STK 211 Metode Statistika PENGUJIAN HIPOTESIS

STK 211 Metode Statistika

PENGUJIAN HIPOTESIS

Pendahuluan

●

Dalam mempelajari karakteristik populasi sering telah memiliki hipotesis tertentu.

–

pemberian DHA pada anak-anak akan menambah kecerdasannya atau

–

pemberian vaksin polio akan mengurangi jumlah anak-anak yang menderita penyakit ini

●

Diperlukan pengumpulan data

–

Apakah data mendukung hipotesis tersebut

Pendahuluan

●

Hipotesis dalam statistika dinyatakan dalam dua bentuk yaitu:

–

H

₀

(hipotesis nol): suatu pernyataan / anggapan yang umumnya ingin kita tolak

–

H

₁

/ H

_A

(hipotesis alternatif): pernyataan lain yang

akan diterima jika H

₀

ditolak

Kesalahan dalam Keputusan

●

Pengambilan keputusan akan memunculkan dua jenis kesalahan yaitu:

– Salah jenis I (Error type I) : kesalahan akibat menolak H0

padahal H0 benar

– Salah jenis II (Error type II) : kesalahan akibat menerima H0 padahal H1 benar

●

Besarnya peluang kesalahan dapat ini dapat dihitung sebagai berikut:

– P(salah jenis I) = P(tolak H₀ | H₀ benar) = α

– P(salah jenis II) = P(terima H0 | H1 benar) = β

H

⁰

b e n a r H

⁰

s a l a h T o l a k H

⁰

P e l u a n g s a l a h j e n i s I

( T a r a f n y a t a ; α )

K u a s a p e n g u j i a n ( 1 - β )

T e r i m a H

⁰

T i n g k a t k e p e r c a y a a n ( 1 - α )

P e l u a n g s a l a h j e n i s I I

( β )

Efek α dan β

●

Teladan : Andaikan suatu perusahaan A akan menerima dari suplier apabila

produknya minimal mengandung 55% zat X.

Untuk meyakinkan maka diambil 9 contoh

(dgn asumsi simpangan baku sebesar 2%).

●

Sisi suplier : Ingin semua diterima

●

Dengan μ=65%

hampir semua

kiriman suplier

diterima.

●

Kondisi ini tentu tidak menguntungkan suplier. Bagaimana apabila kriteria β diturunkan?

.

●

Terlihat bahwa apabila beta diperkecil dgn kondisi yg lain tetap → Tidak

menguntungkan sisi konsumen

●

Bagaimana supaya menurunkan keduanya?

●

Untuk menurukan kedua-duanya secara simultan → hanya ada satu cara yaitu

dengan meningkatkan banyaknya contoh

Sampel berukuran 25 diambil secara acak dari populasi normal( µ ; σ

²

= 9).

Hipotesis yang akan diuji, H₀ : µ = 15

H₁ : µ = 10

Tolak H₀ jika rata-rata kurang dari atau sama dengan 12.5 Berapakah besarnya kesalahan jenis I dan II ?

Jawab:

P(salah jenis I) = P(tolak H₀|µ = 15)

= P(z ≤ (12.5-15)/(3/√25)) = P(z ≤ - 4.167 ) ≅ 0

P(salah jenis II) = P(terima H₀|µ = 10)

= P(z ≥ (12.5-10)/(3/√25)) = P(z ≥ 4.167 )

= 1 - P(z ≤ 4.167 ) ≅ 0

●

Sayangnya kita tahu bahwa parameter populasi sering kali tidak diketahui

●

Sehingga dalam pengujian hipotesis hanya nilai salah jenis I (α) yang dapat

dikendalikan.

●

Akan timbul pertanyaan :

–

Berapa nilai α yang digunakan?

Tergantung resiko keputusan

yang akan diambil

STK 211 STK 211

Metode Statistika Metode Statistika

Pengujian Hipotesis:

Pengujian Hipotesis:

- Nilai Tengah Populasi - Nilai Tengah Populasi - Selisih Dua Nilai Tengah - Selisih Dua Nilai Tengah

Populasi

Populasi

Langkah-langkah dalam Pengujian Hipotesis

(1) Tuliskan hipotesis yang akan diuji Ada dua jenis hipotesis:

– Hipotesis sederhana

Hipotesis nol dan hipotesis alternatif sudah ditentukan pada nilai tertentu

•H₀ : µ = µ₀ vs H₁ : µ = µ₁

•H₀ : σ² = σ₀² vs H₁ : σ² = σ₁²

•H₀ : P = P₀ vs H₁ : P = P₁

– Hipotesis majemuk

Hipotesis nol dan hipotesis alternatif

dinyatakan dalam interval nilai tertentu

b.1. Hipotesis satu arah

• H₀ : µ ≥ µ₀ vs H₁ : µ < µ₀

• H₀ : µ ≤ µ₀ vs H₁ : µ > µ₀ b.2. Hipotesis dua arah

• H₀ : µ = µ₀ vs H₁ : µ ≠ µ₀

(2). Tetapkan tingkat kesalahan/Peluang salah jenis I/taraf nyata  α

(3). Deskripsikan data sampel yang diperoleh (hitung rataan, ragam, standard error dll) (4). Hitung statistik ujinya

Statistik uji yang digunakan sangat tergantung pada sebaran statistik dari penduga parameter yang diuji

TELADAN

H₀: µ = µ₀ maka maka statistik ujinya bisa t- student atau normal baku (z)

atau

n s

t

_h

x

/

µ

0

= −

n z

_h

x

/

0

σ

µ

= −

(5) Tentukan batas kritis atau daerah penolakan H₀ Daerah penolakan H₀ sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H₁)

TELADAN

H₁: µ < µ0  Tolak H₀ jika th < -t(α; db)(tabel) H₁: µ > µ0  Tolak H₀ jika th > t(α; db)(tabel)

H₁: µ ≠ µ0  Tolak H₀ jika |th | > t(α/2; db)(tabel)

(6).Tarik keputusan dan kesimpulan

Pengujian Nilai Tengah Populasi

Kasus Satu Populasi

– Suatu contoh acak diambil dari satu populasi Normal berukuran n

– Tujuannya adalah menguji apakah parameter µ

sebesar nilai tertentu, katakanlah µ₀

Populasi X~N(µ,σ²)

Sampel

Acak Uji µ

• Hipotesis yang dapat diuji:

Hipotesis satu arah:

•H

₀

: µ ≥ µ

₀

vs H

₁

: µ < µ

₀

•H

₀

: µ ≤ µ

₀

vs H

₁

: µ > µ

₀

Hipotesis dua arah:

•H

₀

: µ = µ

₀

vs H

₁

: µ ≠ µ

₀

• Statistik uji:

– Jika ragam populasi ( σ

²

) diketahui :

– Jika ragam populasi ( σ

²

) tidak diketahui :

n s

t

_h

x

/

µ

0

= −

n z

_h

x

/

0

σ

µ

= −

• Daerah kritis pada taraf nyata ( α )

– Besarnya taraf nyata sangat tergantung dari bidang yang sedang dikaji

– Daerah penolakan H

₀

sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H

₁

) dan statistik uji yang digunakan. Teladan di bawah untuk statistik uji T.

H1: µ < µ0  Tolak H0 jika th < -t_{(α; db=n-1)}(tabel) H1: µ > µ0  Tolak H0 jika th > t_{(α; db=n-1)}(tabel) H1: µ ≠ µ0  Tolak H0 jika |th | > t(α/2; db=n-1)(tabel)

• TELADAN

Batasan yang ditentukan oleh pemerintah terhadap emisi gas CO kendaraan bermotor

adalah 50 ppm. Sebuah perusahaan baru yang sedang mengajukan ijin pemasaran mobil,

diperiksa oleh petugas pemerintah untuk

menentukan apakah perusahan tersebut layak diberikan ijin. Sebanyak 20 mobil diambil secara acak dan diuji emisi CO-nya. Dari data yang

didapatkan, rata-ratanya adalah 55 dan

ragamnya 4.2. dengan menggunakan taraf nyata 5%, layakkan perusahaan tersebut mendapat

ijin ?

• Hipotesis yang diuji:

H

₀

: µ <= 50 vs H

₁

: µ > 50

• Statistik uji:

t

_h

= (55-50)/ √ (4.2/20)=10.91

• Daerah kritis pada taraf nyata 0.05

Tolak H

₀

jika t

_h

> t

(0,05;db=19)

= 1,729

• Kesimpulan:

Tolak H

₀

, artinya emisi gas CO kendaraan bermotor yang akan

dipasarkan oleh perusahaan tersebut melebihi batasan yang ditentukan oleh pemerintah sehingga perusahaan

tersebut tidak layak memperoleh ijin

untuk memasarkan mobilnya.

Perbandingan Nilai Tengah Dua Populasi

Kasus Dua Sample Saling Bebas

– Setiap populasi diambil sampel acak berukuran tertentu (bisa sama, bisa juga tidak sama)

– Pengambilan kedua sampel saling bebas – Tujuannya adalah

menguji apakah parameter µ₁ sama dengan parameter µ₂

Populasi I X~N(µ₁,σ₁²)

Sampel I (n₁)

Populasi II X~N(µ₂,σ₂²)

Sampel II (n₂) Acak dan

saling bebas µ₁ ??? µ₂

• Hipotesis

– Hipotesis satu arah:

H

₀

: µ

₁

- µ

₂

≥δ

₀

vs H

₁

: µ

₁

- µ

₂

< δ

₀

H

₀

: µ

₁

- µ

₂

≤ δ

₀

vs H

₁

: µ

₁

- µ

₂

> δ

₀

– Hipotesis dua arah:

H

₀

: µ

₁

- µ

₂

= δ

₀

vs H

₁

: µ

₁

- µ

₂

≠δ

₀

• Statistik uji:

– Jika ragam kedua populasi diketahui katakan σ

12

dan σ

22

:

– Jika ragam kedua populasi tidak diketahui:

) (

0 2

1

2 1

) (

x x h

x z x

−

−

= −

σ

δ

) (

0 2

1

2 1

) (

x x

h

s

x t x

−

−

= − δ

( )

 



 





≠ +

= +

−

=

2 2 2

1 2

2 2 1

2 1

2 2 2

1 2

1

; 1 ; 1

2 1

σ σ

σ σ

n s n

s

n s n

s

g x

x







≠

=

−

= + ₂

2 2

1

2 2 2

1

;

; 2 2 1

σ σ

σ σ

efektif

db n db n

• Daerah kritis pada taraf nyata ( α )

– Pada prinsipnya sama dengan kasus satu sampel, dimana daerah penolakan H

₀

sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H

₁

)

H1: H₁: µ₁- µ₂ <δ₀  Tolak H0 jika t_h < -t_{(α; db)}(tabel) H1: µ₁- µ₂ >δ₀  Tolak H0 jika t_h > t_{(α; db)}(tabel)

H1: µ₁- µ₂ ≠δ₀  Tolak H0 jika |t_h | > t_{(α/2; db)}(tabel)

Teladan

• Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk

mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusak karton. Datanya adalah :

– Ujilah karton produksi mana yang lebih kuat dengan asumsi ragam kedua populasi berbeda, gunakan taraf nyata 10%

55 50

65 65

60 65

40 55

60 50

Persh. B

40 50

45 45

25 60

45 50

35 30

Persh. A

Jawab:

– Rata-rata dan ragam kedua sampel:

– Perbandingan kekuatan karton

• Hipotesis:

– H₀: µ₁= µ₂ vs H₁: µ₁≠µ₂

( )

( )

_66.94

10(9)

(565) -

32525) (

10 )

1 5 (

, 10 56

55 60

50

106.94 10(9)

(425) -

19025) (

10 )

1 5 (

, 10 42

40 35

30

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 1 1 1

=

− =

= − + =

+

= +

=

− =

= − + =

+

= +

∑ ∑

∑ ∑

n n

x x

s n x

n n

x x

s n x

i i





• Statistik uji: (ragam populasi tidak diketahui dan diasumsikan σ₁² ≠ σ₂² )

• Daerah kritis pada taraf nyata 10%:

Tolak H₀ jika |t_h| > t_(0,05;17) = 1,740

• Kesimpulan:

Tolak H₀, artinya kekuatan karton kedua perusahaan berbeda nyata pada taraf nyata 10%. Diduga karton yang diproduksi oleh perusahaan B lebih kuat daripada karton A

36 , 10 3

/ 94 , 106 10

/ 94 , 66

0 5

, 42 5

, 56 )

/ (

) /

(

) (

) (

1 2

1 2

2 2

1 2

1

2 =

+

−

= − +

−

−

= −

n s

n s

x

t_h x

µ µ

17 10

, 17

9 / ) 10 / 8.18 (

9 / ) 10 / 10.34 (

) 10 / 8.18 10

/ 10.34 (

) 1 /(

) / ( ) 1 /(

) / (

) / /

(

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 1

2 1 2 1

2 2 2 2 1

2 1

≈

=

+

= +

− +

−

= +

n n

s n

n s

n s

n db s

Perbandingan Nilai Tengah Dua Populasi Berpasangan

Kasus Dua Sample Saling Berpasangan

– Setiap populasi diambil sampel acak berukuran n (wajib sama)

– Pengambilan kedua

sampel berpasangan, ada pengkait antar kedua

sampel (bisa waktu, objek, tempat, dll)

– Tujuannya adalah menguji apakah parameter µ₁

sama dengan parameter µ₂

Populasi I X~N(µ₁,σ₁²)

Sampel I (n)

Populasi II X~N(µ₂,σ₂²)

Sampel II (n) Acak dan

berpasangan µ₁ ??? µ₂

Pasangan 1 Pasangan …

Pasangan n

• Hipotesis

–Hipotesis satu arah:

H₀: µ₁- µ₂ ≥δ₀ vs H₁: µ₁- µ₂ <δ₀ atau H₀: µ_D ≥δ₀ vs H₁: µ_D<δ₀

H₀: µ₁- µ₂ ≤ δ₀ vs H₁: µ₁- µ₂ >δ₀ atau H₀: µ_D ≤ δ₀ vs H₁: µ_D>δ₀

–Hipotesis dua arah:

H₀: µ₁- µ₂ =δ₀ vs H₁: µ₁- µ₂ ≠δ₀ atau H₀: µ_D = δ₀ vs H₁: µ_D≠δ₀

• Statistik uji: Gunakan t atau z jika ukuran contoh n besar

Dimana d adalah simpangan antar pengamatan pada sampel pertama dengan sampel kedua

• Daerah Kritis: (lihat kasus satu sampel)

dn d3

d2 d1

D = (X1-X2)

x2n x23

x22 x21

Sampel 2 (X2)

x1n x13

x12 x11

Sampel 1 (X1)

n

… 3

2 1

Pasangan

n s

t

_h

d

/ δ

0

= −

• Ilustrasi

Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu:

Apakah program diet tersebut dapat mengurangi berat badan minimal 5 kg? Lakukan pengujian pada taraf nyata 5%!

5 6

6 6

7 4

4 5

3 5

D=X1-X2

86 86

87 85

85 87

86 87

86 85

Sesudah (X2)

91 92

93 91

92 91

90 92

89 90

Sebelum (X1)

10 9

8 7

6 5

4 3

2 1

Peserta Berat Badan

Jawab:

• Karena kasus ini merupakan contoh berpasangan, maka:

• Hipotesis:

H

₀

: µ

_D

≥ 5 vs H

₁

: µ

_D

< 5

• Deskripsi:

• Statistik uji:

1 , 10 5

51 =

=

= ∑

n

d d

ⁱ

( )

_1,43

) 9 ( 10

) 51 ( ) 273 (

10 )

1 (

2 2 2

2 = − =

−

=

∑

−

∑

n n

d d

s_d n ^{i i}

20 , 1 43

,

1 =

d

= s

26 , 10 0

/ 20 , 1

5 1 ,

5 − =

− =

− =

=

n s

d s

t d

d

d d

d µ

µ

• Daerah kritis pada α =5%

Tolak H

₀

, jika t

_h

< -t

_(α=5%,db=9)

=-1.833

• Kesimpulan:

Terima H

₀

, artinya program diet tersebut

dapat mengurangi berat badan minimal 5

kg