8. SOAL-SOAL DIMENSI TIGA
UN2004
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah
A. 2 2 cm C. 4 2 cm E. . 8 2 cm B. 2 6 cm D. 4 6 cm
jawab :
H D’ G
E F
D C
A B
Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah DD’: DH = 8 ; D’H = ½ FH = ½ . 8 2 = 4 2
DD’ = (D'H)2 +(DH)2
= 32+64 = 96
= 4 6 cm
jawabannya adalah D
EBTANAS1999
2. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. Panjang proyeksi AF pada bidang ACGE adalah….
H G
E F
D C
A B 6 cm
A. 6 3 cm C. 3 6 cm E. . 3 2 cm
B. 6 2 cm D. 3 3 cm
Jawab :
H F’ G
E F
D C
A B 6 cm
F’ F
A
Panjang proyeksi AF pada bidang ACGE adalah AF’. AF = 6 2 ; FF’ = ½ FH = ½ . 6 2 = 3 2
AF’ = (AF)2 −(FF')2
= 72−18 = 54
= 3 6 cm
jawabannya adalah C
UAN2003
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika P titik tengah EH, maka jarak titik P ke garis CF adalah…
A. 20 cm C. 14 cm E. . 8 cm
B. 18 cm D. 12 cm
jawab:
P H G
E F P’
D C
A B 4 cm
P
6 20
C P’ F
yang ditanyakan adalah PP’ :
CF = 4 2
FP = (EF)2 +(EP)2
= 42 +(1/2. 4)2 = 20
CP = (CH)2 +(HP)2
= (4 2)2 +(1/2. 4)2 = 32+4 = 6
cara 1 :
FP’ =
CF CP FP CF
2
2 2
2 + −
=
2 8
36 20 32+ −
= 2 8
16 =
2 2
= 2 2
. 2 2
= 2
PP’ = (FP)2 −(FP')2
= 20−2 = 18 cm
Cara 2 :
misal FP’ = x, maka CP’ = 4 2 - x
PP’ = FP2 - FP’2 = CP2 - (4 2 - x )2
20 – x2 = 36 – (32 – 8 2 x + x2) 20 – x2 = 36 – 32 + 8 2 x - x2 20 – 4 = 8 2 x
16 = 8 2 x
x = 2 8
16 =
2 2
= 2 2
. 2 2
= 2
PP’2 = FP2 - FP’2 = 20 – ( 2 )2
= 20 – 2 = 18
PP’ = 18 cm
hasil cara 1 = hasil cara 2
jawabannya adalah B
EBTANAS1992
4. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Jarak titik C dengan bidang BDG adalah…
A. 2 2 cm C. 3 2 cm E. . 4 3 cm
B. 2 3 cm D. 3 3 cm
Jawab:
H G
E F
C’
D C P
G
C’
P C
yang dicari adalah CC’.
CP = ½ CA = ½ . 6 2 = 3 2 CG = 6
GP = 2 2
CG CP +
= 18+36 = 54 = 3 6
GC’ =
GP CP CG GP
2
2 2
2 + −
=
6 6
18 36 54+ −
= 6 6
72 =
6 12
= 6 12
. 6 6
= 2 6
CC’ = CG2 −GC'2
= 36−24 = 12 = 2 3 cm
jawabannya adalah B
UAN2005
5. Pada kubus ABCD.EFGH besar sudut antara garis AH dan bidang diagonal BDHF adalah…
A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 E. 900
jawab:
H G
E F
D C P
A B
H
α
A P
misal panjang rusuk adalah a,
sin α = AH
AP
AP = ½ AC = ½ a 2
AH = EA2 +EH2
= a2 +a2 = 2a2 = a 2
sin α = AH
AP =
2 2 2 1
a a
= 2 1
α = 300
jawabannya adalah A
EBTANAS 2001
6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika sudut antara BF dan bidang BEG adalah α , maka sin α = ….
A. 2 4 1
C. 3 3 1
E. 6 2 1
B. 2 2 1
D. 3 2 1
Jawab:
H G P
E F
D C
4 cm P F
α B
sin α = PB PF
PF = ½ FH = ½ . 4 2 = 2 2
PB = PF2+FB2
= (2 2)2+42 = 8+16 = 24
= 2 6
sin α = PB PF
= 6 2
2 2
= 6 2
= 6 2
. 6 6
= 12 6 1
= 4.3 6 1
= .3 6 2
= .3 3 1
jawabannya adalah C
EBTANAS 1987
7. Besar sudut antara diagonal BG dan FH pada kubus ABCD.EFGH adalah …..
A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 E. 900
jawab:
H G α
E F
D C
A B
AH sejajar dengan BG, sehingga sudut antara diagonal BG dan FH adalah juga sudut antara diagonal AH dan FH (∠(BG,FH) = ∠(AH,FH) )
dari gambar terlihat bahwa panjang AH = AF = FH sehingga ∆AFH adalah ∆sama sisi.
∆sama sisi. Mempunyai 3 sudut yang sama yaitu 600
Jawabannya adalah C
UN2007
8. Jarak bidang ACH dan EGB pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 3 cm adalah….
. A. 4 3 cm C. 4 cm E. . 12 cm
B. 2 3 cm D. 6 cm
Jawab:
H Q G
E F R S
D C P
A B 6 3 cm
Lihat bidang BDHG :
Q H F
R
S
D B
yang ditanya adalah jarak SR.
SR = DF – FR – DS
DF = 6 3 . 3 = 18 (diagonal ruang)
FR:
ingat titik berat ∆ = 1/3 tinggi QR = 1/3 QB
QB = FB2 +FQ2
FB = 6 3 = 6 3
FQ = ½ GH = ½ 6. 3 . 2 = 3. 6
QB = 108+54 = 162 = 9 2 QR = 1/3 QB = 1/3. 9 2 = 3 2
FR = FQ2 −QR2
= 54−18 = 36 = 6
DS :
∆ DSP sebangun dengan ∆FQR sehingga DS = FR = 6
Kita cari dan buktikan :
PS = 1/3 PH
PH = DH2 +DP2
DH = 6 3
DP = ½ DB = ½ 6. 3 . 2 = 3. 6
PH = 108+54 = 162 = 9 2 PS = 1/3 PH = 1/3. 9 2 = 3 2
DS = DP2 −PS2
= 54−18 = 36 = 6 (terbukti)
Sehingga panjang SR = DF – FR – DS
= 18 – 6 – 6 = 6 cm
Jawabannya adalah D
UNAS2006
9. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC. Panjang rusuk AB= 6 cm, dan TA= 6 3 cm. Sudut antara TC dan bidang ABC adalah α , maka tan α = ….
A. 3 10 B. 4 2 C. 3 2 D. 10 E. 2 2
jawab :
T
6 3 cm
C
Q A
P B 6 cm
Karena limas segitiga beraturan maka:
panjang TA = TB = TC dan Bidangnya adalah segitiga sama sisi dengan panjang AB = BC = AC.
Sudut TC dan bidang ABC (∠TC,ABC) = ∠TCQ
Tan α = x y
= QC TQ
TQ = TC2 −QC2
TC = 6 3
QC:
Titik berat segitiga adalah 1/3 tinggi,
PQ = 1/3 PC, maka CQ =(1- 1/3) PC = 2/3 PC
PC = 2 2
BP BC −
BC = 6
PC = 62 −32 = 36−9 = 27 = 3 3 QC = 2/3 PC = 2/3 ,. 3 3 = 2 3
TQ = TC2 −QC2
= (6 3)2 −(2 3)2
= 108−12 = 96 = 4 6
Tan α = QC TQ
= 3 2
6 4
= 3
6 2
= 3
6 2
. 3 3
= 3
18 2
= 3
2 3 . 2
= 2 2
Jawabannya adalah E
UN2004
10. Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah….
A. 150 B. 300 C. 450 D. 600 E. 750
jawab: T
D C
α
A B Misal panjang rusuk = a , maka
TA=TB=TB=TC=AB=BC=CD=AD = a
sudut antara TA dan bidang ABCD (∠(TA,ABCD) ) adalah ∠TAC
AC = a2 +a2 = 2a2 = a 2 TA = TC = a
T
a a
α
A C a 2
Aturan cosinus
TC2= TA2+ AC2 - 2. TA. AC. cos α
a2 = a2 + (a 2)2 - 2. a. a 2 cos α
a2 = a2 + 2 a2 - 2. a2 2. cos α a2 = 3 a2 - 2. a2
2. cos α - 2. a2 = - 2. a2 2. cos α 2. a2 = 2. a2 2. cos α
cos α =
2 2
2 2
2
a a
= 2 1
= 2 1
. 2 2
= 2 1
2
α = 450
