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S e ti a p S e ti a p k e a d a a n k e a d a a n fi si s fi si s d a ri d a ri m a te ri m a te ri se la lu se la lu d in y a ta k a n d in y a ta k a n se b a g a i se b a g a i fu n g si fu n g si m a te m a ti s m a te m a ti s d a ri d a ri b e sa ra n b e sa ra n la in y a n g la in y a n g m e m p e n g a ru h in y a m e m p e n g a ru h in y a . . S = f (x S = f (x 11 , x , x 22 , . . . , , . . . , xx nn )) SS m e n y a ta k a n m e n y a ta k a n b e sa ra n b e sa ra n y a n g y a n g d iu k u r d iu k u r, , s e d a n g k a n se d a n g k a n xx ii m e n y a ta k a n m e n y a ta k a n v a ri a b e l v a ri a b e l y a n g y a n g m e n e n tu k a n m e n e n tu k a n b e sa ra n b e sa ra n SS . . S e b a g a i S e b a g a i co n to h co n to h g a y a g a y a in te ra k si in te ra k si a n ta r a n ta r d u a d u a y a n g y a n g m e n e n tu k a n m e n e n tu k a n b e sa ra n b e sa ra n SS . . S e b a g a i S e b a g a i co n to h co n to h g a y a g a y a in te ra k si in te ra k si a n ta r a n ta r d u a d u a p a rt ik e l p a rt ik e l b e rm u a ta n b e rm u a ta n FF d it e n tu k a n d it e n tu k a n o le h o le h b e sa r b e sa r m u a ta n m u a ta n p e rt a m a p e rt a m a qq 11 , , b e sa r b e sa r m u a ta n m u a ta n k e d u a k e d u a qq 22 , , ja ra k ja ra k a n ta r a n ta r p a rt ik e l p a rt ik e l rr 1212 , , d a n d a n m e d iu m m e d iu m d i d i m a n a m a n a k e d u a k e d u a p a rt ik e l p a rt ik e l te rs e b u t te rs e b u t b e ra d a b e ra d a . . Na m u n Na m u n u n tu k u n tu k m e n g g a m b a rk a n m e n g g a m b a rk a n se b u a h se b u a h b e sa ra n b e sa ra n y a n g y a n g m e ru p a k a n m e ru p a k a n fu n g si fu n g si d a ri d a ri b e b e ra p a b e b e ra p a v a ri a b e l v a ri a b e l cu k u p cu k u p su li t su li t. . P a d a P a d a p e m b a h a sa n p e m b a h a sa n m a te ri m a te ri d i d i si n i si n i, , d it in ja u d it in ja u b e sa ra n b e sa ra n y a n g y a n g h a n y a h a n y a b e rg a n tu n g b e rg a n tu n g p a d a p a d a sa tu sa tu v a ri a b e l v a ri a b e l sa ja sa ja ..0 5 :2 0 :5
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T in ja u T in ja u se b u a h se b u a h fu n g si fu n g si y = f (x ) y = f (x ) d i d i b a w a h b a w a h in i in i d i d i m a n a m a n a n il a i n il a i yy h a n y a h a n y a d it e n tu k a n d it e n tu k a n o le h o le h sa tu sa tu v a ri a b e l v a ri a b e l, , y a it u y a it u xx .. D a ri g ra fi k d i sa m p in g d ik e ta h u i y 1 = f (x 1 ), y 2 = f( x 2 ), y 3 = f (x 3 ), d a n y 4 = y 1 . y f( x 2 ), y 3 = f (x 3 ), d a n y 4 = y 1 . S e ti a p b e sa ra n f is is y a n g b e rg a n tu n g p a d a s a tu v a ri a b e l d a p a t d ig a m b a rk a n d a la m b e n tu k g ra fi k s e p e rt i d i a ta s. x x1 x2 x3 x4 y1 y2 y30 5 :2 0
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D i b a w a h in i co n to h b e sa ra n fi si k a , y a it u p o si si x se b a g a i fu n g si w a k tu . P o si si se b u a h p a rt ik e l d a la m a ra h x se b a g a i fu n g si w a k tu . t (d e ti k ) x ( m e te r) 0 9 1 4 2 1 3 5 4 0 4 5 5 0 x( t) = ( t – 3 ) 2 2 1 3 0 4 1 5 4 6 9 7 1 6 8 2 5 9 3 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 t x(t ) x( t) = ( t – 3 ) 20 5 :2 0 :5
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5 6 7 8 9 E (r ) r (m ) E (N /C ) 1 9 2 2 ,2 5 3 1 4 0 ,5 6 2 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 0 1 2 3 4 5 r E (r ) M e d a n li st ri k se b a g a i fu n g si ja ra k . D ik e ta h u i b e sa r q = 1 n C . 2 r q E k = 5 0 ,3 6 6 0 ,2 5 7 0 .1 8 3 7 8 0 ,1 4 0 6 9 0 ,1 11 1 1 0 0 ,0 90 5 :2 0
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1 . S e b u a h b e n d a y a n g d ih u b u n g k a n p a d a p e g a s m e n g a la m i g a y a p e g a s d in y a ta k a n s e b a g a i F = k x d e n g a n k a d a la h k o n st a n ta p e g a s d a n x a d a la h j a ra k . G a m b a rk a n g ra fi k F s e b a g a i fu n g si j a ra k x ! F x F0 5 :2 0 :5
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M u a ta n d a la m k a p a si to r y a n g te rh u b u n g d e n g a n su m b e r te g a n g a n D C b e rg a n tu n g p a d a w a k tu y a n g d in y a ta k a n o le h fu n g si : Q (t ) = q (1 – e -A t ) d e n g a n q d a n A a d a la h k o n st a n ta . G a m b a rk a n g ra fi k Q te rh a d a p t ! 2 . Q t Q = q (1 – e -A t ) Q q0 5 :2 0
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D if e re n si a l a ta u tu ru n a n p e rt a m a k a li d ib a h a s u n tu k m e n e n tu k a n g a ri s si n g g u n g d a ri su a tu k u rv a . M a sa la h in i su d a h d ib a h a s se ja k ja m a n A rc h im e d e s se k it a r a b a d k e 3 S M . D a la m fi si k a , tu ru n a n p e rt a m a k a li d ig u n a k a n u n tu k m e n e n tu k a n b e sa r k e ce p a ta n se sa a t p a d a t te rt e n tu d a ri p e rs a m a a n p o si si te rh a d a p w a k tu . Li h a t g a m b a r d i sa m p in g . f( x ) f( c+ h ) f( c) Li h a t g a m b a r d i sa m p in g . G ra d ie n d a ri g a ri s si n g g u n g p a d a t it ik P d a p a t d it e n tu k a n o le h p e rs a m a a n : P h ) c( f ) h c( f li m m 0 h − + = →0 5 :2 0 :5
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x ) x( f lim x ' x ) x( f )' x( f lim m x ' x x ' x ∆ ∆ = − − = → → Ji k a x = c d a n x’ = c + h , m a k a d a p a t d ip e ro le h : P e n u li sa n t u ru n a n d a ri s u a tu f u n g si y = f (x ) te rh a d a p x d in y a ta k a n o le h : f’ (x ) D y d y f’ (x ) D x y d x d y B e rl a k u u n tu k tu ru n a n : 1 . D x (c f( x) ) = c D x f( x) c : k o n st a n ta 2 . D x (f (x ) + g (x )) = D x f( x) + D x g (x ) 3 . D x (f (x )g (x )) = ( D x f( x) )g (x ) + f (x )( D x g (x )) 4 . D x (f (g (x )) ) = D g (x ) f( g (x )) .D x g (x ) 5 . D x (x n ) = n X n -10 5 :2 0
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d C d B A = D a la m fi si k a , su a tu b e sa ra n A y a n g d in y a ta k a n se b a g a i p e rb a n d in g a n b e sa ra n B t e rh a d a p b e sa ra n C p a d a u m u m n y a d a p a t d in y a ta k a n d a la m b e n tu k : H a l in i b e rl a k u k a re n a p a d a u m u m n y a b e sa ra n B m e ru p a k a n f u n g si d a ri b e sa ra n C . S e b a g a i co n to h : b e sa ra n C . S e b a g a i co n to h : w a kt u Ja ra k ta n K e ce p a = d t d x v = w a k tu U s a h a D a ya = d t d W P =w
a
k
tu
ta
n
M
u
a
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s
=
d t d q I =0 5 :2 0 :5
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M u a ta n d a la m k a p a si to r y a n g t e rh u b u n g d e n g a n su m b e r te g a n g a n D C b e rg a n tu n g p a d a w a k tu y a n g d in y a ta k a n o le h fu n g si : Q (t ) = q (1 – e -A t ) d e n g a n q d a n A a d a la h k o n st a n ta . T e n tu k a n : a . F u n g si a ru s se b a g a i w a k tuC
o
n
to
h
C
o
n
to
h
::
a . F u n g si a ru s se b a g a i w a k tu b . B e sa r a ru s sa a t t = 0 c. G a m b a rk a n g ra fi k I( t)0 5 :2 0
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In te g ra l d ig u n a k a n u n tu k m e n e n tu k a n l u a s d a e ra h d i a n ta ra k u rv a fu n g si f (x ) d a n s u m b u x . 4 0 4 5 5 0 5 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 x y x0 ∆ x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 S e b a g a i c o n to h d ik e ta h u i y = f( x) = ( x – 3 ) 2 + 5 d a n l u a s y a n g d it e n tu k a n p a d a b a ta s d a ri x = 1 s a m p a i d e n g a n x = 8 .0 5 :2 0 :5
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D a ri g a m b a r d ik e ta h u i lu a s y a n g d ic a ri d a p a t d id e k a ti d e n g a n : A (n = 7 ) = f (1 )∆ x + f (2 )∆ x + f (3 )∆ x + f (4 )∆ x + f (5 )∆ x + f (6 )∆ x + f (7 )∆ x∑
= ∆ = = 7 0i i x ) x( f ) 7 n( A = 0 i N il a i ∆ x = 1 d it e n tu k a n d e n g a n m e m b a g i se la n g 1 < x < 8 d ib a g i d e n g a n n = 7 . N il a i A (n = 7 ) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 1 4 + 2 1 = 7 0 s a tu a n p e rs e g i. Ji k a n il a i n d ip e rb e sa r, m a k a lu a s m e n d e k a ti lu a s se b e n a rn y a . N il a i A se b e n a rn y a d ip e ro le h p a d a n il a i n m e n d e k a ti ta k h in g g a .∑
∫
= ∞ → ∞ → = ∆ = = n 0i 8 1 i n n d x ) x( f x ) x( f lim ) n( A lim A0 5 :2 0
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D a la m fi si k a , in te g ra l d ig u n a k a n u n tu k su a tu b e sa ra n y a n g m e ru p a k a n h a si l k a li d a ri b e sa ra n -b e sa ra n la in d e n g a n sy a ra t m a si n g -m a si n g b e sa ra n te rs e b u t ti d a k sa li n g b e b a s sa tu sa m a la in . T in ja u su a tu b e sa ra n R = S T . Ji k a b e sa ra n S f u n g si d a ri T , m a k a b e sa ra n R h a ru s d in y a ta k a n d a la m b e n tu k :∫
=
d
T
S
R
S e b a g a i c o n to h : U sa h a = G a y a × ja ra k F lu k s = M e d a n × lu a s∫
=
Φ
d
A
E
∫
=
d
s
F
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0 5 :2 0 :5
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S e b u a h b e n d a y a n g d ih u b u n g k a n p a d a p e g a s m e n g a la m i g a y a p e g a s d in y a ta k a n s e b a g a i F = k x d e n g a n k a d a la h k o n st a n ta p e g a s d a n x a d a la h j a ra k . T e n tu k a n : a . B e sa r u sa h a y a n g d il a k u k a n o le h g a y a p e g a s b . G a m b a rk a n g ra fi k u sa h a s e b a g a i fu n g si w a k tu Ja w a b : Ja w a b : U sa h a y a n g d il a k u k a n :∫
∫
= = = 2 2 1 k x d x k x d x F W a . W x b .0 5 :2 0
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S e b u a h p a rt ik e l b e rg e ra k a k ib a t g a y a y a n g d in y a ta k a n o le h p e rs a m a a n F (x ) = A x − B x 2 . Ji k a d ik e ta h u i n il a i A = 1 0 3 N /m d a n B = 5 .1 0 3 N /m 2 . T e n tu k a n : a . P e ru b a h a n G a y a F t e rh a d a p ja ra k b . U sa h a y a n g d il a k u k a n g a y a d a ri x = 3 c m s a m p a i x = 9 c m 1 . D i b a w a h i n i g ra fi k d a ri p o te n si a l li st ri k t e rh a d a p j a ra k . 2 . T e n tu k a n : a . F u n g si p o te n si a l V s e b a g a i fu n g si x b . Ji k a d ik e ta h u i m e d a n li st ri k E a d a la h tu ru n a n p e rt a m a d a ri p o te n si a l li st ri k V , te n tu k a n fu n g si E (x ) c. G a m b a rk a n g ra fi k E t e rh a d a p x 1 0 8 4 V ( v o lt ) x (m )0 5 :2 0 :5
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S e b u a h p a rt ik e l b e rg e ra k d e n g a n k e ce p a ta n v (t ) = 1 0 t – 2 t 2 m /s b e rg e ra k d e n g a n p o si si a w a l d i x = 1 m . T e n tu k a n : a . G a m b a rk a n g ra fi k v (t ) b . K e ce p a ta n sa a t t = 1 d e ti k d a n t = 3 d e ti k c. F u n g si a (t ) se b a g a i tu ru n a n p e rt a m a d a ri v (t ) 3 . c. F u n g si a (t ) se b a g a i tu ru n a n p e rt a m a d a ri v (t ) d . G a m b a rk a n g ra fi k a (t ) e . F u n g si p o si si x( t) te rh a d a p w a k tu f. P o si si sa a t k e ce p a ta n v = 00 5 :2 0
F
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ik
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P e ru b a h a n g a y a t e rh a d a p j a ra k d in y a ta k a n o le hd
x
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= A – 2 B x = 1 0 3 – 1 0 4 x 1 . a .IN
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U sa h a y a n g d il a k u k a n :(
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2 2 2 2 1 0 . 9 1 0 . 3 3 3 1 2 2 1 1 0 . 9 1 0 . 3 2 x B x A d x B x A x d x F W − − − − − = − = =∫
∫
W = 3 6 .1 0 -4 A – 2 3 4 .1 0 -6 B = 2 ,4 3 J o u le 1 . b .0 5 :2 0 :5
F
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2 . a . D a ri g ra fi k d ik e ta h u i V (x ) a d a la h fu n g si li n ie r y a n g m e n g h u b u n g k a n ti ti k (0 ,4 ) d a n ti ti k (1 0 ,8 ). D e n g a n m e n g g u n a k a n p e rs a m a a n g a ri s V = a x + b . 8 4 V ( v o lt ) g a ri s V = a x + b . U n tu k ti ti k (0 ,4 ) 0 .a + b = 4 U n tu k ti ti k (1 0 ,8 ) 1 0 .a + b = 8 1 0 4 x (m ) D e n g a n m e to d a e li m in a si d ip e ro le h b = 4 d a n a = 0 ,4 . D e n g a n d e m ik ia n fu n g si V (x ) = 0 ,4 x + 40 5 :2 0
