BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pengertian Lubang Hitam

Lubang hitam (black hole) adalah sebuah pemusatan massa yang cukup besar sehingga menghasilkan gaya gravitasi yang sangat besar. Gaya gravitasi yang sangat besar ini mencegah apa pun lolos darinya kecuali melalui perilaku terowongan kuantum. Tak ada sesuatu, termasuk radiasi elektromagnetik yang dapat lolos dari gravitasinya, bahkan cahaya hanya dapat masuk tetapi tidak dapat keluar atau melewatinya, dari sini diperoleh kata hitam. Istilah lubang hitam telah tersebar luas, meskipun tidak menunjuk ke sebuah lubang dalam arti biasa, tetapi merupakan sebuah wilayah di angkasa di mana semua tidak dapat kembali. Secara teoritis, lubang hitam dapat memiliki ukuran apa pun, dari mikroskopik sampai ke ukuran alam raya yang dapat diamati.

Gambar 2.1. Kelengkungan ruang di sekitar lubang hitam

Lubang hitam merupakan fenomena alam yang paling eksotis ditemui dalam fisika saat ini. Sifat ruang-waktu dalam sebuah lubang hitam cukup membuat ilmu lubang hitam tampak lebih seperti fiksi ilmiah. Bahkan lebih mengejutkan adalah koneksi fisika lubang hitam dengan termodinamika. Secara klasik lubang hitam menjadi bintang mati sempurna, yaitu harus memiliki nol mutlak sebagai temperatur fisik. Tapi itu tidak begitu sejak Hawking telah menemukan penemuan yang mengejutkan bahwa lubang hitam memancarkan termal sedangkan Bekenstein menyarankan bahwa ada entropi terkait dengan lubang hitam, yaitu entropi lubang hitam. Namun, lubang hitam memiliki entropi yang pertama muncul dari kesadaran bahwa dalam horizon peristiwa luas permukaan cenderung luar biasa untuk meningkat ketika mengalami transformasi apapun diperhatikan oleh Floyd dan Penrose dan kemudian didukung oleh Christodoulou. Hawking adalah orang pertama yang memberikan bukti umum bahwa luas permukaan dari lubang hitam tidak dapat menurun dalam setiap proses dan selain itu ia menunjukkan bahwa ketika dua lubang hitam menyatu, area lubang hitam yang dihasilkan tidak bisa lebih kecil daripada jumlah daerah awal. Hal ini mengingatkan kita pada hukum kedua termodinamika biasa yang menyatakan bahwa perubahan dari suatu sistem termodinamika tertutup berlangsung di arah peningkatan entropi. Secara historis, fisikawan tidak yakin tentang validitas termodinamika lubang hitam sebelum radiasi Hawking ditemukan.

Lubang hitam dengan segala karakteristiknya seperti yang telah dijelaskan di atas merupakan hal yang tidak biasa ditemui dalam kerangka makroskopik kehidupan manusia sehari-hari, sehingga pada awal mulanya teori yang berdasarkan observasi ini tidak begitu menarik untuk dibahas. Akan tetapi, hal tersebut berubah setelah berkembangnya ilmu fisika modern, khususnya perkembangan teori relativitas yang membahas mengenai ruang dan waktu.

Kebanyakan orang berpikir tentang lubang hitam sebagai sebuah wilayah dimana semua yang ada disekitarnya akan masuk ke dalam dan tidak akan kembali lagi.Tapi hal tersebut tidak sepenuhnya benar. Sebuah lubang hitam adalah tempat di mana terdapat gravitasi yang sangat kuat sehingga kecepatannya lebih cepat daripada kecepatan cahaya.

Pada relativitas umum, horizon peristiwa adalah perbatasan dalam ruang- waktu, suatu daerah disekitar lubang hitam, yang di dalamnya peristiwa-peristiwa tidak dapat mempengaruhi pengamat yang berada di luar. Cahaya yang dipancarkan dari dalam horizon peristiwa tidak akan pernah bisa mencapai pengamat , dan apapun yang melewati horizon peristiwa dari sisi pengamat nampak diam ditempat, dengan citranya menjadi lebih bergeser ke arah merah seiring berjalannya waktu. (Wospakrik, H. J., 1987)

Lubang hitam dipahami sebagai suatu kawasan yang tidak memiliki kemungkinan untuk berkomunikasi dengan kawasan di luarnya. Batas kawasan ini dikenal sebagai horizon peristiwa. Lubang hitam adalah perwujudan dari singularitas.

Gambar 2.2. Diagram ruang-waktu

Diagram ruang-waktu yang menunjukkan suatu partikel yang dipercepat, P, dan suatu peristiwa E yang ada di luar horizon peristiwa partikel tersebut. Kerucut cahaya muka dari peristiwa tersebut tidak pernah berpotongan dengan garis dunia partikel itu.

Jika suatu partikel bergerak dengan kecepatan tetap dalam alam semesta tak mengembang yang bebas dari medan gravitasi, peristiwa apapun yang terjadi dalam alam semesta itu akhirnya akan teramati oleh partikel tersebut, karena kerucut cahaya muka dari peristiwa-peristiwa ini berpotongan dengan garis dunia partikel itu. Di pihak lain, jika partikel tersebut dipercepat, pada beberapa situasi kerucut cahaya dari beberapa peristiwa tidak pernah memotong garis dunia partikel itu. Dalam keadaan ini, horizon peristiwa ada pada kerangka acuan (yang dipercepat) dari partikel tersebut, mewakili perbatasan yang diluarnya peristiwa-peristiwa tidak dapat diamati.

Contohnya, ini terjadi dengan partikel dipercepat secara seragam. Diagram ruang-waktu situasi ini ditunjukkan pada gambar 2.2. Saat partikel itu mengalami percepatan, ia mendekati, namun tidak pernah mencapai, kecepatan cahaya mengacu pada kerangka acuan asalnya. Pada diagram ruang-waktu, jalurnya adalah hiperbola, yang mendekati secara asimtot suatu garis 45 derajat (jalur dari berkas cahaya). Suatu peristiwa yang tepian kerucut cahayanya merupakan asimtot ini atau lebih jauh dari asimtot ini tidak akan pernah teramati oleh partikel yang dipercepat itu. Pada kerangka acuan partikel itu, nampaknya merupakan perbatasan di baliknya dari mana tak satu sinyalpun yang dapat lolos (sebuah horizon peristiwa). (Russel, B., 1960)

2.2 Persamaan Medan Einstein

Untuk setiap sistem fisis, setiap hukum yang menghubungkan besaran fisis tidak akan bergantung kepada pemilihan sistem koordinat. Hal ini berarti, persamaan gerak sistem akan memiliki bentuk yang tetap di dalam semua sistem koordinat.

Persamaan yang tidak berubah bentuknya terhadap transformasi koordinat dikatakan memiliki sifat invarian terhadap transformasi tersebut. Sifat inilah yang menyebabkan tensor banyak digunakan untuk menelaah suatu sistem fisis.

Lubang hitam pada awalnya hanya spekulasi sebagai hasil perhitungan oleh Laplace di tahun 1795 ketika membahas secara klasik dengan kecepatan lebih besar dari kecepatan cahaya, tetapi gagasannya tidak menarik banyak perhatian. Kemudian

di tahun 1916 Karl Schwarzschild mampu menyelesaikan persamaan medan Einstein dalam vakum untuk bermuatan sistem koordinat bola dan solusinya dikenal sebagai solusi Schwarzschild, yang menunjukkan jenis lubang hitam paling sederhana yaitu lubang hitam Schwarzschild yang hanya ditentukan oleh sebuah parameter tunggal, yaitu massa M. Lubang hitam sebagian besar didasarkan pada teori umum relativitas Einstein, yang merupakan teori gravitasi. Relativitas adalah teori geometri karena studi matematika dari ruang-waktu, baik melengkung atau datar, adalah geometri.

Tensor adalah besaran yang merupakan perluasan dari vektor, seperti halnya vektor merupakan perluasan dari besaran skalar. Tensor memiliki komponen- komponen seperti halnya vektor. Besaran vektor sangat penting di dalam fisika karena dapat menyatakan objek dengan kaedah-kaedah yang tetap sama meskipun kerangka acuan yang dipilih berubah-ubah. Perubahan kerangka acuan memang menyebabkan nilai komponen tensor berubah pula, namun kaedah-kaedah yang berlaku bagi komponen tensor tetap tidak berubah.

Teori relativitas umum yang dicetuskan Albert Einstein berbicara tentang interaksi gravitasi. Relativitas umum yang dibangun berdasarkan persamaan medan Einstein mengambil sudut pandang yang berbeda dengan gravitasi Newton. Menurut teori relativitas umum, gravitasi bukanlah efek dari tarikan benda bermassa seperti anggapan Newton melainkan efek dari kelengkungan ruang waktu berdimensi 4.

Kelengkungan ini ditentukan oleh distribusi materi dan energi. Relativitas umum dinyatakan dalam bentuk tensor. Setiap jenis ruang-waktu diberikan dengan waktu yang tepat dan interval ruang yang dijelaskan oleh elemen baris atau metrik yang merupakan interval invarian. (Bergmann, P. B, 1960)

Ditinjau dua buah titik x dan ^µ x^µ +dx^µ di dalam ruang sembarang berdimensi N. Kuadrat jarak antara kedua titik tersebut dinyatakan oleh

ν µνdxµdx g

ds² = (2.1)

dengan µ,ν =1,2,...,N dan

NN N

N

g g

g g

g g









1

1 11

det =

= _µν (2.2)

ds disebut kuadrat elemen jarak dan 2 g_µν adalah tensor metrik kovarian.

Persamaan (2.1) dapat diubah bentuknya menjadi:

( ) ( )

[

gµν gνµ gµν gνµ

]

dx^µdx^ν

ds = + + −

2

2 1

(2.3)

dengan mengambil

(

gµν ⁻gνµ

)

dx^µdx^{ν =0} (2.4)

maka

νµ

µν g

g = (2.5)

sehingga g_µν efektif merupakan suatu tensor simetri.

Vektor dalam ruang waktu memiliki panjang (kuadrat) A² = g_µνA^µA^ν. Berdasarkan nilai dari panjang vektor (kuadrat) ini, vektor dibagi tiga jenis:

1. Vektor timelike untuk A² >0. 2. Vektor spacelike A² <0. 3. Vektor null atau lightlike A² =0

Turunan dari vektor kontravarian dan vektor kovarian dinyatakan dengan:

α ανµ ν µ

νAµ =∂ A +Γ A

∇ (2.6)

α α µν µ ν µ

νA =∂ A −Γ A

∇ (2.7)

Dengan Γ_µν^α merupakan simbol christoffel yang berhubungan dengan transformasi basis dari satu koordinat ke koordinat lainnya.

Simbol christoffel dinyatakan dengan:

{ }

^{( )}

2 , 1

α µν µ

νβ ν

αβ µβ µνα µν α

x g x

g x

g g

∂

−∂

∂ +∂

∂

= ∂

=

Γ (2.8)

Kelengkungan ruang waktu 4 dimensi dicirikan oleh tensor Riemann-Christoffel.

Hubungan antara tensor Riemann dengan simbol Christoffel adalah:

β µα η βν β µν η βα η µα ν η µν α η

µαν =∂ Γ −∂ Γ +Γ Γ −Γ Γ

R (2.9)

Ruang minkowski merupakan ruang datar yang memiliki tensor Riemann-Christoffel.

Dari tensor Riemann-Christoffel kemudian dapat didefenisikan tensor Ricci dengan kontraksi dua indeks dari tensor Riemann-Christoffel

νµαν

µα R

R = (2.10)

Dari tensor Ricci kemudian didefenisikan Ricci skalar:

µα µα

R g

R= (2.11)

Tensor Ricci dan Ricci skalar dapat digunakan untuk mendefenisikan tensor Einstein:

R g R

G_{µν µν µν} 2

−1

= (2.12)

Jika tetapan kosmologi Λingin diikutsertakan, persamaan tensor Einstein menjadi

µν µν

µν

µν R g R g

G = − −Λ

2

1 (2.13)

Adapun rapat massa yang menimbulkan potensial medan gravitasi diperluas menjadi tensor energi-momentum T_µν dengan rapat massa energi termasuk salah satu komponen didalamnya dan dapat dilakukan perluasan bahwa kelengkungan ruang- waktu sebanding pula dengan tensor energi-momentum yang dirumuskan sebagai

µν µν

µν g R kT

R − =−

2

1 (2.14)

dengan 8 ₄ c k πG

= sehingga persamaan gravitasi Einstein menjadi:

µν µν

µν

π T c R G g

R 8 ₄

2

1 =−

− (2.15)

Persamaan medan Einstein menghubungkan kelengkungan ruang waktu dan distribusi massa-energi. Persamaan ini berbentuk:

µν µν

µν µν

π T c g G

R g

R 8 ₄

2

1 − Λ =−

− (2.16)

dengan : R,Λ G, = merupakan besaran yang bukan tensor karena tidak memiliki indeks

µν =

µν

µν g T

R , , tensor kovarian rank 2

Λ adalah konstanta kosmologi. Konstanta kosmologi dapat bernilai positif dan negatif yang mendekati nol. Jika konstanta kosmologi bernilai negatif mendekati nol maka gravitasi akan bersifat menarik secara kuat dan seluruh alam semesta luasnya bisa menjadi beberapa kaki, sedngkan jika konstanta kosmologi bernilai positif mendekati nol maka gravitasi akan bersifat menolak dan segala sesuatu akan beterbangan menjauh dari kita begitu cepatnya sehingga cahayanya tidak pernah akan mencapai kita. Nilai konstanta kosmologi sangat berkaitan dengan model kosmologi alam semesta.

2.3 Solusi Schwarzschild

Titik dalam ruang waktu 4 dimensi (sering disebut sebagai peristiwa) dicirikan oleh koordinat yang terdiri dari 1 koordinat waktu dan 3 koordinat ruang. Sebagai contoh ruang Minskowski dicirikan oleh koordinat x^a =(x⁰,x¹,x²,x³)=(t,r,θ,φ). Metrik ruang-waktu datar dalam wakilan koordinat bola diberikan oleh

(

^{2 2 2}

)

2 2 2 2

2 c dt dr r dθ sin θdφ

ds =− + + + (2.17)

Mengikuti penulisan Weinberg (1972), nilai c sama dengan 1 sehingga metrik diatas menjadi

(

^{2 2 2}

)

2 2 2

2 dt dr r dθ sin θdφ

ds =− + + + (2.18)

Selanjutnya akan ditinjau metrik untuk medan gravitasi isotropik statik. Tensor metrik untuk medan tersebut, yang dalam hal ini komponen g dan ₁₁ g hanya merupakan ₂₂ fungsi radial r. Bentuk metriknya menjadi

( )

²

( )

^{2 2}

(

^{2 2 2}

)

2 B r dt A r dr r dθ sin θdφ

ds =− + + + (2.19)

dimana metrik di atas akan kembali ke metrik Minkowski jika sumber medan gravitasi diabaikan. Dari metrik di atas, komponen tensor metrik kovarian menjadi:

( )

^r

B

g₁₁ =− , ^g₂₂ = ^A

( )

^r , g₃₃ =r², g₄₄ =r²sin²θ (2.20)

Selanjutnya syarat batas untuk A dan B adalah bahwa untuk r→∞, bentuk metrik isotropik statik tersebut harus kembali ke bentuk metrik Minkowski dalam koordinat bola. Dengan syarat batas ini hubungan antara ^A

( )

^{r dan B}

( )

^r dapat dituliskan secara lebih eksplisit dalam bentuk

( )

r B

( )

r

A 1

= (2.21)

Untuk jarak yang cukup jauh dari pusat massa m yang terletak di pusat koordinat O, komponen g₁₁=−B harus bernilai mendekati −

(

¹+^2U

)

dengan U adalah potensial Newtonian benda bermassa M pada jarak r yang bernilai

r M

U =−G . Jadi nilai

tetapan integrasi di atas adalah −2GM , sehingga

( )





 

 −

= r

M r G

B 2

1 (2.22)

dan

( )

^{1 2} ⁻¹



 

 −

= r

M r G

A (2.23)

Akhirnya bentuk metrik isotropik statik untuk ruang-waktu 4 dimensi berkoordinat bola adalah:

(

^{2 2 2}

)

2 2 1 2

2 2 sin

2 1

1 dr r dθ θdφ

r M dt G

r M

ds G  + +



 

 −

 +



 

 −

−

=

−

(2.24)

Bentuk metrik ini pertama kali diturunkan oleh K. Schwarzschild pada tahun 1916.

Karena itu, metrik ini sering disebut metrik Schwarzschild. Bentuk metrik tersebut masih mengisi nilai c=1. Apabila nilai c diisikan, bentuk metrik Schwarzschild menjadi:

(

^{2 2 2}

)

2 2 1 2 2

2 2

2 2 sin

2 1

1 dr r dθ θdφ

r c

M dt G

r c c

M

ds G  + +



 

 −

 +



 

 −

−

=

−

(2.25)

Dengan ₂

c M

m= G maka metrik di atas menjadi:

(

^{2 2 2}

)

2 2 1 2

2

2 2 sin

2 1

1 dr r dθ θdφ

r dt m

r c

ds m  + +



 

 −

 +



 

 −

−

=

−

(2.26)

Dari persamaan (2.27) tampak bahwa metrik tersebut tidak valid untuk

2

2 2

c M m G

r = = (2.27)

dengan: ds Jarak terdekat antara peristiwa yang terjadi pada ruang Minkowski. =

=

r Radius Schwarzschild

=

G Tetapan gravitasi

(

^{6.673x10−11Newton m2 s2}

)

=

c Kecepatan cahaya 3x10⁸m s

=

M Massa Benda

Jari-jari Schwarzschild tersebut membentuk horizon peristiwa yang memisahkan dua daerah:

I. 2m< r<∞ II. 0<r <2m

Wilayah I disebut wilayah lubang hitam sedangkan titik r =0 disebut titik singularitas intrinsik.

Beberapa karakteristik penting dari solusi Schwarzschild adalah:

1. Partikel yang bergerak menuju titik singularitas akan merasakan tarikan gravitasi yang sangat kuat.

2. Partikel (termasuk cahaya) tidak ada yang mampu keluar dari wilayah I (batas horizon peristiwa). Partikel/cahaya yang bergerak radial keluar tidak akan pernah menembus horizon peristiwa.

3. Cahaya atau sinyal yang dipancarkan dari dekat horizon peristiwa (wilayah II) akan mengalami pergeseran ketika diterima oleh pengamat yang jauh.

(Anugraha, R, 2005)

Dari persamaan (2.27) didapat geometri dari suatu vakum bola simetris, yaitu vakum ruang-waktu diluar bola lubang hitam adalah geometri Schwarzschild yang digambarkan dalam bentuk metrik Schwarzschild

2 2 2 1 2

2 2

2 1

1  + Ω



 

 −

 +



 

 −

−

=

−

d r r dr

dt m r

ds m (2.28)

dengan dΩ² =dθ² +sin²θdφ² . Metrik Schwarzschild merupakan sebuah medan gravitasi yang memiliki singularitas di permukaan r = 2m . Permukaan lubang hitam merupakan horizon peristiwa yang pada kenyataannya tidak bisa dilihat di luarnya.

Hanya diwilayah dan di luar wilayah permukaan lubang hitam dimana r≥2m adalah observasional relevan. Metrik Schwarzschild memerlukan asimtotik datar untuk r yang besar yaitu

2 2 2 1 2

2 2

2 1

1  + Ω



 

 −

 +



 

 −

−

≈

−

d r r dr

dt m r

ds m (2.29)

dan selain itu Persamaan (2.29) dapat menunjukkan bahwa gravitasi Newton hanya membatasi kasus relativitas umum.

Penggambaran radius Schwarzschild dalam lubang hitam dapat dilihat pada gambar dibawah ini :

Gambar 2.3. Lubang hitam Schwarzschild bermassa M beradius rs.

Sejauh ini, lubang hitam Schwarzschild hanya bergantung pada massa. Lubang hitam yang sederhana ini astronomis yaitu jatuhnya sebuah bintang berputar tidak bermuatan dengan simetri bola . Keruntuhan gravitasi dari bintang tidak bulat dengan muatan total tidak nol menghasilkan lubang hitam yang agak berbeda yang dapat ditandai oleh m massa, momentum sudut intrinsik atau spin J dan muatan listrik Q.

Hal ini ditemukan bahwa struktur dari sebuah lubang hitam ditentukan secara unik dengan hanya tiga parameter, yaitu m, J dan Q setelah berada dalam keadaan akhir.

Lubang hitam dalam keadaan akhir hanya dengan m dan Q, memiliki medan gravitasi yang diberikan oleh metrik Reissner-Nordstrom dengan bentuk:

2 2 2 1

2 2 2

2 2

2 2

2 1

1  + Ω



 



 − +

 +



 



 − +

−

=

−

d r r dr

Q r dt m

r Q r

ds m (2.30)

dimana masing-masing m dan Q adalah massa total dan muatan yang diukur oleh pengamat. Untuk muatan lubang hitam berputar, (yaitu lubang hitam yang hanya ditandai oleh m dan J) geometri yang diberikan oleh metrik Kerr (biasanya diwakili

dalam koordinat Boyer-Lindquist) menggunakan Jm

a= . Pentingnya nilai ekstrim suatu kasus dengan menganggap bahwa

⇒ m = 0

a Tidak ada spin, maka dikurangi dengan kasus Schwarzchild.

⇒ m = 1

a Lubang hitam Kerr ekstrim tercapai.

Gambar 2.4: Lubang hitam Schwarzschild di koordinat Kruskal-Szekeres tidak memiliki "koordinat singularitas" maka merupakan ruang-waktu nyata dimana r = 0 adalah singularitas yang garis tebal putus-

putus dalam gambar.

Metrik Kerr mengambil bentuk:

ρ ϕ θ ρ

θ mr dtd

a a dt

ds ₂

2 2

2 2 2

2 2 sin

sin −2

−

−∆

=

(2.31)

( )

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

sin sin θ ϕ ρ ρ θ

ρ

θ d dr d

a a

r +

+ ∆

∆

− + +

Dimana

2

2 2mr a

r − +

=

∆ (2.32)

θ

ρ² =r² +a²cos² (2.33)

Inilah horizon peristiwa (diasumsi bahwa a² <m²)

2

2 a

m m

r_± = ± − (2.34)

Solusi metrik Kerr atau solusi Kerr bersifat stasioner dan simetrik aksial, dan telah mempunyai permukaan ganda, yaitu permukaan luar dan dalam. Di antara horizon peristiwa dan batasan statis terletak Ergosphere yang di dalam tidak stasioner.

Untuk muatan lubang hitam berputar (disebut Kerr-Newman lubang hitam), geometri diperoleh dari metrik Kerr-Newman dalam bentuk yang sama dengan Persamaan. (2.32) tetapi dengan

2 2

2 2mr a Q

r − + +

=

∆ (2.35)

Horizon peristiwa dari lubang hitam Kerr-Newman adalah

2 2

2 Q a

m m

r_± = ± − −

(2.36)

Untuk a² <m² +Q². Lubang hitam Kerr-Newman ekstrim diperoleh bila

2 2

2 m Q

a = + .

Gambar 2.5: Sebuah sketsa kasar dari lubang hitam Kerr yang dikelilingi oleh sebuah ergosphere. Ergosphere adalah wilayah di dalam yang tidak stasioner.

Momentum sudut lubang hitam Kerr dilambangkan oleh J.

(Schutz, B,F., 2001)

2.4 Orbit-orbit dalam ruang-waktu Schwarzschild

Untuk menemukan pergerakan orbit-orbit dan cahaya pada ruang-waktu Schwarzschild maka dicari persamaan geodesiknya. Hal pertama yang dilakukan dengan memulai dari persamaan Lagrangian.

2

1 1



 



−

= τ τ

ν µ

µν d

dx d g dx

L c (2.37)

dengan menganggap bahwa orbit-orbit tersebut tetap dalam bidang ekuatorial yaitu

2

θ =π , maka Lagrangian menjadi

2 1 2 2 2 1 2 2

2 2

1 2 1 1 2























 



 

 + 



 



 



 

 −

 −



 







 

 −

=

−

τ φ τ

τ d

r d d

dr r

c M G c

d dt r c

M

L G (2.38)

Dengan mengingat L=ε dengan ε =1 untuk orbit timelike (waktu) danε =0 untuk orbit nol (null orbit), sehingga























 



 

 + 



 



 



 

 −

 −



 







 

 −

=

− 2

2 2 1 2 2

2 2

2 2

1 1 1 2

τ φ τ

ε τ

d r d d

dr r

c M G c

d dt r c

M

G (2.39)

dari persamaan

2 1

2 ,

1 2

r h d k d

r c

M G d

dt  =



 

 −

=

−

τ φ

τ (2.40)

substitusi persamaan (2.42) kedalam persamaan (2.41)

(

^{2 2}

)

2 2

2 2

2 2

2 2 1

2 1

1 φ − ε = −ε



 



 



 

 − + ^•

•

k r c

M G r

c M r G

r (2.41)

persamaan (2.41) adalah persamaan energi Newtonian dengan modifikasi untuk φ •

dengan menggunakan φ φ

d r dr

•

• = dan ambil

U = r1 didapat

(

^{2 2}

)

2 2 2

2 2

2

2 2 2

1 ε ε

φ ^_^{− = −}

 

 −

 +



 



 k

h U c h

M U G

c M U G

d

dU (2.42)

dengan mendifferensialkan persamaan (2.42), maka didapat

2 2 2

2 2

2 2 3

c U M G h

M U G

d U

d + = ε +

φ (2.43)

untuk orbit timelike (waktu)

[

ε =¹

]

merupakan persamaan Newton

2 2 2

2 2

h M U G

d U

d ε

φ + = (2.44)

yang terpisah dari persamaan (2.43). Dimana persamaan (2.44) menjelaskan orbit dari sebuah bintang. (Wald, R. M, 1998)

2.5 Termodinamika Lubang Hitam

Lubang hitam memiliki sifat-sifat termodinamika yang dapat dicirikan dengan pendekatan klasik maupun kuantum. Sifat-sifat termodinamika lubang hitam ditentukan oleh karakteristik horizon peristiwa. Secara klasik diketahui bahwa besaran-besaran tertentu pada lubang hitam memiliki analogi yang sangat erat dengan hukum-hukum dasar termodinamika sesuai dengan tabel di bawah ini

Sistem termodinamika Lubang hitam

Temperatur, T Energi, E Entropi, S

Gravitasi permukaan, k Massa lubang hitam, M Daerah horizon peristiwa, A

Tabel 2.1: Analogi antara parameter termodinamika dan parameter lubang hitam

Mengacu pada hukum nol termodinamika berbunyi : ” temperatur T konstan pada benda yang berada pada keseimbangan termal ”. Analoginya adalah hukum nol horizon peristiwa pada lubang hitam yang berbunyi : ” k bernilai konstan pada horizon peristiwa Lubang Hitam stasioner “.k merupakan gravitasi permukaan yang nilainya merupakan besar percepatan yang dialami sebuah benda pada horizon peristiwa yang diukur dari daerah asimtotik.

Hukum pertama termodinamika berbentuk:

+

= TdS

dE (Suku Kerja) (2.45)

sedangkan hukum pertama pada lubang hitam berbentuk:

dQ dJ

kdA

dM = +Ω_H +Φ π

8

1 (2.46)

dengan :

M = massa lubang hitam

A = luas area horizon peristiwa = 4 r

π

^{2; r} adalah jari-jari Schwarzschild Ω = kecepatan sudut lubang hitam H

J = momentum sudut lubang hitam Φ = potensial elektrostatik

Q = Muatan Listrik

Hukum ke dua termodinamika berbunyi : “ Dalam setiap proses total entropi selalu meningkat “.

≥ 0

δS (2.47)

sedangkan hukum ke dua pada horizon peristiwa berbunyi : “ Dalam setiap proses luas area horizon peristiwa selalu meningkat “.

≥ 0

δA (2.48)

Hukum Sistem Termodinamika Lubang hitam Hukum ke nol

Hukum pertama

Hukum ke dua Hukum ke tiga

T konstan dalam keseimbangan termal

pdV Tds dE = −

≥ 0 δS

T=0 tidak bisa tercapai

k konstan selama berada dalam horizon peristiwa lubang hitam

dQ dJ

kdA

dM = +Ω_H +Φ π

8 1

≥ 0 δA

k=0 tidak bisa tercapai

Tabel 2.2: Analogi antara hukum-hukum termodinamika dan hukum-hukum mekanika lubang hitam.

Dengan memasukkan prinsip-prinsip mekanika kuantum, Hawking menemukan bahwa kemiripan sifat-sifat Lubang Hitam dengan hukum termodinamika bukan sekedar analogi. Lubang Hitam memang memiliki sifat-sifat termodinamika seperti benda lainnya. (Wald, R.M, 2001)

Secara ringkas sifat-sifat termodinamika pada Lubang Hitam yang didapat dari prinsip mekanika kuantum dapat dijabarkan sebagai berikut :

1. Berdasarkan teorema “no hair”, Lubang Hitam yang terbentuk dari keruntuhan gravitasi akan mencapai keadaan kuasistasioner dengan cepat yang dicirikan oleh ketiga parameter : M (massa), J (momentum sudut), Q (muatan listrik).

2. Fisika klasik tidak membatasi kemungkinan-kemungkinan nilai dan kombinasi dari ketiga besaran tersebut. Oleh karena itu terdapat tak hingga banyaknya keadaan yang mungkin dari Lubang Hitam.

3. Keadaan partikel pada mekanika kuantum digambarkan dengan fungsi gelombang. Fungsi gelombang Lubang Hitam yang memiliki batas horizon peristiwa yang merupakan gelombang berdiri (seperti fungsi gelombang pada potensial sumur tak hingga).

4. Fungsi keadaan gelombang berdiri yang dibatasi horizon peristiwa jumlahnya berhingga sehingga keadaan Lubang Hitam dapat dicirikan dengan kombinasi berbagai fungsi gelombang berdiri.

5. Hal tersebut berkaitan dengan entropi yang secara klasik dinyatakan dengan:

T

dS = dQ (2.49)

sedangkan temperatur pada Lubang Hitam adalah π

2

T = k (2.50)

Termodinamika menyatakan bahwa benda yang memiliki temperatur diatas nol absolute akan memancarkan radiasi termal yang intensitasnya berbanding lurus dengan temperatur pangkat 4 :

T4

I =σ (2.51)

Sehingga Lubang Hitam yang memiliki temperatur tidak nol tentu juga memancarkan radiasi termal keluar dari horizon peristiwa meski hal ini bertentangan dengan perhitungan fisika klasik. Lubang Hitam memancarkan radiasi termal melalui mekanisme produksi pasangan maya (virtual pair production).

Produksi pasangan maya berdasarkan asas ketidakpastian Heissenberg antara ketidakpastian energi dan ketidakpastian waktu :

≥

∆

∆ tE (2.52)

Dalam selang waktu ∆t yang sangat kecil, asas kekekalan energi terlanggar dengan munculnya energi sebesar ∆E secara tiba-tiba. Sebagai contoh, salah satu elektron pada jumlah tak hingga, lautan elektron Dirac berenergi negatif secara spontan melompat ke keadaan energi positif meninggalkan lubang yang ditafsirkan sebagai positron kemudian dengan cepat kembali ke lautan elektron Dirac berenergi negatif (positron kembali menghilang). Pasangan elektron-positron ini muncul selama kurang lebih 10^-35 sekon. Pasangan partikel-anti partikel lain pun dapat terbentuk seperti halnya pasangan elektron-positron.

Di dalam Lubang Hitam terdapat partikel berenergi negatif terhadap pengamat luar. Ketika terjadi produksi pasangan maya di dekat horizon peristiwa, partikel yang memiliki energi positif akan terpancar keluar sedangkan yang berenergi negatif akan jatuh ke Lubang Hitam. Peristiwa pemancaran partikel dari Lubang Hitam ini sering disebut radiasi Hawking. Termodinamika Lubang Hitam pertama kali ditemukan oleh Hawking. (Greiner, W, 1995)

2.6 Supersimetri dan Supergravitasi 2.6.1 Supersimetri

Pada intinya supersimetri adalah simetri antara fermion dan boson.

Pembahasan supersimetri dalam tugas akhir ini dibatasi pada supersimetri dimensi empat

(

D=4

)

. Kehadiran supersimetri menimbulkan konsekuensi akan adanya partikel Superpartner untuk setiap partikel yang kita kenal sekarang, sebagai contoh, electron (fermion) memiliki partner partikel seelektron (boson) dan foton (boson) memiliki partner partikel fotino (fermion). Supersimetri digerakkan oleh generator grup Supercharge Q :

boson fermion

Q = (2.53)

fermion boson

Q = (2.54)

Q merupakan spinor mayor. Supersimetri merupakan simetri yang lebih luas dari simetri Poincare. Dengan kata lain aljabar supersimetri adalah perluasan dari aljabar grup Poincare. Generator dari grup Poincare terdiri dari generator momentum

Pµ, generator rotasi J_µ dan generator Lorentz boosts K_µ. Dengan mendefenisikan

(

µ ν ν µ

)

µν ≡i x ∂ −x ∂

L maka generator grup Poincare dapat dituliskan :

jk ijk

i L

J ε

2

= 1 (2.55)

i

i L

K = ₀ (2.56)

Jika kita sebut generator-generator dalam grup Poincare sebagai generator genap dan generator supersimetri sebagai generator ganjil maka aljabar supersimetri terlihat memiliki struktur perluasan aljabar Z : ₂

[

genap,genap

]

= genap

{

ganjil,ganjil

}

= genap (2.57)

[

genap,ganjil

]

=ganjil

Generator supersimetri bersama-sama dengan generator grup Poincare membentuk aljabar supersimetri sebagai berikut :

 _J

_µν^,

_J

_ρσ



⁼ⁱ

( η

_νρ

_J

_µσ ⁻

η

_µρ

_J

_νσ ⁺

η

_µσ

_J

_νρ⁻

η

_νσ

_J

_µρ

)

[ _P

_µ^,

_J

_ρσ

]

⁼ⁱ

( _η

_µρ

_P

_σ ⁻

_η

_µσ

_P

_ρ

)

[ _P

µ^,

_P

ν

]

⁼⁰

{ Q

_α^,

Q

_β

} {

^{=0= Qα,Qβ}

}

{

^Qα^,Qβ

}

⁼²

σ

_αβ^µ

_P

_µ ^(2.58)

{

^Qα,^Qβ

}

=2σ^µβα

_P

_µ

[ Q

α^,

_P

µ

]

⁼⁰

[ J Q ]

ⁱ

( ) Q

β

β µν α µν^, α ⁼⁻

σ

[ ] ( )

β

β µν α

µν Qα iσ Q

J

^{, =−}

Generator Q dapat diperluas sehingga memiliki indeks tambahan Q_α^N denganN =1,2,3,.... i adalah bilangan imajiner dengan nilai i= −1. Aljabar supersimetri diatas adalah aljabar untuk supersimetri dengan besar jumlah supersimetri sama dengan 1 (N =1).

Mencari repesentasi tak tereduksi dari supersimetri berarti juga mencari sekumpulan/spektrum partikel (state partikel) yang tergabung dalam multiplet dan

memenuhi supersimetri. Ada dua jenis representasi tak tereduksi yaitu representasi bermassa dan representasi tak bermassa. Pada representasi bermassa yang didefenisikan sebagai M² ≡P^aP_a bernilai nol sedangkan pada representasi bermassa

2 ≠0

M . Spektrum partikel dapat ditemukan dengan mengoperasikan generator Q pada state vakum λ . Sebagai contoh, untuk representasi tak bermassa pada

4 ,

1 =

= D

N diperoleh spektrum partikel 20 dan ±1 2 atau ±12 dan ±1 . Dengan kata lain spectrum partikelnya terdiri dari satu spinor mayor dan dua scalar riil atau satu vektor tak bermassa dan satu spinor mayor. (Roman, L.J, 1992)

2.6.2 Supergravitasi

Lagrangian supersimetri diatas dapat diperluas dengan menyertakan simetri Gauge yang merupakan perluasan Lagrangian elektrodinamik. Selain itu, lagrangian supersimetri juga dapat diperluas dengan memberikan konstrain bahwa transformasi supersimetri berlaku lokal (bergantung posisi pada ruang waktu). Perluasan transformasi supersimetri membawa konsekuensi penting dan menarik, yakni masuknya medan berspin 2 yang merupakan perwujudan dari gravitasi. Dengan masuknya medan ini supersimetri menjadi supergravitasi. Contohnya adalah pada

=2

N supergravitasi yang memiliki Lagrangian

( ) γ

_[

γ γ

_]

ψ

ψ

γ

^ψ

ψ n q

pq p m

mn p mn

n mnp

m i F F

R

L

D F F

e

^{−1 =−}₄^{1 +}₂^{1 +}₄^{1 +}₈ ⁺

n

g

mn

g m ²

2 3 2

1 −

− ^ψ

γ ψ

^(2.59)

Meskipun keberadaan supersimetri di alam semesta belum terbukti secara eksperimen, namun supersimetri menyimpan potensi besar untuk dikembangkan lebih lanjut dalam rangka memecahkan beberapa misteri terkait fisika partikel dan kosmologi. (Gunara, B.E, 1960)