Lyapunov Stability Theory. <URL:
http://lyapunov-stability-theory/RM_Murray>
[12]google.1 Juni 2013. Notes on Lyapunov Theorema. <URL:http://control.ee.ethz.ch~ifalst/docs/lyapunov.pdf >
[13]M.Vidyasagar.(1978).”Nonlinear System Analysis”. New Jersey: Prentice Hall Inc.
