Pemecahan Masalah untuk Meningkatkan Pemahaman Konsep dan Hasil Belajar Siswa pada Materi Geometri
Oleh :
Ade Mardhatillah
1. Pendahuluan 1.1 Latar Belakang
Matematika sebagai ilmu pengetahuan dengan penalaran deduktif yang mengandalkan logika dalam meyakinkan kebenaran dari suatu pernyataan. Salah satu materi Matematika yang membahas persoalan mengenai ukuran, bentuk, kedudukan dan sifat ruang yaitu Geometri. Dalam menyelesaikan persoalan Geometri, siswa dituntut untuk mengembangkan kemampuan berpikir logis, mengembangkan intuisi keruangan, menanamkan pemahaman konsep, serta dapat menginterpretasikan imajinasi ke dalam matematika.
Dalam menyelesaikan persoalan Matematika diperlukan strategi-strategi pembelajaran yang tepat. Ada banyak strategi pembelajaran Matematika yang bisa meningkatkan pemahaman konsep pada materi ini, salah satu di antaranya adalah pemecahan masalah (problem solving). Menurut Polya (Herman : 2000), terdapat empat langkah dalam pemecahan masalah yang dikenal dengan langkah pemecahan masalah Polya, yaitu (1) memahami masalah, (2) merencanakan penyelesaian, (3) menyelesaikan masalah sesuai rencana , (4) melakukan pengecekan kembali terhadap semua langkah yang telah dikerjakan. Kemampuan memecahkan masalah terletak pada ide penyusunan rencana dimana pada tahap tersebut memerlukan kemampuan berpikir logis dan kreativitas daya temu terhadap masalah yang dihadapi.
Berdasarkan penelitian Gusti (2007) penerapan strategi pembelajaran dengan pemecahan masalah pada mata kuliah Statistika Matematik I dapat meningkatkan pemahaman konsep dan meningatkan hasil belajar Matematika mahasiswa. Sehingga penulis ingin menginformasikan bagaimana pengaruh strategi pembelajaran pemecahan masalah dalam pemahaman konsep dan hasil belajar siswa. Dalam makalah ini , penulis akan membahas pemecahan masalah untuk meningkatkan pemahaman konsep dan hasil belajar siswa pada materi Geometri.
1.2 Rumusan Masalah
a. Bagaimana strategi pembelajaran dengan pemecahan masalah pada materi Geometri ?
1.3 Tujuan
a. Untuk mengetahui strategi pembelajaran dengan pemecahan masalah pada materi Geometri .
b. Untuk mengetahui pengaruh strategi pemecahan masalah terhadap pemahaman konsep dan hasil belajar siswa pada materi Geometri.
2. Pembahasan
2.1 Pemecahan Masalah pada Geometri
Ada banyak strategi pembelajaran Matematika yang bisa meningkatkan pemahaman konsep pada materi Geometri, salah satu di antaranya adalah pemecahan masalah (problem solving). Menurut Maulidiya (2016) pemecahan masalah (problem solving) merupakan suatu prosedur untuk menemukan penyelesaian yang tepat atas suatu masalah. Prosedur tersebut pertama kali diformulasikan oleh George Polya seorang guru dan ahli matematika (Maulidiya : 2016) yang menyatakan bahwa ada empat tahap pemecahan masalah yaitu : understand the problem, devise a plan, carry out the plan, dan looking back. Langkah-langkah pemecahan masalah Polya :
1) Understanding the Problem (Memahami Masalah)
Tahap pertama yang dilakukan untuk memecahkan masalah adalah memahami masalah. Siswa seringkali gagal dalam menyelesaikan masalah karena mereka belum memahami masalah yang dihadapinya. Cara untuk memahami masalah dengan baik yaitu dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut :
a. Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri !
b. Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !
c. Apa saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ?
d. Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ?
2) Devising a Plan (Rencana Penyelesaian)
Tahap kedua pemecahan masalah adalah menentukan rencana penyelesaian. Untuk merencanakan penyelesaian kita dapat mencari kemungkinan-kemungkinan yang dapat terjadi atau mengingat-ingat kembali masalah yang pernah diselesaikan yang memiliki kemiripan sifat atau pola dengan masalah yang akan dipecahkan. Beberapa strategi pemecahan masalah antara lain :
a. Menemukan pola
b. Menguji masalah yang relevan dan memeriksa apakah teknik yang sama dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan
d. Membuat tabel
e. Membuat diagram / gambar
f. Menebak dan memeriksa (guess and check / trial and error)
g. Menggunakan persamaan (equation) matematika
h. Bekerja mundur (work backward)
i. Mengidentifikasi bagian dari hasil (subgoal)
3) Carrying Out the Plan (Melaksanakan Rencana)
Tahap ketiga pemecahan masalah terdiri dari tiga aktivitas yaitu :
a. Menerapkan satu atau lebih strategi pemecahan masalah untuk menemukan penyelesaian atau perhitungan
b. Memeriksa setiap langkah strategi yang digunakan baik secara intuitif maupun dengan bukti formal
c. Menjaga keakuratan proses pemecahan masalah
4) Looking Back (Memeriksa Ulang)
Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara :
a. Memeriksa dengan pembuktian
b. Menginterpretasikan penyelesaian/solusi berdasarkan permasalahan rasional atau pun argumentasi (reasonable)
c. Jika memungkinkan lakukan pengujian untuk masalah lain yang relevan atau pun yang lebih umum dengan menggunakan teknik/strategi pemecahan masalah tersebut.
Adapun strategi pemecahan masalah menurut Loren C. Larson (Pribawanto : 2010) yang menyatakan ada 12 tahap pemecahan masalah , yaitu:
1) Temukan pola (find a pattern)
Bila kita dapat melihat sebuah pola pada sebuah masalah maka jangan abaikan. Gunakan pola tersebut untuk memperoleh penyelesaian masalah tersebut.
2) Lukis sebuah gambar atau diagram (make a picture or a diagram)
Umumnya strategi ini diperlukan untuk mendapatkan gambaran yang jelas tentang suatu masalah (terutama masalah geometri), juga untuk mendapatkan ide cara penyelesaian masalah.
4) Modifikasi pada soal atau gunakan konteks yang lebih khusus atau kasus (use a case problem)
Strategi ini menggunakan contoh atau kasus masalah untuk mendapatkan ide penyelesaian yang menyeluruh. Hal ini dapat ditempuh dengan mensubstitusi nilai pada variabel atau mengaplikasi variabel pada kejadian khusus.
5) Buat notasi yang tepat (use appropriate notation)
Langkah awal menyelesaikan masalah Geometri adalah menuliskannya ke dalam simbol-simbol matematika (variabel, konstanta, parameter). Semua konsep kunci dalam soal haruslah teridentifikasi dan sebisa mungkin dinotasikan.
6) Gunakan sifat simetri atau pencerminan (use a symmetry)
Sifat simetri amat membantu kita menyelesaikan masalah, kejelian kita dibutuhkan untuk melihat adakah kesimetrian pada masalah, dapatkah sifat simetri dimunculkan, dan lain-lain.
7) Kerjakan dalam kasus yaitu gunakan titik pandang berbeda (adopting a different point of view)
Kita harus membiasakan diri melihat suatu masalah dalam cara pandang berbeda. Hal ini untuk menambah alternatif menggali ide penyelesaian suatu masalah.
8) Bekerja mundur, lakukan analisis mulai dari jawaban yang dikehendaki (working backward)
Banyak manipulasi aljabar juga masalah lain matematika yang sulit dikerjakan dengan arah ke depan (yaitu memulai dari data menuju ke hasil), namun begitu mudah diselesaikan setelah kita mencoba bergerak dari belakang (mulai dari hasil menuju data).
9) Beragumentasi dengan menduga sebuah jawaban lalu memeriksanya (guess and check atau trial and error)
Pada tahap ini dapat menyelesaikan permasalahan yang menyeluruh, yang mungkin sangat sulit bila ditempuh dengan cara formal. Perlu pula kita ingat bahwa strategi coba-coba dalam matematika memiliki landasan penalaran, bukan asal coba. Strategi ini dapat dibedakan menjadi dua: sistematis dan inferensial. Systematic trial adalah mencoba semua kemungkinan (ini baik bila memungkinkan atau bila cacah kemungkinannya sedikit), sedang inferensial trial adalah mencoba dengan memilah-milah yang paling relevan berdasarkan konsep atau aturan tertentu.
10) Gunakan masalah yang lebih sederhana (use a simpler problem)
Suatu masalah kadang lebih mudah diselesaikan bila kita membuatnya menjadi lebih sederhana. Cara ini dapat ditempuh dengan menyederhakan bentuk atau variabel.
11) Gunakan kasus yang ekstrim (considering extreme cases)
Strategi ini patut untuk dicoba pada setiap masalah. Penyelesaian yang diperoleh lewat strategi ini begitu sederhana.
12) Buat persamaan (make an equation)
tujuan yang akan dicapai dari persoalan tersebut. Selanjutnya kita akan membahas contoh penerapan pemecahan masalah Polya :
1. Tentukan banyaknya titik potong jika 5 garis saling berpotongan. Tahap pemecahan masalah :
1) Understanding the Problem
a. Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !
Menentukan banyaknya titik potong dari garis-garis yang berpotongan
b. Informasi apa saja yang diperoleh dari permasalahan itu ?
Lima garis saling berpotongan, misalnya garis a, b, c, d, dan e
Diketahui
2) Devising a Plan
Strategi yang dipilih untuk menyelesaikan masalah ini yaitu :
a. Membuat diagram / gambar
Pertama akan dibuat dua garis berpotongan yaitu a dan b. Kemudian akan digambar garis ketiga yaitu c yang memotong garis a dan b dan seterusnya
b. Membuat tabel
Berdasarkan gambar akan dibuat tabel yang memuat hubungan antara banyak garis berpotongan dan banyak titik potong
c. Menemukan pola
Berdasarkan tabel akan ditemukan pola yang tepat untuk masalah ini
3) Carrying Out the Plan
Tahap ketiga pemecahan masalah yaitu menggunakan strategi untuk memecahkan masalah.
b. Membuat tabel dan menemukan pola
Banyak garis berpotongan
Banyak titik potong
Pola
2 1 1
3 3 1 + 2
4 6 1 + 2 + 3
5 10 1 + 2 + 3 + 4
Jadi disimpulkan jika lima garis berpotongan satu sama lain maka banyaknya titik potong yang terbentuk adalah 10 titik.
4) Looking Back
Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara :
a. Menginterpretasikan penyelesaian/solusi berdasarkan permasalahan rasional atau pun argumentasi (reasonable) berikut :
i. Jika dua garis a dan b berpotongan maka terdapat satu titik potong P
ii. Jika garis ketiga c memotong dua garis a dan b yang saling berpotongan di P maka garis ketiga itu memotong masing-masing garis di satu titik yaitu c memotong a di Q dan c memotong b di R sehingga seluruhnya ada tiga titik potong
iv. Dengan demikian jika garis kelima e memotong garis a, b, c dan d yang saling berpotongan maka seluruhnya ada 6 + 4 = 10 titik potong
b. Melakukan pengujian untuk banyaknya titik potong dari 10 garis berpotongan.
Pola yang diperoleh sebagai berikut :
2 garis berpotongan menghasilkan 1 titik potong .
3 garis berpotongan menghasilkan 1 + 2 = 3 titik potong.
4 garis berpotongan menghasilkan 1 + 2 + 3 = 6 titik potong.
5 garis berpotongan menghasilkan 1 + 2 + 3 + 4 = 10 titik potong.
Dengan demikian :
10 garis berpotongan menghasilkan 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 titik potong.
2. Terdapat dua buah pelampung pada sebuah danau. Seorang perenang berenang di danau tersebut sedemikian sehingga ia selalu berjarak tetap (konstan) terhadap kedua pelampung tersebut. Deskripsikan jalur renang yang ditempuh oleh perenang tersebut.
Tahap pemecahan masalah : 1) Understanding the Problem
a. Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri !
Misalkan kedua pelampung adalah titik A dan B dan perenang adalah titik C. Misalkan jarak C ke A adalah dAC dan jarak C ke B adalah dCB. Maka posisi perenang yaitu C terhadap A dan B adalah kumpulan titik-titik sehingga dCA dan dCB selalu tetap. Berbentuk apakah kumpulan titik-titik tersebut ?
b. Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !
Bentuk kumpulan titik-titik sehingga dCA dan dCB selalu tetap.
c. Apa saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ?
Jarak titik A ke B.
d. Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ?
Titik A dan B berbeda posisi. Jarak dCA dan dCB selalu tetap yaitu dCA = dCB untuk meskipun posisi C berubah-ubah
Strategi pemecahan masalah yang mungkin dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah :
a. Membuat diagram / gambar
Menggambarkan posisi titik A, B, dan C sesuai kondisi masalah. b. Menguji masalah yang relevan dan memeriksanya apa dapat digunakan
Memeriksa jika ada satu atau lebih teorema dasar kedudukan titik yang menyerupai masalah ini.
3) Carrying Out the Plan
a. Membuat diagram / gambar
b. Memeriksa jika ada teorema kedudukan titik yang sesuai
Teorema 2.3 : Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus terhadap ruas garis PQ´ dan membagi
´
PQ menjadi dua bagian sama besar.
4) Looking Back
Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara :
a. Memeriksa dengan pembuktian : buktikan teorema 2.3 berdasarkan masalah tersebut secara deduktif.
b. Menginterpretasikan penyelesaian permasalahan ini berdasarkan argumentasi (reasonable) dengan menggunakan koordinat dan aljabar.
Misalkan koordinat titik C(x, y) di mana dCA = dCB dengan koordinat A(xa, ya) dan B(xb, yb) maka dapat dibuktikan untuk posisi C di C1(x1, y1), C2(x2, y2), … Cn(xn, yn) yaitu :
(a) jika ruas garis AB´ tegak lurus sumbu x maka y1 = y2 = … = yn (b) jika ruas garis AB´ tegak lurus sumbu y maka x1 = x2 = … = xn Selanjutnya harus dibuktikan bahwa garis C1C2 tegak lurus AB´ . Dengan bantuan geogebra dapat dilakukan simulasi untuk menunjukkan solusi untuk tiga posisi C yang berbeda-beda sebagai berikut.
2.2 Pengaruh Strategi Pemecahan Masalah terhadap Pemahaman Konsep dan Hasil Belajar siswa pada materi Geometri
diperlukan kemampuan berpikir kritis mulai dari memahami masalah, merencanakan pemecahan, melaksanakan rencana, sampai melihat/memeriksa kembali pemecahan yang telah dilaksanakan. Pada tahap memahami masalah agar siswa dapat memahami masalah dia harus mempunyai kemampuan interpretasi agar dia memahami secara tepat masalah geometri yang diajukan kepadanya. Selain itu dia juga harus mempunyai kemampuan evaluasi untuk mengevaluasi pemikirannya dalam memahami masalah. Pada tahap merencanakan pemecahan masalah, keterampilan interpretasi, analisis, dan evaluasi juga diperlukan karena untuk dapat menentukan rencana apa yang akan dilaksanakan siswa. Siswa harus mampu memaknai informasi yang ada pada masalah dan menghubungkan setiap unsur yang ada pada masalah. Bahkan Polya (Herman : 2000) mengemukakan bahwa sesungguhnya kemampuan memecahkan masalah ada pada ide menyusun rencana pemecahan. Jadi pada tahap ini sangat diperlukan kemampuan berpikir kritis dan pemahaman konsep dari siswa . Pada tahap rencana pemecahan siswa akan menggali semua konsep dan prosedur yang telah dipelajarinya sehingga dapat memecahkan masalah dengan benar. Pada tahap melaksanakan rencana, siswa mengorganisasikan semua pengetahuan dan konsep geometri (matematika) yang telah dimilikinya agar dia berhasil memecahkan masalah. Pada tahap melihat atau memeriksa kembali hasil pemecahan yang telah didapat semua , kemampuan berpikir kritis juga sangat diperlukan untuk menguji apakah pemecahan masalah yang telah dilaksanakan sudah benar. Terlihat bahwa pembelajaran geometri dengan pemecahan masalah akan melatih siswa berpikir kritis sehingga meningkatkan pemahaman konsep dan hasil belajar siswa. Ada beberapa hal lain yang didapat dari pembelajaran geometri dengan pemecahan masalah menurut Marcut (Haryani : 2011) :
(1) Fokus pemecahan masalah adalah perhatian siswa yaitu pada ide-ide dan indera lebih mengingat fakta.
(2) Pemecahan masalah mengembangkan keyakinan siswa bahwa mereka mampu memecahkan masalah matematika dan bahwa matematika masuk akal.
(3) Melalui pembelajaran dengan pemecahan masalah yang menyenangkan siswa akan mengingat pelajaran dengan lebih baik.
3. Penutup 3.1 Kesimpluan
Dari uraian-uraian di atas dapat disimpulkan bahwa pembelajaran Geometri dengan pemecahan masalah di samping akan melatih siswa menjadi pemecah masalah yang baik juga akan melatih atau akan menumbuh kembangkan kemampuan berpikir kritis siswa sehingga meningkatkan pemahaman konsep dan hasil belajar siswa. Dengan terlatihnya siswa untuk menggali berpikir kritisnya dalam pembelajaran geometri dengan pemecahan masalah diharapkan siswa akan dapat mengimplementasikan berpikir kritis dalam berbagai bidang kehidupan baik pada masa sekarang maupun di masa yang akan datang.
3.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
Gusti Putu Sudiarta , I. 2007 . “Penerapan Strategi Pembelajaran Berorientasi Pemecahan Masalah dengan Pendekatan Metakognitif untuk Meningkatkan Pemahaman Konsep dan Hasil Belajar Mahasiswa pada Mata Kuliah Statistika Matematik I Tahun 2006/2007” . Jurnal Pendidikan dan Pengajaran. Vol 40 No 3.
Haryani, Desti. 2011. “Pembelajaran Matematika dengan Pemecahan Masalah Untuk Menumbuh-kembangkan Kemampuan Berpikir Kritis Siswa”. Jurnal Pemantapan Keprofesionalan Peneliti, Pendidik, dan Praktisi MIPA Untuk Mendukung Pembangunan Karakter Bangsa. ISSN 978-979-99314-5-0
Herman, Tatang. 2000. Strategi Pemecahan Masalah (Problem-Solving) dalam Pembelajaran Matematika. Jawa Barat : LPM Institut Teknologi Bandung. Maulidiya, Della . 2016. Geometri Analitik Bidang Berbantuan Geogebra.
Universitas Bengkulu : FKIP Universitas Bengkulu.
