vi DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK ... i
KATA PENGANTAR ... ii
UCAPAN TERIMA KASIH ... iii
PERNYATAAN ... v
DAFTAR ISI ... vi
DAFTAR TABEL ... ix
DAFTAR GAMBAR ... x
DAFTAR LAMPIRAN ... xi
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 4
1.3 Batasan Masalah ... 4
1.4 Tujuan Penulisan ... 5
1.5 Manfaat Penulisan ... 5
1.6 Sistematika Penulisan ... 6
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Teori Peluang ... 7
2.1.1 Peluang Bersyarat ... 10
2.1.2 Aturan Bayes ... 11
vii
2.1.4 Ekspektasi Matematika ... 14
2.2 Desein Eksperimen ... 15
2.2.1 Pengertian Desain Eksperimen ... 15
2.2.2 Tujuan Desain Eksperimen ... 16
2.2.3 Daftar Istilah ... 17
2.2.4 Klasifikasi Desain Eksperimen ... 19
2.3 Desain Faktorial ... 20
2.4 Analisis Regresi ... 26
2.4.1 Model Regresi Linier ... 26
2.4.2 Model Regresi Kuadratik Multipel ... 29
2.4.3 Metode Kuadrat Terkecil ... 30
BAB III METODE RESPONSE SURFACE DENGAN SIMULASI MONTE CARLO 3.1 Simulasi Monte Carlo ... 31
3.2 Metode Response Surface ... 36
3.3 Pemilihan Faktor ... 38
3.4 Metode Steepest Ascent atau Steepest Descent ... 39
3.4.1 Model Regresi Orde I ... 40
3.4.2 Perhitungan Lintasan Stepeest Ascent ... 41
3.5 Model Regresi Orde II ... 43
viii BAB IV STUDI KASUS
4.1 Pengolahan Data dan Pembahasan 49
4.1.1 Eksperimen Orde I ... 50
4.1.2 Eksperimen Orde II ... 53
4.1.3 Penentuan Titik Stasioner ... 55
4.2 Pengolahan Data dan pembahasan dengan Simulasi Monte Carlo .... 58
4.2.1 Eksperimen Orde I ... 58
4.2.2.1Eksperimen Orde II ... 61
4.2.3 Penentuan Titik Stasioner ... 63
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan ... 67
5.2 Saran ... 68
DAFTAR PUSTAKA ... 69
ix DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Operasi Dasar Peristiwa dan Himpunan ... 8
Tabel 2.2 Daftar ANOVA untuk Desain Faktorial 3 ... 25
Tabel 3.1 Permintaan Baju ... 33
Tabel 3.2 Distibusi Peluang Permintaan Baju ... 33
Tabel 3.3 Distibusi Kumulatif Permintaan Baju ... 34
Tabel 3.4. Interval Angka Acak Permintaan Baju ... 34
Tabel 3.6 Tabel Keuntungan Dengan Informasi Sempurna ... 30
Tabel 3.5. Contoh Angka Acak ... 35
Tabel 3.6. Hasil Simulasi dari Angka Acak ... 36
Tabel 4.1. Data hasil eksperimen proses penjernihan air ... 49
Tabel 4.2 ANOVA untuk uji signifikansi variabel input ... 51
Tabel 4.3 ANOVA untuk uji Lack Of Fit model Orde I ... 52
Tabel 4.4 ANOVA untuk uji signifikansi variabel input ... 59
x DAFTAR GAMBAR
Gambar 3.1 Response Surface untuk (a) titik maksimun, (b) titik minimum,
dan (c) titik pelana ... 46
Gambar 4.1 Permukaan Respon untuk proses penjernihan air ... 57
Gambar 4.2 Plot Peta Kontur untuk proses penjernihan air ... 57
Gambar 4.3 Permukaan Respon dengan simulasi untuk proses penjernihan air ... 65
xi DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1 Hasil Pengolahan Data Metode Response Surface orde II ... 70 Lampiran 2 Hasil Pengolahan Data Metode Response Surface dengan Simulasi
Monte Carlo orde II ... 74
1
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Perkembangan matematika tidak hanya dalam tataran teoritis tetapi juga pada bidang aplikatif. Salah satu bidang ilmu yang dikembangkan untuk tataran aplikatifdalam statistika dengan sub ilmunya adalah desain eksperimen. Pada umumnya desain eksperimen digunakan oleh perusahaan atau industri yang bergerak di bidang produksi, sehingga untuk memperbaiki kualitas produk atau proses perusahaan tersebut melakukan eksperimen untuk mencari faktor-faktor yang berpengaruh terhadap kualitas produk. Untuk memperoleh kualitas produk yang baik suatu perusahaan melakukan eksperimen kualitas produk dalam skala yang kecil. Eksperimen kualitas tersebut mencakup seluruh aktivitas pengendalian kualitas dalam setiap fase dari penelitian dan pengembangan produk, perancangan proses produksi, dan keputusan konsumen. Pada dasarnya terdapat beberapa metode didalam desain eksperimen untuk mengoptimalkan kualitas produk, yaitu Faktorial, Taguchi dan Response Surface.
2 saat ini masalah air bersih merupakan barang yang langka, banyak terjadi polusi air dan udara dari rasa maupun warna, untuk mengetahui kualitas air perlu dilakukan beberapa eksperimen yaitu dengan mengukur pH air atau salinitas (kadar garam) air.
Dalam desain eksperimen, sebuah eksperimen didesain untuk mengestimasi interaksi yang terjadi dan bahkan interaksi dengan derajat lebih tinggi. Selain itu dalam sebuah eksperimen, terkadang terbesit bagaimana solusi dari suatu eksperimen sehingga diperoleh keuntungan potensial yang memuaskan. Dengan alasan inilah Metode Response Surface biasa digunakan.
Metode Response Surface adalah kumpulan teknik matematis dan statistik yang berguna untuk memodelkan dan menganalisis masalah di mana tingkat respon dipengaruhi oleh beberapa variabel, tujuannya adalah untuk mengoptimalkan respon tersebut (Montgomery 2005).
Langkah pertama dari Metode Response Surface (RSM) adalah menemukan hubungan antara respon dan faktor x melalui persamaan orde pertama dan digunakan model regresi linear, atau yang lebih dikenal dengan first-order model (model orde I):
∑
Rancangan eksperimen orde I yang sesuai untuk tahap penyaring faktor adalah rancangan faktorial 2k (Two Level Faktorial Design).
3
Rancangan eksperimen orde II yang digunakan adalah rancangan faktorial 3k (Three Level Faktorial Design), yang sesuai untuk masalah optimasi. Kemudian dari model orde II
ditentukan titik stasioner, karakteristik permukaan respon dan model optimasinya.
Keuntungan menggunakan Response Surface Method (RSM) ini adalah dapat mempermudah pencarian wilayah optimum. Bila tidak menggunakan metode tersebut, harus dilakukan eksperimen berulang-ulang, di mana eksperimen tersebut membutuhkan biaya dan waktu yang banyak sehingga sangat tidak efektif dan tidak efisien.
Pada tugas akhir ini Simulasi Monte Carlo digunakan untuk membangkitkan data respon dari hasil penelitian, Simulasi Monte Carlo merupakan salah satu metode yang sederhana yang dapat dibangun secara cepat. Pembangkitan Metode Simulasi Monte Carlo didasarkan pada probabilitas yang diperoleh dari data historis sebuah kejadian dan frekuensinya, yaitu :
P : probabilitas kejadian i
i
f : frekuensi kejadian i
4 Metode Simulasi ini digunakan dengan tujuan untuk menunjukkan bahwa Metode Response Surface dapat dikembangkan dengan simulasi Monte Carlo serta untuk
memecahkan masalah dan memberikan suatu keputusan hasil akhirnya, pembahasan ini dilakukan dengan tujuan agar air dapat dikonsumsi oleh manusia secara maksimal dan lain sebagainya.
Berdasarkan pada hal di atas, maka penulis membuat tugas akhir yang berjudul. “METODE RESPONSE SURFACE DENGAN SIMULASI MONTE CARLO DALAM MENENTUKAN MODEL OPTIMUM UNTUK TINGKAT KEJERNIHAN AIR”.
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang dilakukannya penelitian, maka rumusan masalah dalam penelitian ini antara lain:
1. Bagaimana model Respon Surface dengan simulasi Monte Carlo untuk tingkat kejernihan air di PDAM Kota Bandung.
2. Bagaimana mengetahui titik stasioner dengan Metode Response Surface melalui Simulasi Monte Carlo untuk tingkat kejernihan air di PDAM Kota Bandung
1.3. Batasan Masalah
5 1.4. Tujuan Penulisan
Adapun beberapa tujuan objektif penulis dalam pembuatan tugas akhir ini adalah:
1. Untuk mengetahui model Respon Surface dengan simulasi Monte Carlo untuk tingkat kejernihan air di PDAM Kota Bandung
2. Untuk mengetahui titik stasioner dengan Metode Response Surface melalui Simulasi Monte Carlo untuk tingkat kejernihan air di PDAM Kota Bandung
1.5 Manfaat Penulisan 1. Teoritis
Adapun manfaat penulisan tugas akhir ini secara teoritis adalah mengembangkan pengetahuan Metode Respons Surface dengan Simulasi Monte Carlo agar dapat menghasilkan kualitas air jernih yang lebih optimal. Selain itu tugas akhir ini merupakan bahan evaluasi terhadap kemampuan dalam mengaplikasikan teori-teori tentang Metode Respons Surface yang telah disampaikan semasa perkuliahan. 2. Praktis
6 1.6 Sistematika Penulisan
Untuk memudahkan pembahasan dalam Tugas Akhir ini penulis membagi ke dalam lima bab yaitu :
BAB I PENDAHULUAN
Berisi latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian dan sistematika penulisan.
BAB II LANDASAN TEORI
Berisi tentang teori-teori penunjang yang relevan untuk membahas permasalahan yang telah dirumuskan sehingga permasalahan tersebut dapat dipecahkan
BAB III ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Berisi tentang pendahuluan Metode Response Surface dan Simulasi Monte Carlo, struktur dasar Metode Response Surface dan Simulasi Monte Carlo,
karakteristik Metode Response Surface dan Simulasi Monte carlo, tahapan-tahapan Metode Response Surface dan Simulasi Monte Carlo.
BAB IV STUDI KASUS
Berisi tentang analisis data sesuai dengan teori yang telah dikaji untuk mendapatkan pemecahan dari masalah yang telah dirumuskan
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
67 BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan bahwa:
Dari hasil eksperimen orde I, diperoleh bahwa model orde I tidak sesuai. Maka selanjutnya kedua variabel tersebut di analisis lebih lanjut pada eksperimen orde II. Pada eksperimen orde II dengan Central Composite Design hasil eksperimen orde II menyatakan bahwa model optimasinya yaitu = 6.01 − 0.30 −
1.08 + 0.087 − 0.098x + 0.65x , dimana adalah turbidity (kekeruhan)
air kemudian titik stasioner dalam variabel input aktualnya adalah 125 rpm untuk pengadukan dan 23,5 ml untuk dosis (PAC). Sedangkan metode Response Surface dengan simulasi Monte Carlo dilakukan tahapan-tahapan seperti sebelumnya. Maka hasil eksperimen orde II menyatakan bahwa model optimasinya yaitu = 6.03 −
0.29 − 1.21 + 0.13 − 0.19x + 0.81x , dimana adalah turbidity
68 5.2 Saran
Berdasarkan pembahasan sebelumnya, adapun saran dari penulis adalah sebagai berikut :
• Karena biaya dosis (PAC) tidak diketahui, maka sebaiknya diteliti bagaimana meminimumkan biaya dari dosis (PAC) tetapi diperoleh hasil yang optimum. • Selain simulasi Monte Carlo sebaiknya menggunakan metode pembangkitan
bilangan acak lainnya yang bisa digunakan dalam Metode Response Surface. • Berdasarkan pengalaman penulis, bagi yang ingin melanjutkan bahasan ini
69 DAFTAR PUSTAKA
Ahyani, M. J. (2004). Metode Permukaan Respon dan Aplikasinya dalam Menentukan Wilayah Robust. Bandung: Jurusan Matematika FPMIPA UPI.
Djauhari.(1998). PengantarTeoriPeluang. Bandung: JurusanMatematika FMIPA ITB.
Gaspersz, V. (1995).TeknikAnalisisDalamPenelitianPercobaan 2. Bandung: Tarsito Goro, T. (2011).Kumpulan Teknik Penyaringan Air Sederhana. [Online].Tersedia:
http://goro-tri.blogspot.com/2011/05/membuat-saringan-air-sendiri.html(5 aguatus 2011).
Montgomery C, Douglas. (1997)Design and Analysis of Experiments, 4th edition, New York: John Wiley and Sons.
Satya, L. D. B. (2007). SimulasiTeoridanAplikasinya. Yogyakarta: Andi Sudjana.(1985). DisaindanAnalisisEksperimen.Bandung: Tarsito.
Stat Ease. (2010). Getting Started With v8 of Design-Expert. [Online].Tersedia:http://statease.info/de8files/docs/DE8-UserGuide.exe (19 Januari 2012).
Sutanto.(2009). Model Simulasi Monte
Carlo.[Online].Tersedia:http://sutanto.staff.uns.ac.id/files/2009/03/model-simulasi-monte-carlo.pdf(2 Agustus 2011).
Tn. (2010). DX8 Trial Program. [Online].
Terrsedia:http://www.statease.info/dx8files/dx8-trial.exe ( 7 November 2011).
Tn. (1987).Experimental Design (Industrial
DOE).[Online].Tersedia:http://www.statsoft.com/textbook/experimental-design/ (19 Januari 2012).
