SOAL DAN PEMBAHASAN DIMENSI TIGA
Jarak dalam Ruang
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. jarak E ke bidang AFH adalah …. A.
1
Perhatikan gambar berikut.
EG
=
a
√
2
cm, diagonal bidang Dengan perbandingan segitiga2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. titik P adalah a titik potong AH dengan ED dan titik Q adalah titik potong FH dengan EG. Jarak titik B dengan garis PG adalah … A.
√
22
cmB.
√
21
cm C. 2√
5
cm D.√
19
cm E.3
√
2
cm3. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. jika P titik tengah CG, maka jarak titik P dan garis GB adalah … cm.
A.
8
√
5
B.6
√
5
C.6
√
3
D.6
√
2
E. 6 PembahasanPerhatikan gambar berikut
Panjang PR = AC = diagonal bidang =
12
√
2
cm Jarik titik P dengan garis HB adalah:PO
=
1
2
× PR
=
1
2
×
12
√
2
=
6
√
2 cm
Jawaban D
4. Panjang rusuk ABCD.EFGH adalah a cm. jarak A ke diagonal HB adalah …. A.
a
2
√
6
B.
a
3
√
6
D.
a
5
√
6
E.
a
6
√
6
Pembahasan
Perhatikan gambar berikut
AH merupakan diagonal bidang maka panjang
AH
=
a
√
2
cmHB
merupakan diagonal ruang maka panjangHB
=
a
√
3
cm Jarak titik A ke diagonal HB adalah APAP
=
AB × AH
HB
=
a × a
√
2
a
√
3
=
a
√
2
√
3
=
a
3
√
6 cm
Jawaban B
5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk
a
cm. jika S merupakan proyeksi titik C pada bidang AFH maka jarak titik A ke titik S adalah … cmA.
1
3
a
√
3
B.
1
3
a
√
6
C.
2
3
a
√
3
D.a
√
2
E.a
√
3
PembahasanEG = AC merupakan diagonal bidang =
a
√
2 cm
ET
=
1
2
EG
=
1
2
a
√
2 cm
Dari
∆ ATC
siku-siku di E, diperoleh:AT
=
√
AE
2+
ET
2=
√
a
2+
(
a
√
2
Dari∆ ATC
diperoleh luasnya dengan dua caraL ∆ ATC
=
1
6. Diketahui ABCD.EFGH dengan panang rusuk 9 cm. jika titik T terletak pada pertengahan garis HF, jarak titik A ke garis CT adalah …. Cm.
Pembahasan
AT
2=
AP
2+
PT
2=
(
9
Dari gambar terlihat, bahwa AT = CT Luas segitiga ACT =
1
2
× AC ×TP
=
1
2
×
9
√
2
×
9 atau
Luas segitiga ACT =
1
2
× AO × CT
=
garis PM adalah ….A.
35
A.
a
perhatikan gambar berikut
Dari
∆ SRU
siku-siku di R diperolehSU
=
√
SR
2+
RU
2=
√
(
1
Jarak titik R ke bidang EPQH adalah RT
RT
=
RS × RU
E.
3
2
√
14
Pembahasan
AC
=
4
√
2
, karena merupakan diagonal bidangAO
=
1
2
AC
=
1
2
.4
√
2
=
2
√
2 cm
OT
=
√
AT
2−
AO
2=
√
6
2−
(
2
√
2
)
2=
√
36
−
8
=
√
28
=
2
√
7
cmCP
=
AC × OT
AT
=
4
√
2
×
2
√
7
6
=
8
6
√
14
=
4
3
√
14
10. Diketahui T.ABCD limas beraturan. Anjang rusuk alas 12 cm, dan panjang rusuk tegak 12
√
2 cm.
Jarak A ke TC adalah ….A. 6 B.
6
√
2
C.6
√
6
D. 8 E.8
√
6
PembahasanPanjang
AC
=
12
√
2 cm, karena AC merupakan diagonal bidang
Panjang AC=TA=TC maka ∆ TAC adalah segitiga samasisi. Sehingga
CP
=
6
√
2
cm. Dari ∆ APC dengan siku-siku di P, diperoleh:AP
=
√
AC
2−
CP
2=
√
(
12
√
2
)
2+
(
6
√
2
)
2=
√
288
−
72
=
√
216
=
6
√
6
cm11. Diberikan bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk a. Jika titik P adalah titik tengah rusuk BC, maka jarak titik P ke garis AT adalah ….
A.
a
4
√
2
B.
a
3
√
2
C.
a
2
√
2
D.
a
2
√
3
E.
a
3
√
3
Pembahasan
Perhatikan bahwa segitiga TPC siku-siku di P, maka TP=
√
TC2−PC2¿
√
a
2−
(
1
2
a
)
2
¿
√
a
2−
1
4
a
2
¿
√
3
4
a
¿
1
2
a
√
3
Perhatikan segitiga TPA, panjang TP = AP, maka segitiga TPA samakaki. Sehingga : PK=
√
TP2−TK2¿
√
(
1
2
a
√
3
)
2
−
(
1
2
a
)
2
¿
√
3
4
a
2
−
1
4
a
2
¿
√
2
4
a
2
¿
1
2
a
√
2
PK adalah jarak titik P ke garis AT, panjangnya
1
2
a
√
2
=
a
2
√
2
12. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. jarak titik D ke garis EG adalah …. A.
3
√
6 cm
B.
4
√
6 cm
C.6
√
2 cm
D.6
√
6 cm
E.12
√
2 cm
Pembahasanpanjang
EG
=
DE
=
12
√
2
cm (diagonal sisi)perhatikan segitiga ∆ DPE, siku-siku di titik P:
DP
2=
ED
2−
EP
2=
(
12
√
2
)
2−
(
6
√
2
)
2=
288
−
72
=
216
13. Pada kubus ABCD.EFGH, titik P terletak segmen BG sehingga 3 PG = 2 BP. Titik Q adalah titik potong garis HP dan bidang ABCD. Jika panjang sisi kubus 6 cm, luas segitiga APQ adalah … cm2
A.
9
√
2
B.12
√
2
C.18
√
2
D.27
√
2
E.36
√
2
PembahasanBP:PG=3 :2
BP
=
3
5
BG
=
3
5
.6
√
2
Kesebangunan
∆ AQH
dengan∆ BQP
BQ
AQ
=
BP
AH
⇔
6
+
x
12
+
x
=
3
5
.6
√
2
6
√
2
30+5x=36+3x
2
x
=
6
x=3
diperoleh panjang AQ = 12 + 3 = 15 cm Karena BP tegak lurus AQ, diperoleh:
Luas
∆ AQP
=
1
2
. AQ . BP
=
1
2
.15
.
3
14. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk 6 cm. titik P pada CT sehingga TP : PC = 2 : 1. Jarak P ke bidang BDT adalah ….
Pembahasan
TP
=
2
3
TC
=
2
3
.6
=
4 cm dan
PC
=
1
3
.6
=
2 cm
AC = diagonal sisi =
6
√
2
cm Maka,OC
=
1
2
.6
√
2
=
3
√
2 cm
Segitiga TOC dan TQP sebangun, maka berlaku perbandingan sisi-sisinya:
