Hanni Garminia dan Pudji Astuti

(1)

KARAKTERISASI MODUL

σ

_[

M

_]

-KOHEREDITER

Hanni Garminia dan Pudji Astuti

Abstract. _LetR₋M ODbe a category consisting of all left modules over ringR. An R-modulX is said to beM-generated if there exists anR-epimorphism from a direct sum of copies ofMontoX. For an objectM inR₋M OD,σ[M] is the subcategory of R₋M ODcontaining all modules which are isomorphic to submodules ofM-generated modules. By restricting modules inR₋M ODto be in σ[M], Wisbauer introduced the concept ofσ[M]-projective,σ[M]-injective,σ[M]-hereditary danσ[M]-cohereditary modules. In this paper, we show a characterization of aσ[M]-cohereditary module related with an injective module. This characterization is in line to a characterization of aσ[M ]-hereditary module proven by Wisbauer.

1. PENDAHULUAN

Tulisan ini membahas sifat modulσ[M]-koherediter. Penelaahan modul di

σ[M] yang telah dilakukan oleh banyak peneliti memberikan peluang bagi kita untuk memahami lebih lanjut teori gelanggang dan modul secara kategori. Pem-bahasan modul secara kategori juga telah memberikan jalan kepada kita untuk melihat keterkaitan antara koleksi modul dengan koleksi lainnya.

Tujuan tulisan ini adalah menunjukkan keterkaitan antara modulσ[M ]-he-rediter dengan σ[M]-koherediter dalam arti mereka adalah saling dual. Khusus-nya, kita tunjukkan bahwa modul σ[M]-koherediter memiliki satu sifat yang se-jalan dengan satu sifat modulσ[M]-herediter yang ditunjukkan oleh Wisbauer [4]. Beberapa implikasi dari sifat yang diperoleh juga dibahas. Untuk itu pembahasan dimulai dengan beberapa notasi dan pengertian yang akan diperlukan. Sesi berikut-nya adalah modulσ[M]-Koherediter yang membahas hasil utama dari tulisan ini dan terakhir adalah penutup.

Received 18 July 2005, Revised 9 February 2006, Accepted 21 February 2006. English Title: The Characterization ofσ[M]-cohereditary modules.

2000 Mathematics Subject Classification: 16D50, 16D40.

Key words and Phrases: injective, projective, hereditary, cohereditary, modules

(2)

2. BEBERAPA NOTASI DAN PENGERTIAN

Pertama kita perkenalkan sejumlah notasi yang akan digunakan dalam tulisan ini. Notasi R menyatakan gelanggang dengan unsur kesatuan, R−M OD adalah kategori yang terdiri dari semua modul kiri atas R, dan M suatu objek di R -MOD. NotasiM(Λ)menyatakan jumlah langsung dariM dengan Λ suatu himpunan indeks.

Kategori σ[M] dibangun menggunakan modul M sebagai berikut. Suatu modul N ∈ R −M OD dikatakan dibangun oleh M jika N adalah peta suatu epimorfisma dari jumlah langsung dari M. Jelasnya, N ∈ R−M OD dikatakan dibangun olehM jika terdapat suatu epimorfismaM(Λ) _−→_N _{untuk suatu} him-punan indeks Λ. Adapun suatu objek diR−M ODdikatakanturut terbangunoleh

M jika ia adalah submodul dari suatu modul yang dibangun olehM. Selanjutnya,

σ[M] adalah koleksi semua objek diR−M ODyang turut terbangun olehM. Da-pat ditunjukkan bahwaσ[M] membentuk subkategori dariR−M OD. Lebih lanjut dapat ditunjukkan pula bahwa submodul, jumlah, dan modul faktor dari objek di

σ[M] juga merupakan objek diσ[M].

Konsep berikutnya yang akan kita diskusikan adalah pengertian modul in-jektif, proin-jektif, herediter dan koherediter [1] dan [3].

Definisi 1. _Misalkan _P _{suatu objek di}_R−M OD.

i. Modul P dikatakan N-projektif untuk suatu modul N ∈ R−M OD jika setiap epimorfisma g : N −→ K dan homomorfisma f : P → K dengan

K∈R−M OD terdapat homomorfisma ˜f :P−→N sehinggaf =g◦f˜.

P

ւ ↓

N → K → 0

ii. ModulP dikatakan projektif jikaP adalah N-projektif untuk semua modul

N di R−M OD.

iii. ModulP dikatakanherediterjika setiap submodulnya merupakan modul pro-jektif.

(3)

Definisi 2. _Misalkan _Q_{suatu objek di}_R−M OD.

i. ModulQdikatakanN-injektif untuk suatu modulN ∈R−M ODjika setiap monomorfismag : K −→ N homomorfisma f : K → Q dengan K ∈ R−

M ODterdapat homomorfisma ¯f :N −→Qsehinggaf = ¯f◦g.

0 → K → N

↓ ւ

Q

ii. ModulQ dikatakan injektif jika Qadalah N-injektif untuk semua modul N

diR−M OD.

iii. Modul Qdisebut koherediter jika setiap modul faktornya merupakan modul injektif.

Pengertian di atas menyatakan bahwa suatu modul dikatakanN-injektif jika setiap homomorfisma dari suatu submodul dari modulN ke modul tersebut dapat diperluas menjadi homomorfisma dari modul N ke modul tersebut. Dapat kita li-hat pula bahwa pengertian projektif dan injektif saling dual, yang satu menyangkut modul faktor yang merupakan peta dari suatu homomorfisma sedangkan yang lain berkaitan dengan submodul yang merupakan inti dari suatu homomorfisma. Karena itu, sangatlah relevan jika kita mempertanyakan apakah modul koherediter memiliki sifat yang merupakan dual dari sifat modul herediter sebagaimana yang kita bahas dalam tulisan ini.

Sifat-sifat modulN-injektif danN-projektif dapat dilihat di literatur [4] dan [1]. Salah satu sifat yang akan kita gunakan antara lain N-projektif berakibat

K-projektif untuk sebarangKsubmodul atau modul faktor dariN.

3. MODUL_σ_[_M_]-KOHEREDITER

Sebelum kita membahas inti dari tulisan ini, kita terlebih dahulu mengulas pengembangan pengertian projektif, injektif, herediter dan koherediter ke modul di σ[M] [4].

Definisi 3. _Misalkan _P _{suatu objek di R-MOD.}

i. Modul P dikatakan σ[M]-projektif jika P adalah N-projektif untuk semua modulN di σ[M].

(4)

Definisi 4. _Misalkan _Q_{suatu objek di R-MOD.}

i. ModulQdikatakanσ[M]-injektif jikaEadalahN-injektif untuk semuaN di

σ[M].

ii. Modul disebutσ[M]-koherediter jikaQ∈σ[M] dan setiap modul faktornya bersifatσ[M]-injektif.

Pengangkatan sejumlah konsep modul di kategoriR−M ODke kategoriσ[M] memberikan peluang bagi kita untuk memahami lebih lanjut keterkaitan antar modul diσ[M]. Karakterisasi modulσ[M]-koherediter yang menambahkan syarat pada M sebagai modul Noether lokal telah dikemukakan oleh Brzezinski dan Wis-bauer [2]. Dalam tulisan ini akan ditunjukkan karakterisasi modulσ[M]-koherediter dikaitkan dengan modul di σ[M] yang relatif injektif terhadapnya. Karakterisasi ini sejalan dengan karakterisasi modulσ[M]-herediter sebagaimana yang telah di-tunjukkan di Wisbauer [4] berikut ini.

Teorema 1. _Misalkan _P _di _σ_[_M_] _adalah _σ_[_M_]_{-projektif. Modul P merupakan} σ[M]−herediter jika dan hanya jika setiap modul faktor dari modul yangP-injektif di σ[M] adalah P-injektif.

Teorema 1 di atas kita kembangkan untuk melihat karakterisasi modul yang bersifatσ[M]-koherediter.

Teorema 2. _{Misalkan M modul projektif dan}_Q_di _σ_[_M_] _adalah_σ_[_M_]−injektif.

Modul Q merupakanσ[M]-koherediter jika dan hanya jika setiap modul bagian dari modul yang Q-projektif di σ[M] adalahQ-projektif.

Seperti pada sifat-sifat modul injektif dan modul projektif yang saling dual dan telah diketahui, pengangkatan kali inipun tidak dapat sepenuhnya dilakukan. SyaratM modul projektif diperlukan dalam teorema di atas. Untuk membuktikan Teorema 2 diperlukan karakteristik modul injektif diσ[M], yang telah dikemukakan Wisbauer [4], sebagai berikut.

Lemma 1. _{Modul U M-injektif jika dan hanya jika modul U} _σ_[_M_]−injektif.

Bukti Teorema 2

(⇒) Misalkan P adalahQ-projektif diσ[M].Akan ditunjukan bahwa setiap submodul dari P adalah Q-projektif . Ambil L sebarang submodul P, akan di-tunjukkan bahwaL adalahQ-projektif. Misalkan ModulL,Q danN di σ[M] dan diagram berikut diσ[M].

0 → L → P

↓

(5)

KarenaQ adalah σ[M]-injektif danN adalah modul faktor dariQmaka N adalahσ[M]-injektif, sehingga diperoleh diagram

0 → L → P

↓ ւ

Q → N → 0

.

SifatQ-projektif dari modulP memberikan diagram

P

yang berarti bahwa modulLadalah Q-projektif. Jadi semua submodul dari modul yangQ-projektif di σ[M] adalahQ-projektif.

(⇐) Untuk arah sebaliknya, akan ditunjukkanQadalahσ[M]-koherediter de-ngan menunjukkan bahwa setiap modul faktor dariQ adalahσ[M]-injektif. Ambil sebarang V modul faktor dariQ. Menurut Lemma 1 cukup kita tunjukkan bahwa modulV adalahM-injektif diR-MOD. Pandang diagram berikut,

0 → S → M

↓

Q → V → 0

.

DiketahuiM projektif sehingga memberi akibat padaM menjadiQ-projektif di R-MOD. Karena modul Q di σ[M], diperoleh M adalah Q-projektif di σ[M].

Menurut hipotesis, S yang dipandang sebagai submodul dariM juga merupakan

Q-projektif diσ[M].Sehingga kita miliki diagram berikut,

0 → S → M

ւ ↓

Q → V → 0

.

(6)

0 → S → M

↓ ւ

Q

↓ ւ

V

.

Diagram diatas memberikan arti bahwaV merupakan modul yangM-injektif, yang artinya modul V adalah σ[M]-injektif. Kita dapat menyimpulkan bahwaQ adalahσ[M]-koherediter.

Berikut ini dibahas beberapa implikasi yang dapat kita tarik dari Teorema 2. Pertama jika kita ambilM adalah gelanggangRsendiri, diperoleh karakteristik gelanggang koherediter dalam akibat berikut.

Akibat 1. _{Misalkan R adalah injektif. Gelanggang R adalah koherediter jika dan}

hanya jika setiap modul bagian dari modul yang R-projektif adalah R-projektif.

Kedua, dengan memanfaatkan lemma berikut kita dapat mengkaitkan antara

σ[M]-herediter denganσ[Q]-koherediter.

Lemma 2. _{Misalkan modul P di} _σ_[_M_] _{adalah dibangun secara hingga. Modul P}

adalah M-projektif jika dan hanya jika modul P adalah σ[M]−projektif.

Perhatikan Lemma 1 dan Lemma 2 merupakan sifat saling dual antara modul projektif dan modul injektif. Seperti yang kita sebutkan sebelumnya, pengangkatan sifat modul injektif ke sifat modul projektif tidak dapat dilakukan sepenuhnya. Dalam Lemma 2 kita harus menambahkan sifat dibangun secara hingga pada modul

M sedangkan dalam Lemma 1 pembatasan seperti ini tidak perlu dilakukan.

Akibat 2. _Misalkan_M _{modul projektif dan}_Q_di_σ_[_M_]_adalah_σ_[_M_]_{-injektif. Modul}

Q merupakanσ[M]-koherediter jika setiap modul diσ[Q]yang Q-projektif diσ[M] dan seluruh submodulnya dibangun secara hingga, merupakan modulσ[Q]−herediter.

Dua hasil lainnya disebut dalam akibat berikut.

Akibat 3. _Misalkan _M _{modul projektif dan setiap submodulnya dibangun secara}

hingga. Misalkan pula modulQdiσ[M]adalahσ[M]-injektif. ModulQmerupakan

(7)

Akibat 4. _Misalkan _R _{injektif dan setiap ideal dari} _R _{dibangun secara hingga.}

GelanggangR merupakan gelanggang koherediter jika dan hanya jika setiap modul yangR-projektif dan seluruh submodulnya dibangun secara hingga, merupakan modul herediter.

4. PENUTUP

Telah ditunjukkan karakterisasi modul σ[M]-koherediter dikaitkan dengan sifat modul yang relatif injektif terhadapnya. Karakterisasi ini sejalan dengan karakterisasi modul σ[M]-herediter sebagaimana yang telah ditunjukkan di Wis-bauer [4]. Beberapa implikasi dari sifat yang diperoleh juga dibahas. Namun demikian pengangkatan sifatσ[M]-herediter keσ[M]-koherediter tidak dapat sepe-nuhnya dilakukan. Pengkajian lebih lanjut untuk lebih memperlemah premis dalam teorema yang diperoleh merupakan pertanyaan yang menarik untuk dibahas.

REFERENSI

1. Anderson dan Fuller,Rings and Category of Modules, 2nd edition, Springer-Verlag, 1992.

2. T. Brzezinski and R. Wisbauer, “Corings and comodule”, London Mathematical Society Lecture Note Series309_{. Cambridge University Press, Cambridge, 2003.}

3. Passman, S. Donald,A Course in ring Theory, Wadsworth & Brooks, Pacific Grove, California, 1990.

4. R. Wisbauer, Foundations of module and ring theory. A handbook for study and research, Gordon and Breach Science Publishers, Philadelphia, PA, 1991.

H. Garminia: Department of Mathematics, Institut Teknologi Bandung, Bandung 40132, Indonesia.

E-mail: [email protected].

P. Astuti_{: Department of Mathematics, Institut Teknologi Bandung, Bandung 40132,}

Indonesia.

(8)