BAB XI. LINGKARAN
Pengertian :
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak konstan/sama terhadap sebuah titik tertentu. Sebuah titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan titik-titik yang berjarak sama itu disebut jari-jari (r).
r
0 A
Persamaan lingkaran:
1. Berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r
( x – 0)2 + ( y – 0 )2 = r2 ⇒ x2 + y2 = r2
Suatu titik A (a,b) dikatakan terletak :
a. pada lingkaran x2 + y2 = r2 ⇔ a2 + b2= r2 b. di dalam lingkaran x2 + y2 = r2 ⇔ a2 + b2< r2 c. di luar lingkaran x2 + y2 = r2 ⇔ a2 + b2> r2
2. Berpusat di A(a,b) dan berjari-jari r (x – a)2 + (y – b)2 = r2
jika lingkaran berpusat di (a,b) :
a. Menyinggung sumbu X, maka r = |b| b. Menyinggung sumbu Y, maka r = |a| c. menyinggung garis Ax + By + C, maka
r = 2 2 B A C Bb Aa + + +
3. 2 titik ujung diameternya diketahui (x1,y1) dan (x2,y2), maka persamaannya adalah :
(x- x1) (x- x2) + (y- y1) (y- y2) = 0 Contoh soal:
1. Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari jari 2 adalah ….
jawab:
( x – 0)2 + ( y – 0 )2 = r2 ⇒ x2 + y2 = r2
x2 + y2 = 22 ⇔ x2 + y2 = 4 Persamaan lingkarannya adalah: x2 + y2 = 4
2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (5,2) dan berjari-jari 4 adalah…. jawab: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – 5)2 + (y – 2)2 = 42 ⇔ x2 - 10x + 25 + y2 - 4y + 4 = 16 ⇔ x2+ y2 - 10x - 4y + 25 + 4- 16 = 0 ⇔ x2+ y2 - 10x - 4y + 13 = 0
Jadi persamaan lingkarannya adalah: x2+ y2 - 10x - 4y + 13 = 0
3. Persamaan lingkaran yang berpusat di (3,4) dan melalui titik (6,8) adalah….
jawab:
Diketahui a = 3 dan b = 4 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – 3)2 + (y – 4)2 = r2
lingkaran melalui titik (5,2), maka titik tersebut berada pada lingkaran. Maukkan titik tersebut ke dalam persamaan lingkaran :
11. SOAL-SOAL LINGKARAN
EBTANAS1999
1. Diketahui lingkaran x2+ y2+ 2px +10y + 9 = 0 mempunyai jari-jari 5 dan menyinggung sumbu x. Pusat lingkaran tersebut adalah…
A. (-5,-3) C.(6,-5) E. ((3,-5) B. (-5,3) D. (-6,-5) jawab: Persamaan lingkaran: x2+ y2+ 2px +10y + 9 = 0 A = 2p: B = 10 : C =9
Menyinggung sumbu x maka r = |b| = 5
Pusat lingkaran = (- 2 1 A, - 2 1 B) r = A2 + B2 −C 4 1 4 1 5 = (10) 9 4 1 ) 2 ( 4 1 2 + 2 − p = .100 9 4 1 4 . 4 1 2 + − p = p2 +25−9 = p2 +16 25 = p2 + 16 p2 = 9 Æ p = ± 3 Pusat lingkaran: jika p = 3 Æ (- 2 1 .6, - 2 1 .10) = (-3,-5) jika p = -3 Æ (- 2 1 .-6, - 2 1 .10) = (3,-5)
maka jawaban yang ada adalah (3,-5) Æ E UN2005
2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,4) dan menyinggung garis 3x-4y – 2 = 0 adalah… A. x2 + y2+ 3x -4y -2 = 0 B. x2+ y2+ 4x -6y -3 = 0 C. x2+ y2+ 2x +8y -8 = 0 D. x2+ y2-2x -8y +8 = 0 E. x2+ y2+ 2x +8y -16 = 0 Jawab: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 a = 1 ; b = 4 ; r = ?
Apabila menyinggung garis Ax + By + c, maka
r = 2 2 B A C Bb Aa + + + Ax + By + C ⇔ 3x-4y – 2 = 0 A = 3; B = -4 ; C = -2 r = 2 2 ) 4 ( 3 ) 2 ( 4 ). 4 ( 1 . 3 − + − + − + = 16 9 2 16 3 + − − = 16 9 15 + − = 5 15 = 3 Persamaan lingkaran : (x – 1)2 + (y – 4)2 = 32 x2 -2x + 1 + y2- 8y + 16 = 9 x2+ y2-2x - 8y + 17 – 9 = 0 x2+ y2-2x - 8y + 8 = 0 Jawabannya adalah D UAN2002
3. Jarak antara titik pusat lingkaran
x2-4x + y2+ 4 = 0 dari sumbu Y adalah….
A. 3 B. 2 2 1 C. 2 D. 1 2 1 E.1 jawab: Pusat lingkaran = (- 2 1 A, - 2 1 B) A = -4 ; B = 0 Pusat lingkaran = (- 2 1 .-4, - 2 1 .0) = (2,0) Y jaraknya adalah 2 2 Jawabannya adalah C (2,0)
UMPTN1998
4. Jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran
x2+ y2+ 2x -5y -21 = 0, maka nilai k adalah.. A. -1 atau -2 C. -1 atau 6 E. 1 atau 6
B. 2 atau 4 D. 0 atau 3 Jawab:
masukkan nilai (-5, k) ke dalam persamaan lingkaran: (-5)2 + k2 + 2.(-5) – 5.k – 21 = 0 25 + k2 - 10 – 5.k -21 = 0 k2- 5 k – 6 = 0 (k + 1) (k – 6) = 0 k = -1 atau k = 6 jawabannya adalah C EBTANAS1991
5. Lingkaran dengan persamaan
x2+ y2- 4x + 2y + c = 0 melalui titik (0,-1), Jari-jarinya ….
A. 1 B.2 C. 5 D. 10 E. 5 jawab:
Masukkan nilai (0,-1) ke dalam persamaan: 0 + (-1)2 - 0 + 2(-1) + c = 0
1 – 2 + c = 0
c = 2 – 1 = 1 , sehingga persamaan lingkarannya menjadi x2+ y2- 4x + 2y +1 = 0 didapat A = -4 : B = 2 dan C = 1 r = A2 + B2 −C 4 1 4 1 = (2) 1 4 1 ) 4 ( 4 1 − 2 + 2 − = 4+1−1 = 4 = 2 Jawabannya adalah B UN2005
6. Persamaan garis singgung lingkaran
x2+ y2+10x -12y +20 = 0 yang melalui titik (-9,1) adalah. A. 4x – 5y + 31 = 0 D. 4x + 5y + 31 = 0 B. 4x – 5y + 41 = 0 E. 4x + 5y + 42 = 0 C. 4x – 5y - 31 = 0 jawab: x . x1 + y. y1 + 2 1 A (x + x1) + 2 1 B ( y + y1) + C =0 x1 = -9 ; y1 = 1: A = 10: B = -12 ; C = 20 x. -9 + y.1 + 2 1 . 10 (x -9) + 2 1 .(-12) (y+1) + 20 = 0 -9x + y + 5x -45 -6y -6 + 20 = 0 -4x – 5y -31 = 0 ⇔ 4x + 5y + 31 = 0 jawabannya adalah D UN2006
7. Persamaan lingkaran dengan pusat P (3,1) dan menyinggung garis 3x +4y + 7 = 0 adalah… A. x2 + y2 - 6x - 2y + 6 = 0 B. x2+ y2- 6x - 2y + 9 = 0 C. x2+ y2- 6x - 2y - 6 = 0 D. x2+ y2+ 6x - 2y -9 = 0 E. x2+ y2+ 6x + 2y + 6 = 0 jawab:
persamaan lingkaran dengan pusat (3,1) : (x-3)2 + (y-1)2 = r2
a = 3 ; b = 1
menyinggung garis : 3x +4y + 7 = 0 identik dengan Ax + By + C = 0 A = 3; B = 4 dan C = 7 r = 2 2 B A C Bb Aa + + + = 2 2 4 3 7 1 . 4 3 . 3 + + + = 25 20 = 5 20 = 4
sehingga persamaan lingkarannya: (x-3)2 + (y-1)2 = r2
x2 - 6x + 9 + y2- 2y + 1 = 42 x2+ y2 - 6x - 2y + 9 + 1- 16 = 0 x2+ y2 - 6x - 2y - 6 = 0
UN2007
8. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 2 )2 + (y + 1 )2 = 13 di titik yang berabsis -1 adalah…
A. 3x – 2y – 3 = 0 D. 3x + 2y + 9 = 0 B. 3x – 2y – 5 = 0 E. 3x + 2y + 5 = 0 C. 3x + 2y – 9 = 0
jawab:
Titik berabsis -1 berarti x = -1 masukkan ke dalam persamaan: (-1 – 2)2 + (y+1)2 = 13 (-3)2 + (y+1)2 = 13 9 + (y+1)2 = 13 (y+1)2 = 13 – 9 (y+1)2 = 4 y + 1 = 4 y + 1 = ± 2 y = -1 ± 2 y = 1 atau y =-3
jadi titiknya adalah (-1,1 ) dan (-1, -3)
Persamaan garis singgung melalui titik (a,b) adalah ( x- a) ( x1-a) + (y-b)(y1-b) = r2
a = 2 ; b = -1 ;
melalui titik (-1,1) Æ x1= -1 dan y1= 1: (x – 2) (-1-2) + (y+1) (1 + 1) = 13 -3x + 6 + 2y + 2 - 13 = 0
- 3x + 2y – 5 = 0 Æ di jawaban tidak ada
melalui titik (-1,-3) Æ x1= -1 dan y1= -3 (x – 2) (-1-2) + (y+1) (-3 + 1) = 13 -3x + 6 -2y -2 - 13 = 0 - 3x -2y – 9 = 0 ⇔ 3x +2y + 9 = 0 jawabannya adalah D UN2004
9. Persamaan garis singgung lingkaran
x2+ y2-2x -6y +1 = 0 yang tegak lurus garis 3x-y = 0 adalah… A. y – 3 = -3 (x-1) ± 3 10 B. y – 3 = -3 (x-1) ± 10 C. y – 3 = -3 1 (x-1) ± 10 D. y – 3 = -3 1 (x-1) ± 3 10 E y – 3 = -3 1 (x-1) ± 9 10 jawab: y – b = m( x – a ) ± r 1 m+ 2 x2+ y2-2x -6y +1 = 0 A = -2; B = -6 ; C = 1 Pusat (- 2 1 A, - 2 1 B) dan r = A2 + B2 −C 4 1 4 1 Pusat = (- 2 1 .-2, - 2 1 .-6) ) = (1, 3) Æ a = 1; b= 3 r = .( 6) 1 4 1 ) 2 .( 4 1 − 2 + − 2 − = 1+9−1 = 9
persamaan garis 3x-y = 0 Æ y = 3x Æ m = 3
misal m ini adalah ma misal mb = gradient garis singgung
karena tegak lurus maka : ma. mb = -1
3. mb = -1 Æ mb = - 3 1
Maka persamaan garis singgung lingkarannya adalah: y – b = m( x – a ) ± r 1 m+ 2 y – 3 = - 3 1 (x -1) ± 9 2 ) 3 1 ( 1+ − y – 3 = - 3 1 (x - 1) ± 9 9 1 1+ y – 3 = - 3 1 (x - 1) ± 9 9 10 y – 3 = - 3 1 (x - 1) ± 9 90
y – 3 = - 3 1 (x - 1) ± 10 jawabannya adalah C EBTANAS2000
10. Garis singgung dititik (12,-5) pada lingkaran x2+ y2=169 menyinggung lingkaran
(x-5)2+ (y-12)2= p. Nilai p=….
A. 207 B. 169 C. 117 D. 19 E. 13 jawab:
Persamaan garis singgung di titik (12,-5) pada lingkaran x2+ y2=169 adalah: x . x1 + y. y1 = r 2 x1 = 12 ; y1 = -5 12x - 5 y = 169 ⇔ 12x – 5 y – 169 = 0 Ax + By + C Æ A = 12 ; B = -5 dan C = -169 lingkaran (x-5)2+ (y-12)2= p a = 5; b = 12
jika lingkaran berpusat di (a,b) menyinggung garis Ax + By + C, maka r = 2 2 B A C Bb Aa + + + p = r2 r = 2 2 ) 5 ( 12 169 12 ). 5 ( 5 . 12 − + − − + = 169 169 − = 13 169 = 13 p = r2 = 132 = 169 Jawabannya adalah B EBTANAS2001
11. Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0,4) pada lingkaran x2+ y2= 4 adalah..
A. y = x + 4 C. y = -x + 4 E. y = -x 2+ 4 B. y = 2x + 4 D. y = -x 3 + 4
Jawab:
titik (0,4) berada di luar lingkaran : karena 02 + 42 > 4
persamaan garis singgung melalui titik (0,4): y = mx +c x1 = 0; y1 = 4 y - y1 = m ( x - x1) ; y – 4 = m(x-0) y = mx+4 Æ maka c = 4 cari nilai m y1 - b = m (x1 - a) + c ; dimana c = r 2 1 m+ c = r 1 m+ 2 ⇔ c2 = r2(1 + m2) 16 = 4 (1+ m2) 16 = 4 + 4m2 12 = 4m2 m2 = 3 m = ± 3
masukkan ke dalam persamaan y = mx+4. jika m= 3 Æ y = 3 x +4
jika m = - 3 Æ y = - 3 x + 4 Jawabannya adalah D
(x – 3)2 + (y – 4)2 = r2 (6 – 3)2 + (8 – 4)2 = r2 32 + (-4)2 = r2 9 + 16 = r2 25 = r2 r = 25 = 5
r diketahui maka persamaan lingkarannya: (x – 3)2 + (y – 4)2 = r2 ⇔ (x – 3)2 + (y – 4)2 = 52 ⇔ x2 - 6x + 9 + y2- 8y + 16 = 25 ⇔ x2 + y2 - 6x - 8y + 9 + 16 = 25 ⇔ x2 + y2 - 6x - 8y + 25 - 25 = 0 ⇔ x2 + y2 - 6x - 8y = 0
Jadi persamaan lingkarannya adalah: x2+ y2 - 6x - 8y = 0
4. Persamaan lingkaran berpusat di (3,5) dan menyinggung sumbu x adalah….
jawab:
diketahui a = 3 dan b= 5
Menyinggung sumbu x maka r = |b| = 5 (x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 3)2 + (y – 5)2 = 52
⇔ x2 - 6x + 9 + y2 - 10y + 25 = 25 ⇔ x2+ y2 - 6x - 10y + 9 + 25 - 25 = 0 ⇔ x2+ y2 - 6x - 10y + 9 = 0
maka persamaan lingkarannya adalah: x2
+ y2
- 6x - 10y + 9 = 0
Persamaan Umum Lingkaran :
Lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2
apabila dijabarkan diperoleh : ⇔ x2
- 2ax + a2+ y2- 2by + b2= r2
⇔ x2
+ y2- 2ax - 2by + a2+ b2 - r2 = 0
persamaan terakhir dapat disempurnakan menjadi persamaan berikut: x2+ y2+ Ax + By + C = 0 dengan A = -2a Æ a = - 2 1 A B = -2b Æ b = - 2 1 B C = a2+ b2 - r2 Æ r2 = a2+ b2 - C Æ r = a2 +b2 −C = A2 + B2 −C 4 1 4 1
Persamaan umum lingkaran adalah: Pusat (a,b) dan jari-jari r atau
Pusat (- 2 1 A, - 2 1 B) dan r = A2 + B2 −C 4 1 4 1 contoh soal:
1. Pusat dan jari-jari lingkaran x2+ y2 + 4x - 6y + 13 = 0 adalah….. jawab: Pusat (- 2 1 A, - 2 1 B) dan r = A2 + B2 −C 4 1 4 1 x2+ y2+ Ax + By + C = 0 → persamaan umum lingkaran x2+ y2 + 4x - 6y + 13 = 0 → persamaan lingkaran soal
maka diketahui A = 4, B = -6 dan C = 13 sehingga, pusat = (- 2 1 A, - 2 1 B) = (- 2 1 .4, - 2 1 .-6) = (-2,3)
r = A2 + B2 −C 4 1 4 1 = ( 6) 13 4 1 4 . 4 1 2 + − 2 − = 4+9−13 = 0
Perpotongan Garis dan Lingkaran:
persamaan umum lingkaran: x2+ y2+ Ax + By + C = 0 garis g dengan persamaan:
y = mx + n
jika persamaan garis g disubstitusikan ke persamaan lingkaran diperoleh: x2+ (mx + n)2 + Ax + B (mx + n) + C = 0 ⇔ x2 + m2x2+ 2mnx + n2+ Ax + Bmx + Bn + C = 0 ⇔ (1 + m2 ) x2+ (2mn +A+Bm)x + n2+Bn +C = 0 Diskriminan: D = b2 - 4ac Dimana b = 2mn +A+Bm a = 1 + m2 c = n2+Bn +C
Ada 3 kemungkinan perpotongan garis g dengan lingkaran:
1. Apabila D>0
garis g memotong lingkaran garis g
2. Apabila D=0
Garis g menyinggung lingkaran
garis g
3. Apabila D<0
Garis g tidak memotong dan menyinggung lingkaran
garis g
contoh soal:
Diketahui sebuah lingkaran x2+ y2 = 25 akan menyinggung garis y = x + p apabila nilai p = …. jawab: cara 1: Persamaan lingkaran x2+ y2 = 25 …(1) Persamaan garis y = x + p …(2) substitusi (2) ke (1) : x2+ (x+p)2 = 25 ⇔ x2 + x2 + 2xp + p2 = 25 ⇔ 2x2 + 2xp + p2-25 = 0 ….(3)
garis akan menyinggung lingkaran apabila diskriminan (D) persamaan (3)= 0 D = b2 - 4ac = 0 = (2p)2 - 4.2. (p2-25) = 0 4 p2 - 8 p2+ 200 = 0
- 4 p2+ 200 = 0 4 p2= 200 p2 = 50 p = 50 = ± 5 2
Garis y = x + p akan menyingung lingkaran apabila p = ± 5 2
Cara 2 :
garis Ax + By + C akan menyinggung lingkaran maka
r = 2 2 B A C Bb Aa + + + persamaan lingkaran x2+ y2 = 25 ( x – 0)2 + ( y – 0 )2 = 52 a = 0, b= 0 dan r =5 persamaan garis y = x + p Æ x - y + p = 0 A = 1 ; B= -1 dan C = p r = 2 2 B A C Bb Aa + + + 5 = 2 2 ) 1 ( 1 0 ). 1 ( 0 . 1 − + + − + p 5 = 2 p ;
karena nilai p adalah nilai mutlak maka ada 2 nilai :
5 = 2 p − Æ p = - 5 2 atau 5 = 2 p Æ p = 5 2
maka nilai yang memenuhi adalah: p = ± 5 2
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1. Garis singgung lingkaran melalui sebuah titik yang diketahui pada lingkaran
a. Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 adalah :
x . x1 + y. y1 = r2
b. Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada
lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2adalah : ( x- a) ( x1-a) + (y-b)(y1-b) = r
2
c. Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada lingkaran x2+ y2+ Ax + By + C = 0 adalah: x . x1 + y. y1 + 2 1 A (x + x1) + 2 1 B ( y + y1) + C =0 dari mana 2 1 A dan 2 1 B ?
-awal dari persamaan lingkaran adalah Ax dan By - karena ada tambahan menjadi x + x1 sehinga menjadi 2 kali maka A nya menjadi
2 1
A demikian juga dengan B
contoh soal:
1. Persamaan garis singgung di titik (3,2) pada lingkaran x2 + y2 = 13 adalah…..
jawab:
x . x1 + y. y1 = r2
. x1 = 3 ; y1 = 2 ; r2= 13
maka persamaan garis singgungnya adalah : x . 3 + y . 2 = 13
2. Persamaan garis singgung melalui titik (5,1) pada lingkaran x2+ y2- 4x + 6y -12 = 0 adalah…. jawab: Cara 1: Diketahui x1 = 5 ; y1 = 1; A = -4 ; B=6; C = -12 x . x1 + y. y1 + 2 1 A (x + x1) + 2 1 B ( y + y1) + C =0 5.x + y + 2 1 . (-4) (x + 5) + 2 1 .6 (y+1) – 12 = 0 5x + y -2x -10 + 3y + 3 – 12 = 0 3x + 4y -19 = 0
Persamaan garis singgungnya adalah = 3x + 4y -19 = 0
Cara 2 :
x2+ y2- 4x + 6y -12 = 0 cari pusat dan r:
(x-2)2 - 4 + (y+3)2- 9 – 12 = 0 (x-2)2 + (y+3)2- 25 = 0 (x-2)2 + (y+3)2= 25 atau : Pusat (- 2 1 A, - 2 1 B) dan r = A2 + B2 −C 4 1 4 1 A = -4; B = 6 ; C = -12 Pusat (- 2 1 .-4, - 2 1 .6) = (2, -3) Æ a = 2; b = -3 r = (6) ( 12) 4 1 ) 4 ( 4 1 − 2 + 2 − − = 4+9+12 r = 25 ⇒ r2 = 25
persamaan garis singgung: ( x- a) ( x1-a) + (y-b)(y1-b) = r 2 diketahui a = 2 ; b = -3 ; r2= 25 ; x1=5; y1= 1 ( x- 2) ( 5 - 2) + (y + 3)(1+3) = 25 ( x- 2) .3 + (y + 3)(4) = 25 3x – 6 +4y +12 -25 = 0 3x + 4y -19 = 0
2. Garis singgung dengan gradien yang diketahui a. jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 maka persamaan garis singgungnya adalah :
Lingkaran adalah berpusat di (0,0) sehingga persamaan garis singgungnya adalah:
y – 0 = m (x – 0) ± r 1 m+ 2 ⇔ y = mx ± r 1 m+ 2
b. jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 , maka persamaan garis singgungnya adalah:
y – b = m( x – a ) ± r 1 m+ 2
Contoh soal :
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2
+ y2
- 6x + 4y + 8 = 0 dan sejajar garis 4x – 2y + 11 =0 adalah…. Jawab: y – b = m( x – a ) ± r 1 m+ 2 persamaan lingkaran : x2+ y2- 6x + 4y + 8 = 0 A = -6; B= 4 ; C = 8 Pusat (- 2 1 A, - 2 1 B) dan r = A2 + B2 −C 4 1 4 1 Pusat (- 2 1 .-6, - 2 1 .4 )= (3,-2) Æ a = 3; b=-2 r = A2 + B2 −C 4 1 4 1 = (4) 8 4 1 ) 6 ( 4 1 − 2 + 2 − = 9+4−8 = 5
Persamaan garis 4x – 2y + 11 =0
4x + 11 = 2y ⇔ 2y = 4x+11 ⇔ y = 2x + 2 11 misal garis tersebut adalah a, maka didapat Gradient garis a = ma = 2,
Misal gradient garis singgung pada lingkaran = mb Karena sejajar maka ma= mb
catatan : ma. mb = -1 Æ tegak lurus y – b = m( x – a ) ± r 1 m+ 2 y – (-2) = 2 (x-3) ± 5 1+22 y + 2 = 2x – 6 ± 5 . 5 y = 2x – 6 -2 ± 5 y = 2x – 8 ± 5
maka persamaan garis singgung pada lingkarannya adalah :
y = 2x – 8 + 5 = 2x – 3 dan y = 2x – 8 - 5 = 2x – 13
3. Garis singgung melalui sebuah titik yang berada di luar lingkaran.
misal: nilai koordinat titik tersebut adalah (x1, y1) dan menyinggung lingkaran ( x – a)2 + (y – b)2 = r2 , maka persamaan garis singgungnya adalah:
y - y1 = m ( x - x1)
nilai m dan c didapat dari :
y1 - b = m (x1 - a) + c ; dimana c = r 1 m+ 2
r
0 (x1, y1) r
Contoh soal:
Persamaan garis singgung melalu titik ( 0,5) pada lingkaran x2+ y2= 20 adalah…
jawab:
titik (0,5) berada di luar lingkaran : karena 02 + 52 > 20
persamaan garis singgung melalui titik (0,5): y = mx +c x1 = 0; y1 = 5 y - y1 = m ( x - x1) ; y – 5 = m(x-0) y = mx+5 Æ maka c = 5 cari nilai m y1 - b = m (x1 - a) + c ; dimana c = r 2 1 m+ c = r 1 m+ 2 ⇔ c2 = r2(1 + m2) 25 = 20 (1+ m2) 25 = 20 + 20m2 5 = 20m2 m2 = 4 1 m = ± 2 1
masukkan ke dalam persamaan y = mx+5.
jika m= 2 1 Æ y = 2 1 x + 5 ⇔ 2y = x + 10 ⇔ x – 2y = -10 jika m = - 2 1 Æ y = - 2 1 x + 5⇔ 2y =- x + 10 ⇔ x + 2y = 10
