Kestabilan Loop Tertutup

(1)

Vol. 2, No.1, 31-39, Juli 2005

Kestabilan Loop Tertutup

Nur Erawati^†

Abstrak

Misalkan P(s) suatu sistem linier yang transfer matriksnya berupa matriks rasional proper.

Misalkan pula C(s) suatu sistem linier yang lain, yang merupakan kompensator dari P(s).

Tulisan ini membahas kondisi-kondisi C(s) menstabilkan P(s).

Keywords:Sistem linier, kompensator, kestabilan.

1. Pendahuluan

Dalam sistem kontrol linier, masalah yang muncul, bagaimana mendefinisikan kestabilan suatu system. Atau kondisi apa yang dipenuhi system tersebut sehingga system tersebut disebut stabil. Bagaimana kondisi yang dipenuhi jika ada suatu kompensator yang menstabilkan. Pembahasan dibatasi pada sistem linier yang transfer matriksnya berupa matriks rasional proper dan dilakukan dengan memanfaatkan sifat-sifat matriks secara umum.

Bentuk kanonik Smith-McMillan digunakan untuk mendefinisikan S-Matrix Fraction Description, yang selanjutnya digunakan untuk mengetahui apakah suatu kompensator disebut menstabilkan suatu plant.

2. Pembahasan

Perhatikan sistem feedback berikut ini, dimana P(s)menyatakan plant, obyek yang dikontrol dan C(s) kompensator, pengontrol.Misalkan u1(s), u2(s)input dari luar sistem;e1(s)input kompensator, e2(s) input plant, y1(s) output kompensator, dan y2(s) output plant. Misalkan P s( )^{p m}_pr^ ( ) ,s C s( )^{m p}_pr^ ( )s dan

†Staf Pengajar pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar

C P

u1

u2

e1 y₁ e₂ y₂





1 2

2

2 1

1

2 2

1 1

y u

e

y u

e

pe y

Ce y









(2)

Sistem di atas dapat ditulis dalam bentuk blok matriks sebagai berikut:



 



 



 







 





) (

) ( ) ( 0

0 ) ( )

( ) (

2 1

s e

s e s P s C s

y s y



 



 



 



 





 







 





) (

) ( 0

0 ) (

) ( )

( ) (

2 1

s y

s y I

I s

u s u s

e s e

m p

dari kedua persamaan di atas diperoleh:



 



 



 



 





 



 



 











 



 



 



 



 





 



 



 







 





) (

) ( 0

) (

) ( 0

) (

) ( ) ( 0

0 ) (

) (

) ( 0

0 0 (

) ( )

( 0

0 ) ( )

( ) (

2 1

s y

s y s

P

s C s

u s u s P s C

s y

s y I

I s

u s u s P s C s

y s y

m p

sehingga



 







 







 







 









 







 







 











 



 







 





) (

) ( ) ( 0

0 ) ( )

( ) ( )

(

) (

) ( ) ( 0

0 ) ( 0

( ) ( 0

) (

) ( 0 0

0

2 1

s u

s u s P s C s

y s y I

s P

s C I

s u

s u s P s C s

y s y s

P

s C I

I

P m

m m

misalkan 

 





 _p

m

I s P

s C I

) (

)

( ada, maka



 







 



 



 





 



 



 ^

) (

) ( ) ( 0

0 ) ( )

(

) ( )

( ) (

2 1 1

2 1

s u

s u s P s C I

s P

s C I

s y

p m

tulis 

 



 



 





 



) ( 0

0 ) ( )

(

) ) (

, (

1

s P s C I

s P

s C C I

P H

p m

yu , dimana

H

_yu

( P , C )

merupakan

matriks fungsi transfer dari input 

 





) (

) ) (

(

2 1

s u

s s u

u ke output 

 





) (

) ) (

(

2 1

s y

s s y

y .

Jadi matriks transfer

H

_yu

( P , C )

terdefenisi dengan baik kalau 

 





 



p m

I s P

s C K I

) (

)

1 (

ada

atau ekivalen dengan K 0jika

H

_yu

( P , C )

dinyatakan terdefenisi dengan baik maka dikatakan bahwa sistem loop tertutup



⁽^P^,^C⁾’well posed’.

Selanjutnya pasangan ( P,C ) stabil jika K 0 dan H_yu( , )P C S⁽^{p m}^{  }^{) (}^{p m}⁾.C(s) disebut kompensator yang menstabilkan P(s) jika sistem



⁽^P^,^C⁾stabil.Dapat dilihat bahwa



⁽^P^,^C⁾stabil jika hanya jika



⁽^C^,^P⁾^stabil.

(3)

Tulisan ini bertujuan ingin melihat bentuk suatu kompensator C(s) untuk suatu plant P(s). sebelumnya, didefenisikan dulu S-Matrix Fraction Description dari suatu matriks.

Untuk itu kita memerlukan proposisi berikut yang dalam pembuktiannya menggunakan teorema bentuk kanonik Smith-McMillan.

Proposisi 1.

Missal T s( )( )s ^{p m}^ dengan rank_₍_s₎

T ( s )



r

,maka T(s) dapat dinyatakan sebagai

1 2 2 1

1

1( ) ( ) ( ) ( )

)

(s  A s ^ B s B s A s ^

T dimana

A s

₁

( )



S

^pxp

, B s

₁

( )



S

^{p m}^ saling prim kiri di

,

A s

₂

( )



S

^{m m}^

, B s

₂

( )



S

^{p m}^ saling prim kanan di . Bukti:

Misal

U s

_L

( )



S

^{p p}^

, U s

_R

( )



S

^{m m}^ , U_L( ) ( )s T s U_R( )s  S matriks unimodular Misalkan

pxm r

r s

T s

s s s

diag s

S ( )

) (

) , ( ), (

) ' (

1 1 )

( 



 



 









 

Kemudian dapat ditulis

1 1

)

( ^( )^ ^( ) ^( ) ^( )^

  s E s E s s

S_T _s _L _R

dengan

 



r m r



^mxm

R

pxm r

m r p r

pxp r

p r L

S I

s s

diag s

S s

s diag s

E

S I

s s

diag s

















 



 

), ( , ), ( )

(

0 ) ( , ), ( )

(

), ( , ), ( )

(

1

, 1

1









.

Definisikan

) ( ) ( ) (

) ( ) ( )

(

1 2

1 1

2 1

s E s U s B

s U s E s B

s s U s A

s U s s

A

L R R R

L L

















sehingga diperoleh

   



 





 



 







 







 



 









) (

) ( )

( 0

0 )

( )

( ) (

) ( 0

0 )

) ( ( ) ( )

( ) (

1

2 2

1

1 1

s s E s U s U s

A s B

s U s s U

s E s A s B

R R L

L R

R

Karena 



 



 ^

) ( 0

0 )

( ¹

s U s U

L

R S-matriks unimodular dan

E

^

( s ),

_L^

( s )

saling prim kiri maka

A1(s) saling prim kiri dengan B1(s) di .Dengan cara yang sama pula diperoleh A2(s) saling prim kanan dengan B2(s) di .Perhatikan bahwa

(4)

) ( ) ( )

( ) ( )

( ₂

1 s s U s danA U s s

A  _L^ _L  _R _R^

Karena UL(s) dan UR(s) matriks unimodular, U_L(s)danU_R(s)suatu unit di S, dan pula )

( )

(s _R s

L



  

 . Sehingga dapat disimpulkan bahwa A₁(s) sekawan dengan A₂(s) .

Definisi 2.

Pasangan A1(s), B1(s) atau A2(s), B2(s) yang memenuhi proposisi di atas disebut S-Matrix Fraction Description (S-MFD) dari T(s) yang saling prim kiri atau kanan di .

Misalkan P(s) = A1(s)^-1 B1(s) = B2(s)A2(s)^-1masing-masing adalah S-MFD dari P(s) yang

saling prim kiri dan kanan di dimana

mxm pxm

pxm

pxp B s S B s S A s S

S s

A₁( ) , ₁( ) , ₂( ) , ₂( ) .

Dan misalkan pula C(s) = D1(s)^-1N1(s) = N2(s)D2(s)^-1 juga S-MFD dari C(s) yang saling prim kiri dan kanan di  dengan D₁(s)S^mxm,N₁(s)S^mxp,N₂(s)S^mxp,D₂(s)S^pxp maka



 





 



 

















 



 







) ( ) (

) ( ) ( )

( 0

0 )

(

) ( ) (

) ( ) ( )

(

) (

1 1

1 1 1 1

1 1 1

s A s B

s N s D s

A s D

I s

B s A

s N s D I

I s P

s C I

p m

sehingga



 



 



 





 



 







 

) ( 0

0 ) ( )

( ) (

) ( ) ( )

(

) (

1 1

1

1 1

1

s A s D s

A s B

s N s D I

s P

s C I

p

m .

Mengingatbahwa

) ( )

(

) ( 0

0 ) ( )

( ) (

) ( ) (

) ( ) ( 0

0 )

( ) ( ) ( 0

0 ) ( )

( ) (

) ( ) (

) ( 0

0 ) ( )

(

) ) (

, (

1

1 1

1

1 1

1 1 1 1

1 1

1

1 1

1

s N s

D

s B s N s

A s B

s N s D

s B s A s N s D s A s D s

A s B

s N s D

s P s C I

s P

s C C I

P H

yl yl

p m

yu



 







 



 



 





 



 



 



 



 



 





 



 



 



 





 

Jelas bahwa D_yl(s),N_yl(s)S⁽^m^^p⁾^x⁽^m^^p⁾ Dengan cara yang sama diperoleh

1

2 2

2

) ( ) (

) ( )

(

) ( )

( 0

) (

) ( ) 0

, (







 





 



 





s D s N

s N s A

s D s B s

B

s C N

P H

yr yr

yu

(5)

Jelas pula N_yr(s),D_yr(s)S⁽^m^^p⁾^x⁽^m^^p⁾ Proposisi 3.

) ( ), ( s N s

D

_yl _yl saling prim kiri di dan

N

_yr

( s ), D

_yr

( s )

saling prim kanan di . Bukti:

 ^{ }



 



 



M p

m m

p p m yl

yl

I

I I

I I I

s A s B s

N s D

s B s

A s B

s N s

N s s D

N s D

















 



 





 



 



 





 

0 0 0

0 0

0 0 0

) ( ) (

| 0 0

0 0

| ) ( ) (

) ( 0

| ) ( ) (

0 ) (

| )

) ( (

| ) (

1 1

1

1 1

1

Karena diketahui D₁(s),N₁(s)saling prim, begitu pula B₁(s),A₁(s)saling prim dan M matriks unimodular, jadi

D

_yl

( s ), N

_yl

( s )

saling prim.Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula

D

_yr

( s ), N

_yr

( s )

saling prim.

Dari uraian di atas, telah diperoleh

1

1 ( ) ( ) ( )

) ( )

,

(P C D s ^ N s N s D s ^

H_yu _yl _yl _yr _yr . Jika C(s) menstabilkan P(s), berarti

) ( )

) (

,

( ^m ^p ^x^m ^p

yu P C S

H  ^ ^ . Hal ini terjadi jika dan hanya jika matriks penyebut

) ( ) ( 2

2

2 2

) ( ) ( 1

1

1 1

) ( ) (

) ( ) ) (

(

) ( ) (

) ( ) ) (

(

p m x p m yr

p m x p m yl

s S N s A

s D s s B

D

s S A s B

s N s s D

D







 









 





 

keduanya S-unimodular.

D

ylmerupakan matriks S-unimodular jika dan hanya jika

S s u s N s B s D s A

s D s N s B s D s A s D

s N s D s B s A s D

s A s B

s N s s D

D

_yl



















 





 



) ( ) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) (

) ( ) ) (

(

2 1 2

1

1 2 2 1 2

1 1

1 1 1 1 1

1

1 1

dengan u(s) suatu unit di S.Ekivalen dengan A₁(s)D₂(s)B₁(s)N₂(s)F₁S^pxpS- unimodular.Dengan cara yang sama

D

_yr

(s )

S-unimodular jika hanya jika

S s u s B s N s A s s D

N s A

s D s s B

D

_yr     



 





 

( ) ( ) ( ) ( ) ' ( )

) ( )

(

) ( )

) (

(

₁ ₂ ₁ ₂

2 2

(6)

dengan

u ' s ( )

suatu unit di S.Ekivalen dengan D₁(s)A₂(s)N₁(s)B₂(s)F₂S^mxmS- unimodular.Dari penjelasan di atas, kita peroleh teorema berikut.

Teorema 4.

Misalkan P(s)^pxm_pr (s)dan P(s) A₁(s)^¹B₁(s)B₂(s)A₂(s)^¹masing-masing S-MFD dari P(s) yang saling prim kiri dan kanan di .

Misalkan pula C(s)^mxp_pr (s)dan C(s)D₁(s)^¹N₁(s) N₂(s)D₂(s)^¹masing-masing S-MFD dari C(s) yang saling prim kiri dan kanan di , maka pernyataan berikut ekivalen

(i). C(s)-menstabilkan P(s)

(ii). ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

1 1

) ( ) (

) ( )

( _m _p _x_m _p

s S A s B

s N s

D _ _





 





 merupakan S-unimodular

(iii). ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

2 1

2 2

) ( )

(

) ( )

( _m _p _x_m _p

s S N s

A

s D s

B _ _





 





 merupakan S-unimodular

(iv). A₁(s)D₂(s)B₁(s)N₂(s)F₁S^pxpmerupakan S-Unimodular (v). D₁(s)A₂(s)N₁(s)B₂(s)F₂S^mxmmerupakan S-unimodular.

Akibat 5.

Misalkan ^P

 

^s ^ppr^m^(s⁾

 

 dan

 

1 2 2 ¹

1

1( )^ ( ) ( ) ( )^

 A s B s B s A s s

P masing-masing

merupakan S-MFD dari

P (s )

yang saling prim kiri dan kanan di . Misalkan )

( )

(s s

C ^m_pr^^p dan

C (s )

-menstabilkan

P (s )

. Maka

C (s )

mempunyai S-MFD yang saling prim kiri dan kanan di  dengan C(s)D₁(s)^¹N₁(s)N₂(s)D₂(s)^¹ sedemikian sehingga:

I

p

s N s B s D s

A

₁

( )

₂

( )

 ₁

( )

₂

( )

 Im

s B s N s A s

D₁( ) ₂( ) ₁( ) ₂( ) Bukti:

Misalkan ₁ ¹ ₁ ₂

~ 2 ( )

¹

)

~ ( )

( s



D s

^

N s



N s D s

^

C

masing-masing S-MFD dari

C (s )

yang

saling prim kiri dan kanan di . Menurut Teorema 4(i) dan 4(v) di atas,

C (s )

- menstabilkan

P (s )

jika dan hanya jika matriks

D

₁

s A

₂

s



N ~

₁

( s ) B

₂

( s )



F

₂

S

^m^^m

) ( )

~ (

. Jadi

Im

s B s N F s A s D

F ^  ^ ~ ( ) ( ) )

( )

~ (

2 1 1 2 2

1 1 2

Definisikan

D



F

^

D ~ ( s )



S

^m^^m

1 1 2 1

N



F

^

N ~ ( s )



S

^p^^p

1 1 2 1

Maka C(s)D₁(s)^¹N₁(s) merupakan S-MFD dari

C (s )

saling prim kiri di  dan Im

s B s N s A s

D₁( ) ₂( ) ₁( ) ₂( ) . Untuk persamaan

A

₁

( s ) D

₂

( s ) B

₁

( s ) N

₂

( s )



I

_p, dibuktikan dengan cara yang sama.

(7)

Catatan 6.

Perhatikan

1 2 2 1

1

1( ) ( ) ( ) ( )

)

(s A s ^ B s B s A s ^ P

atau



⁽ ⁾ ⁽ ⁾



⁽ ⁾ ⁽ ⁾



⁽ ⁾ ⁽ ⁾



⁽ ⁾

)

( ₁ ¹ ₁ ₂ ₁ ₂ ₂ ¹ ₂

1 s A s B s A s A s B s A s A s

A ^  ^

Sehingga

) ( ) ( ) ( )

( ₂ ₁ ₂

1 s A s A s B s

B 

dan pula

1 2 2 1

1

1( ) ( ) ( ) ( )

)

(s D s ^ N s N s D s ^

C ⁽ ⁾



⁽ ⁾ ⁽ ⁾



⁽ ⁾ ⁽ ⁾



⁽ ⁾ ⁽ ⁾



2⁽ ⁾ 1 2 2 1 2

1 1 1

1 s D s N s D s D s N s D s D s

D ^  ^

sehingga

).

( ) ( ) ( )

( ₂ ₁ ₂

1 s D s D s N s

N 

persamaan yang telah diperoleh, dituliskan dalam bentuk blok matriks

(i) 



 







 



 



 





 p

m

I I s

D s B

s N s A s A s B

s N s D

0 0 )

( )

(

) ( )

( )

( ) (

) ( ) (

2 2

1 1

Dengan menukar urutan matriks diperoleh pila

(ii) 



 







 





 



 



 

p m

I I s A s B

s N s D s

D s B

s N s A

0 0 )

( ) (

) ( ) ( )

( )

(

) ( )

(

1 1

2 2

Kedua persamaan diatas dikenal sebagai identitas Bezout.Dari persamaan identitas Bezout diatas (khususnya (ii)) diperoleh pula akibat berikut.

Akibat 7.

Misalkan P(s)^p_pr^^m(s) dan

1 2 2 1

1

1( ) ( ) ( ) ( )

)

(s A s ^ B s B s A s ^ P

masing-masing adalah S-MFD dari yang prim kiri dan kanan di . C(s)^m_pr^^p(s) dan

)

(s

C

-menstabilkan

P (s )

.Maka

C (s )

mempunyai S-MFD yang saling prim kiri dan kanan di Ω yaitu C(s)D₁(s)^¹N₁(s) N₂(s)D₂(s)^¹ sedemikian sehingga:

).

( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( 1 ) (

1 2 1

2

1 2 1

2

1 2 1

2

1 2 2

s B s D s D s B

s A s N s N s A

I s N s B s A s D

I s B S N s D s A

p m









(8)

2. Aplikasi pada Persamaan Diferensial

Pada bagian ini, metode yang baru saja didapat akan dibandingkan keakuratannya dengan metode yang berorde rendah, dalam hal ini Adams-Bashforth-Moultonorde empat.

Dan untuk mendapatkan beberapa nilai awal lain, kita menggunakan metode Runge-Kutta orde lima (lihat [6]) yang memiliki persamaan :

) ,

1 hf(xn yn

k 

) ,

( ₃¹ ¹₃ ₁

2 hf x h y k

k  _n  _n 

) ,

( ¹₃ ₆¹ ₁ ¹₆ ₂

3 hf x h y k k

k  _n  _n  

) ,

( ¹₂ ₈¹ ₁ ₈³ ₂

4 hf x h y k k

k  _n  _n  

) ,

( ₃² ₂₇² ₁ ₉¹ ₂ ₃¹ ₃ ₂₇⁴ ₄

5 hf x h y k k k k

k  _n _n    

) 4

,

( ₂₂¹ ₁ ₂₂³ ₂ ₁₁²⁷ ₃ ₄ ₁₁²⁷ ₅

6 hf x h y k k k k k

k  _n  _n     



₁ ₃ ₄ ₅ ₆



120

1 y 1 11k 81k 64k 81k 11k

y_n_  _n     

Disini akan ditinjau persamaan diferensial dengan syarat awal :

 

⁰ ⁰

,

'  yx2 y 

y

yang mempunyai solusi eksak

y   x



e

^x 

x



1

.

Hasil perhitungan dengan memilih

h



0 , 1

dan diperoleh hasil seperti yang tersaji pada tabel berikut :

x P-C orde 4 P-C orde 5 Runge-Kutta orde 5

Error Error Error

0,5 1.1487212707 1.1487216822 4.12E-

07 1.1487212735 2.84E-

09 1.1487212602 1.05E- 08 0,6 1.4221188004 1.4221194868 6.86E-07 1.4221188164 1.60E-08 1.4221187865 1.39E-08 0,7 1.7137527075 1.7137537221 1.01E-

06 1.7137527390 3.16E-

08 1.7137526895 1.80E- 08 0,8 2.0255409285 2.0255423329 1.40E-06 2.0255409789 5.04E-08 2.0255409058 2.27E-08 0,9 2.3596031112 2.3596049762 1.86E-

06 2.3596031839 7.28E-

08 2.3596030829 2.83E- 08 1,0 2.7182818285 2.7182842353 2.41E-06 2.7182819278 9.93E-08 2.7182817938 3.47E-08

Dari tabel diatas, terlihat bahwa metode Adams-Bashforth-Moulton ordo lima lebih akurat dari ordo empat, akan tetapi kurang akurat dibandingkan dengan metode Runge-Kutta ordo lima. Metode Adam-Bashforth-Moulton ordo lima memberikan alternatif metode dalam mendapatkan solusi dengan tingkat ketelitian yang lebih tinggi dengan jumlah komputasi yang lebih sedikit dibanding dengan metode Runge-Kutta ordo lima.

Daftar Pustaka

[1] Conte, S.D. dan De Boor, C., 2001, ”Dasar-Dasar Analisa Numerik”. Wayne Anderson, Makassar.

1

 _n

x x

e ⁿ

yn y_n y_n

(9)

[2] Kreyszig, E., 1993, “Advanced Engineering Mathematics”.Wayne Anderson, Singapore.

[3] Kusuma, J. dan Muhtar, 2006, ”Metode Runge–Kutta orde lima untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa”, Jurusan Matematika FMIPA Unhas, Makassar.

[4] McCracken, D.D. dan. Dorn, W.S., 1986 ”Studi Kasus Metode Numerik dengan Fortran IV, terj.Farida Muchtadi”. Penerbit Erlangga, Jakarta.

[5] Munir, R., 2003, ”Metode Numerik”.PenerbitInformatika, Bandung.

[6] Purcell, E.J., dan Varberg, D., 1987, ”Kalkulus dan Geometri Analitis”. Penerbit Erlangga, Jakarta.