SEGITIGA HARMONIK LEIBNIZ
Sumardyono, M.Pd.
Di sekolah terutama pada jenjang Sekolah Menengah Pertama (SMP) atau Sekolah Menengah Atas (SMA), telah dibelajarkan atau telah dikenal apa yang dinamakan “Segitiga Pascal”. Segitiga tersebut merupakan susunan koefisien bentuk ekspansi dari binomial (a+b)n dengan n = 0, 1, 2, 3, ... . Pada artikel kali ini, akan dibahas mengenai “Segitiga Harmonik Leibniz” atau “Segitiga Leibniz”. Segitiga Leibnitz juga merupakan susunan bilangan dalam bentuk segitiga dengan sifat tertentu. Leibniz sendiri adalah matematikawan Jerman bernama lengkap Gottfried Wilhem Leibniz dan terkenal dengan sumbangsihnya terutama pada ilmu kalkulus, bersama-sama sumbangan Newton.
Gottfried Wilhem Leibniz (1646-1716)
Sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg
Aturan untuk menyusunnya adalah sebagai berikut:
• Semua bilangan di bagian paling kiri dan paling kanan adalah pecahan Mesir atau kebalikan dari bilangan asli: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ....
• Setiap bilangan lainnya adalah jumlah dua bilangan tepat di bawahnya. Misalnya 1/12 = 1/20 + 1/30.
Beberapa sifat Segitiga Leibniz sebagai berikut.
• Sama seperti Segitiga Pascal, Segitiga Leibniz juga memiliki sifat simetris.
• Berikut ini barisan penyebut bilangan-bilangan pada Segitiga Leibniz:
1, 2, 2, 3, 6, 3, 4, 12, 12, 4, 5, 20, 30, 20, 5, 6, 30, 60, 60, 30, 6, 7, 42, 105, 140, 105, 42, 7, 8, 56, 168, 280, 280, 168, 56, 8, 9, 72, 252, 504, 630, 504, 252, 72, 9, 10, 90, 360, 840, 1260, 1260, 840, 360, 90, 10, 11, 110, 495, 1320, 2310, 2772, 2310, 1320, 495, 110, 11, ...
• Setiap bilangan pada Segitiga Leibniz dapat dihitung menggunakan rumus sebagai berikut. Bilangan pada baris ke-r dan suku ke-k (dengan k≤r) adalah
• Hubungan bilangan pada Segitiga Leibniz dengan bilangan pada Segitiga Pascal, sebagai berikut.
Setiap bilangan pada setiap baris Segitiga Leibniz adalah hasil bagi bilangan pertama pada baris Segitiga Leibniz tersebut dengan bilangan yang bersesuaian pada Segitiga Pascal. L(r, k) = L(r,1)/P(r,k)
Contoh.
1/6 adalah bilangan pada Segitiga Leibniz di baris ke-3 suku ke-2, atau L(3,2) = 1/6. Pada baris ke-3 Segitiga Leibniz, bilangan pertama adalah 1/3. Bilangan pada Segitiga Pascal di baris ke-3 suku ke-2 adalah P(3,2) = 2. Maka, L(3,2) =L(3,1)/P(3,2) = (1/3)/2 = 1/6.
• Bilangan pada Segitiga Leibniz juga dapat dinyatakan dengan rumus rekursif sebagai berikut.
• Jumlah seluruh penyebut pada baris ke-r adalah r.2r – 1 . Contoh. Untuk baris ke-4: 4 + 12 + 12 + 4 = 32 = 4.23
• Berikut ini jumlah bilangan pada setiap baris: 1, 1, 5/6, 2/3, 8/15, 13/30, 151/420, ... Barisan pembilangnya:
1, 1, 5, 2, 8, 13, 151, 32, 83, 73, 1433, 647, 15341, 28211, 10447, 1216, 19345, 18181, 651745, 1542158, 1463914, 2786599, 122289917, 29229544, 140001721, 134354573, 774885169, 745984697, 41711914513, 80530073893, 4825521853483, ...
Barisan penyebutnya:
1, 1, 6, 3, 15, 30, 420, 105, 315, 315, 6930, 3465, 90090, 180180, 72072, 9009, 153153, 153153, 5819814, 14549535, 14549535, 29099070, 1338557220, 334639305, 1673196525, 1673196525, 10039179150, 10039179150, 582272390700, 1164544781400, ...
• Penyebut pada bilangan suku kedua setiap baris merupakan bilangan pronic yaitu hasil kali dua bilangan asli berurutan: 1.2, 2.3, 3.4, 4.5, 5.6, ....
• Setiap bilangan pada baris ke-r Segitiga Leibniz merupakan koerfisien dari turunan pertama polinomial yang koefisiennya adalah bilangan pada baris ke-r Segitiga Pascal.
Perhatikan contoh di bawah ini.
Daftar Pustaka dan Bacaan
Bogomolny, A. Leibniz and Pascal Triangles. Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Combinatorics/LeibnitzTriangle.shtml, Diakses 22 February 2013
Dan MacKinnon. 2009. Harmonic Denominator Number Triangle . dalam
http://www.mathrecreation.com/2009/10/harmonic-denominator-number-triangle.html
Sloane, N.J.A. 2007. A003506. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Sloane, N.J.A. 2013. A046879. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Sloane, N.J.A. 2013. A046878. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Toni Beardon. 2012. “The Harmonic Triangle and Pascal's Triangle”. nrich enriching mathematics . dalam http://nrich.maths.org/4781
Weisstein, Eric W. 2013. "Leibniz Harmonic Triangle." MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LeibnizHarmonicTriangle.html
