Kelompok Induksi Matematika
Nama Anggota :
1. Mia Kastina
2. Dellen Kurniawan
3. Cigra Cendikia
4. Pryo Setyoaji
Soal dan pembahasan
1. Buktikan bahwa 3n-1 habis dibagi 2. (Merupakan kelipatan 2)
(i) n=1 => 3-1=2 (kelipatan 2) (Benar) (ii) n= k => 3k-1
misal : 3k-1= 2m
n=k+1 => 3k+1 – 1
= 3.3k - 1
= 3.3k – 3 + 2
= 3(3k – 1) + 2
= 3(2m + 2)
= 2(3m + 1) (terbukti)
2. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
Penyelesaian:
(i) Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama
adalah 12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.
(ii) Langkah induksi: Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)
= n2 adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n – 1)]. Kita harus memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2 juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut: 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2
Cara menyelesaikan:
1) Basis induksi.
Untuk n = 0 (bukanlah bil bulat neg pertama), kita dapat: 30 = 30+1 – 1
Ini jelas benar, sebab 30 = 1
= 30+1 – 1 = 31 – 1 = 3– 1 = 1
2) Langkah induksi.
jikalau u/ semua bilangan bulat Bukanlah-negatif n, 30 + 31 + 32 + … + 2n = 2n+1 – 1
Kita nyatakan benar (hipotes induksi). Kita harus membuktikan bila,
30 + 31 + 32 + … + 2n + 2n+1 = 2(n+1) + 1 – 1
Hasilnya sama benar atau true. Kita buktikan sebagai berikut:
30 + 31 + 32 + … + 2n + 2n+1 = (30 + 31 + 32 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (a/ H induksi)
= (2n+1 + 2n+1) – 1 = (2 . 2n+1) – 1 = 2n+2 – 1 = 2(n+1) + 1 – 1
Karena langkah pertama dan keduanya menyatakan hasilnya true (benar), jadi untuk semua bilangan bulat bukanlah-negatif n, karena telah kita buktikan jika
