Penanaman Konsep Bilangan Real Melalui
Tugas Terstruktur
Baso Intang Sappaile) ABSTRAK
Penelitian ini merupakan penelitian tindakan kelas yang dilakukan pada jurusan matematika FMIPA UNM Makassar dengan tujuan penanaman konsep bilangan real melalui tugas terstruktur. Hasil penelitian ini ditemukan bahwa kesalahan yang dialami oleh mahasiswa terletak pada konsep bilangan rasional. Setelah beberapa kali diadakan pemberian tugas dan diskusi, dan kesempatan yang diberikan mahasiswa untuk bertanya, jumlah mahasiswa yang membuat kesalahan berangsur-angsur berkurang. Keaktifan mahasiswa bertanya semakin tinggi ini dapat ditunjukkan bahwa pada waktu dosen memberikan kesempatan bertanya, mahasiswa serentak mengacungkan tangan, tetapi kadang pertanyaan mahasiswa melenceng dari materi yang telah diajarkan. Secara rinci hasil-hasil yang dicapai selama dua siklus adalah (1) meningkatnya jumlah mahasiswa tidak mengalami kesalahan pada konsep bilangan rasional dengan persentase kira-kira 20%, (2) meningkatnya jumlah mahasiswa tidak mengalami kesalahan pada konsep logaritma dengan persentase kira-kira 15%. Selain itu, perubahan-perubahan yang terjadi adalah (1) pada proses mengajar belajar, jumlah kehadiran mahasiswa dalam perkuliahan meningkat, (2) jumlah mahasiswa yang aktif bertanya pada saat perkuliahan berlangsung meningkat, dan (3) mahasiswa makin berani mengerjakan soal di papan tulis.
Kata Kunci: Konsep dasar, Bilangan real, Tugas terstruktur.
PENDAHULUAN
Dalam UU No. 20 tahun 2003 (3) disebutkan bahwa pendidikan nasional berfungsi mengembangkan kemampuan dan membentuk watak serta peradaban bangsa yang bermartabat dalam rangka mencerdaskan kehidupan bangsa, bertujuan untuk berkembangnya potensi peserta didik agar menjadi manusia yang beriman dan bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, berakhlak mulia, sehat, berilmu, cakap, kreatif, mandiri, dan menjadi warga negara yang demokratis serta bertanggung jawab. Salah satu wadah untuk mengembangkan potensi peserta didik adalah lembaga pendidikan tinggi. Universitas Negeri Makassar (UNM) merupakan Lembaga Pendidikan Tinggi Negeri memiliki dua jalur penyelesaian studi, yaitu jalur program pendidikan dan jalur program non-kependidikan.
Jalur program pendidikan akan menghasilkan calon-calon pendidik, baik pendidik pada jenjang pendidikan dasar, menengah maupun pada pendidikan tinggi. Pendidik yang dimaksudkan dalam Undang-Undang Sistem Pendidikan Nasional no. 20 Tahun 2003 (1), adalah tenaga kependidikan yang berkualifikasi sebagai guru, dosen, konselor, pamong belajar, widyaiswara, tutor, instruktur, fasilitator, dan sebutan lain yang sesuai dengan kekhususannya, serta berpartisipasi dalam menyelenggarakan pendidikan.
Pendidikan guru MIPA pada program S1 bertujuan menghasilkan calon guru yang akan menguasai ilmu pengetahuan dan teknologi secara konprehensif, sehingga para lulusan dapat mengembangkan dan menyesuaikan diri dengan berbagai situasi dan perubahan yang terjadi di tempat tugasnya.
Pendidikan matematika adalah salah satu program studi pada jurusan matematika pada FMIPA UNM Makassar. Pada program studi tersebut terdapat beberapa mata kuliah matematika yang memerlukan konsep dasar antara lain konsep bilangan real. Konsep bilangan real merupakan materi dasar yang selalu digunakan oleh mahasiswa jurusan matematika pada mata kuliah-mata kuliah jurusan matematika FMIPA UNM Makassar, misalnya pada mata kuliah Kaklulus I, Kalkulus II, Statistika Matematika II, Persamaan Diferensial, Analisis Real I, dan Analisis Kompleks. Konsep bilangan real sangat penting dan harus dikuasai oleh mahasiswa jurusan matematika.
Pengalaman peneliti, mahasiswa merasa kesulitan mempelajari mata kuliah jurusan, khususnya mata kuliah Kalkulus Lanjut yang dimungkinkan oleh kekurang penguasaan konsep bilangan real. Seperti yang terdapat pada materi logaritma, bilangan rasional, fungsi banyak, nilai mutlak, dan perkalian skalar. Kadang mahasiswa menja-wab daerah definisi dari f(x,y) = ln(1 – x – y ) adalah Df = {(x,y) R 1 – x - y 0}.
Dengan kenyataan ini, maka untuk mendukung upaya penanaman konsep bilangan real peneliti melakukan penelitian tindakan yaitu memberikan tugas secara terstruktur dalam upaya meningkatkan penguasaan mahasiswa. Untuk itu, melalui tugas terstruktur ini mahasiswa diharapkan dapat merubah konsepsi yang sudah ada pada diri mahasiswa. Sehingga perlu rancangan kegiatan belajar mengajar yang dapat membangkitkan perubahan konseptual mahasiswa dengan melibatkan mahasiswa secara aktif dan efisien.
Penelitian ini secara umum bertujuan untuk menciptakan suatu kondisi yang menyebabkan keterlibatan dosen untuk membimbing mahasiswa, dan usaha mahasiswa untuk menumbuhkan minat belajar dan perubahan miskonsepsi mahasiswa sehingga dapat menyelesaikan tugas terstruktur yang implikasinya dapat menguasai konsep bilangan real. Secara khusus, tujuan yang ingin dicapai adalah (1) untuk mengetahui miskonsepsi apa yang ada pada mahasiswa kaitannya dengan bilangan real, selanjutnya diperbaiki berdasarkan miskonsepsi tersebut, dan (2) untuk membiasakan mahasiswa belajar secara individual dan mengerjakan tugas terstruktur secara kontinu, sehingga dapat meningkatkan hasil belajar mahasiswa, khususnya mata kuliah matematika.
Hasil penelitian Djaali (1993: 429) menyimpulkan bahwa prestasi belajar kelom-pok mahasiswa yang mengikuti perkuliahan konvensional termasuk rendah, baik mata kuliah Metode Penelitian Pendidikan Matematika, Evaluasi Hasil Belajar Matematika, maupun Kalkulus Lanjut, dengan nilai rata-rata berturut-turut 39,09; 57,95; dan 45,77 dan standar deviasi berturut-turut 18,44; 15,18 dan 19,50.
Masalah dalam penelitian ini adalah (1) bagaimana menanamkan konsep bilangan real agar mahasiswa dapat menguasai konsep yang benar dan dapat menerapkannya, dan (2) materi-materi mana yang merupakan miskonsepsi bagi mahasiswa?
PEMBAHASAN
Belajar merupakan suatu bentuk pertumbuhan atau perubahan dalam diri seseorang yang dinyatakan dalam cara-cara bertingkah laku yang baru berkat pengalaman dan latihan. Sudjana (1991: 5) mengatakan belajar adalah suatu perubahan yang relatif permanen dalam suatu kecenderungan tingkah laku sebagai hasil dari praktek atau latihan. Sejalan dengan itu, Gie (1988: 14) yang mengatakan bahwa belajar adalah segenap rangkaian kegiatan atau aktivitas yang dilakukan secara sadar oleh seseorang dan mengakibatkan perubahan pada dirinya berupa penambahan dalam pengetahuan atau kemahiran yang sifatnya sedikit permanen.
Mempelajari matematika tidak hanya berhubungan dengan bilangan-bilangan serta operasi-operasinya, melainkan matematika juga berkenaan dengan ide-ide, struktur-struktur, dan hubungannya yang diatur secara logik sehingga matematika itu berkaitan dengan konsep-konsep yang abstrak.
Matematika yang berkenaan dengan ide-ide abstrak yang diberi simbol-simbol itu tersusun secara hirarkis dan penalarannya deduktif, sehingga belajar matematika merupakan kegiatan mental yang tinggi. Karena matematika merupakan ideide abstrak yang diberi simbol-simbol, maka sebelum kita memahami simbol-simbol itu terlebih dahulu kita harus memahami ide-ide yang terkandung di dalamnya. Sinbol-simbol tersebut pada umumnya kosong dari arti. Artinya simbol-simbol tersebut dapat diberikan arti tertentu sesuai dengan semestanya. Dengan simbol-simbol yang kosong dari arti memberi peluang lebih besar kepada matematika untuk digunakan di berbagai bidang ilmu.
Berdasarkan uraian-uraian yang telah dikemukakan, maka belajar matematika pada hakekatnya adalah suatu aktivitas mental untuk memahami arti dari struktur-struktur, hubungan-hubungan, dan simbol-simbol, kemudian menerapkan konsep-konsep yang dihasilkan ke situasi yang nyata sehingga menyebabkan suatu perubahan tingkah laku.
Belajar konsep merupakan hasil utama pendidikan. Konsep-konsep merupakan batu-batu pembangun berpikir. Konsep-konsep merupakan dasar bagi proses-proses mental yang lebih tinggi untuk merumuskan prinsip-prinsip dan generalisasi-generalisasi (Dahar, 1989: 79).
Djaali (1991: 16) menyatakan bahwa untuk meningkatkan kefektifan pengajaran matematika perlu ditempuh langkah-langkah penanaman konsep sampai kepada penerap-annya, yang terdiri dari tiga langkah, yaitu langkah pemahaman, langkah peguatan, dan langkah penggunaan.
Untuk menanamkan konsep, rumus, atau prinsip x kepada mahasiswa, dosen matematika perlu mengetahui tingkat perkembangan intelektual atas struktur kognitif siswa yang akan mempelajari konsep, rumus, atau prinsip x itu agar strategi pengajaran yang digunakan disesuaikan dengan tingkat perkembangan struktur kognitif siswa tersebut. Misalnya konsep abstrak dari matematika dengan menggunakan proposisi-proposisi logik formal yang akan diajarkan kepada anak didik yang masih berada pada stadium operasioanl konkrit harus disajikan dalam bentuk yang lebih konkrit, baik dengan menggunakan gambar, benda-benda model matematika maupun dengan menggu-nakan contoh-contoh konkrit. Materi prasyarat bagi x harus diketahui terlebih dahulu
oleh siswa, dan proses belajar matematika yang ditempuh harus bertitik tolak dari peng-alaman atau pengetahuan yang telah dimiliki siswa. Hasil pemahaman terhadap x dapat dilihat dari kemampuan siswa mengemukakan, baik secara verbal maupun secara tertulis atau dengan cara memberikan contoh-contoh konkrit tentang penerapan konsep, rumus, atau prinsip x tersebut.
Konsep, rumus, atau prinsip x yang telah dipahami perlu penguatan agar terjadi pengendapan. Proses pengendapan terjadi melalui penguatan. Bentuk penguatan untuk tipe belajar stimulus-respon atau asosiasi verbal adalah melalui latihan atau ulangan-ulangan yang teratur. Latihan atau ulangan-ulangan yang teratur itu dimaksudkan untuk memantapkan hasil belajar yang telah diperoleh, dan dibedakan atas dua bentuk, yaitu (1) agar siswa mengetahui konsep, rumus, atau prinsip x secara baik dan (2) agar siswa terampil menggunakan konsep, rumus, atau prinsip x itu ke dalam situasi baru.
Konsep, rumus, atau prinsip x yang telah dikuasai harus digunakan dalam menghadapi situasi baru. Untuk itu maka setelah siswa memahami dan menguasai konsep. Rumus, atau prinsip x tersebut, siswa harus diperhadapkan kepada berbagai hal baru yang relevan dengan penggunaan x tersebut. Masalah baru yang dihadapkan kepada siswa sesuai dengan tingkat pengembangan struktur kognitif siswa dan bermakna baginya, serta harus dapat disesuaikan dengan penggunaan konsep, rumus, atau prinsip x tersebut.
Dalam hal Konstruktivis, menurut Piaget, (dalam Dahar, 1989: 159) pengetahuan sosial seperti nama hari dalam seminggu atau tanda atom dalam unsur-unsur dalam ilmu kimia dapat dipelajari secara langsung, yaitu dari pikiran guru pindah ke pikiran siswa. Namun pengetahuan fisik dan pengetahuan logik-matematika tidak dapat secara utuh dipindahkan dari pikiran guru ke pikiran siswa. Dengan lain perkataan pengetahuan fisik dan begitu pula pengetahuan logiko-matematik tidak dapat diteruskan dalam bentuk sudah jadi. Setiap anak harus membangun sendiri pengetahuan-pengetahuan itu; pengetahuan-pengetahuan itu harus dikontruksi sendiri oleh anak melalui operasi-operasi, dan salah satu cara untuk membangun operasi ialah ekuilibrasi.
Model belajar perubahan konseptual dikemukakan oleh Strik dan Posner (dalam Rahmah, 1997: 13) yang artinya belajar merupakan pemahaman suatu ide baru, menilai kebenaran ide ini, dan menilai konsistennya dengan ide yang lain. Anggapan dasarnya adalah konsepsi yang dibawa oleh pembelajar berpengaruh pada kemampuan untuk belajar dan berpengaruh pula pada ide yang akan dipelajari.
Berdasarkan pengamatan, miskonsepsi mahasiswa meliputi konsep bilangan rasional, pertidaksamaan, logaritma, fungsi banyak, nilai mutlak, dan perkalian skalar. Contoh 1: Bilangan Rasional. Hitung 2 2
) 1 , 1 ( ) y , x ( x y y x lim . Mahasiswa menuliskan 1 1 1 1 1 y x y x lim 2 2 2 2 ) 1 , 1 ( ) y , x (
Ini terjadi pada mahasiswa dimungkinkan karena definisi bilangan rasional tidak dipahami atau mahasiswa membayangkan bahwa pembilang dan penyebut sama tanpa memperhatikan penyebut tidak boleh sama dengan nol, sehingga tetap hasilnya sama dengan satu. Hal ini karena mahasiswa tidak mengetahui atau miskonsepsi tentang bilangan real itu sendiri.
Contoh 2: Logaritma
Misal diketahui f(x,y) = ln(1 - x - y), tentukan daerah definisi fungsi. Mahasiswa menjawab:
Df = {(x,y) R 1 - x - y 0}.Ini terjadi pada mahasiswa dimungkinkan karena tidak mengerti hakekat dari logaritma itu sendiri. Sebenarnya mahasiswa harus mengetahui asal mula logaritma, sehingga untuk mengetahui syarat yang harus dipenuhi oleh logaritma mahasiswa sekurang-kurangnya mengembalikan kepada hasil dari pangkat suatu bilangan positif.
Contoh 3: Fungsi banyak
Misal selidiki kekontinuan fungsi f di daerah definisinya, jika
0 , 0 y , x , 0 0 , 0 y , x , y x y x ) y , x ( f 2 2 2Mahasiswa mengerjakan lim 0 0
) 0 , 0 ( ) y , x ( dan f(0,0) = 0. karena lim f(x,y) 0 ) 0 , 0 ( ) y , x
( dan f(0,0) = 0, maka f kontinu di (0,0). Ini terjadi pada
mahasiswa dimungkinkan karena yang ditanyakan dalam soal adalah daerah definisi fungsi, maka mahasiswa tidak lagi mencek untuk fungsi pertama karena (x,y) (0,0).
Dalam penelitian tindakan ini dilakukan dua siklus, masing-masing siklus dengan urutan perencanaan tindakan, pelaksanaan tindakan, evaluasi, dan refleksi. Dalam perencanaan tindakan mengikuti langkah-langkah berikut.
Langkah 1
a. Tim peneliti membentuk kelompok kecil, (maksimal 5 orang) tiap kelompok. b. Pertemuan ke-2 dan ke-3, dosen memberikan materi kuliah berdasarkan SAP-1. c. Pertemuan ke-4, 100 menit pertama pemberian tugas-1. Selanjutnya 50 menit kedua
diskusi berdasarkan hasil tugas-1 dari masing-masing kelompok. Langkah 2
a. Pertemuan ke-6, 150 menit lanjutan pemberian materi kuliah SAP-2.
b. Pertemuan ke-7, 100 menit pertama pemberian tugas-2. Selanjutnya 50 menit kedua diskusi berdasarkan hasil tugas-2 dari masing-masing kelompok.
c. Pertemuan ke-8, 50 menit pertama umpan balik hasil tes unit-2. 100 menit terakhir pemberian materi SAP-3.
Langkah 3
a. Pertemuan ke-9, 150 menit lanjutan pemberian materi SAP-3.
b. Pertemuan ke-10, 100 menit pertama pemberian tugas-3. Selanjutnya 50 menit kedua diskusi berdasarkan hasil tugas-3 dari masing-masing kelompok.
c. Pertemuan ke-11, 50 menit pertama umpan balik hasil tes unit-3. 100 menit terakhir pemberian materi SAP-4.
Langkah 4
a. Pertemuan ke-12, 150 menit lanjutan pemberian materi SAP-4.
b. Pertemuan 13, tanya jawab tentang materi yang telah disajikan pada pertemuan ke-12.
c. Pertemuan ke-14, evaluasi kegiatan proses mengajar belajar.
Dalam pelaksanaan tindakan, proses pelaksanaan penelitian pada tahap siklus pertama adalah pembentukan kelompok dan selanjutnya mengajarkan materi kuliah. Pada saat mengajarkan materi-materi tersebut diselingi dengan tanya jawab. Konsep awal yang digunakan dalam materi tersebut adalah konsep bilangan real, yang memuat bilangan di bawah akar, bilangan logaritma natural, bilangan rasional.
Berdasarkan hasil evaluasi, pertanyaan-pertanyaan mahasiswa pada saat dosen mengajarkan materi tertentu, sebelum dosen menjawab terlebih dosen melemparkan pertanyaan tersebut kepada mahasiswa lainnya untuk dijawab dan ditanggapi. Berdasarkan jawaban dari beberapa mahasiswa akan ditarik kesimpulan menjadi jawaban yang tepat.
Sebagai contoh: menentukan daerah definisi fungsi f(x) = ) x ln( x 16 2 dan gambar Df.
Berdasarkan soal tersebut, mahasiswa belum dapat menentukan syarat yang harus dipenuhi agar 2
x
16 R, dan ln (x) R. Sehingga mahasiswa tidak dapat menggambarkan Df di R dengan benar. Selanjutnya, memberikan tugas-1 (sebagai contoh) yang sama kepada setiap kelompok, dengan soal sebagai berikut.
1. Diketahui fungsi dua peubah f(x) = 4x2 & g(x) = ln (x). Tentukan
a. D = Df Dg dan gambarkan sebagai himpunan titik di bidang. b. Persamaan fungsi f + g, f - g, fog, f/g, dan g/f.
c. Daerah definisi fungsi pada bagian b. 2. Selidiki apakah 2 4 2 2 ) 0 , 0 ( ) y , x ( x y y x lim ada?
Hasil pekerjaan mahasiswa dari tugas-1 dikumpulkan sebelum pertemuan berikutnya. Berdasarkan kesalahan-kesalahan yang dialami oleh mahasiswa dari hasil tugas-1 diserahkan kepada kelompok tertentu, kemudian disuruh menuliskan hasil pekerjaannya dan kelompok lain menanggapi. Dari beberapa tanggapan yang berbeda, dosen meluruskannya.
Dalam hal hasil pekerjaan tugas terstruktur, dari sembilan, pada umumnya kesalahan yang dialami oleh mahasiswa terletak pada konsep bilangan real. Untuk lebih
jelasnya dapat dicermati pada kesalahannya yang dialami oleh kedua kelompok berikut ini.
Kelompok II
Menentukan daerah definisi fungsi f(x,y) = 2
x
9 dan gambar Df.
Berdasarkan soal tersebut, mahasiswa belum dapat menentukan syarat yang harus dipenuhi agar 2
x
9 R, sehingga mahasiswa tidak dapat menggambarkan Df di R2 dengan benar.
Mahasiswa menuliskan 9 – x2 0. 9 – x2 0 (3 – x)(3 + x) 0
x 3 atau x -3 ... @
Dosen mempersilahkan kelompok lain untuk menanggapinya. Hasil tanggapan mahasiswa, sebagian besar mahasiswa yang menyatakan @ benar dan sebagian mahasis-wa tidak dapat menyatakan pendapat. Karena mahasismahasis-wa tetap mempertahankan @ benar, maka dosen memberikan menjelaskan bahwa untuk x = 3 atau x = -3 disubtitusi pada f(x,y) = 2
x
9 tetap memberikan yang real. Sehingga untuk daerah definisi fungsi bukan x 3 atau x -3.
Dalam hal refleksi hasil tugas, yaitu hasil tugas kelompok, diidentifikasi kesalahan-kesalahan yang mayoritas mahasiswa mengalami kesalahan konsep bilangan real. Hasil identifikasi tersebut dibahas bersama-sama (antar kelompok dan mahasiswa dengan dosen).
Pada diskusi tersebut muncul beberapa pendapat yang masing-masing tetap mem-pertahankan pendapatnya dan kadang ada mahasiswa yang susah untuk menentukan pendapat. Namun setelah dosen memberikan argumen-argumen yang berkaitan dengan pendapat yang berbeda tersebut, kemudian mahasiswa dapat mengerti dan menerima dari salah satu pendapat tersebut.
KESIMPULAN
Kesalahan yang dialami oleh mahasiswa terletak pada konsep bilangan rasional. Setelah beberapa kali diadakan pemberian tugas dan diskusi, dan kesempatan yang diberikan mahasiswa untuk bertanya, jumlah mahasiswa yang membuat kesalahan berangsur-angsur berkurang.
Keaktifan mahasiswa bertanya semakin tinggi ini dapat ditunjukkan bahwa pada waktu dosen memberikan kesempatan bertanya, mahasiswa serentak mengacungkan tangan, tetapi kadang pertanyaan mahasiswa melenceng dari materi yang telah diajarkan.
Secara rinci hasil-hasil yang dicapai selama dua siklus adalah (1) meningkatnya jumlah mahasiswa tidak mengalami kesalahan pada konsep bilangan rasional dengan persentase kira-kira 20%, (2) meningkatnya jumlah mahasiswa tidak mengalami kesalahan pada konsep logaritma dengan persentase kira-kira 15%. Selain itu, perubahan-perubahan yang terjadi adalah (1) pada proses mengajar belajar, jumlah kehadiran mahasiswa dalam perkuliahan meningkat, (2) jumlah mahasiswa yang aktif bertanya pada saat perkuliahan berlangsung meningkat, dan (3) mahasiswa makin berani mengerjakan soal di papan tulis.
DAFTAR PUSTAKA
Dahar, Ratna Wilis, 1989. Teori-teori Belajar, Erlangga, Jakarta.
Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, Undang-Undang Republik Indonesia Nomor 20 Tahun 2003 Tentang Sistem Pendidikan Nasional, Mitra Karya, Jakarta.
Djaali, 1991. Pengaruh Kebiasaan Belajar, Motivasi Belajar, dan Kemampuan Dasar terhadap Prestasi Belajar Matematika Pada Sekolah Menengah Pertama (SMP) di Sulawesi Selatan di Luar Kota Madya Ujung Pandang, (Penelitian Tahap Kedua), Makassar.
---, 1993. Efektivitas Pengajaran pada Jurusan Matematika FPMIPA IKIP Ujung Pandang, (Penelitian), Makassar.
Gie, The Liang, 1988. Cara Belajar Yang Efisien, Pusat Kemajuan Studi, Yokyakarta. Johar, Rahmah, 1997. Penerapan Model Belajar Perubahan Konseptual Dengan CLS
Pada Topik Perbandingan di Kelas II SMP Khadijah Surabaya, Tesis, Program Pendidikan Matematika Pascasarjana IKIP Surabaya.
Sudjana, Nana, 1990. Teori-Teori Belajar Untuk Pengajaran, Fakultas Ekonomi UI, Jakarta.
