4. Hukum Dan Kaidah Rangkaian

(1)

4 − 1

Introduction to Circuit Analysis – Time Domain

4. Hukum Dan Kaidah Rangkaian

Pekerjaan analisis terhadap suatu rangkaian linier yang parameternya diketahui mencakup pemilihan teknik analisis dan penentuan besaran keluaran (output) jika besaran masukannya (input) diketahui, ataupun penentuan hubungan antara keluaran dan masukan. Agar kita mampu melakukan analisis kita perlu memahami beberapa hal yaitu hukum-hukum yang berlaku dalam suatu rangkaian, kaidah-kaidah rangkaian, teorema-teorema rangkaian serta metoda-metoda analisis. Dalam bab ini kita akan mempelajari Hukum-Hukum dan Kaidah Rangkaian, yang merupakan dasar untuk melakukan analisis. Dua hukum yang akan kita pelajari adalah Hukum Ohm dan Hukum Kirchhoff.

4.1. Hukum-Hukum Rangkaian

Hukum Ohm Salah satu hasil percobaan laboratorium yang dilakukan oleh George Simon Ohm (1787-1854) adalah hubungan arus dan tegangan yang kemudian dikenal dengan hukum Ohm. Namun hukum Ohm sendiri merupakan hasil analisis matematis dari rangkaian galvanik yang didasarkan pada analogi antara aliran listrik dan aliran panas. Formulasi Fourier untuk aliran panas adalah

dl dT kA dt dQ ₌₋ (4.1)

dengan Q adalah quantitas panas dan T adalah temperatur, sedangkan k adalah konduktivitas panas, A luas penampang, dan T temperatur.

Dengan mengikuti formulasi Fourier untuk persamaan konduksi panas dan menganalogikan intensitas medan listrik dengan gradien temperatur, Ohm menunjukkan bahwa arus listrik yang mengalir pada konduktor dapat dinyatakan dengan dl dv A I ρ = (4.2)

Dalam hal konduktor mempunyai luas penampang A yang merata, maka persamaan arus itu menjadi

A l R R V l V A I = dengan = ρ ρ = (4.3)

V adalah beda potensial pada konduktor sepanjang l yang luas penampangnya A, ρ adalah karakteristik material yang disebut resistivitas, sedangkan R adalah resistansi konduktor. Persamaan (4.3), dapat ditulis juga sebagai

IR

V = (4.4)

dan untuk tegangan yang berubah terhadap waktu menjadi

iR

v = (4.5)

seperti yang sudah kita kenal di Bab-1. Hukum Ohm ini sangat sederhana namun kita harus tetap ingat bahwa ia hanya berlaku untuk material homogen ataupun elemen yang linier.

Hukum Kirchhoff

Karakteristik piranti dinyatakan oleh hubungan arus dan tegangan jika piranti tersebut dipandang sebagai suatu komponen yang berdiri sendiri. Berikut ini kita akan mempelajari piranti-piranti yang telah terhubung membentuk suatu rangkaian. Hubungan arus dan tegangan pada rangkaian menuruti suatu hukum yang menyatakan sifat-sifat rangkaian, yang disebut hukum Kirchhoff.

Sebelum membahas hukum Kirchhoff ada beberapa istilah yang perlu kita fahami, yaitu : terminal: ujung akhir sambungan piranti atau rangkaian.

rangkaian: beberapa elemen yang dengan cara tertentu saling dihubungkan. simpul: titik sambung antara dua atau lebih piranti.

Catatan : Walaupun sebuah simpul diberi pengertian sebagai sebuah titik tetapi kawat-kawat yang terhubung langsung ke titik simpul itu merupakan bagian dari simpul; jadi

(2)

dalam hal ini kita mengabaikan resistansi kawat.

loop: rangkaian tertutup yang terbentuk apabila kita berjalan mulai dari salah satu simpul mengikuti sederetan piranti dengan melewati tiap simpul tidak lebih dari satu kali dan berakhir pada simpul tempat kita mulai perjalanan.

mesh: loop terkecil yang tidak melingkupi cabang rangkaian. cabang: bagian rangkaian antara dua simpul, berisi elemen,

Selain istilah-istilah tersebut di atas, dalam menggambarkan hubungan atau sambungan-sambungan kita akan menggunakan cara seperti terlihat pada Gb.4.1.

Hukum Arus Kirchhoff (HAK) (Kirchhoff's Current Law (KCL)) Hukum Kirchhoff yang pertama ini menyatakan bahwa :

Di sini kita harus memperhatikan referensi arah arus. Bila arus yang menuju simpul diberi tanda positif, maka arus yang meninggalkan simpul diberi tanda negatif (atau sebaliknya bila arus yang meninggalkan bertanda positif, arus yang menuju simpul bertanda negatif). Perlu diingat bahwa arah arus di sini adalah arah referensi dan bukan arah arus sebenarnya.

Hukum Arus Kirchhoff merupakan pernyataan prinsip konservasi muatan. Jumlah elektron per detik yang datang maupun yang pergi haruslah sama, di titik manapun dalam rangkaian. Oleh karena itu jumlah arus di suatu simpul harus nol. Jika tidak, akan terjadi penumpukan muatan di simpul tersebut yang menurut hukum Coulomb akan terjadi “ledakan muatan”; tetapi hal demikian tidak pernah terjadi.

Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK) (Kirchhoff's Voltage Law (KVL)). Hukum Kirchhoff yang kedua ini menyatakan bahwa :

Di sinipun kita harus memperhatikan tanda referensi tegangan dalam menuliskan persamaan tegangan loop. Tegangan diberi tanda positif jika kita bergerak dari “+” ke “−” dan diberi tanda negatif bila kita bergerak dari “−” ke “+”.

Hukum Tegangan Kirchhoff merupakan pernyataan kembali prinsip konservasi energi. Dalam rangkaian pada Gb.4.2., sebagian piranti mungkin berupa sumber dan sebagian yang lain berupa beban.

Menurut prinsip konservasi energi, energi yang diberikan oleh sumber dalam suatu selang waktu tertentu harus sama dengan energi yang diserap oleh beban selama selang waktu yang sama. Mengingat konvensi pasif, hal itu berarti bahwa jumlah aljabar energi di semua piranti adalah nol, dan berarti pula bahwa jumlah aljabar daya (hasil kali tegangan dan arus tiap elemen) sama dengan nol.

0 4 5 4 4 3 3 2 2 1 1i +v i +vi +v i +v i = v

Karena i1 = − i2 dan i2 = i3 + i4 maka persamaan di atas dapat kita tulis

(

)

(

)

(

) (

)

0 atau 0 5 4 2 1 4 3 2 1 3 4 5 4 4 3 3 4 3 2 4 3 1 = + + + − + + + − = + + + + + − − v v v v i v v v i i v i v i v i i v i i v 0 : C 0 : B 0 i : A : simpul untuk HAK 4 3 1 4 3 2 2 1 = + + + = − − + = − − i i i i i i i 0 : 3 0 : 2 0 : 1 : loop untuk HTK 5 4 2 1 5 4 3 3 2 1 = == = + ++ + + ++ + + ++ + − −− − = == = + ++ + + ++ + − −− − = == = + ++ + + ++ + − −− − v v v v v v v v v v Gb.4.2. HAK dan HTK + v4 − loop 1 loop 2 i1 i2 i4 A B C loop 3 elemen 4 elemen 2 el em en 5 el em en 3 el em en 1 + v2 − − v5 + − v3 + − v1 + i3 i5

Setiap saat, jumlah aljabar tegangan dalam satu loop adalah nol. Setiap saat, jumlah aljabar dari arus di satu simpul adalah nol.

Gb.4.1. Penggambaran sambungan rangkaian

a) b) c) Persilangan terhubung Persilangan tak terhubung Terminal dan sambungan terminal

(3)

4 − 3 Karena nilai arus tidak nol maka haruslah

0 dan 0 1 2 4 5 3 2 1+ + = − + + + = −v v v v v v v

Persamaan pertama adalah persamaan untuk loop-1 dan persamaan kedua adalah untuk loop-3. Dari persamaan loop-1 kita peroleh −v1 + v2 = −v3 dan jika ini kita substitusikan ke persamaan loop-3, akan kita

peroleh persamaan loop-2 yaitu:

0

5 4

3+ + =

−v v v

Pengembangan HTK dan HAK

Loop-1 dan loop-2 pada Gb.4.2. merupakan loop-loop terkecil yang tidak meliputi loop lain di dalamnya. Loop semacam ini disebut mesh. Hal ini berbeda dengan loop-3 yang merupakan gabungan dari mesh-1 dan mesh-2 (loop-1 dan loop-2). Loop yang merupakan gabungan dari beberapa mesh disebut juga mesh super. Persamaan dari suatu mesh super adalah gabungan dari persamaan mesh-mesh penyusunnya sebagaimana telah ditunjukkan di atas.

Kita perhatikan sekarang simpul A dan B pada Gb.2.2. HAK untuk kedua simpul ini adalah: 0 i dan 0 2 3 4 2 1− = + − − = −i i i i

Jika kedua persamaan ini kita gabungkan akan kita peroleh : 0

4 3

1− − =

−i i i

Ini adalah persamaan dari sebuah “simpul” yang merupakan gabungan dari dua simpul, yaitu simpul A dan B. Simpul gabungan dari beberapa simpul semacam ini disebut simpul super. Contoh lain untuk simpul super adalah gabungan simpul B dan C. Persamaan simpul super BC ini adalah :

0 1 5 4 2− + + = +i i i i

Penggabungan simpul-simpul seperti ini tidak terbatas hanya dua simpul. Jika simpul A, B, dan C kita gabungkan akan menjadi simpul super ABC yang persamaannya adalah :

0

5

4 + =

−i i Dengan demikian maka :

4.2. Kaidah-Kaidah Rangkaian

Hubungan Seri dan Paralel

Dua elemen dikatakan terhubung paralel jika mereka terhubung pada dua simpul yang sama. Dengan menerapkan HTK pada loop yang dibentuk oleh dua elemen itu akan terlihat bahwa tegangan pada elemen-elemen itu harus sama.

Dua elemen dikatakan terhubung seri jika mereka hanya mempunyai satu simpul bersama dan tidak ada elemen lain yang terhubung pada simpul itu. Penerapan HAK akan memperlihatkan bahwa arus yang mengalir di kedua elemen itu sama. Hubungan paralel maupun seri tidak terbatas hanya dua elemen.

Rangkaian Ekivalen (Rangkaian

Pengganti)

Analisis terhadap suatu rangkaian sering akan menjadi lebih mudah dilaksanakan jika sebagian dari rangkaian dapat diganti dengan rangkaian lain yang ekivalen dan yang lebih sederhana. Basis untuk terjadinya ekivalensi antara dua macam rangkaian adalah hubungan i-v dari keduanya.

Dua rangkaian disebut ekivalen jika antara dua terminal tertentu mereka mempunyai karakteristik i-v yang identik

Gb.4.3. Hubungan paralel dan seri.

Hubungan paralel v1 = v2 i1 i2 Hubungan seri i1 = i2 i1 elemen 1 + v1 − i2 − v2 + el em en 2 − v1 + el em en 1 − v2 + el em en 2

HAK berlaku untuk simpul tunggal maupun simpul super dan

(4)

Resistansi Ekivalen

Resistansi ekivalen dari beberapa resistor yang terhubung seri adalah resistor yang nilai resistansinya sama dengan jumlah nilai resistansi yang disambung seri tersebut.

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + = ₁ ₂ ₃ : Seri Resistansi Rekiv R R R (4.6) Hal ini mudah dibuktikan jika diingat bahwa resistor-resistor yang dihubungkan seri dialiri oleh arus yang sama, sedangkan tegangan di masing- masing resistor sama dengan arus kali resistansinya.

Menurut HTK, tegangan total pada terminal dari rangkaian seri tersebut sama dengan jumlah tegangan di masing-masing resistor. Jadi

(

₁ ₂

)

. 2 1 2 1 V Ri R i R R i R i V V_total = _R + _R +⋅⋅⋅⋅⋅⋅= + +⋅⋅⋅⋅⋅= + +⋅⋅⋅⋅ = _ekivalen Penggantian (R1+R2+ ….) dengan Rekiv , tidak mengubah karakteristik i-v di terminal ujung.

Konduktansi ekivalen dari beberapa konduktansi yang disambung paralel sama dengan jumlah konduktansi masing-masing. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + = 1 2 3 : Paralel i Konduktans Gekiv G G G (4.7) Hal ini juga mudah dibuktikan, mengingat bahwa masing-masing elemen yang dihubungkan paralel memperoleh tegangan yang sama. Sementara itu arus total sama dengan jumlah arus di masing-masing elemen yang terhubung paralel tersebut.

(

G G

)

v G v v G v G i i itotal = G1+ G2+⋅⋅⋅⋅⋅= 1 + 2 +⋅⋅⋅⋅⋅= 1+ 2+⋅⋅⋅⋅⋅ = ekivalen Kapasitansi dan Induktansi Ekivalen

Pencarian nilai ekivalen dari kapasitor maupun induktor yang terhubung seri ataupun paralel dapat dilakukan dengan menggunakan cara yang sama seperti mencari resistor ekivalen. Gb.4.4. menunjukkan beberapa kapasitor terhubung paralel.

Aplikasi HAK pada simpul A memberikan :

(

)

. 1 2 2 1 2 1 dt dv C dt dv C C C dt dv C dt dv C dt dv C i i i i ek * * * = + ⋅ ⋅ ⋅ + + = + ⋅ ⋅ ⋅ + + = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + =

Jadi kapasitansi ekivalen dari kapasitor yang terhubung paralel adalah * ek C C C C = 1+ 2+⋅⋅⋅⋅+ : Paralel Kapasitor (4.8)

Untuk kapasitor yang dihubungkan seri kita mempunyai hubungan:

∫

+ + +⋅⋅⋅+ + = + + = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + = t ek ek t * * t t * idt C v idt C v idt C v idt C v v v v v 0 0 0 0 0 2 20 0 1 10 2 1 1 1 1 1

Jadi untuk kapasitor yang dihubungkan seri maka kapasitansi ekivalennya dapat dicari dengan hubungan :

* ek C C C C 1 1 1 1 : Seri Kapasitor 2 1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + = (4.9) Induktansi ekivalen dari induktor yang dihubungkan seri ataupun paralel dapat dicari dengan cara yang sama, dan hasilnya adalah sebagai berikut.

* ek L L L L = 1+ 2 +⋅⋅⋅⋅+ : Seri Induktor (4.10) * ek L L L L 1 1 1 1 : Paralel Induktor 2 1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + = (4.11) Gb.4.4. Kapasitor paralel. C1 i1 C2 i2 C* i* B A + v _ i

(5)

4 − 5 Sumber

Ekivalen

Suatu sumber tegangan praktis dapat digantikan oleh sumber arus praktis ekivalennya dan demikian juga sebaliknya. Secara umum kita katakan bahwa sumber tegangan bebas yang terhubung seri dengan resistor dapat diganti oleh sumber arus bebas diparalelkan dengan resistor. Demikian pula sebaliknya, sumber arus bebas yang terhubung paralel dengan resistor dapat diganti oleh sumber tegangan bebas diseri-kan dengan resistor. Perhatikan model sumber tegangan dan sumber arus serta formulasi hubungan arus dan tegangan masing-masing pada Gb.4.5.

Kedua model itu akan ekivalen apabila:

2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 , dan , dan R R R v R v i R v iR iR R i v R v i R v R v iR R i iR v s s s s s s s s = → = = = = → − = − − = − (4.12)

Jika persyaratan untuk terjadinya ekivalensi itu terpenuhi maka bagian rangkaian yang lain tidak akan terpengaruh jika kita menggantikan model sumber tegangan dengan model sumber arus ekivalennya ataupun sebaliknya mengganti sumber arus dengan sumber tegangan ekivalennya. Menggantikan satu model sumber dengan model sumber lainnya disebut transformasi sumber.

Transformasi Y-∆∆∆∆

Dalam beberapa rangkaian mungkin terjadi hubungan yang tidak dapat disebut sebagai hubungan seri, juga tidak paralel. Hubungan semacam ini mengandung bagian rangkaian dengan tiga terminal yang mungkin terhubung ∆ (segi tiga) atau terhubung Y (bintang) seperti terlihat pada Gb.4.6. Menggantikan hubungan ∆ dengan hubungan Y yang ekivalen, atau sebaliknya, dapat mengubah rangkaian menjadi hubungan seri atau paralel.

Kedua macam hubungan itu akan ekivalen jika dari tiap pasang terminal A-B, B-C, C-A, terlihat resistor ekivalen yang sama. Jadi kedua rangkaian itu harus memenuhi

((((

))))

((((

))))

((((

))))

; ; 1 3 3 2 2 1 R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R C B A A C B CA C B A C B A BC C B A B A C AB + ++ + = == = + ++ + + ++ + + ++ + = == = + ++ + = == = + ++ + + ++ + + ++ + = == = + ++ + = == = + ++ + + ++ + + ++ + = == = (4.13)

Dari persamaan (4.13) dapat diperoleh

C B A B A C B A A C C B A C B R R R R R R R R R R R R R R R R R R + + = + + = + + = ∆ 3 2 1 EkivalenYdari 3 3 1 3 2 2 1 2 3 1 3 2 2 1 1 3 1 3 2 2 1 R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R C B A + + = + + = + + = ∆ dariY Ekivalen

Gb.4.6. Hubungan ∆ dan hubungan Υ.

R3 A B C R1 R2 RC A B C RA RB ∆ ∆ ∆ ∆ ΥΥΥΥ

Gb.4.5. Ekivalensi sumber tegangan dan sumber arus. Sumber tegangan Sumber arus

1 1 1 1 R v R v R v v i iR v v v v s s s R s − = − = − = − = 2 2 2 ( ) R v i i i i R i i R i v s R s s R − = − = − = = vs R1 i + v − + vR − bagian lain rangkaian + − is R2 i + v − bagian lain rangkaian iR

(6)

Rangkaian Y dan ∆ dikatakan seimbang jika R1 = R2 = R3 = RY dan RA = RB = RC = R∆. Dalam keadaan

seimbang transformasi Y - ∆ menjadi sederhana, yaitu

3 dan 3 : seimbang Keadaan R_Y =R∆ R_∆ = R_Y Kaidah Pembagi Tegangan

Kaidah ini memberikan distribusi tegangan pada elemen yang dihubungkan seri seperti pada Gb.4.7.

Dengan mengaplikasikan HTK pada loop rangkaian Gb.4.7, kita mendapatkan :

((((

))))

total s s s R v R R R v i i R R R v v v v = == = + ++ + + ++ + = == = → → → → + ++ + + ++ + = == = + ++ + + ++ + = == = 3 2 1 3 2 1 3 2 1

Tegangan pada masing-masing elemen adalah :

s total s total s total v R R v v R R v v R R i R v _      =       =       = = 3 3 2 2 1 1 1 ; ; (4.14) Secara umum dapat kita tuliskan:

: Tegangan Pembagi total total k k v R R v _      = (4.15)

Jadi tegangan total didistribusikan pada semua elemen sebanding dengan resistansi masing-masing dibagi dengan resistansi ekivalen.

Kaidah

Pembagi Arus Dalam rangkaian paralel, arus terbagi sebanding dengan konduktansi di masing-masing cabang. Kita ambil _{contoh rangkaian seperti pada Gb.4.8.}

Hubungan antara arus is dan tegangan v dapat dicari sbb.

total s s

s i i i vG vG vG v i G G G i G

i = 1+ 2+ 3 = 1+ 2+ 3→ = /( 1+ 2+ 3)= /

Dari v yang diperoleh dapat dihitung arus di masing-masing resistor.

s total s total s total i G G i i G G i i G G vG i ; ; 3 3 2 2 1 1 1       =       =       = = (4.16) Secara umum : total total k k i G G i : Arus Pembagi _      = (4.17) is G1 G2 G3 i1 i₂ i3 Gb.4.8. Pembagian arus. Gb.4.7. Pembagian tegangan + − −− − + vs − R1 R3 R2 + v1 − − v3 + + v2 − i