Modul 04
Pertidaksamaan
4.1. Pengertian Pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan (<, <, > atau >) dan mengandung variabel. Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti menentukan semua nilai variabel yang menyebabkan pertidaksamaan tersebut bernilai benar. Nilai-nilai ini disebut penyelesaian (akar) dari pertidaksamaan.
Contoh-contoh pertidaksamaan dengan satu variabel.
Pengertian Interval
Interval atau selang dapat dinyatakan dalam garis bilangan dan himpunan. Untuk menggambarkan batas-batas interval pada garis bilangan, biasanya digunakan tanda atau .
(Lingkaran penuh) : Berarti bilangan pada tanda ini termasuk kedalam interval
(lingkaran kosong) : Berarti bilangan pada tanda itu tidak termasuk kedalam interval.
Berikut ini adalah bentuk-bentuk dari suatu interval yang dinnyatakan dalam garis bilangan dan dalam bentuk himpunan.
Garis Bilangan Himpunan
1. Interval tertutup
2. Interval setengah tertutup
3. Interval terbuka
4. Interval setengah garis
4.2. Sfat-sifat Pertidaksamaan
Beberapa sifat pertidaksamaan yang sangat penting untuk menentukan penyelesaian suat pertidaksamaan. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut.
1) Sifat tak negatif
2) Sifat transitif
Untuk a, b, c bilangan real : Jika a < b dan b < c maka a < c Jika a > b dan b > c maka a > c
3) Sifat penjumlahan
Untuk a, b, c bilangan real : Jika a < b maka a + c < b + c Jika a > b maka a + c > b + c
Sifat penjumlahan menyatakan bahwa jika keda ruas pertidaksamaan dijumlahkan dengan bilangan yang sama, tanda pertidaksamaan tetap.
4) Sifat perkalian
Untuk a, b, c bilangan real : Jika a < b an c > 0 maka ac < bc
Jika a > b an c > 0 maka ac > bc Jika a < b an c < 0 maka ac > bc Jika a > b an c < 0 maka ac < bc
Sifat perkalian menyatakan bahwa jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan (real) positif yang sama, tanda ketidaksamaan tetap (tidak balik). Akan tetapi, jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan (real) negatif yang sama, tanda ketidaksamaan dibalik.
5) Sifat kebalikan(invers perkalian)
Untuk
Jika a > 0 maka > 0 Jika a < 0 maka < 0
Sifat kebalikan menyatakan bahwa tanda dari suatu bilangan dan kebalikannya adalah sama. Jika suatu bilangan adalah negatif, kebalikan bilangan ini juga negatif.
4.3. Menyelesaikan pertidaksamaan linear
Perhatikan pertidaksamaan berikut : 3x + 1 < 5
Pada pertidaksamaan tersebut, pangkat variabel x adalah 1. Pertidaksamaan yang memuat pangkat tertinggi dari variabel x adalah dinamakan pertidaksamaan linear.
Berarti 3x + 1 < 5 merupakan pertidaksamaan linear.
Contoh 1 Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut untuk peubah pada bilangan real, dan gambarkan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan!
a. 5x – 2 < 8 b. 2x + 7 > x + 4
c. 2x – 5 < 6x + 3
Jawab
a. 5x – 2 < 8 5x < 10 x < 2 Jadi HP = { x|x < 2}
Bilangan 3 tidak termasuk
b. 2x + 7 > x + 4 2x > x – 3 X > - 3 Jadi HP = {x|x > - 3} c. 2x – 5 < 6x + 3 2x < 6x + 8 - 4x < 8 X > -2 Jadi HP = {x|x > -2}
Contoh 2 Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear dengan Tanda Ketidaksamaan Ganda
a. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan -3 < 6x -1 < 3 Jawab :
-3 < 6x -1 < 3 ...(*)
Secara umum, pertidaksamaan dengan tanda ganda duselesaikan dengan memisahkannya menjadi dua pertidaksamaan, seperti berikut : -3 < 6x – 1 dan 6x – 1 < 3
-2 < 6x dan 6x < 4
< x dan x <
X > - …. dan x < …
Penyelesaian pertidaksamaan (*) adalah yang memenuhi dan . Penyelesainnya dapat diperoleh dengan bantuan garis bilangan, seperti pada gambar berikut.
Penyelesaian 1
Penyelesaian 2
Penyelesaian 1 dan 2
Alternatif: Oleh karena variabel x hanya terdapat diruas tengah pertidasamaan, Anda dapat menyelesaikannyasecara lebih cepat tanpa perlu memisahkannya menjadi dua bagian, seperti berikut :
a. - 3 < 6x -1 < 3 - 2 < 6x < 4
b. 2x – 1 < x + 1 < 3 – x … (**)
Oleh karena variable tidak hanya terdapat diruas tengah pertidaksamaan, melainkan terdpat di ketiga ruas, Anda hanya dapat
menyelesaikannya dengan memisahkan pertidaksamaan tersebu menjad dua bagian prtidaksamaan, seperti berikut.
2x – 1 < + 1 dan x + 1 < 3 - x 2x – x < 1 + 1 dan x + x < 3 - 1
X < 2 dan 2x < 2
x < 2 …. dan x < 1 …
Penyelesaian pertidaksamaan (**) adalah memenuhi dan . Penyelesaian yang memenuhi dan dapatAnda peroleh dengan menggunakan bantuan garis bilangan seperti berikut.
x < 2 Penyelesaian 1
x < 1 Penyelesaian 2
x < 1 Irisan penyelesaian 1 dan 2
Jadi, HP = {x|x < 1, x R}
4.4. Pengertian pertidaksamaan kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat (atau) pertidaksamaan pangkat dua) adalah suatupertidaksamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya dua. Berikut ini adalah contoh-contoh pertidaksamaan kuadrat.
Seperti halnya dengan persamaan kuadrat, pertidasamaan kuadrat dapat ditulis dalam bentuk baku (bentuk umum) berikut ;
4.5. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat Dengan Garis Bilangan Selesaikan pertidaksamaan berikut:
x2 + x – 6 < 0
Anda mulai dengan mengganti simbol ketidaksamaan (< 0) dengan tanda sama dengan (=) sehingga diperoleh persamaan kuadrat x2 + x – 6 = 0, kemudian menentukan akar-akar PK tersebut dan melukiskannya pada garis bilangan.
(x + 3) (x – 2) = 0 Pemfaktoran x + 3 = 0 x = - 3 atau : x – 2 = 0 x = 2
Akar-akar penyelesaian persamaan ini memisahkan garis bilangan menjadi tiga interval : x < -3; -3 < x < 2; dan x > 2. Oleh karena tanda ketidaksamaanya tidak mengandung tanda “=” maka -3 dan 2 bukanlah penyelesaian dari x2 + x -6 < 0. Dengan demikian, penyelesaian dari ketidaksamaan tersebut terdapat dalam salah satu atau lebih dari ketiga interval diatas.
Semua nilai dalam suatu inteval ini disubstitusikannya kedalam ruas kiri pertidaksamaan diperoleh : x = 1 x2 + x – 6 = (1)2 + (1) – 6 = -4 (negatif) x = -1 x2 + x – 6 = (-1)2 + (-1) – 6 = -6 (negatif) x2 + x – 6 14 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 14 | | | | | | | | | | x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 tanda x2 + x -6 + + 0 - - - - 0 + +
Dari gambar diperoleh;
Untuk interval x < -3 maka x2 + x – 6 > 0 ( + ) Untuk interval -3 < x < 2 maka x2 + x – 6 < 0 ( – )
Ntuk interval x > 2 maka x2 + x – 6 > 0 ( + )
Dengan demikian penyelesaian dari x2 + x – 6 < 0 (–) adala interval -3 < x < 2. Adapun penyelesaian dari x2 + x – 6 > 0 (+) adalah interval dari x2 + x – 6 < 0? Oleh karena dalam kasus ini tanda ketidaksamaannya mengandung tanda sama denga maka nilai x = -3 dan x = 2 termasuk dalam penyelesaian. Jadi penyelesaian dari x2 + x – 6 < 0 adalah interval -3 < x < 2.
Secara umum, untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan kuadrat, Anda tentukan dahulu akar-akar dari persamaan kuadrat yang berkaitan. Untuk selanjutnya, akar PK ini disebut titik kritis. Titik-titik kritis ini akan mampu membagi garis bilangan atas beberapa interval. Oleh karena tanda dalam setiap interval selalu sama, untuk setiap interval Anda hanya perlu menguji satu nilai variabel saja. Untuk jelasnya, pelajariah contoh-contoh berikut:
Contoh Pertidaksamaan Kuadrat (Dua Titik Kritis) Selesaikan –x2 > - 2x – 3
Jawab :
Pertama, ubah pertidaksamaan kuadrat ke bentuk bakunya (ruas kanan dibuat nol)
-x2 + 2x + 3 > 0
Selanjutnya buat koefisien x2 menjadi positif dengan mengalikan 1 pada kedua ruas. Ingat, mengalikan bilangan denganbilangan negatif selalu memblik tanda dari pertidaksamaan. Dari sini diperoleh.
x2 – 2x – 3 < 0 ….(*)
untuk itu, tentukan titik kritisnya dengan menyelesaikan persamaan x2 - 2x - 3 = 0 x2 – 2x – 3 = 0 (x – 3) (x + 1) = 0 X – 3 = 0 X = 3 Atau x + 1 = 0 x = -1
kedua titik kritis ini akan memisahkan garis bilangan atas tiga interval.
Oleh karena tanda ketidaksamaannnya mengandng tanda sama dengan (<), itik kritis x = -1 dan x = 3 termasuk penyelesaian. Oleh karena itu, titik-titik kritis digambar dengan tanda (lingkaran penuh).
Selanjutnya, anda uji titik sebarang dalam setiap interval untuk mengetahui tanda setiap ineterval.
Untuk interval x < - 3 ambil x = -2 x2 – 2x – 3 = (-2)2 – 2 (-2) – 3 = 5 > 0 (+) Untuk interval -1 < - 3 ambil x = 0 x2 – 2x – 3 = (0)2 – (0) – 3 = -3 < 0 (-) Untuk interval x > 3 ambil x = 4 x2 – 2x – 3 = (4)2 – 2 (4) – 3 = 5 > 0 (+) Dengan demikian, diperoleh hail berikut.
Dalam interval x < - 3, x2 – 2x – 3 > 0 (+) -1 < x < 3, x2 – 2x – 3 < 0 (-) x > 3, x2 – 2x -3 > 0 (+)
Jadi penyelesaian dari pertidaksamaan –x2 > - 2x – 3 atau ekuivalen dengan x2 – 2x – 3 < adalah -1 < x < 3. (ingat, tanda lingkaran penuh ( )
Bagaimana jika Anda diminta untuk menyelesaikan –x2 < -2x – 3 atau ekuivaln dengan x2 – 2x – 3 > 0? Dari garis diatas diperoleh penyelesaiannya, yaitu x < -1 atau x > 3.
Contoh Pertidaksamaan kuadrat (satu titik kritis) Selesaikan x2 – 2x > -1
Jawab:
Pertama ubah dahulu pertidaksamaan kuadrat ke bentuk bakunya (ruas kanan dibuat menjadi nol).
x2 – 2x > -1
x2 – 2x + 1 > 0 … (*)
Pertidaksamaan (*) adalah pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula. x2 – 2x > -1. Pertidaksamaan (*) inilah yang akan diselesaikan. Adapun titik-titik kritisnya sebagai berikut.
x2 – 2x + 1 = 0 (x – 1) (- 1 ) = 0 x – 1 = 0 x = 1 atau x – 1 =0 x = 1
Oleh karena itu titik kritisnya hanya satu,yaitu x = 1, garis bilangan terbagi atas dua interval.
Ambil titik uji x = 0 dalam interval x < 1 dan x = 2 dalam interval x > 1. x = 0 x2 – 2x + 1 = 0 – 2 (0) + 1 = 1 > 0 (+)
x = 2 x2 – 2x + 1 = (2)2 – 2(2) + 1 = 1 > 0 )+)
Dengan demikian, penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 2x > -1 atau dengan ekuivalen x2 – 2x + 1 > 0 adalah x < 1 atau x > 1 atau dapat ditulis
sebagai x R dengan x 1. Penyelesaian ini ditunjukkan dalam garis dibawah ini. Seangkan himpunan penyelesaiannya adalah :
HP = {x| x < 1 atau x > 1, x R} Atau
HP = {x| x R dan x 1}
Bagaimana jika Anda diminta untuk menyelesaikan pertidaksamaan x2 – 2x > -1 atau ekuivalen dengan x2 – 2x + 1 > 0? Penyelesaiannya adalah x < 1 atau x > 1 atau dapat ditulis sebagai : x R. Himpunan penyelesaiannya adalah HP = { x | x < 1 atau x > 1, x R }
Atau
HP = { x | x R }
Bagaimana jika anda diminta menyelesaikan pertidaksamaan x2 – 2x < - 1 atau ekuivalen dengan x2 – 2x + 1 < 0? Tidak ada satupun nilai yang memnuhi pertidaksamaan tersebut. Jadi pertidaksamaan x2 – 2x < -1 tidak memiliki peyelesaian atau hmpunan penyelesaiannya atau himpunan penyelesainnya adalah himpunan kusong, ditulis HP = { } atau
Contoh pertidaksamaan kuadrat (tak memiliki titik kritis) Selesaikan x2 + x + 2 > 0
Jawab:
Pertama, tentukan nilai titik kritisnya dengan menyelesaikan x2 + x + 2 = 0. Persamaan kuadrat ini tidak bisa difaktorkan sehingga Anda perlu menghitung dahulu nilai diskriminannya. Koefisien-koefisien, PK x2 + x + 2 = 0 dalah a = 1 ; b = 1 ; c = 2.
D = b2 – 4ac
= (1)2 – 4 (1) (2) = -7 < 0
Oleh karena D < 0, jelas pertidaksamaan tidak memiliki titik kritis yang real. Akibatnya, penyelesaian dalam kasus ini tidak membagi garis bilanga menjadi beberapa bagian. Dengan demikian, x2 + x + 2 akan memiliki tanda yang sama sepanjang keseluruhan garis bilangan dan tidak bergantung pada nilai titik uji yang Anda pilih. Oleh karena salah satu titik uji x = 0 memberikan x2 + x + 2 =
02 + 0 + 2 > 0, setiap bilangan real adalah penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan (x2 + x + 2 > 0). Ini dilukiskan pada garis dibawah ini dan himpunan penyelesaian dan pertidaksamaan x2 + x + 2 > 0 adalah HP = { x | x
Adapun pertidaksamaan x2 + x + 2 < 0 tidak memliki penyelesaiannya atau HP = { }.
