\\
Modul Matematika
Modul Matematika
Untuk TKJ, RPL, dan ANIMASI
Untuk TKJ, RPL, dan ANIMASI
Hanya Untuk Kalangan Sendiri Hanya Untuk Kalangan Sendiri
MATRIKS
MATRIKS
A.A. PENGERTIAN PENGERTIAN MATRIKSMATRIKS 1.
1. Definisi Definisi MatriksMatriks
Matriks adalah suatu himpunan bilangan atau variabel yang disusun dalam Matriks adalah suatu himpunan bilangan atau variabel yang disusun dalam bentuk baris dan kolom (lajur) dalam bentuk persegi panjang yang di
bentuk baris dan kolom (lajur) dalam bentuk persegi panjang yang di tempatkan di antara dua tanda kurung biasa ( ) atau siku [ ].
tempatkan di antara dua tanda kurung biasa ( ) atau siku [ ].
Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks.
dalam matriks.
Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.
matriks.
Suatu matriks dilambangkan dengan sebuah huruf kapital A, B, C dst. Suatu matriks dilambangkan dengan sebuah huruf kapital A, B, C dst. Secara umum matriks dapat ditulis sebagai berikut :
Secara umum matriks dapat ditulis sebagai berikut :
Keterangan : Keterangan : a
a = = Notasi Notasi matriksmatriks ii j j = Ordo matriks= Ordo matriks i
i = = Banyak Banyak barisbaris j
j = Banyak kolom= Banyak kolom Contoh Soal 1: Contoh Soal 1: 2 2 8 8 3 3 6 6 7 7 5 5 3 3 2 2 1 1 3 3 3 3 A A 2.
2. Jenis-jenis Jenis-jenis MatriksMatriks 1.
1. Matriks PersegiMatriks Persegi
Yaitu matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Yaitu matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. (m = n) (m = n) Contoh : Contoh :
3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 A A 2.2. Matriks BarisMatriks Baris
Yaitu matriks yang mempunyai elemen satu baris Yaitu matriks yang mempunyai elemen satu baris Contoh :
Contoh : A A
11 33 55 77
Ordo matriks adalah 3 Ordo matriks adalah 3 3 3
1 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-1 1 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-1 5 adalah elemen baris ke-2 kolom ke-1 5 adalah elemen baris ke-2 kolom ke-1 3 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-3 3 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-3
3. Matriks Kolom
Yaitu matriks yang mempunyai elemen satu kolom
Contoh : 5 3 1 A 4. Matriks Nol
Yaitu matriks yang seluruh elemennya adalah 0
Contoh :
0 0 0 0 A B
05. Matriks Identitas / Satuan
Yaitu matriks bujur sangkar yang elemen pada diagonal utamanya adalah 1 (satu), sedangkan elemen lainnya 0 (nol).
Contoh :
1 0 0 1 A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B 6. Matriks DiagonalYaitu matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya adalah 0 (nol)
Contoh :
1 0 0 2 A 3 0 0 0 2 0 0 0 1 BMatriks sama : matriks A = matriks B, maka elemen yang seletak sama.
d c b a = a p b q c r d s s r q p
, , , 7. Matriks SkalarMatriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.
Contoh :
4 0 0 4 A 2 0 0 0 2 0 0 0 2 B8. Matriks Segitiga Atas
Contoh : 6 0 0 4 1 0 4 2 1
9. Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
4 5 4 0 1 2 0 0 2 D 3. Kesamaan Matriks
Dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya memiliki ordo yang sama dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) pada kedua
matriks tersebut sama. Contoh Soal 1: Diketahui matriks
4 3 2 1 A
4 3 3 1 B
4 3 2 1 C Tentukan: a. Apakah matriks A = B? b. Apakah matriks A = C? Jawab:a. Matriks A matriks B karena ada satu elemen matriks A dan B yang
seletak tidak memiliki nilai yang sama, yaitu 2 ≠ – 3.
b. Matriks A = matriks B, karena anggota pada matriks A sama dan seletak dengan anggota pada matriks B
Contoh Soal 2:
Diketahui matriks-matriks berikut.
y x B A 2 7 2 4 5 7 2. Jika A = B, tentukan nilai x dan y . Jawab:
Dengan menggunakan konsep kesamaan dua matriks maka diperoleh: x = 5 dan 2y = 4
Jadi, nilai x = 5 dan y = 2
4. Transpose Matriks
Adalah matriks baru yang merupakan hasil pertukaran baris dan kolom
Tranpose matriks di notasikan At (dibaca: A transpose).
Sehingga tranpose matriks A adalah At
Jika
3 2 1 3 2 1 b b b a a a A , maka 3 3 2 2 1 1 b a b a b a AtJika matriks A berordo m × n maka transpos A memiliki ordo n × m. Secara Umum bisa dituliskan :
Contoh Soal: 1.
4 1 7 2 2 2 A maka
4 7 1 2 2 2 t A 2.
1 6 2 3 0 6 3 2 B maka 1 3 6 0 2 6 2 3 t B Latihan Soal 1 1. Diketahui matriks A = 0 2 6 7 5 0 1 1 4 3 8 2 . Tentukan : a) Ordo matriks A b) Elemen kolom ke-4c) Elemen yang terletak pada baris ke-2 dan kolom ke-3
d) Ordo matriks At dari matriks A
2. Diketahui matriks B = 5 2 1 3 0 1 1 2 3 1 1 0 4 2 1 1 . Tentukanlah:
a) banyaknya baris dan kolom
n m
c) elemen-elemen pada setiap kolom d) letak elemen-elemen berikut:
(i) - 2 (iii) 4
(ii) - 3 (iv) 5
3. Buatlah :
a. Matriks kolom
b. Matriks segitiga atas c. Matriks segitiga bawah d. Matriks diagonal utama
e. Matriks identitas berordo 3 3
4. Tentukan matriks transpose dari :
a. A =
4 1 3
c. B =
0 3 2 4 b. C = 3 1 6 d. D =
0 2 4 1 3 25. Tentukan nilaiadan b dari matriks berikut :
a.
5 15 4 0 3 4 0 b a b.
8 7 8 6 a c.
3 12 1 10 3 3 1 2 b a6. Tentukanlah p dan x, jika At = B.
a.
6 0 1 8 A dan
x p p B 1 0 2 b.
2 8 6 1 A dan
2 2 3 1 p x p B 7. Diketahui matriks : 16 8 logb b a A ,
c b a a B 2 3 10 3Tentukan nilai a, b dan c agar matriks A sama dengan matriks B. 8. Diketahui A =
3a 4c
, B =
6 3b
, dan A = B. Nilai b + c = …9. Jika matriks
z x y x x 2 2 2 4 =
12 5 6 8, maka nilai x, y, z berturut-turut adalah ....
10.Diketahui matriks
c b a 2 3 5 =
ab a 2 2 3 2 5 , nilai dari a2 + 3b - c = ....B. OPERASI ALJABAR MATRIKS 1. Operasi Penjumlahan
Operasi Penjumlahan pada matriks hanya dapat dilakukan apabila matriks – matriksnya mempunyai ordo sama.
4 3 2 1 a a a a A
4 3 2 1 b b b b B
4 4 3 3 2 2 1 1 4 3 2 1 4 3 2 1 b a b a b a b a b b b b a a a a B A Contoh Soal 1: Diketahui matriks A =
2 7 5 3 , matriks B =
9 7 3 11 . Hitung A + B! Jawab: A + B =
11 0 2 14 9 2 ) 7 ( 7 ) 3 ( 5 11 3 9 7 3 11 2 7 5 3 2. Operasi PenguranganPengurangan dua matriks harus memiliki ordo sama
4 3 2 1 a a a a A ,
4 3 2 1 b b b b B
4 4 3 3 2 2 1 1 4 3 2 1 4 3 2 1 b a b a b a b a b b b b a a a a B A Contoh Soal 2: Diketahui A =
6 3 0 4 ; B =
4 2 4 6 . Hitung A – B! Jawab: A – B =
4 2 4 6 6 3 0 4 =
4 6 2 3 4 0 6 4 =
2 1 4 10Contoh Soal 3 :
Tentukan matriks A dari persamaan matriks berikut
1 3 4 2 4 1 6 4 A Jawab: A =
4 1 6 4 1 3 4 2 =
) 4 ( 1 1 3 6 4 4 2 =
5 2 2 2Sifat-sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Misalkan A, B, dan C matriks-matriks dengan ordo sama maka berlaku sifat-sifat berikut:
1. A + B = B + A (Komutatif )
2. A + (B + C) = (A + B) + C (Asosiatif ) 3. A – B ≠ B – A (Anti Komutatif )
Latihan Soal 2 1. Diketahui matriks : B =
2 3 2 1 C =
3 3 1 0 . Hitung : a. B + C b. Bt + C2. Diketahui matriks-matriks berikut.
1 1 2 4 2 1 A ; 3 1 4 6 2 3 B ; dan 4 3 5 1 2 5 C Tentukanlah: a. A + B c. A + (B + C) b. A + Bt d. (A + Bt) + C
3. Tentukan hasil penjumlahan dari matriks berikut :
a.
4 5 4 0 b.
2 3 4 1 4 7 8 6a.
3 0 4 5 1 3 0 4 b.
x y y x y x y x 3 4 4 35. Tentukan hasil pengurangan dari matriks berikut :
a.
3 0 4 5 1 3 0 4 b.
x y y x y x y x 3 4 4 3 6. Diketahui :
1 3 6 4 A
4 3 0 8 B
2 3 0 2 C
2 4 3 2 D Hitung : a. A – B c. (A + B) – C b. A – (D – B) d. (A – B) + (C – D)7. Tentukan matriks A, B dari persamaan matriks berikut :
a.
1 6 0 5 6 0 1 4 A b.
0 5 3 2 0 2 1 5 P8. Tentukan matriks P, S dari persamaan matriks berikut :
a.
0 2 6 5 3 1 2 4 B b.
S
6 5 2 1 3 1 0 29. Diketahui matriks-matriks berikut.
3 4 5 4 0 1 2 3 1 A dan 3 4 5 4 0 1 2 3 1 B
Tentukanlah matriks C yang memenuhi 3C - 2A = B.
10.Diketahui penjumlahan matriks :
2 a 3 5 +
4 d b c =
2 2 14 14 . Nilai a, b, c, dan d berturut-turut adalah ...3. Operasi Perkalian Bilangan Real dengan Matriks
Jika A sebuah matriks dan k bilangan real maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen matriks A dengan k.
4 3 2 1 4 3 2 1 a K a K a K a K a a a a KContoh Soal :
Jika diketahui K = 4 dan matriks A =
3 7 0 6 . Hitung K A ! Jawab : K A =
28 12 0 24 7 4 ) 3 ( 4 0 4 6 4 7 3 0 6 4Sifat-Sifat Perkalian Skalar
Misalkan a dan b skalar, D dan H matriks sebarang dengan ordo sama, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut
1. aD + aH = a(D + H) 2. aD + bD = (a + b)D 3. a(bD) = (ab)D
4. Operasi Perkalian Matriks dengan Matriks
Perkalian matriks A dan B dituliskan AB terdefinisi hanya jika banyaknya baris matriks B sama dengan banyaknya kolom matriks A.
Matriks Amn Bn p C m p
1. Jika matriks A12 =
a1 a2
dan matriks B22 =
4 3 2 1 b b b b Maka A
B =
4 3 2 1 2 1 b b b b a a
a1b1 a2 b3 a1b2 a2b4
2. Jika matriks A22 =
4 3 2 1 a a a a dan matriks B22 =
4 3 2 1 b b b b Maka A B =
4 3 2 1 a a a a
4 3 2 1 b b b b =
4 2 3 3 4 1 3 4 2 2 1 3 2 1 1 4 b a b a b a b a b a b a b a b aContoh soal 1: Diketahui matriks A =
2
3
, B =
1 3 2 1 . Hitung A B ! Jawab : A B=
2
3
1 3 2 1 =
2
(
1)
(
3)
3 2
2
(
3)
1
=
2
9 4
3
=
11 1
Contoh Soal 2 : A =
6 3 4 2 , B =
1 3 2 6 , hitung A B ! Jawab: A B =
6 3 4 2
1 3 2 6 =
1 6 2 3 3 6 6 3 1 4 2 2 3 4 6 2 =
6 6 18 18 4 4 12 12 =
12 36 8 245. Perpangkatan Matriks Persegi
Misalkan A adalah matriks persegi dengan ordo n × n maka bentuk pangkat dari matriks A didefinisikan sebagai berikut.
A2 = A × A A3 = A × A × A An = A × A × A ... × A Contoh soal: JIka A =
6 3 4 2 , hitung A2 ! Jawab:A2 =
6 3 4 2
6 3 4 2 =
6 . 6 4 . 3 3 . 6 2 . 3 6 . 4 4 . 2 3 . 4 2 . 2 =
36 12 18 6 24 8 12 4 =
48 24 32 16Jika setiap matriks berikut dapat dioperasikan di mana a adalah konstanta, maka berlaku sifat-sifat berikut.
• P + Q = Q + P • (P + Q) + R = P + (Q + R) • P(Q+ R) = PQ + PR • (P + Q)R = PR + QR • P(Q - R) = PQ - PR • (P - Q)R = PQ - QR • a(P + Q) = aP + aQ • a(P - Q) = aP - aQ • (a + b)P = aP + bP • (a - b)P = aP - bP • (ab)P = a(bP)
• a(PQ) = (aP)Q = P(aQ)
• (PQ)R = P(QR)
Latihan Soal 3
1. Tentukan hasil perkalian dari :
a. 2
4 3 = … d. -5
3 4 = … b. 4
4 1 3 2 = … e. 3 1
9 4 3 6 = … c. 3
b a 2 1 2 = … f. -6 b a 3 2 3 1 12 1 2 1 = …2. Jika A =
2 4 1 3 , dan B =
4 1 4 0 Hitung : a. A B b. 2(A + B)3. Jika M matriks berordo 2 2, tentukan M dari persamaan berikut :
a.
3 2 4 1 0 10 1 5 2 M b.
0 4 10 16 6 2 7 4 3 M4. Tentukan a, b, c, dan d dari persamaan berikut
d c b a 2 16 12 8 4 .5. Tentukan hasil perkalian dari matriks – matriks berikut :
a.
2 4
3 4 d.
a 3
2a 4 b.
2 3 1
2 1 1 0 5 4 e.
2 4 1
1 4 2 c.
1 2 2 3 0 3 2 1 4 0 3 26. Jika diketahui matriks
A =
3 2 4 1 , B =
0 1 2 4 , C =
1 0 0 1 Tentukan : a. A B d. At C b. B2 e. B (C + A) c. A B + B f. -4 (B A) d. A (B C) h. (B (C + A))t 7. Jika
24 30 6 12 3 10 68. Jika
y x =
2 0 1 2
2 3 +
1 4 . Maka nilai
y x adalah …9. Diketahui matriks-matriks berikut.
c b b a A 1 ,
d c a B 1 0 , dan
1 1 0 1 CJika A
Bt
C 2, tentukan nilai a, b, c, dan d.10.Nilai k yang memenuhi persamaan :
0 3 4 2
k 3 1 2 =
3 6 6 8 adalah …Sifat – sifat tranpose matriks
Beberapa sifat matriks adalah sebagai berikut. 1. (A+B)t = At+ Bt
2. (At)t = A
3. (cA)t = cAt dengan c adalah konstanta
4. (AB)t = BtAt Contoh Soal : Jika matriks A =
1 4 3 2 dan B =
3 1 5 2 . Tunjukkan bahwa : a. (At)t = A b. (A + B)t c. (A B)t = Bt At Jawab: a. At =
1 3 4 2 (At)t =
1 4 3 2 Jadi (At)t = A b. A + B =
1 3 5 2 1 4 3 2 At + Bt =
3 5 1 2
3 5 1 2=
2 5 8 4 =
2 8 5 4 (A + B)t =
2 8 5 4 Jadi, (A + B)t = At + Bt c. A B =
1 4 3 2
3 1 5 2 Bt At =
3 5 1 2
1 3 4 2 =
1 ) 1 ( 5 4 1 ) 1 ( 2 4 3 3 5 2 1 3 2 2 =
) 1 ( 3 4 5 3 3 2 5 ) 1 ( 1 4 2 3 1 2 2 =
3 20 1 8 9 10 3 4 =
3 20 9 10 1 8 3 4 =
17 7 19 7 =
17 19 7 7 (A B)t=
17 19 7 7 Jadi, (A B)t = Bt At Latihan Soal 4 Jika A =
2 1 6 4 , B =
2 1 0 4 dan C =
4 2 1 3 . Tentukan : 1. (At)t 6. Bt At 2. (Bt)t 7. At B 3. (A + B)t 8. (A + B + C)t4. (A B)t 9. (A B)t + (A C)t
5. (A C)t 10. (Bt At ) – (At B)
C. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS 1. Determinan Matriks
Determinan matriks A didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen
Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.
a. Determinan matriks berordo dua
d c b a A2 2 maka Contoh : Jika matriks A =
6 4 3 2cari determinan matriks A ! Jawab:
det A = |A|= a
d
b
c= 2
6
3
4= 12 – 12 = 0b. Determinan matriks berordo tiga
menggunakan aturan Sarus3 3 A = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a det A =|A|= 32 31 22 21 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a det A=|A|=a11a12 a33 a12a23a31 a13 a21a32 a31a22a13 a32 a23a11 a33 a21a12 Contoh Soal :
Tentukan determinan matriks
3 1 5 1 2 4 4 1 2 A . Jawab: det 1 5 2 4 1 2 3 1 5 1 2 4 4 1 2 A det A =|A|= a
d
b
c + + + _ _ _ + _ Diagonal sekunder Diagonal utamadet A = 2
2
3
1
1
5
4
4
1
5
2
4
1
1
2
3
4
1 = 12 + 5 + 16 – 40 – 2 – 12 = -21 Contoh 3: Diketahui matriks A =
a a 3 4 10 2 .Hitunglah nilai-nilai a yang memenuhi det A = 0.
Jawab: det A = 0 det A = a a 3 4 10 2
4) × (–3 – ) × 10) – ((2a a
12 + 10 – 2 = a2 aOleh karena det A = 0 maka
0 12 + 10 – 2a2 a
0 6 + 5 – 2
a a 0 2) – 3)( – (a a
a – 2 = 0 atau a – 3 = 0 a = 2 a = 3Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 2 dan 3.
2. Adjoint Matriks
Adjoint disingkat Adj.
Adjoint suatu matriks bujur sangkar adalah :
Jika matriks A =
d c b a , maka Adj A =
a c b d Contoh Soal :Tentukan matriks adjoint dari :
1. A =
2 1 7 4 , maka Adj A =
4 1 7 22. B =
2 1 3 10 , maka Adj B=
10 ) 2 ( 3 1 =
10 2 3 1 3. C =
4 7 1 2 , maka Adj C =
2 ) 7 ( ) 1 ( 4 =
2 7 1 4 3. Invers MatriksJika A sebuah matriks maka invers matriks A adalah A – 1 dan A
A – 1 = I, dimana I adalah matriks identitas.
Berikut ini adalah syarat suatu matriks A mempunyai invers.
• Jika |A| = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh
karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks singular.
• Jika |A|≠ 0, maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena
itu, dikatakan matriks A sebagai matriks nonsingular.
Misalkan matriks A =
d c b ainvers dari A adalah A – 1 , yaitu
dengan det A ≠ 0 Contoh Soal : Diketahui matriks A =
4 1 7 2Maka invers matriks A A – 1 =
c a b d bc ad 1 =
1 2 7 4 1 7 4 2 1 =
1 2 7 4 7 8 1 =
2 1 7 4 1 1 =
2 1 7 4 A – 1 = bc ad 1
a c b dSifat-Sifat Invers suatu Matriks
Misalkan A dan B adalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB dan BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan berikut.
1. (AB) – 1 = B – 1 · A – 1
2. (BA) – 1 = A – 1 · B – 1
Persamaan Matriks
Penyelesaian persamaan matriks AX = B ditentukan oleh
Penyelesaian persamaan matriks XA=B ditentukan oleh
Contoh Soal: Jika
[
] [
]
, maka P = …. Jawab: [
] [
]
A =B
[
]
[
]
[
][
]
[
]
[
]
Latihan Soal 51. Tentukan determinan matriks berordo 2x2 berikut :
a. B =
0 2 3 4 d. C =
3 4 2 5 b. P =
4 3 1 0 e. F =
1 0 0 1 c. N =
4 1 2 4 f. R =
3 2 6 4 2. Bila matriks R =
1 2 9 12 a a, hitunglah determinan matriks R.
a. A = 3 3 0 4 2 2 1 0 1 c. D = 1 3 4 0 2 3 0 1 2 b. M = 2 4 5 4 3 2 0 0 0 d. E = 1 3 6 5 2 4 3 1 2
4. Tentukan adjoint matriks dari matriks – matriks berikut :
a. A =
2 3 1 4 d. B =
1 3 6 2 b. C =
2 3 1 0 e. D =
1 0 0 1 c. N =
1 3 4 25. Tentukanlah nilai x dari setiap persamaan berikut.
a. 6 5 1 3 2
x d. 0 5 6 0 6
x x6. Tentukan matriks invers dari setiap matriks berikut :
a. A =
5 3 3 2 d. B =
3 7 5 12 b. C =
1 0 0 1 e. N =
17 4 2 1 P =
7 0 4 6 c. R =
2 3 5 8 7. Diketahui matriks :
2 1 2 4 A dan
1 0 1 2 BTentukan matriks invers dari :
a. (A + B) c. (B – A) b. (A – B) d. (A B) 8. Diketahui A=
x x x 3 5 5 dan B=
4 7 9 x, jika determinan A dan determinan B sama, maka harga x yang memenuhi adalah ....
9. Diketahui matriks
1 2 3 2 X =
1 9 12 10dengan X matriks persegi berordo 2. Matriks X adalah ....
10.Diketahui matriks A=
5 3 2 1 , B=
4 3 2 1. Jika C=A-1 dan D=Bt, maka
C+D = ....
D. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN MENGGUNAKAN MATRIKS
Ada dua persamaan yaitu : P by ax
Q dy cx
Bila ditulis dalam bentuk matriks :
d c b a
y x =
Q P Maka : Contoh Soal :1. Tentukan matriks koefisien dari sistem persamaan linear berikut. 2x – 3y = 4
3x – y = – 1 – 2x + 2y = 2 Jawab:
Matriks koefisien dari sistem persamaan linear tersebut adalah
2 2 1 3 3 2 .
2. Tentukan nilai xdan y dari persamaan berikut dengan cara matriks
y x
2 = 8 y x 3 5
= 21 Jawab :
y x 3 5 1 2 =
21 8
y x = A – 1
Q P
y x =
Q P A 1 =
5 2 1 3 1 bc ad
21 8 =
5 2 1 3 1 5 3 2 1
21 8 =
2 3 1 3 1 1
21 8 = 1
2 3 1 3
21 8 =
21 2 8 5 21 ) 1 ( 8 3 =
42 40 21 24 =
2 3Jadi, x = 3 dan y = 2
3. Ibu membeli 5 kg tepung dan 3 kaleng mentega dan harus membayar Rp. 30.500,-. Kakak membeli 2 kg tepung dan 1 kaleng mentega dan ia harus membayar Rp. 7.500,- tulis pernyataan di atas dalam bentuk matriks ! Jawab : 500 . 30 3 5 x
y
y x
2 = 7.500Dalam bentuk matriks :
y x 1 2 3 5 =
7500 30500Selain dengan cara di atas, sistem persamaan linear dapat juga diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer berikut.
Jika AX = B maka A A x1
1 , A A x2 2 , ..., A A x j j .j
A matriks yang didapat dengan mengganti elemen-elemen pada kolom-j
dari matriks A dengan elemen-elemen matriks B. Contoh soal :
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan aturan Cramer!
3x - 4y = 5 5x + 6y = 1 Jawab:
Terlebih dahulu, tentukan |A|, |A1|, dan |A2|
22 25 3 5 . 5 1 . 3 1 5 5 3 34 4 30 1 ). 4 ( 6 . 5 6 1 4 5 38 20 18 5 ). 4 ( 6 . 3 6 5 4 3 2 1 A A A Jadi, 19 17 38 34 1
A A x dan 19 11 38 22 2
A A yDengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah 19 17 x dan 19 11 y . Latihan Soal 6
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan cara invers matriks.
1.
6 2 8 2 2 y x y x 3.
6 2 9 4 3 y x y x 2.
5 2 7 2 3 b a b a 4.
0 7 2 3 0 12 5 2 y x y xTentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan aturan Cramer.
5.
0 3 2 0 4 2 y x y x 6.
0 12 4 3 0 3 2 x y y x6.
6 2 3 3 x y x 7.
8 3 1 2 y x y x9. Harga 3 rim kertas HVS folio dan 2 rim kertas CD Rp. 35.000,- harga
4 rim kertas HVS folio dan 5 rim kertas CD Rp. 56.000,- jika pernyataan tersebut di tulis dalam bentuk matriks adalah ….
10.Pada liburan semester, sekolah A dan sekolah B mengadakan
karyawisata ke Bali. Sekolah A menyewa 10 bus dan 5 mobil. Sekolah B menyewa 7 bus dan 3 mobil. Biaya sewa kendaraan sekolah A
sebesar Rp41.250.000,00, sedangkan sekolah B Rp28.250.000,00. Jika diasumsikan biaya sewa per bus dan per mobil kedua sekolah
tersebut sama, tentukan harga sewa 1 bus dan 1 mobil.
RANGKUMAN MATERI
1. Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom.
2. Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks.
3. Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.
4. Jenis-jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks: Matriks baris, yaitu matriks yang terdiri dari satu baris.
• Matriks kolom, yaitu matriks yang terdiri dari satu kolom.
• Matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan
banyak kolomnya.
• Matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.
• Matriks identitas, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal
utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0.
• Matriks skalar, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal
utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.
• Matriks diagonal, yaitu matriks persegi yang elemen di luar elemen
diagonalnya bernilai nol.
• Matriks segitiga atas, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen
• Matriks segitiga bawah, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
5. Operasi Pada Matriks
a. Penjumlahan dan Pengurangan - Syarat : ordo harus sama
- Entry yang bersesuaian di operasikan. b. Perkalian dengan skalar
Masing masing entry dikalikan dengan skalar c. Perkalian Matriks degan Matriks
- Syarat : A(m x n) B(n x p) = C(m x p)
- Baris ke-i kalikan dengan kolom ke-j (element seletak), kemudian jumlahkan
6. Transpose Matriks
Baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris.
7. Sifat – sifat tranpose matriks :
1. (At)t = A 2. (A + B)t = At + Bt 3. (K A)t = KAt 4. (A B)t = Bt At 8. Invers Matriks. Jika A = a b c d
, maka invers dari matriks A adalah
Dengan Determinan A, Det A = ad – bc
9. Sifat-Sifat Invers suatu Matriks
Misalkan A dan B adalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB dan BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan berikut.
1. (AB) – 1 = B – 1 · A – 1
2. (BA) – 1 = A – 1 · B – 1
10. Persamaan Matriks
- Penyelesaian persamaan matriks AX = B ditentukan oleh
- Penyelesaian persamaan matriks XA=B ditentukan oleh
A-1 = 1 d b c a ad bc
EVALUASI BAB MATRIKS A. SOAL PILIHAN GANDA
1. Diketahui A = 7 0 3 2 dan B = 1 1 0 2
, nilai A – 2B adalah …
a. 4 1 0 5 d. 3 0 3 0 b. 4 1 0 5 e. 0 1 0 3 c. 0 1 0 5 2. Jika A = 1 2 3 4 , B = 2 3 0 1 , dan C = 5 2 1 0
, maka bentuk yang paling
sederhana dari (A + C) – (A + B) adalah
a. 5 4 5 4 d. 3 1 1 1 b. 4 7 2 5 e. 7 1 1 1 c. 4 0 4 4 3. Jika A = 2 1 3 4 2 0 , dan B = 1 1 3 2 1 2
, maka matrik A.B adalah
a. 2 2 6 6 d. 2 4 3 4 3 0 b. 4 6 2 0 e. 6 3 3 14 7 9 9 5 3 c. 2 3 3 4 4 0 4. Jika matriks A = 2 3 4 5 , maka A 2 adalah a. 4 9 16 25 d. 37 28 21 16 b. 4 6 8 10 e. 4 6 16 25
c. 16 21
16 25
5. Invers dari matriks A = 1 4
3 2 adalah a. 1 1 3 4 4 10 d. 2 4 1 3 1 10 b. 1 2 4 3 1 10 e. 1 3 1 4 2 10 c. 1 1 3 4 2 10
6. Invers dari matrik B =
1 -5 2 1 adalah a. 3 1 11 11 5 2 11 11 d. 3 1 5 2 b. 2 1 5 3 e. 1 2 11 11 5 1 11 11 c. 2 1 11 11 5 3 11 11 7. Jika . 6 5 12 27 3 2 2 4 14 23 a b
maka harga a dan b adalah
a. a = 1 dan b = 6 d. a = 3 dan b = -3
b. a = -3 dan b = 15 e. a = 2 dan b = 0
c. a = -2 dan b = 12 8. Diketahui A = 2 1 0 k , B = 1 2 3 4 , dan C = 1 8 1 2 . Jika AB = C, maka
nilai k yang memenuhi adalah
a. 4 d. -1 b. 2 e. -2 c. 1 9. Diberikan K = 2 3 5 4 8 3 11 a b c , dan L = 6 2 3 5 4 2 8 4 11 a b
. Jika K = L, maka c adalah
a. 16 d. 13
b. 15 e. 12
10.Diketahui A = 3 1 2 4 , dan B = 0 1 1 2
, dan X matriks berordo (2 x 2) yang
memenuhi persamaan matriks 2A – B + x = 0, maka x sama dengan ...
a. 6 1 5 6 d. 6 1 5 6 b. 6 1 5 6 e. 6 1 5 6 c. 6 1 5 6 11.Diketahui A = 2 1 0 1 , dan B = 1 1 0 2
, maka nilai A – 2B = ...
a. 4 1 0 5 d. 0 3 0 3 b. 4 1 0 5 e. 4 1 0 3 c. 0 1 0 5 12.Jika A = 1 3 2 4 , B = 2 0 1 3 , dan C = 3 1 1 2 maka A(B – C) = ... a. 5 14 10 18 d. 1 2 2 2 b. 5 4 10 6 e. 7 10 10 20 c. 1 16 2 22 13.Diketahui A = 2 1 3 2 , B = 4 3 2 3 , dan C = 5 1 4 2 . Nilai AB – C = ... a. 4 5 7 8 d. 13 12 8 5 b. 4 3 1 0 e. 4 5 7 8 c. 5 8 12 13 14.Jika A = 4 3 8 6 x y dan matriks B = 4 12 6 x y
. Jika A = B, maka nilai x =
....
a. 3 d. 6
b. 4 e. 9
15.Diketahui matrik K = 2 1 6 2 a b c d d dan matriks L = 4 3 2 6 2 a b x c b . Jika
matriks K = L, maka nilai x = ....
a. -6 d. 2 b. -4 e. 6 c. -2 B. SOAL URAIAN 1. Jika matriks A =
2 7 4 2 x , B =
y x 3 2 6 , C =
y x z 3 1Jika A – B = 2C, maka akan diperoleh himpunan jawab x, y, z
... 2. Diketahui matriks : I =
1 0 0 1 , A =
1 2 1 3 , B =
5 6 3 11 Nilai 3A – B = … 3. Diketahui matriks M =
3 1 4 2 , N =
1 3 2 2 0 1Hasil perkalian M N adalah …
4. Diketahui A =
3 2 1 2 x x , B =
5 7 6x , jika det.(A) = det.(B) maka nilai x
adalah … 5. Invers matriks
