6. 1 Integral Tak Tentu
F(x) disebut suatu anti turunan dari f(x) pada interval I bila
Contoh
dan adalah anti turunan dari
karena F’(x) = f(x).
Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, tapi perbedaannya berupa suatu bilangan konstan.
Anti turunan disebut juga Integral Tak tentu.
Notasi :
I
x
x
f
x
F
'
(
)
(
)
3
3
1
)
(
x
x
F
2
)
(
x
x
f
C
x
x
F
3
3
1
)
(
f x dx
( )
F x
( )
C
6.2 Sifat-sifat integral tak tentu
A. Sifat yang diperoleh langsung dari turunan
C
r
x
dx
x
r r
1
.
1
1
sin
x
dx
cos
x
C
.
2
, r -1
cos
x
dx
sin
x
C
.
3
sec
x
dx
tan
x
C
.
4
2
csc
x
dx
cot
x
C
.
B.
Sifat Kelinieran
C. Integral dengan substitusi
Misal
u
=
g
(
x
) , , dan
F
suatu anti turunan dari
f
,
maka
Contoh : Hitung
Misal u = 2x + 1
sehingga
a f x
( )
bg x dx
( )
a f x dx b g x dx
( )
( )
f
(
g
(
x
))
g
'
(
x
)
dx
f
(
u
)
du
F
(
u
)
c
F
(
g
(
x
))
c
sin 2
x
1
dx
dx
x
g
du
'
(
)
dx
du
2
dx
21du
x
dx
sin
u
du
2
1
1
2
sin
x
C
C
u
cos
2
1
2
1
cos
Setelah dilakukan substitusi u = g(x), Integran
(fungsi yang diintegralkan) hanya fungsi dari u
Contoh : Hitung
1
3
x
u
3
x
2dx
du
23
x
du
dx
Jawab : MisalMaka
(
x
3
1
)
10x
5dx
(
x
3
1
)
10x
5dx
3
x
u
x
du
x
du
x
u
10 5 2 10 33
1
3
Integran fungsi dr u dan x
3
x
Ctt : Tidak bisa di keluarkan dari integral, karena bukan suatu konstanta
substitusi dengan menggunakan hubungan
u
x
3
1
x
3
u
1
sehingga
(
x
3
1
)
10x
5dx
1
/
3
u
10(
u
1
)
du
1
/
3
u
11
u
10du
u
12
331u
11
C
361
C
x
x
3 12 331 3 11Soal Latihan
A. Untuk soal 1-5 carilah anti turunan F(x) + C bila
5
10
3
)
(
x
x
2
x
f
)
6
7
20
(
)
(
x
x
2x
7
x
5
f
f x
x
x
( )
1
3
6
7
f x x x x
( ) 2 3 1
3 2
2
f x
( )
x
341.
2.
3.
4.
x
2
4 2
3x dx
x
2
3
x
2
2
2
x
3
dx
3
x
3
x
2
7
dx
5x2 1 5
x3 3x 2 dx
3
2 2 5
y
y
dy
cos
42
x
2
sin
2
x dx
Selesaikan integral tak tentu berikut
6.
7.
8.
9.
10.
11.
2
x
2
25
5x
3dx
6.3 Notasi Sigma (
)
Notasi sigma ( jumlah ) :
Sifat dan rumus sigma
dan
...
2 1 1 n n ii
a
a
a
a
k
k
k
k
nk
n suku i n
...
1
n i n i n i i i ii lb k a l b
a k
1 1 1
. 1
n i n n i 1 2 ) 1 ( . 2
n i n n n i 1 2 6 ) 1 2 )( 1 ( . 3
n i n n i 1 2 3 2 ) 1 ( . 46.4 Integral Tentu
Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yang
menggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada selang tutup [ a,b ].
b
x
x
x
a
0
1
...
n
a b
Langkah :
1. Partisi selang [a,b] menjadi n selang
dengan titik pembagian
}
,...,
,
,
{
a
x
0x
1x
2b
x
nP
disebut partisi dari [a,b].
2. Definisikan panjang partisi P, sebagai
1
1
|
|,
||
||
k k k kn
k
x
x
x
x
Maks
P
]
,
[
k 1 kk
x
x
c
3. Pilih k = 1, 2, ..., n
1
x
x
k1x
kk
x
k
a b
2
x
x
k1x
kk
x
k
c
4. Bentuk jumlah Riemann
n
k
k
k
x
c
f
1
)
(
0
||
||
P
n
P
k k k
x
c
f
1 0 ||
||
lim
(
)
Jika , maka diperoleh limit jumlah
Riemann
n
k
f
c
k
x
k
n
b
a
n
k
f
c
k
x
k
P
dx
x
f
1
(
)
lim
1
(
)
0
||
|
lim
)
(
Jika limit ini ada, maka dikatakan
f
terintegralkan Riemann pada selang [
a,b
], dan
ditulis sbg
Contoh Hitung
2
0
2
dx
x
Jawab : Langkah
(i) Partisi selang [0,2] menjadi n bagian yang sama panjang
n
x
2
0 2
x
x
x
x
1
x
x
2 xi1x
ix
n1sehingga
0
0 x
n
x
x
1
0
2n.
x
x2 0 2 2 2
ni
i
i
x
x
0
2(ii) Pilih
c
i
x
i(iii) Bentuk jumlah reiman
n i ni n n
i i i
x
c
f
1 1 22
2
n i n n i 1 4 42
n i n i n i
n2 1 11
4 4
n
n
n
)
n
(
n
n
2
2
4
2
1
4
2
(iv) Jika
n
Ctt: Jika fungsi y=f(x) positif pada selang [a,b]
maka integral tentu diatas menyatakan luas daerah
yang terletak dibawah grafik y=f(x) dan diatas sumbu x
antara garis x = a dan x = b
Sifat integral tentu
p f x
q g x dx
p f x dx q g x dx
a
b
a
b
a
b
( )
( )
( )
( )
1. Sifat linear
2. Jika a < b < c, maka
f x dx
f x dx
f x dx
a
c
a
b
b
c
( )
( )
( )
f x dx
a a
( )
0 f x dx f x dxa b
b a
( )
3. dan
4. Bila f(x) ganjil , maka
a
a
dx x
f ( ) 0
5. Bila f(x) genap, maka f x dx f x dx
a a
a
( ) ( )
2
0
Contoh Hitung
3 3
2
4
x
7
dx
x
x
Jawab
7 )
( )
( )
( x x x 4 x 2
f x x4 x2 7 f (x) f(x) ganjil
0 7
3
2 4
Latihan
Jika diketahui:
2 )
(
2 1
g x dx ( ) 40 1
g x dx ( ) 32 0
f x dxg(x) fungsi ganjil, sedangkan f(x) fungsi genap
Hitung:
2 0
) (x dx g
2 2
) (x dx g
2 0
)] ( 5 ) ( 3
[ g x f x dx
2 2
) (x dx f
0 2
) (x dx f
2 2
)] ( 8 ) ( 6
6.6 Teorema Dasar Kalkulus (TDK)
6.6.1 TDK I
Misal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x). Maka
Contoh Selesaikan integral tentu
Jawab : Misal u = 2x du = 2 dx. Maka
Sehingga
f x dx F b F a
a b
( ) ( ) ( )
sin 2
2
x dx
cos
2
cos
1
2
1
2
cos
2
1
2
sin
2 /
2
x
dx
x
c x dx
x
cos22 1 2
Contoh hitung
5 1
| 2
| x dx
Jawab :
2 2
2 2
2
x , ) x
(
x , x
| x
| ) x ( f
5
1
2
1
5
2
2
2
2
|
dx
x
dx
x
dx
x
|
52 2
2 1 2
1 2
21
x
2
x
x
2
x
6.6.2 TDK II (Pendiferensialan Integral Tentu)
Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam [a,b],
maka Secara umum
)
(
'
))
(
(
)
(
) (x
u
x
u
f
dt
t
f
D
x u ax
)
(
)
(
t
dt
f
x
f
D
x
a
x
)
(
'
))
(
(
)
(
'
))
(
(
)
(
) ( ) (x
u
x
u
f
x
v
x
v
f
dt
t
f
D
x v x ux
2
4
3
1 )
(
x
dt t
x G
x
dt t x
G
1
3
1 )
(
.
Contoh Hitung G’(x) dari
a. b.
Jawab
a.
f
(
t
)
1
t
3G
'
(
x
)
1
x
3
b.
f
(
t
)
1
t
32
)
(
x
x
u
) ( )
( 1 )
(
' x x2 3 Dx x2
G
6
B. Untuk soal 1 s/d 4 hitungf x dx( )
0 5
f x
x
x
x
x
( )
,
,
2 0
2
6
2
5
f x
x x
x
x x
( )
, , ,
0 1
1 1 3
4 3 5
1.
2.
3. f(x) = |x -1|
3 1 3
4
2
)
(
x
x
x
f
Untuk soal 5 s/d 10 hitung integral tentu berikut
3 2 3 1 1
0
x x dx
8 7 2 2 3
3
t t dt
x
x x
dx
2
3 1
3 1
3
sin cos
/
2 0
2
3x 3x dx
2
0
sin
x
dx
dx x
x
8
0
8 6
2
5.
6.
7.
8.
9.
Untuk soal 11 s/d 15 tentukan dari
G
'
(
x
)
G x
t dt
x
( )
11 2 1
G x
t dt
x x
( )
1 12
2
G x t dt
x
( ) sin
2 21
2
x s ds
x G
) 2 tan( )
(
dt
t
x
G
x
3
0
1
31
)
(
11.
12.
13.
14.
16. Tentukan dimana f cekung ke atas, jika dt t
t x
f
x
0
2
1 1 )
(
Jika f kontinu pada tentukan f(4).
2
0
) 1 (cos
) ( dan
] , 0 [
x
x x
dt t
f
17.
dt t x x
f
x
2
4 2 2
3 1
) ( dan ]
, 2
[ f '(2)
Jika f kontinu pada , tentukan
.
18.
Hitung
x
x
t
dt
t
x
0 42
3
0
6
1
1
lim
