TUGAS KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SMA
“ DIMENSI TIGA “
10 soal dengan pembahasannya
Oleh : Ayu DWi Asnantia
A B
C D
E F
G H
O P
8√3
1. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8
√
3 cm. Titik O merupakan titik potong diagonal bidang atas. Jarak titik O ke BCGF adalah …Jawab:
Jarak titik O ke BCGF adalah
OP=1
2. AB
OP=1
2.8
√
3 cm¿4
√
3 cmA B O
D
T
C P
cm
cm
2. Diketahui T.ABCD limas beraturan. Panjang rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk tengah 12
√
2 cm. Jarak A ke TC adalah …Jawab :
Jarak A ke TC = AP
∆ APT adalah∆ siku−sikudi P
AT=12
√
2 cm ; TC=12√
2 cm TP=12TC
¿1
2.12
√
2¿6
√
2 cm AT¿2−(TP)2¿
AP=√¿
¿
√
(12√
2)2−(6√
2)2¿
√
288−72¿
√
216¿6
√
6 cmA B
C D
E F
G H
P
Q
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. P adalah titik tengah rusuk EH. Tentukan jarak titik P ke diagonal ruang AG !
Jawab : AG=s
√
3¿10
√
3 cm AQ=12. AG
¿1
2.10
√
3¿5
√
3 cm∆ AEPmerupakan segitiga siku−siku di E , sehingga AP=
√
(AE)2+(AP)2¿
√
102+52¿
√
100+25¿
√
125AP2=125
Jarak titik P ke AG adalah PQ PQ=
√
(AP)2−(AQ)2¿
√
125−(5√
3)2¿
√
125−75¿
√
50=5√
2 cmA B
C D
E F
G H
4. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Besar sudut antara garis DE dan HF adalah …
JAwab :
Garis DE dan HF bersilangan∠(DE , HF)=∠(DE , BD)=∠BDE BD∥HF
karena BD=BE=DE=4
√
2, maka△BDE samasisi . jadi ,∠BDE=60°A B O
D
T
C θ
cm
5. Sebuah Limas T.ABCD dengan alas ABCD bentuk persegi panjang. AB = 8 cm, BC=6cm, dan TA=TB=TC=TD= 13 cm. Besar sudut antara TA dan bidang alas ABCD adalah θ . Berapakah nilai dari sinθ ?
JAwab :
AC¿2=(AB)2+(BC)2
¿
¿82 +62
¿64+36
¿10
AC=10
AO=1
2. AC
¿1
2.10=5
¿=
√
(TA)2−(AO)2¿
√
169−25¿
√
144¿12
Sudut antaraTA dan bidang alas ABCD adalah∠TAO=θ ,sinθ= ¿ TA=
A B C D E F G H A B C D E F G H C’ O 6. Dari kubus ABCD.EFGH diketahui:
i. CE tegak lurus AH
ii. Bidang AFH tegak lurus bidang CFH iii. FC dan BG bersilangan
iv. Bidang AFH dan EBG berpotongan
Dari pernyataan di atas, yang benar adalah … a. i , ii , dan iii
b. i , iii, dan iv c. ii dan iii d. ii dan iv e. i dan iv JAwab :
Perhatikan Kubus ABCD.EFGH berikut !
i. CE tegak lurus AH ( benar ).
ii. Bidang AFH ⊥ CFH ( salah). Seharusnya berpotongan dan titik potongnya garis HF.
iii. FC dan BG bersilangan (salah). Seharusnya FC berpotongan dengan BG karena dalam satu bidang.
iv. Bidang AFH dan EBG berpotongan ( BEnar).
7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Panjang proyeksi BC pada bidang BDG adalah …
Perhatikan gambar di atas. Proyeksi BC pada bidang BDG = BC’
OB=OC=1
2.6
√
2=3√
2OG=
√
(OC)2+(CG)2¿
√
(3√
2)2+62 =3√
6cosα=OC '
OC = OC OG
¿OC '
3
√
2= 3√
2 3√
6→ OC' =
√
6B C'=
√
(OB)2+(OC)2A B
C D
E F
G H
M
8. Diketahui ABCD.EFGH adalah sebuah kubus yang rusuk – rusuknya 5 cm. tentukan panjang titik B ke Bidang ACGE!
Jawab :
BM=1
2. BD
BD=
√
(AD)2+(AB)2¿
√
52 +52¿
√
25+25=√
50=5√
2Jarak titik B ke bidang ACGE adalah sama dengan jarak BM, yaitu :
¿1
M
A B
C D
E
F
G H
L
K P
Q
12 cm
9. Pada kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk – rusuknya 12 cm, titik K, L, dan M berturut – turut merupakan titik tengah BC, CD dan CG. Hitunglah jarak antara bidang AFH dengan bidang KLM !
Jawab :
Jarak diagonal ruang CE= 12
√
3cm . EP=13.12
√
3cm=4√
3cmCQ=1
2EP=2
√
3cmMaka jarak
PQ=12
√
3−4√
3−2√
3=6√
3 cmA B
C D
E F
G H
M
10. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk a cm. sudut α adalah sudut antara bidang ACH dengan ACD. Tentukan tanα !
Jawab : HD=a c m DB=a
√
2cm DM=a2
√
2cm tanα=HDDM= a a
2
√
2¿ 2a
a
√
2= 2√
2.√
2√
2=√
2