Semigrup Kanselatif Berdasarkan Konjugat

Jurnal Ilmiah Matematika

Volume 3 No.6 Tahun 2017

ISSN 2301-9115

30

SEMIGRUP KANSELATIF BERDASARKAN KONJUGAT

Muhammad Ilham Fauzi

(S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya) Email : ilhamsakerapala@gmail.com

Abstrak

Himpunan tak kosong 5 dengan operasi biner òÛó disebut semigrup jika tertutup dan asosiatif. Pada

semigrup 5ájika TU L TV mengakibatkan ULV dan jika UT L VT mengakibatkan ULV untuk

semuaTáUáVÐ5 maka 5 disebut semigrup kanselatif. Semigrup 5 merupakan semigrup yang memuat

konjugat jika ÌVÐ5 dan TáUÐ5 sedemikian hingga TULUVá maka V disebut konjugatT oleh U dan

dinotasikan dengan Tì_{LVäHasil penelitian menjelaskan konsep serta sifat-sifat semigrup kanselatif}

berdasarkan konjugat.

Kata Kunci: Semigrup, Semigrup Kanselatif, konjugat, Nilpoten kelas 2.

Abstract

5 be nonempty set with certainly biner operation is called semigroup if closed and assosiative. On 5

semigroup, if TU L TV implies ULV and if UT L VT implies ULV for all TáUáVÐ5 then 5 is

cancellative semigroup. Let 5 be a admitting conjugates semigroup if ÌVÐ5 and TáUÐ5 such that TUL

UVá then V is called conjugate of T by U and it is donated by Tì_{LV 7KH UHVHDUFK¶V UHVXOW H[SODLQ WKH}

concept and characteristics of cancellative semigroup admitting conjugates.

Keywords: Semigroup, Cancellative Semigroup, Conjugate, Nilpotent class 2

PENDAHULUAN

Struktur aljabar merupakan himpunan yang tidak kosong dengan paling sedikit satu operasi biner dan

memenuhi aksioma±aksioma yang berlaku. Contoh dari

struktur aljabar yang banyak diketahui yaitu grup dan contoh lain misalnya adalah semigrup, di mana untuk setiap grup pasti merupakan semigrup, tetapi semigrup belum tentu merupakan grup. Himpunan tidak kosong dengan operasi biner dikatakan semigrup jika memenuhi sifat tertutup dan asosiatif.

Teori semigrup pertama kali muncul pada buku matematika berjudul Elements de la Theorie des Groups Abstraits (Paris, 1904). Artikel pertama dimunculkan oleh L. E. Dickson pada 1905, namun teori semigrup baru benar-benar dimulai pada 1928 oleh A.K Suschkewitsch. Banyak peneliti yang mengembangkan teori semigrup, seperti halnya P. Sreenivasulu Reddya

dan Guesh Yfter Telaa pada tahun 2012

memperkenalkan konsep yang dapat diterapkan dalam semigrup yaitu konsep tentang kanselatif dari suatu

VHPLJUXS GDODP MXUQDOQ\D \DQJ EHUMXGXO ³Cancellative /HIW 5LJKW 5HJXODU 6HPLJURXSV´ dan sifat-sifat yang

terkait. Joao Araujo, dkk pada tahun 2014

memperkenalkan beberapa konsep konjugasi yang dapat diterapkan ke dalam semigrup dalam jurnalnya yaitu ³FRQMXJDWLRQ LQ VHPLJURXSV´. Dalam buku

³Presentations For Subsemigroups of Groups´

Matematikawan Malcev dan B. H. Neumann

memperkenalkan Subsemigrup dari grup Nilpoten, dimana suatu semigrup termasuk grup abelian dan kemudian menjadi semigrup kanselatif komutatif sehingga dapat disisipkan ke dalam grup nilpoten. Dalam jurnal ini akan dibahas sifat-sifat konsep kanselatif dari suatu semigrup berdasarkan konsep konjugat, serta

mengguQDNDQ WHRUHPD 0DO¶FHY 1HXPDQQ GLPDQD

nilpoten kelas 2 didefinisikan TUVUTLUTVTUâuntuk

semuaTáUáVÐ5.

LANDASAN TEORI A. Grup

31

Suatu grup merupakan pasangan dari himpunan tak

kosong ) dengan operasi biner òÛópada ) yang

memenuhi aksioma berikut:

(i) =Û> Ð)áÊ=á> Ð) (tertutup) (ii) :=Û>;Û_?L=Û:>Û?;áÊ₌á>á? Ð₎

(asosiatif)

(iii) ÌAÐ), yang disebut identitas dari

)sedemikian hingga Ê= Ð ) berlaku =Û

ALAÛ=L=.

(iv) Ê=Ð), Ì=?5_{Ð), yang disebut invers dari}

= sedemikian hingga =Û=?5_L=?5_Û=LA.

(Dummit, 1999)

Catatan: jika ) GHQJDQ RSHUDVL ELQHU ³Û´

merupakan grup, maka ditulis >)áÛ?dan

agar tidak menimbulkan kerancuan

penulisan TÛ_{U dapat ditulis TU.}

B. Semigrup Definisi 2.2

Diberikan 5 himpunan tak kosong.5dengan operasi

biner òÛó dikatakan semigrup jika memenuhi:

(i) Ê=á> Ð 5á=>Ð 5 (Tertutup)

(ii) Ê=á>á? Ð 5á:=>;?L=:>?; (Asosiatif)

(Kandasamy.W.B.V, 2002)

Catatan: jika 5 dengan operasi biner òÛó

merupakan semigrup, maka ditulis :5áÛ;

C. Semigrup komutatif Definisi 2.3

Semigrup :5áÛ;dikatakan komutatif jika dan hanya

jika Ê=á>Ð5á=>L>=ä

(Harju, 1996)

D. Invers semigrup Definisi 2.4

Diberikan semigrup:5áÛ; dan =Ð5ä Suatu =?5_Ð5

disebut invers dari = jika dan hanya jika=L==?5₌

dan =?5_L=?5₌₌?5_.

(Harju, 1996)

E. Subsemigrup Definisi 2.5

Misalkan:5áÛ; semigrup. # subset tak kosong dari

5 disebut Subsemigrup dari 5jika dengan operasi

yang sama pada 5á# membentuk semigrup.

(Harju, 1996)

F. Teorema kanselatif Teorema 2.1

Misalkan >)áÛ?adalah grup. Untuk semua =á>á?Ð ),

(i) Jika=>L=? maka >L? (kanselatif kiri)

(ii) Jika =>L?> maka =L? (kanselatif kanan)

(Joseph A.Gallian, 2012)

G. Nilpoten Definisi 2.6

Misalkan :5áÛ; semigrup.

(i) Suatu V Ð5 disebut elemen nol dinotasikan 0

di :5áÛ; jika dan hanya jika VTLVLTVâ

ÊTÐ5

(ii) Jika TÐ5 dan ada suatu bilangan bulat positif

Jsedemikian hingga Tá _{L r (elemen nol)}

maka T disebut elemen nilpoten.

(John M. Howie, 1989)

H. Homomorfisme Definisi 2.7

Pemetaan î dari suatu >)áõ? ke >)ïáÛ? disebut

homomorfisme jika î:=õ>;Lî:=;Û î:>;áÊ=á>Ð)ä (Joseph A.Gallian, 2012) PEMBAHASAN Semigrup kanselatif Definisi 3.1

Misalkan:5áÛ;semigrup. Jika TUL

TV mengakibatkan ULV dan jika UT L VT

mengakibatkan ULVáuntuk semuaTáUáVÐ5

maka 5 disebut semigrup kanselatif.

(Moghaddam. G.I, 2015)

Konjugat Definisi 3.2

Misalkan :5áÛ; semigrup dan TáUÐ_{5. Jika} Ì_VÐ₅

sedemikian hingga TULUVá maka V disebut

konjugat T oleh U dan dinotasikan dengan Tì_L

VäJika untuk semuaTáUÐ5áÌVLTì_{Ð5 maka}

:5áÛ; dikatakan memuat konjugat.

Oleh karena itu untuk sebarang T dan U di semigrup

kanselatif 5 memuat konjugat Tì _{tunggal dan}

TULUTì_.

Jika TULUV berlaku untuk semuaTáUÐ5áÌVÐ5

dan jika TULUL berlaku untuk semuaTáUÐ

5áÌLÐ5 sedemikian hingga berdasarkan semigrup

kanselatif kanselasi kiri maka VLL jadi V dan L

tunggal.

(Moghaddam. G.I, 2015)

32

Misalkan :5áÛ; semigrup kanselatif yang memuat

konjugat dan jika semua TáUáVÐ5. Maka

pernyataan berikut ini belaku:

1. Të= T

2. :Tì_;í_{= T}ìí

3. :TU;í_{= T}í_Uí

(Moghaddam. G.I, 2015)

Teorema 3.1

Misalkan:5áÛ;semigrup kanselatif yang memuat

konjugat untuk sebarang =á>áTáUáQdan RÐ5ä Jika

=ULT>ì_á?ULT@ì_á=RLQ>é_{á maka ?RLQ@}é_ä

(Moghaddam. G.I, 2015)

Definisi 3.3

Misalkan :5áÛ; semigrup kanselatif yang memuat

konjugat. Untuk semua=á>áÐ5 didefinisikan:

=3>L<:TáU;=ULT>ì_Ð5Û5=

(Moghaddam. G.I, 2015)

Lemma 3.2

Misalkan :5áÛ; semigrup kanselatif yang memuat

konjugat, untuk semua =á>á? @áÐ5

(i) Jika :=3>;ê:?3@;M Î maka =3>L?3@

(ii) =3=L>3>

(Moghaddam. G.I, 2015) Bukti:

1. Diberikan:5áÛ;semigrup kanselatif yang

memuat konjugat dan :=3>;ê:?3@;M Î.

Misalkan :T5áU5; Ð:=3>;ê:?3@;

Misalkan terdapat (QáR;Ð=3> berdasarkan

Definisi 3.3 maka =RL

Q>é_{á sehingga berdasarkan Teorema 3.1}

berakibat ?RLQ@ì_{á oleh kerena itu (QáR;Ð}

?3@ maka dapat disimpulkan bahwa =3> ??3@.

Misalkan terdapat (QáR;Ð?3@ berdasarkan

Definisi 3.3 maka ?RL

Q@ì_{á sehingga berdasarkan Teorema 3.1}

berakibat =RLQ>é_{á oleh kerena itu (QáR; Ð}

=3> maka dapat disimpulkan bahwa ?3@?=3>ä Jadi, berdasarkan pembuktian di atas dapat

disimpulkan bahwa =3>L?3@.Ö

2. Diberikan:5áÛ;semigrup kanselatif yang

memuat konjugat. Misalkan (TáU;Ð=3=

berdasarkan Definisi 3.3 maka =ULT=ì

sehingga berdasarkan Teorema 3.1 berakibat >ULT>ì _{dan (TáU;Ð>3> berdasarkan Definisi}

3.3 dapat maka >ULT>ì

sehingga berdasarkan

Teorema 3.1 berakibat =ULT=ìä Akan

ditunjukkan =3=L>3>. Dari kedua pernyataan

tersebut dapat di simpulkan bahwa (TáU;Ð

:=3=;ê:>3>; atau:=3=;ê:>3>;M Î maka

berdasarkan Lemma 3.2 maka =3=L>3>.Ö

Lemma 3.3

Misalkan :5áÛ; semigrup kanselatif yang memuat

konjugat dan untuk semua =á>áQÐ5. Maka

berlaku: 1. =Q3>QL=3> 2. Q=3>QÔ_L=3> 3. =Q3QL=R3R (Moghaddam. G.I, 2015) Bukti:

1. Diberikan semigrup kanselatif yang memuat

konjugat dan =á>áQÐ_{5. Misalkan terdapat}

:TáU;Ð=3> berdasarkan Definisi 3.3 maka =ULT>ì_{, akan ditunjukkan :TáU; Ð=Q3>Qá}

maka:

:=Q;UL=:QU; (Asosiatif)

L=:UQì_{; (berdasarkan konjugat)}

L:=U;Qì _(Asosiatif)

L:T>ì_;Qì _{(hipotesis Teorema 3.1)}

LT:>ì_Qì_{; (Asosiatif)}

LT:>Q;ì _{(Lemma 3.1)}

Jadi, :TáU;Ð_=Q3>Qmaka:=Q;ULT:>Q;ì_á

sehingga dapat disimpulkan =Q3>Q?=3>

berdasarkan Lemma 3.2 =3>?=Q3>Q sehingga

:=Q3>Q;ê:=3>;M Î maka =Q3>QL=3>.Ö

2. Diberikan semigrup kanselatif yang memuat

konjugat dan=á>áQÐ5äMisalkan terdapat

:TáU;Ð_{=3> maka =UL T>}ì_á

akan

ditunjukkan :TáU; ÐQ=3>QÔ_{á maka:}

:Q=;ULQ:=U; (Asosiatif)

L:=U;QÔì _{(berdasarkan konjugat)}

L:T>ì_;QÔì

(hipotesis Teorema 3.1) LT:>ì

QÔì; (Asosiatif) LT:>QÔ_;ì _{(Lemma 2.1)}

Jadi,:TáU;ÐQ=3>QÔ _{maka :Q=;ULT:>Q}Ô_;ì

sehingga dapat disimpulkan Q=3>QÔ

?=3>

berdasarkan Lemma 3.2 =3>?Q=3>QÔ

sehingga :Q=3>QÔ_{;ê:=3>;M Î maka}

Q=3>QÔ_L=3>äÖ

3. Diberikan semigrup kanselatif yang memuat

konjugat dan=á>áQáRÐ5äMisalkan terdapat

:=QáQ;Ð=Q3Q maka :=Q;QL=Q:Q;è_äAkan ditunjukkan :=QáQ; Ð _{=R3R maka:} :=R;QL =:RQ; (Asosiatif) L=:QRè_{; (berdasarkan konjugat)} L:=Q;Rè _(Asosiatif) Jadi,:=QáQ;Ð=R3R maka :=R;QL

33

=Q3Q berdasarkan Lemma 3.2 =Q3Q?=R3R

sehingga :=Q3Q;ê:=R3R;M] _maka =Q3QL

=R3RäÖ

Definisi 3.6

Misalkan :5áÛ; semigrup kanselatif yang memuat

konjugat. Untuk sebarang=á>á?á@Ð5á

(i) Himpunan semua elemen =3> dinotasikan 5§,

yaitu:

5§L<=3> =á>Ð5=

(ii) Didefinisikan operasi biner òÛ_$ópada 5§ dengan

:=3>;Û$:?3@;L:=?3@>Ö_;

(Moghaddam. G.I, 2015)

Teorema 3.2

Misalkan :5áÛ; semigrup kanselatif yang memuat

konjugat. Maka 5§dengan operasi 6Û$6 merupakan

grup.

(Moghaddam. G.I, 2015)

Teorema 3.3

Jika :5áÛ; adalah semigrup kanselatif yang memuat

konjugat. Maka 5 dapat disisipkan ke dalam suatu

grup.

(Moghaddam. G.I, 2015)

Definisi 3.8

Semigrup kanselatif dikatakan semigrup nilpoten

kelas t, jika memenuhi TUQUT L UTQTU ;untuk

semuaTáUáQÐ_5.

(Moghaddam. G.I, 2015)

Teorema 3.4

Jika :5áÛ; semigrup kanselatif yang memuat

konjugat. Maka ketiga hukum berikut ekuivalen di 5:

1. TULUTáuntuk semuaTáUÐ5 (komutatif)

2. Tì_{LT, untuk semuaTáUÐ5 (konjugasi)}

3. Tìå_L:Tì_;í_{, untuk semuaTáUáVÐ5}

(asosiatif dari konjugat)

(Moghaddam. G.I, 2015) Bukti:

1. (sœ_t)

Diberikan:5áÛ;semigrup kanselatif yang

memuat konjugat dan TULUT

Ambil TáUÐ5

TULUT«« L

Dari persamaan di atas diperoleh dua bentuk, yaitu: TU dan UT

Untuk bentuk TUá maka diperoleh:

TULUTì _{(berdasarkan konjugat)}

Dari (i), dapat disimpulkan bahwa: UTì_LUT

Berdasarkan semigrup kanselatif, kanselasi kiri

maka diperoleh Tì_LT.Ö

2. (tœ_u)

Diberikan:5áÛ;semigrup kanselatif yang

memuat konjugat dan Tì_LT

Ambil sebarang TáUáVÐ5 x Tì_{L T}í _{(misalkan ULV)} L :Tì_;í (konjugasi) x TLTì (konjugasi) LTìå _(konjugasi)

Dari pembuktian diatas dapat disimpulkan Tìå _LTì í_.Ö

3. (uœs)

Diberikan:5áÛ;semigrup kanselatif yang

memuat konjugat dan Tìå _L:Tì_;í

Ambil sebarang TáUÐ5

Jika Tìå _L:Tì_;í _{untuk ULTá maka:}

TëåL:Të_;í

L:T;í

LTí

Sehingga dapat di tulis: Tëå _LTí_{ä Karena T}í_Ð

5 maka kedua ruas Tëå_LTí _{dapat di}

operasikan dengan Tí_{á sehingga diperoleh:}

Tí_Tëå_LTí_Tí_{. Berdasarkan konjugat didapat:}

TTí_LTí_Tí_{, dan berdasarkan semigrup}

kanselatif, kanselasi kanan maka:TLTí.

Berdasarkan pembuktian (sœt) didapat TVL

VT.Ö

Teorema 3.5

Misalkan :5áÛ;semigrup kanselatif yang memuat

konjugat. 5 adalah nilpoten kelas 2 jika dan hanya

jika memenuhi konjugat Tìå_{L T}ì_âuntuk

semuaTáUáVÐ5ä

(Moghaddam. G.I, 2015) Bukti:

Syarat perlu (œ₎

Jika TUVUTLUTVTU adalah hukum nilpoten kelas 2

di dalam 5 dengan menggunakan konjugat dan

semigrup kanselatif, maka diperoleh: x TUVUTL:TU;VUT (Asosiatif)

L:UTì_{;VUT (berdasarkan konjugat)}

Dari persamaan diatas, diperoleh:

:UTì_{;VUTLUTVTU dan berdasarkan semigrup}

kanselatif, kanselasi kiri diperoleh: Tì_VUTLTVTU

34

Tìå_VUí_TLTVTUí

Karena VUí_{LUVá maka:}

TìåUVT LTVTUí

Misalkan QáVáUÐ_{5, maka QVU dapat di operasikan}

ke dua ruas:

Tìå_UVTQVULTVTUí_QVU

Sehingga:

Tìå_UVTQVULTìå_{UV:TQ;VU (Asosiatif)}

LTìå_{VU:TQ;UV (Komutatif)}

LTìåVUTQUV TVTUíQVULTVT:Uí_QVU;

(Asosiatif) LTVT:UQVU; (UÐ5 maka Uí_Ð5) L:TVTU;QVU (Asosiatif) L:TVTU;QUV (Komutatif) L:Tì_VTU;QUV (Konjugasi) Dari kedua persamaan di atas, diperoleh:

Tìå_:VUTQUV;LTì_:VTUQUV;

Sehingga, berdasarkan semigrup kanselatif,

kanselasi kanan diperolah: Tìå _LTì_Ö

Syarat cukup (š₎

Misalkan Tìå_{L T}ì _{hukum konjugat di dalam 5,}

maka dengan mengambil TáUÐ _{5. TULTU}ë_L

Uë_Tìã_LUë_Tìå_LUë_Tì_{, dan}

UTVTUL:UT;V:TU; (Asosiatif)

L:TUë_;V:UTì_{; (berdasarkan konjugat)}

L:TUë_;:VU;Tì _(Asosiatif)

L:TUë_;Tì_:VU;ëä

(berdasarkan konjugat)

L:TUë_;Tì_:VU;ë _{(berdasarkan konjugasi)}

LT:Uë_Tì_;:VU;ë _(Asosiatif)

LT:UT;:VU;ë

LTU:T:VU;ë_{; (Asosiatif)}

LTUk:VU;To (berdasarkan konjugat) LTUVUT Ö

Teorema 3.5

Misalkan :5áÛ; semigrup kanselatif yang memuat

konjugat. 5 adalah nilpoten kelas 2 jika dan hanya

jika memenuhi konjugat Tìí_{L T}íì_âuntuk

semuaTáUáVÐ5

(Moghaddam. G.I, 2015) Bukti:

Diberikan :5áÛ;semigrup kanselatif memuat

konjugat dan 5 adalah nilpoten kelas 2.

Berdasarkan Teorema 3.5 TUVUTLUTVTU ;

Tìå_{L T}ì_ä

Akan dibuktikan Tìå _{L T}ì

;Tìí_L

Tíì_ä

Syarat perlu (œ)

Jika 5 memenuhi Tìå _LTì_{ámaka diperoleh:}

x Tìí_LTíìå _{(berdasarkan konjugat)}

L:Tí_;ì _{(Teorema 3.4 )}

LTíì

Syarat cukup (š)

Jika 5 memenuhi Tìí_{L T}íì_{ámaka diperoleh:}

x Tìí _LTíìå _{(berdasarkan konjugat)}

L:Tí_;ìå _{(Lemma 3.1)}

Sehingga dari persamaan diatas, diperoleh: :Tí_;ìå _L:Tí_;ì

Misalkan PLTí _{maka :P;}ìå _L:P;ì_Ö

PENUTUP A. Kesimpulan

Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan sifat-sifat semigrup kanselatif berdasarkan konjugat adalah:

1) Misalkan:5áÛ;semigrup kanselatif yang

memuat konjugat dan jika untuk semua

TáUáVÐ5ä Maka pernyataan berikut ini

terpenuhi:

1. Të_{= T}

2. :Tì_;í

= Tìí

3. :TU;í_{= T}í_Uí

2) Misalkan:5áÛ;semigrup kanselatif yang

memuat konjugat untuk sebarang=á>áTáUáQ

dan RÐ5. Jika =ULT>ì_á?ULT@ì_á=RL

Q>é_{, maka ?RLQ@}é_ä

3) Misalkan:5áÛ;semigrup kanselatif yang

memuat konjugat untuk semua TáUáVÐ5ä

a. Jika :=3>;ê:?3@;M Î _maka =3>L

?3@ b. =3=L>3>

4) Misalkan:5áÛ;semigrup kanselatif yang

memuat konjugat dan untuk semua =áRáQÐ5.

Maka berlaku: 1. =Q3>QL=3> 2. Q=3>QÔ_L=3>

3. =Q3QL=R3R

5) Misalkan:5áÛ;semigrup kanselatif yang

memuat konjugat. Maka 5§dengan operasi

6Û$6merupakan grup.

6) Jika:5áÛ;adalah semigrup kanselatif yang

memuat konjugat. Maka 5 dapat disisipkan ke dalam suatu grup.

7) Jika:5áÛ; semigrup kanselatif yang memuat konjugat. Maka ketiga hukum berikut ekuivalen di 5:

1. TULUTáuntuk semua TáUÐ5(komutatif)

2. Tì_{LT, untuk semuaTáUÐ5 (konjugasi)}

3. Tìå _L:Tì_;í_{, untuk semuaTáUáVÐ5}

35

8) Misalkan:5áÛ;semigrup kanselatif yang

memuat konjugat. 5 adalah nilpoten kelas 2

jika dan hanya jika memenuhi konjugat

dengan Tìå_{L T}ì_â

untuk semuaTáUáVÐ5ä

9) Misalkan:5áÛ;semigrup kanselatif yang

memuat konjugat. 5 adalah nilpoten kelas 2

jika dan hanya jika memenuhi konjugat Tìí_L

Tíì_{; untuk semua TáUáVÐ5ä}

B. Saran

Pada jurnal ini telah dibahas mengenai sifat-sifat semigrup kanselatif berdasarkan konjugat. Namun belum dibahas sifat-sifat lain yang berkaitan dengan sifat-sifat semigrup kenselatif berdasarkan konjugat yang lain. Oleh karena itu, penulis menyarankan kepada pembaca untuk mempelajari lebih lanjut mengenai sifat-sifat semigrup kenselatif

berdasarkan konjugat.

DAFTAR PUSTAKA

Araujo, Joao.dkk. 2014. Conjugation in semigroups.

Vol. 403(2014) hal. 93±134.

Clifford, A.H. & Preston, G.B. 1961. ³The Algebraic

Theory of Semigroups, Vol. 1. Math. Surveys,

YRO ´. American Mathematic Society.

Dummit, S. D. dan Foote, R.M. 2004. Absract Algebra.

Third Edition, Englewood Cliffs: Prentice Hall.

Gallian, Joseph. A.2012. Contemporary Abstract

Algebra. New York : Addison-Wesley

Publishing Company.

Harjun, T. 1996. Semigroup. Finland: Departement of

Mathematics University of Turku.

Kandasamy.W.B.V. 2002. Smarandache near-rings.

USA: American Research Press.

Moghaddam, G.I dan R.Padmanabhan. 2015.

Cancellative Semigroups admitting Conjugates. Canada:University of Manitoba.

M. Howie, John. 1989. Embedding semigroups in

nilpotent-generated semigroups. Vol. 39 (1989):

No. 1. hal. 47²54.

Sreenivasulu Reddy, P. dan Guesh Yfter Tela. 2012. Cancellative Left (Right) Regular Semigroups. Vol.