PENDUGAAN PARAMETER WAKTU PERUBAHAN PROSES
PADA
2CONTROL CHART MENGGUNAKAN PENDUGA
KEMUNGKINAN MAKSIMUM
SITI MASLIHAH
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
2
PERNYATAAN MENGENAI TESIS
DAN SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Pendugaan Parameter
Waktu Perubahan Proses pada 2 Control Chart Menggunakan Penduga
Kemungkinan Maksimum adalah karya yang saya adopsi dari paper karya
Neduraman, Pignatiello dan Calvin dengan judul Identifying the Time of a Step
Change with 2 Control Chart. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari
karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan di dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini
Bogor, Agustus 2008
Siti Maslihah
ABSTRACT
SITI MASLIHAH. The Estimation of Step Change Process Parameter using
Chi Square Control Chart with Maximum Likelihood Estimator. Under the
supervision of SRI NURDIATI and SISWANDI.
Statistical process control (SPC) is a statistical technique to measure and analyze variation during process production. Control chart is a tool that is used to monitor a production process. When a control chart gives signal that a special cause is present, process engineers initiate a search and identify the cause. This identification enables the engineers to improve quality of product by preventing or avoiding changes in variability which cause the poor quality. The aim of this thesis is to estimate the time of the step change process parameter using maximum likelihood estimator and investigate the performance of a change point estimator when 2 control chart is used. The performance of the estimator will also be observed using simulation with MATLAB 7.0. The result shows that the average of the change point estimator is close to the actual change point regardless of the process dimension, shift magnitude and the direction of the shift.
Keywords: Statistical Process Control, 2 Control Chart, Maximum Likelihood
4
RINGKASAN
SITI MASLIHAH. Pendugaan Parameter Waktu Perubahan Proses pada 2
Control Chart Menggunakan Penduga Kemungkinan Maksimum. Dibimbing
oleh SRI NURDIATI dan SISWANDI.
Statistical Procces Control (SPC) adalah salah satu cabang dari ilmu
statistika yang mempelajari penerapan teknik statistika untuk mengukur dan menganalisis variasi yang terjadi selama proses produksi berlangsung. Control
chart adalah alat yang digunakan untuk memantau berjalannya proses produksi
sehingga bisa diketahui apakah proses produksi dalam kondisi terkontrol ataukah tidak. Bila control chart memberikan sinyal, berarti telah terjadi penyimpangan proses dari kondisi normalnya karena adanya penyebab variasi. Keberhasilan mengidentifikasi penyebab variasi memungkinkan seorang insinyur untuk memperbaiki kualitas produk dengan cara menghindari perubahan variasi yang menyebabkan menurunnya kualitas. .
Tujuan dari tesis ini adalah melakukan kajian teoritis tentang penduga (yaitu penduga waktu perubahan proses) dan mengamati karakteristik penduga tersebut menggunakan simulasi dengan MATLAB 7.0.
Penduga kapan terjadinya perubahan proses ( ) dilakukan dengan
memaksimumkan log dari fungsi likelihood
1 1 1 1/ 2 ( ) ( ) / 2 / 2 1 (2 ) m k k k x x k kp e .
Observasi diasumsikan berasal dari distribusi Np( 0, 0) ketika proses dalam keadaan in control. Banyaknya karakteristik(p) yang digunakan dalam simulasi adalah p = 2, 5 dan 10. Langkah-langkah simulasinya adalah membangkitkan 100 subgrup atau sampel dengan ukuran masing-masing sampel n = 5. Jika ada sampel yang diambil menghasilkan 2 n x( ) ' 1(x ) yang melebihi UCL = 2, p maka seluruh data dibuang dan diganti dengan data yang baru. Data yang baru tersebut dihitung kembali nilai 2 n x( ) ' 1(x ) nya dan dibandingkan dengan UCL. Prosedur ini diulang kembali sampai didapatkan 100 subgrup yang berasal dari proses yang in control atau tidak melebihi UCL. Mulai data yang ke 101, dibangkitkan data acak normal yang sudah mengalami perubahan rata-rata dari 0 ke 1 dengan 1 0 yang besarnya pergeseran 1.00, 1.25, 1.50, 1.75, 2.00, 2.25, 2.50, 2.75, 3.00 dengan rumus n( 1 0) ' 1( 1 0). Kemudian dilakukan penghitungan nilai 2 dan hasilnya dibandingkan dengan
UCL sampai didapatkan sampel yang melebihi UCL. Prosedur ini diulang-ulang sebanyak 1000 kali, sehingga didapatkan 1000 penduga yang kemudian dirata-ratakan. Langkah selanjutnya adalah menghitung standard error dan distribusi empiris dari penduga titik perubahan di sekitar titik perubahan yang sebenarnya. Sejumlah sampel observasi sampai mengeluarkan sinyal out of control disebut
Run Length, rata-rata dari Run Length disebut Average Run Length (ARL). Jadi
Hasil penelitian menunjukkan penduga titik perubahan parameter proses adalah ˆ arg max t
t M , dengan Mt ( )( )' ( , 0) 1 0 0 ,T tT t X X t T dan t =
0, 1, …,T-1. Secara rata-rata, penduga waktu perubahan proses mendekati waktu perubahan yang sebenarnya, dan tidak dipengaruhi oleh banyaknya variabel, besarnya pergeseran serta arah pergeseran. Distribusi empiris dari penduga waktu perubahan proses terhadap waktu perubahan yang sebenarnya bergantung pada besarnya pergeseran tapi tidak bergantung pada arah pergeseran maupun banyaknya variabel.
Kata kunci: Statistical Process Control, 2 Control Chart, Penduga
6
©Hak Cipta Institut Pertanian Bogor, tahun 2008
Hak Cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
PENDUGAAN PARAMETER WAKTU PERUBAHAN PROSES
PADA
2CONTROL CHART MENGGUNAKAN PENDUGA
KEMUNGKINAN MAKSIMUM
SITI MASLIHAH
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
8
Judul Tesis : Pendugaan Parameter Waktu Perubahan Proses pada 2 Control Chart Menggunakan Penduga Kemungkinan Maksimum
Nama : Siti Maslihah NRP : G551060151
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Sri Nurdiati, MSc Drs. Siswandi, MSi
Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat dilaksanakan dan diselesaikan dengan baik. Judul yang dipilih pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2008 ini adalah Pendugaan Parameter Waktu Perubahan Proses pada 2 Control Chart Menggunakan
Metode Kemungkinan Maksimum.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Departemen Agama yang telah memberi beasiswa kepada penulis hingga selesainya studi. Penulis juga berterima kasih kepada Ibu Dr. Ir. Sri Nurdiati, MSc dan Bapak Drs. Siswandi, MSi selaku pembimbing serta Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku penguji yang telah banyak memberikan saran.
Penulis berharap semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2008
10
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kudus pada tanggal 11 Juni 1977 dari seorang ayah yang bernama Kasrun dan ibu Sujinah. Penulis merupakan anak ketiga dari tujuh bersaudara.
Tahun 1996 penulis lulus dari Madrasah Aliyah Negeri 2 Kudus, kemudian pada tahun 1997 penulis masuk ke Universitas Negeri Semarang melalui jalur UMPTN jurusan Pendidikan Matematika dan lulus tahun 2002. Tahun 2006 penulis berkesempatan mengikuti seleksi beasiswa S2 dengan sponsor dari Departemen Agama dan diterima di Institut Pertanian Bogor Departemen Matematika
Penulis adalah staf pengajar di MTs. Tamrinut Thullab di Kudus sebagai guru matematika sejak tahun 2002 sampai sekarang.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ... . xii
DAFTAR GAMBAR ... xiii
DAFTAR LAMPIRAN ... xiv
PENDAHULUAN Latar Belakang ... 1
Tujuan Penelitian ... 2
Ruang Lingkup Penelitian ... 2
Manfaat Penelitian ... 2
TINJAUAN PUSTAKA Statistical Proses Control ... 3
Control Chart ... 3
Penyebab Variasi ... 5
Konsep Average Run Length (ARL) ... 5
2 Control Chart ... 6
Penduga Kemungkinan Maksimum ... 8
METODOLOGI PENELITIAN ... 10
PEMBAHASAN Proses Pendugaan Parameter
... 12
Ilustrasi Contoh ... 15
Pengujian Penduga pada Data Multivariate ... 19
Pembangkitan Bilangan Acak ... 19
Sistem Monitoring ... 20
KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan ... 26
Saran ... 26
DAFTAR PUSTAKA ... 27
12
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Vektor rata-rata tiap subgrup dan penghitungan 2... 16
2 Vektor rata-rata kumulatif dan penghitungan Mt ... 18
3 Rata-rata pendugaan titik perubahan parameter proses untuk p = 2 ... 20
4 Distribusi empiris dari ˆ di sekitar untuk p = 2 ... 21
5 Rata-rata pendugaan titik perubahan parameter proses untuk p = 5 ... 22
6 Distribusi empiris dari ˆ di sekitar untuk p = 5 ... 23
7 Rata-rata pendugaan titik perubahan parameter proses untuk p = 10 ... 24
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Bagan Shewhart Control Chart ... 4
14
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Bukti persamaan 1 ... 29 2 Bukti persamaan 8 ... 30 3 Bukti persamaan 9 ... 30 4 Membangkitkan bilangan acak yang disimpan dalam file untuk variabel dua(p=2) ... 31
5 Membuat 100 data yang in control untuk variabel dua (p = 2) ... 31 6 Monitoring data untuk 1.00 untuk variabel dua (p = 2) ... 32 7 Hasil running program pembuatan 100 data yang in control untuk variabel dua (p = 2) ... 34
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Menjaga dan mengontrol kualitas proses produksi adalah hal yang penting bagi kalangan praktisi industri. Oleh karena itu, perlu dilakukan pemantauan terhadap proses produksi, terutama untuk produksi berskala besar. Melalui pemantauan ini, ketika ada tanda-tanda penyimpangan proses dari kondisi normalnya, maka proses dapat segera dihentikan untuk diperiksa atau dilakukan perbaikan (Nurdiati 2005). Pemantauan proses produksi ini perlu dilakukan untuk menjaga kualitas hasil produksi dan mengurangi overhead cost akibat kesalahan proses produksi.
Proses monitoring dilakukan dengan menggunakan bantuan alat yang disebut control chart. Daerah antara batas control dianggap sebagai daerah yang masih diperbolehkan selama observasi. Sepanjang observasi jika hamburan titik-titik observasi jatuhnya di daerah ini maka proses dikatakan dalam keadaan in
control. Sebaliknya jika titik observasi jatuhnya di luar daerah yang diperbolehkan
maka proses dikatakan out of control.
Gangguan proses dapat disebabkan oleh penyebab umum atau penyebab khusus variasi. Sinyal control chart muncul karena adanya data yang out of
control yang disebabkan oleh penyebab khusus variasi. Seorang insinyur bisa
memulai mencari penyebab khusus variasi yang menyebabkan proses terganggu. Keberhasilan pencarian penyebab variasi bergantung pada keahlian insinyur dan pengetahuan tentang proses itu. Pergeseran parameter proses dari nilai tengahnya sampai melebihi batas control bisa menyebabkan munculnya sinyal out of control. Dengan pengidentifikasian waktu perubahan parameter proses dari kondisi normalnya memungkinkan bagi seorang insinyur untuk mencari penyebab variasinya untuk memperbaiki kualitas hasil produksi (Nedumaran, Pignatiello dan Calvin 1998).
Penghentian berjalannya proses produksi atau membiarkan proses produksi beroperasi di luar control dapat mempunyai dampak ekonomi yang cukup besar, sehingga praktisi harus berhati-hati untuk memutuskan kapan proses harus benar-benar dihentikan. Dengan kata lain sangat penting untuk memilih batas pengontrol
16
yang tepat yang akan digunakan dalam proses produksi. Jika batas pengontrol terlalu sempit maka tanda out of control akan sering terjadi dan jika terlalu lebar maka tanda out of control tidak akan memberi sinyal meskipun proses produksi sudah di luar control.
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian melakukan kajian teoritis tentang penduga (yaitu penduga parameter waktu perubahan proses) dan karakteristik penduga tersebut akan diamati menggunakan simulasi.
Ruang Lingkup penelitian
Tulisan ini sebagian besar diadopsi dari paper karya Neduraman, Pignatiello dan Calvin dengan judul Identifyng the Time of a Step-Change with 2 Control Chart.
Manfaat Penelitian
Dengan mengetahui waktu terjadinya perubahan parameter proses dapat diketahui penyebab terjadinya keadaan out of control sehingga dapat dicari cara penanggulangan yang sesuai dengan penyebabnya.
TINJAUAN PUSTAKA
Statistical Proses Control
Statistical Proses Control adalah salah satu cabang ilmu statistika yang
mempelajari tentang penerapan teknik statistika untuk mengukur dan menganalisis variasi yang terjadi selama proses produksi berlangsung (Wetherill & Brown 1991).
Dalam praktiknya, Statistical Proses Control dibedakan atas dua metode, yaitu metode off-line dan metode online. Metode off-line digunakan untuk mengurangi penyebab potensial dari perubahan selama proses atau produk dimodifikasi. Metode on-line dibagi menjadi dua, yaitu screening dan
preventative. Metode screening memeriksa output suatu proses produksi apakah
kualitasnya memuaskan atau tidak, sedangkan metode preventive memeriksa proses suatu produksi menggunakan alat pengendali seperti Shewhart control
chart, CUSUM control chart, sampling inspection of input material, dan continous production inspection of product (Wetherill & Brown 1991).
Control Chart
Control chart adalah alat yang digunakan untuk memantau berjalannya
proses produksi sehingga bisa diketahui proses tersebut dalam kondisi terkontrol ataukah tidak (Okasatria.blogspot.com 2007). Control chart pertama kali dikenalkan oleh Dr. Walter Shewhart. Setiap control chart mempunyai batas atas (Upper Control Limit = UCL) dan batas bawah (Lower Control Limit = LCL) yang digunakan untuk memantau nilai tengah karakteristik dari suatu proses produksi. Dalam hal ini, suatu proses dikatakan tetap terkontrol (in control) bila seluruh data observasi masih berada dalam batas-batas yang diperbolehkan (Control Limit = CL), artinya tidak ada observasi yang melebihi UCL yang sudah ditetapkan dan tidak ada observasi yang kurang dari LCL yang sudah ditetapkan (Wetherill & Brown 1991).
Selama proses berlangsung, bila terdapat data observasi yang jatuh di luar CL yang diperbolehkan, maka control chart ini akan memberi tanda bahwa sistem mungkin berada dalam keadaan tidak terkontrol lagi (out of control), sehingga
18
proses perlu dihentikan untuk pemeriksaan. Dalam hal ini penentuan CL menjadi sangat penting. Jika CL terlalu sempit, misalnya ditetapkan LCL = -A2 dan UCL= A2 pada Gambar 1, maka kemungkinan akan sering terjadi false alarm. Artinya, control chart akan mengeluarkan tanda out of control padahal sesungguhnya sistem masih dalam keadaan terkontrol. Sementara itu, bila CL dibuat terlalu lebar, misalnya ditetapkan LCL = -A1 dan UCL = A1 pada Gambar 1, maka kemungkinan control chart tidak pernah memberi tanda out of control padahal sebenarnya proses sudah menjadi tidak terkontrol lagi (Nurdiati 2005).
Gambar 1 Bagan Shewhart Control Chart (Nurdiati 2005)
LCL Center Line UCL
-A1 -A2 A1 A2 * * * * * * * * * * * * * * * * * : observasi 1 5 10 15 25 Banyaknya sampel/subgrup 2 0 UCL= 2 , p
Gambar 2 Bagan 2 Control Chart untuk dua variabel t Nilai tengah
Penyebab Variasi
Produk yang dihasilkan dari suatu proses produksi itu tidak akan 100% sama. Hal ini terjadi karena adanya variasi selama proses produksi berlangsung. Variasi dapat didefinisikan sebagai ketidakseragaman produk yang dihasilkan tidak memenuhi spesifikasi standar yang telah ditetapkan.
Ada dua macam penyebab variasi yaitu penyebab umum variasi dan penyebab khusus variasi. Penyebab umum variasi diartikan sebagai fluktuasi yang disebabkan oleh faktor yang tidak diketahui yang menimbulkan gangguan di dalam sistem. Penyebab umum variasi sulit dihilangkan. Contoh dari penyebab umum variasi adalah kelembaban udara, suhu ruangan yang berubah-ubah, getaran mesin, voltage yang berubah-ubah, mesin yang tidak sesuai dengan pekerjaannya seperti dalam hal pencahayaan, kebersihan dan temperatur dan pemeliharaan mesin yang kurang baik dan lain-lain. Penyebab khusus variasi adalah suatu perubahan yang tak terduga di dalam suatu operasi yang normal dari suatu proses sehingga menimbulkan sinyal. Penyebab khusus variasi merupakan penyebab yang masih mungkin bisa dihilangkan. Contoh dari penyebab khusus variasi seperti kesalahan operator, bahan baku di bawah standar, operator lengah, terbatasnya peralatan, kegagalan pemakaian mesin, dan lain-lain.
Average Run Length (ARL)
Run Length adalah banyaknya sampel observasi sampai muncul sinyal out of control karena adanya perubahan parameter. Average run length (ARL) adalah
rata-rata dari nilai run length (Wetherill & Brown 1991).
Misalkan T menyatakan periode yang mana proses monitoring mengeluarkan sinyal yang pertama kali, maka T merupakan suatu peubah acak yang disebut sebagai run length. Jadi ARL adalah
ARL = ET = T = 1
q (1)
dengan ET adalah nilai harapan dari T dan q adalah peluang titik observasi yang pertama kali melebihi batas control limit. Jika ARL nya cukup besar maka dikatakan proses dalam kondisi yang cukup stabil dan jika ARL cukup kecil maka berlaku untuk kondisi sebaliknya (Montgomery 1991).
20
2
control chart
2
control chart adalah alat yang digunakan untuk memonitor karakteristik
dari suatu proses yang multivariate (Montgomery 1991).
Misalkan x1 dan x2 adalah variabel dari proses yang berdistribusi normal bersama (bivariate normal distribution) dan misalkan 1 dan 2 adalah rata-rata populasi dari variabel-variabel tersebut. Standar deviasi dari x1 dan x2 adalah 1 dan 2 dan peragam adalah 12. Rata-rata dari sampel adalah x , 1 x . Persamaan 2
[ ( ) ( )2 2 12( 1 1)( 2 2)] 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 12 2 2 2 1 2 0 x x x x n , (2)
mempunyai distribusi 2 dengan derajat bebas dua dan dapat digunakan sebagai dasar control chart untuk proses rata-rata dengan rata-rata 1 dan 2. Monitoring proses dan pendeteksian titik out of control bergantung pada pembentukan batas limit yang benar. Batas atasnya yaitu UCL (Upper Control Limit) dari 2 control chart adalah
UCL = 2
,2, (3)
dengan adalah taraf nyata yang digunakan (Montgomery 1991).
Penghitungan 02 dilakukan untuk tiap subgrup. Hasil di atas bisa diperluas di mana variabelnya lebih dari 2 dan berdistribusi normal dengan banyaknya variabel p dan ukuran subgrup n.
Misalkan x'= [x1 x2 x3 xp] maka penghitungan uji pada Chi Kuadrat untuk tiap subgrup adalah
02= n(x )' 1(x ), (4) dengan '= 1 , 2,...., p adalah vektor rata-rata dalam keadaan in control dari tiap karakteristik. Batas atas control chart adalah
UCL = 2 ,p, (5)
dan
Jarak antara 0 dengan 1 pada multivariate adalah
2 n 1 0 ' 1 2 0 , (7) (Johnson & Wichern 2002).
Pendugaan dan
Di dalam praktek biasanya diperlukan pendugaan dan dari sampel terdahulu yang berukuran n dengan asumsi proses dalam keadaan terkontrol. Misalkan m adalah banyaknya subgrup yang diobservasi, maka rata-rata dan ragam dapat dihitung dengan menggunakan rumus
n i ijk jk x n x 1 1 , (8) 2 1 2 ) ( 1 1 n i jk ijk jk x x n S , (9) dengan j = 1, 2, 3,..., p, k = 1, 2, 3,..., m, (Montgomery 1991). ijk
x adalah observasi yang ke-i pada karakteristik yang ke-j dan subgrup yang ke– k. Peragam antara karakteristik yang ke-j dan karakteristik yang ke-h pada
subgrup yang ke-k adalah
n i hk ihk jk ijk jhk x x x x n S 1 ) )( ( 1 1 , (10) dengan k = 1, 2, 3,..., m, j h, (Montgomery 1991).
Nilai rata-rata dari x , jk 2
jk
S , S jhk untuk subgrup yang berukuran m adalah
m k jk j x m x 1 1 , (11) m k jk j S m S 1 2 2 1 , (12) dan m k jhk jh S m S 1 1 , (13)
22 Bentuk matriks ragam-peragam adalah
= 2 1 12 13 1 2 21 2 23 2 2 31 32 3 3 2 1 2 3 p p p p p p p S S S S S S S S S S S S S S S S (14) (Montgomery 1991).
Penduga Kemungkinan Maksimum
Misalkan f(x ) menyatakan fungsi kepekatan peluang bersama dari sampel
X= (X1, ..., Xn) dan X = x diobservasi maka fungsi didefinisikan oleh
L( x)=f(x ), ini yang disebut fungsi likelihood. Misalkan X1, X2, ..., Xn
adalah barisan peubah acak yang iid N( , 1), dan L( x) menyatakan fungsi
likelihood, maka L( x) = n i xi e 1 ) )( 2 / 1 ( 2 / 1 2 ) 2 ( 1 = n i i x n e 1 2 ) ( ) 2 / 1 ( 2 / ) 2 ( 1 . (15)
(Casella & Berger 1990).
Misalkan vektor X1, X2, ..., Xn yang berdimensi p 1 menyatakan sampel acak dari yang menyebar normal dengan vektor rata-rata dan matriks ragam peragam . Karena X1, X2, ..., Xn saling bebas dan masing-masing berdistribusi
, (
p
N ), fungsi kepekatan bersama (fkb) dari semua observasi adalah: fkb = 1 1 1/ 2( ) ( ) 1/ 2 / 2 1 1 (2 ) j j n x x p j e
= 1 1 1 1/ 2 ( ) ( ) / 2 / 2 1 (2 ) n j j j x x n np e (16)
(Johnson & Wichern 2002).
Prosedur penghitungan untuk mencari nilai parameter populasi yang dapat menerangkan data observasi dengan memaksimumkan fungsi kepekatan bersama disebut penduga kemungkinan maksimum (Johnson & Wichern 2002).
Untuk mendapatkan penduga parameter proses dari penduga kemungkinan maksimum diperlukan teorema berikut ini:
Teorema 1:
Misalkan A adalah matriks simetrik berukuran k k dan x adalah vektor berukuran k 1, maka x’Ax = tr (x’Ax) = tr (Axx’) (Johnson & Wichern 2002).
Bukti:
Misalkan x’Ax adalah adalah sebuah skalar, maka x’Ax = tr (x’Ax). Untuk sebarang matriks B dan C yang masing-masing mempunyai ordo m k dan
m
k , maka untuk setiap elemen ke-i di diagonal utama BC mempunyai bentuk
k j ij ijc b 1 , sehingga tr(BC) 1 1 m k ij ji i j
b c . Dengan cara yang sama di setiap
elemen ke-j di diagonal utama CB mempunyai bentuk
m i ij jib c 1 , sehingga tr(CB) = k j m i ij jib c 1 1 = m i k j ji ijc b 1 1
= tr (BC). Misalkan x’ sebagai B dan Ax sebagai
C maka tr(x’(Ax)) = tr((Ax)x’) ¦
24
METODOLOGI PENELITIAN
Pendugaan parameter waktu perubahan proses pada 2 control chart
diharapkan bisa menghasilkan suatu pendugaan yang tepat sehingga dapat dideteksi kapan mulai terjadinya pergeseran rata-rata dari kondisi yang diharapkan. Penelitian ini mempunyai tahapan-tahapan sebagai berikut:
1. Menentukan penduga
Penduga adalah penduga parameter waktu pertama kalinya terjadi perubahan proses atau terjadinya pergeseran rata-rata proses. Penduga didapatkan dari memaksimumkan log likelihood.
2. Membangkitkan data hipotetik untuk memperoleh satu set data yang in
control.
Langkah-langkah penentuan data acak normal yang dalam kondisi in control: a. Menentukan banyaknya variabel, subgrup dan ukuran subgrup b. Menentukan batas atas control limit (UCL) menggunakan (5).
c. Membangkitkan 100 subgrup data acak yang menyebar normal dengan banyaknya variabel 2, 5, dan 10 dengan rata-rata 0 dan ragam tertentu. d. Menentukan matriks ragam peragam sesuai dengan (14)
e. Menentukan rata-rata tiap subgrup dengan menggunakan (8).
f. Melakukan penghitungan uji pada Chi Kuadrat untuk tiap subgrup dengan menggunakan (4).
g. Jika pada penghitungan uji Chi Kuadrat terdapat data subgrup yang melebihi UCL, maka semua data dibuang dan diganti dengan data baru, kemudian dilakukan penghitungan ulang uji Chi Kuadrat. Proses ini diulang sampai mendapatkan 100 subgrup yang in control.
3. Membangkitkan data hipotetik untuk memperoleh satu set data untuk dimonitor.
Langkah-langkah untuk monitoring sejumlah data acak normal:
a. Membangkitkan 2000 subgrup data acak yang dimulai dari subgrup yang ke-101 dengan disertai pergeseran rata-rata dari 0 ke 1, besarnya pergeseran yang disertakan dalam tesis ini adalah
) (
)'
( 1 0 01 1 0
n , dan yang digunakan adalah 1.00, 1.25, 1.50, 1.75, 2.00, 2.25, 2.50, 2.75, 3.00. Melakukan monitoring terhadap data yang ke-1 sampai dengan data yang ke-3000 menggunakan (4).
b. Menentukan nilai T yaitu urutan data monitoring yang pertama kali mengalami tanda out of control pada (4).
c. Menghitung rata-rata kumulatif Xt, T untuk t = 0, 1, 2, ..., T-1, dengan
rumus T t X , = 1 1 T i i t X T t .
d. Menentukan nilai M t yaitu nilai yang memaksimumkan log likelihood. e. Menentukan penduga titik perubahan ˆ , yaitu nilai t yang membuat M t
maksimum.
f. Mengulangi langkah percobaan pada langkah 3 sebanyak 1000 kali untuk mendapatkan penduga yang baik, kemudian dicari rata-rata dari pendugaan titik perubahan ˆ , standard error, dan distribusi empiris dari pendugaan titik perubahan di sekitar titik perubahan yang sebenarnya.
26
HASIL DAN PEMBAHASAN
Proses Pendugaan Parameter
Dalam suatu proses produksi berskala besar, mesin yang bekerja terus menerus akan melewati suatu fase di mana produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar yang diinginkan. Ukuran dari setiap karakteristik yang telah ditentukan lama-lama akan bergeser dari ukuran semula. Pergeseran ukuran yang telah melampui batas-batas control chart menandakan hasil produksi sudah menurun kualitasnya tidak sesuai dengan yang diharapkan. Di bab ini akan dibahas pendugaan parameter waktu perubahan proses menggunakan penduga kemungkinan maksimum.
Untuk memperoleh penduga parameter kapan terjadinya perubahan proses dilakukan dengan memaksimumkan log dari fungsi likelihood
1 1 1 1/ 2 ( ) ( ) / 2 / 2 1 (2 ) m k k k x x k
kp e . Diasumsikan bahwa proses pada kondisi
terkontrol telah mengalami perubahan nilai rata-rata dari 0 menjadi 1. Jika pada uji Chi Kuadrat untuk setiap subgrup ternyata terdapat nilai T2 yang melebihi UCL maka dapat disimpulkan telah terjadi perubahan rata-rata proses setelah waktu yang tidak diketahui dengan 0 T 1. Diasumsikan juga bahwa rata-rata setiap sampel pada kondisi in control adalah X X1, 2,...,X
sedangkan rata-rata setiap sampel yang berasal dari proses yang out of control adalah X 1,X 2,...,X . Misalkan XT k adalah barisan observasi yang iid mempunyai fkp f xk( , 0) pada saat k = 1, 2, …, dan Xk adalah barisan observasi yang iid mempunyai fkp f xk( , 1) pada saat k = +1, 2, …, T , maka menurut (Johnson & Wichern 2002) didapatkan
LnL( , 1 X = ) 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 ( ) ' ( ) ( ) ' ( ) 2 T k k k k k k X X X X + / 2 / 2 1 (2 )mp m Ln .
Analog jika X = [X , 1 X , …, 2 X ] di mana T
1 1 n k ik i X X n dengan k = 1, 2, 3, …, T, maka Ln L( , 1X)= 0 01 0 1 01 1 1 1 ( ) ' ( ) ( ) ' ( ) 2 T k k k k k k n X X X X (17)
Berdasarkan Teorema 1, suku pertama dari (17) dapat ditulis
1 0 0 0 1 ( k ) ' ( k ) k X X = 01 0 0 1 ( k )( k ) ' k tr X X = 1 0 0 0 0 0 1 1 ( )( ) ' ( )( ) ' T T k k k k k k tr X X X X (18)
Jika diketahui , maka penduga kemungkinan maksimum dari 1 adalah
, 1 ˆ X T dengan Xt,T= 1 1 T i i t X
T t sehingga suku kedua dari (17) dapat ditulis
1 1 0 1 1 ( ) ' ( ) T k k k X X = 1 01 1 1 ˆ ˆ ( ) ' ( ) T k k k X X
Dengan Teorema 1 didapatkan
1 1 0 1 1 ( ) ' ( ) T k k k X X = 1 , , 0 1 ( )( ) ' T T T k k k tr X X X X (19)
28 0 0 1 ( )( ) ' T k k k X X = , , 0 , , 0 1 ( )( ) ' T T T T T k k k X X X X X X = , , , 0 , 0 1 ( )( ) ' ( )( )( ) ' T k T k T T T k X X X X T X X (20)
Dengan meggunakan (18) dan (19) didapatkan
Ln L( , 1 X) = 1 0 0 0 0 0 1 1 ( )( ) ' ( )( ) ' 2 T T k k k k k k n tr X X X X 1 , , 0 1 ( )( ) ' T T T k k k tr X X X X + / 2 / 2 1 (2 )mp m Ln (21)
Dengan mensubstitusikan persamaan (20) didapatkan
= 01 0 0 1 ( )( ) ' 2 T k k k n tr X X , , 1 ( )( ) ' T T T k k k X X X X (T )(X ,T 0)(X ,T 0) ' 01 , , 1 )( ) ' T k T k T k tr X X X X + / 2 / 2 1 (2 )mp m Ln 1 1 , , 0 0 0 0 1 1 ( ) ' ( ) ( ) ' ( ) 2 T T k k k T k T k k n X X X X X X )' )( (T X ,T 0 01 , 0 , 01 , 1 ( ) ( ) ' ( ) T T k T k T k X X X X X + / 2 / 2 1 (2 )mp m Ln
= 1 1 , , 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ' ( ) ( )( ) ' ( ) 2 T k k T T k n X X T X X + / 2 / 2 1 (2 )mp m Ln . (22)
Penduga kemungkinan maksimum dari perubahan parameter proses dinyatakan dengan ˆ yaitu nilai t yang memaksimumkan Ln L( , 1 X . )
Dengan demikian t t M max arg ˆ (23) dengan Mt (T t)(Xt,T 0)' 01(Xt,T 0) dan t = 0, 1, …,T-1. Ilustrasi Contoh
Suatu perusahaan memproduksi suatu produk yang harus memenuhi 3 ukuran p1, p2 dan p . Dalam hal ini karakteristik(p) yang akan diteliti ada 3. 3
Berdasarkan data produksi terdahulu proses yang stabil dan terkontrol mempunyai rata-rata ( 0) p1, p2 dan p3 masing-masing 105mm, 150mm dan 120mm. dan matriks peragam dari 0, dengan
120 150 105 0 dan 0= 0 . 12 8 . 4 4 . 5 8 . 4 0 . 16 6 . 9 4 . 5 6 . 9 0 . 9 . Dengan demikian 01 0.379 -0.200 -0.090 -0.200 0.176 0.019 -0.090 0.019 0.116 .
Menurut para ahli berdasarkan pengalaman terdahulu peluang mesin mengeluarkan false alarm diatur dengan 0.0027, sehingga UCL pada 2
control chart menjadi 3,0.00272 14.157. Penghitungan 2 diperlihatkan sebagai berikut:
30 2 1 0.379 0.200 0.090 5 104.757 105 150.151 150 119.243 120 0.200 0.176 0.019 0.090 0.019 0.116 120 243 . 119 150 151 . 150 105 757 . 104 = 0.3500 1163 . 0 0194 . 0 0904 . 0 0194 . 0 1768 . 0 2003 . 0 0904 . 0 2003 . 0 3790 . 0 120 584 . 122 150 252 . 150 105 432 . 105 5 2 2 120 584 . 122 150 252 . 150 105 432 . 105 = 3.189
Vektor rata-rata tiap subgrup dan penghitungan 2 ditunjukkan oleh Tabel 1 berikut:
Tabel 1 Vektor rata-rata tiap subgrup dan 2
Subgrup (i) X 'i 2 1 104.757 150.151 119.243 0.3500 2 105.432 150.252 122.584 3.1904 3 104.449 151.325 120.496 4.1075 4 101.822 146.074 118.236 5.8615 5 106.986 150.596 121.009 4.3125 6 106.887 153.377 118.408 7.2180 7 104.486 148.822 119.610 0.5105 8 104.314 147.559 120.316 2.9110 9 103.760 149.237 118.594 1.3150 10 104.488 149.475 119.524 0.1620
11 104.638 150.276 120.708 1.0780 12 102.711 147.623 119.969 3.9800 13 107.061 152.098 122.726 3.6290 14 103.276 148.987 119.682 2.6700 15 105.761 151.890 120.036 1.3640 16 108.153 151.391 120.350 10.9335 17 104.841 147.558 119.485 4.8650 18 104.956 147.410 118.942 6.8220 19 108.306 151.819 119.715 12.3970 20 106.464 150.938 118.532 5.0165 21 109.940 153.406 121.605 18.1875
Tampak bahwa pada data yang ke-21 nilai 2=18.1875 > UCL =14.157 sehingga pada data yang ke-21 mesin mengeluarkan sinyal yang pertama kali, jadi T = 21. Ada dugaan bahwa proses telah mengalami pergeseran rata-rata pada waktu t = 0 sampai T-1, sehingga perlu dilakukan penghitungan rata-rata kumulatif tiap subgrup. T t i i T t X t T X 1 , 1 , untuk t = 0, 1, 2, ..., T-1 ) ( 20 21 1 21 21 , 20 X X 109 .940 153.406 121.605 21 , 19 X ( ) 19 21 1 21 20 X X = 2 1 532 . 118 938 . 150 464 . 106 +109 .940 153.406 121.605 2 1 137 . 240 344 . 304 404 . 216 = 108 .202 152.172 120.0685 ) ( 18 21 1 21 20 19 21 , 18 X X X X
32 = 3 1 715 . 119 819 . 151 306 . 108 +106.464 150.938 118.532 + 109 .940 153.406 121.605 = 324.71 456.163 359.852 3 1
= 108.236 152.054 119.951 dan seterusnya sampai X 0,21
Setelah itu dilakukan penghitungan nilai M t untuk t = 0, 1, 2, ..., T-1 dengan menggunakan persamaan (23) 0 21 , 20 1 0 0 21 , 20 20 21 20 X ' X M = 3.6375 19 M = 21 19 X19,21 0 ' 01 X19,21 0 = 3.8007 18 M = 21 18 X18,21 0 ' 01 X18,21 0 = 6.2354
Dan seterusnya sampai M0. Hasil penghitungan M t ditunjukkan di Tabel 2 berikut:
Tabel 2 Vektor rata-rata kumulatif dan penghitungan Mt
t X 't,T M t 0 105.404 150.012 119.988 1.2742 1 105.436 150.005 120.026 1.3840 2 105.436 149.993 119.891 1.5846 3 105.491 149.919 119.857 2.2324 4 105.707 150.145 119.887 2.6874 5 105.627 150.117 119.887 2.1740 6 105.543 149.899 119.985 2.0538 7 105.618 149.976 120.012 2.0942 8 105.719 150.162 119.989 2.0172
9 105.882 150.239 120.105 2.4716 10 106.009 150.309 120.158 2.7918 11 106.146 150.312 120.103 3.5285 12 106.528 150.611 120.118 4.9370 13 106.461 150.425 119.792 5.1909 14 106.916 150.630 119.807 7.3098 15 107.108 150.420 119.769 8.7092 16 106.899 150.226 119.653 6.6730 17 107.414 150.893 119.694 6.4799 18 108.236 152.054 119.951 6.2354 19 108.202 152.172 120.069 3.8007 20 109.940 153.406 121.605 3.6375
Tabel 2 menunjukkan bahwa nilai M t yang paling besar terjadi pada subgrup yang ke-15, sehingga bisa diduga bahwa proses sebenarnya telah mulai berubah dari kondisi normalnya antara subgrup yang ke-15 dan yang ke-16. Jadi bisa diduga bahwa subgrup yang ke-15 adalah subgrup terakhir yang dalam kondisi in control, sedangkan subgrup yang ke-16 adalah subgrup yang pertama kali dalam kondisi out of control.
Seseorang bisa menggunakan informasi ini untuk menemukan penyebab khusus yang menyebabkan pergeseran rata-rata proses dari kondisi normalnya yang mungkin disebabkan kelelahan mesin, sehingga bisa diambil keputusan untuk memperbaiki mesin atau menggantinya dengan yang lebih kokoh.
Pengujian Penduga pada Data Multivariate.
Penduga parameter waktu perubahan proses ˆ akan diuji coba dan dievaluasi dengan teknik simulasi pada MATLAB 7.0. Langkah yang dilakukan adalah membangkitkan data hipotetik yang menyebar normal dengan rata-rata dan ragam 2. Langkah selanjutnya adalah melakukan monitoring untuk
34
menghitung nilai harapan keluarnya sinyal karena adanya perubahan dalam proses rata-rata atau E(T), menentukan penduga parameter waktu perubahan proses ˆ , menentukan standard error dari ˆ dan distribusi empirisnya.
Pembangkitan Bilangan Acak
Bilangan acak dibangkitkan dengan menggunakan sebaran normal. Bilangan acak normal yang dibangkitkan mempunyai nilai tengah dan ragam 2. Bilangan acak yang dibangkitkan ini digunakan sebagai input sistem yang dibangun. Pembangkitan bilangan acak menggunakan program m-file pada
sofware MATLAB 7.0. Input berupa file.text yang akan digunakan sebagai satu
set data yang terkontrol. Pembangkitan bilangan acak yang menyebar normal dengan nilai tengah 1 (rata-rata bilangan acak yang sudah mengalami pergeseran) dan ragam 2 akan digunakan sebagai data yang akan dimonitor. Keluaran dari program tersebut berupa data dengan sebaran normal yang mempunyai rata-rata 0 dan 1.
Sistem Monitoring
Sistem monitoring terdiri dari dua proses utama, yaitu proses penentuan
control limit dan proses monitoring. Proses monitoring hanya memeriksa apakah
data berada pada control limit yang telah ditentukan terlebih dahulu pada proses penentuan control limit. Proses ini memeriksa semua data apakah berada pada
control limit ataukah tidak. Jika tidak maka data out of control, sinyal out of control menyala dan sistem berhenti. Jika ya, maka semua data dalam keadaan
terkontrol dan proses selesai. Pemrograman proses monitoring ini menggunakan
m-file pada MATLAB 7.0.
Berdasarkan tahapan-tahapan dalam penelitian di Bab III, pada proses
monitoring dilakukan perhitungan nilai harapan munculnya sinyal out of control
yang pertama kali (E(T)), penghitungan penduga dan standard error.
Hasil perhitungan menggunakan software MATLAB 7.0 dapat dilihat sebagai berikut:
Tabel 3 Rata-rata pendugaan titik perubahan parameter proses untuk p = 2 dan 100
1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.5 2.75 3.00 E(T) 170.62 140.38 124.02 114.87 109.57 106.48 104.58 103.38 102.60
102.26 101.35 100.85 100.65 100.43 100.30 100.20 100.15 100.09
Err 0.13 0.07 0.05 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01 0.01
Tabel 3 menunjukkan bahwa ketika jumlah variabelnya dua (p = 2) dan pergeseran rata-rata 1.0 maka secara rata-rata 2 control chart akan
mengeluarkan sinyal pada subgrup yang ke-171, padahal kenyataannya perubahan rata-rata proses terjadi pada subgrup yang ke-100.
Jika seseorang mencari penyebab khusus yang menyebabkan bergesernya rata-rata proses pada daerah di sekitar terjadinya sinyal out of control maka dia tidak akan menemukan penyebabnya. Jika pendugaan perubahan rata-rata proses diterapkan maka orang tersebut akan mendapatkan kesimpulan yang tepat untuk mengidentifikasi penyebab khususnya.
Tabel 3 menunjukkan bahwa semakin besar pergeseran ( ) nya maka
average run length (ARL) nya semakin kecil. Hal ini menunjukkan bahwa proses
semakin tidak stabil. Ketidakstabilan proses disebabkan oleh ukuran karakteristik yang dimonitor semakin menjauh dari rata-rata pada saat in control.
Tabel 3 juga menunjukkan bahwa ketika pergeseran ( = 1.0) ARL nya adalah 170.6279 artinya secara rata-rata mesin akan mengeluarkan sinyal setelah 171 subgrup telah termonitor. Di sisi lain, ketika pergeseran ( = 1.5) ARL nya adalah 124.0202 yang artinya rata-rata mesin akan mengeluarkan sinyal setelah 125 subgrup telah termonitor. Jadi semakin besar pergeseran ( ) maka semakin banyak subgrup yang keluar kontrol atau semakin banyak subgrup-subgrup yang melebihi batas control limit.
Distribusi empiris dari penduga di sekitar nilai yang sebenarnya untuk variabel dua (p = 2) ditampilkan dalam Tabel 4 berikut.
Tabel 4 Distribusi empiris dari di sekitar untuk p = 2
1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 ) ( P 0.497 0.559 0.644 0.677 0.752 0.790 0.847 0.868 0.913 ( 1) P
0.645 0.735 0.802 0.850 0.901 0.935 0.961 0.980 0.992 ( 2 ) P 0.741 0.822 0.892 0.917 0.948 0.979 0.987 0.998 1.000 ( 3) P 0.799 0.874 0.928 0.959 0.978 0.993 0.996 0.998
36 ( 4) P 0.838 0.918 0.956 0.977 0.992 0.997 1.000 1.000 ( 5) P 0.864 0.940 0.973 0.988 0.999 1.000 ( 6) P 0.893 0.953 0.980 0.992 1.000 ( 7) P 0.912 0.963 0.992 0.997 ( 8) P 0.932 0.970 0.993 1.000 ( 9) P 0.948 0.978 0.994 ( 10) P 0.955 0.981 0.997 ( 11) P 0.962 0.985 0.997 ( 12) P 0.967 0.992 0.998 ( 13) P 0.970 0.995 0.999 ( 14) P 0.975 0.996 1.000 ( 15) P 0.979 0.998
Tabel 4 menunjukkan distribusi empiris dari titik perubahan pendugaan rata-rata proses terhadap titik perubahan rata-rata proses yang sebenarnya, pengulangan dilakukan sebanyak 1000 kali. P ( ) adalah proporsi penduga sama dengan nilai yang sebenarnya. Sebagai contoh pada kasus p = 2 dan 1.0 didapatkan
P
(
)
= 0.497 yang artinya bahwa dengan 1000 kali pengulangan menghasilkan proporsi pendugaan sama dengan nilai yang sebenarnya sebesar 49.7%. P( 2 )= 0.741 artinya proporsi selisih antara parameter dugaan dengan sebenarnya 2 adalah sebesar 74.1% dari total pengulangan 1000 kali, dan proporsi selisih antara pendugaan dengan sebenarnya4 adalah sebesar 83.8% dari total pengulangan 1000 kali.
Penghitungan nilai E(T), penduga dan standard error untuk variabel lima (p = 5) ditampilkan pada Tabel 5 berikut.
Tabel 5 Rata-rata pendugaan titik perubahan parameter proses untuk p = 5 dan 100
1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.5 2.75 3.00 E(T) 200.13 164.47 141.98 126.99 117.66 111.86 108.16 105.77 104.24 102.68 101.52 101.07 100.76 100.51 100.35 100.29 100.16 100.11 Err 0.15 0.09 0.06 0.05 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01
Tabel 5 menunjukkan penghitungan pendugaan parameter yaitu subgrup yang mulai mengalami perubahan rata-rata proses dilakukan dengan simulasi. Tabel 5 menunjukkan bahwa ketika jumlah variabelnya p = 5 dan pergeseran rata-rata 1.0 secara rata-rata 2 control chart akan mengeluarkan sinyal pada
subgrup yang ke-201, padahal kenyataannya perubahan rata-rata proses terjadi pada subgrup yang ke-100.
Jika seseorang mencari penyebab khusus yang menyebabkan bergesernya rata-rata proses pada daerah di sekitar terjadinya sinyal out of control maka dia tidak akan menemukan penyebabnya. Jika pendugaan perubahan rata-rata proses diterapkan maka dia akan mendapatkan kesimpulan yang tepat untuk mengidentifikasi penyebab khususnya.
Distribusi empiris dari penduga di sekitar nilai yang sebenarnya untuk variabel lima (p = 5) ditampilkan dalam Tabel 6 berikut.
Tabel 6 Distribusi empiris dari di sekitar untuk p = 5.
1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.5 2.75 3.00 ) ( P 0.443 0.541 0.612 0.668 0.730 0.785 0.799 0.876 0.904 ( 1) P 0.606 0.702 0.781 0.819 0.872 0.919 0.939 0.967 0.980 ( 2) P 0.688 0.797 0.854 0.895 0.950 0.966 0.980 0.988 0.997 ( 3) P 0.757 0.850 0.903 0.935 0.968 0.987 0.993 0.999 0.999 ( 4) P 0.810 0.891 0.932 0.966 0.987 0.995 0.995 1.000 1.000 ( 5) P 0.837 0.912 0.950 0.977 0.991 0.997 0.999 ( 6) P 0.859 0.930 0.967 0.987 0.994 0.999 1.000 ( 7) P 0.876 0.953 0.973 0.997 0.996 1.000 ( 8) P 0.902 0.970 0.982 0.998 0.999 ( 9) P 0.915 0.974 0.987 0.999 1.000 ( 10) P 0.928 0.978 0.990 1.000 ( 11) P 0.935 0.981 0.994 ( 12) P 0.943 0.989 0.996 ( 13) P 0.952 0.992 0.997
38
( 14)
P 0.963 0.994 1.000
( 15)
P 0.967 0.996
Tabel 6 menunjukkan distribusi empiris dari titik perubahan pendugaan rata-rata proses terhadap titik perubahan rata-rata proses yang sebenarnya, pengulangan dilakukan sebanyak 1000 kali. Sebagai contoh kasus p = 5 dan
0 .
1 menunjukkan bahwa dengan 1000 kali pengulangan menghasilkan proporsi pendugaan dapat dengan tepat mengidentifikasi sebesar 44.3 % dari total pengulangan 1000 kali. Proporsi selisih antara pendugaan parameter perubahan rata-rata proses dengan titik perubahan yang sebenarnya 2adalah sebesar 68.8% dari total pengulangan 1000 kali, dan proporsi selisih antara pendugaan dengan sebenarnya 4 adalah sebesar 81 % dari total pengulangan 1000 kali.
Penghitungan nilai E(T), penduga dan standard error untuk variabel sepuluh (p=10) ditampilkan pada Tabel 5 berikut.
Tabel 7 Rata-rata pendugaan titik perubahan parameter proses untuk p = 10 dan 100
1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.5 2.75 3.00 E(T) 270.40 219.61 181.39 154.50 135.75 123.90 116.13 111.16 107.80 102.08 101.57 100.98 100.73 100.46 100.38 100.29 100.21 100.15 Err 0.15 0.10 0.07 0.05 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01
Tabel 7 menunjukkan penghitungan pendugaan parameter yaitu subgrup yang mulai mengalami perubahan rata-rata proses dilakukan dengan simulasi. Tabel 7 menunjukkan bahwa ketika jumlah variabelnya p = 10 dan pergeseran rata-rata 1.0 maka secara rata-rata 2 control chart akan mengeluarkan
sinyal pada subgrup yang ke-271, padahal kenyataannya perubahan rata-rata proses terjadi pada subgrup yang ke-100. Jadi dengan menggunakan pendugaan bisa dideteksi waktu perubahan proses sehingga dapat dicari penyebab khususnya perubahan tersebut.
Distribusi empiris dari penduga di sekitar nilai yang sebenarnya untuk variabel sepuluh (p = 10) ditampilkan dalam Tabel 8 berikut.
Tabel 8 Distribusi empiris dari di sekitar untuk p = 10.
1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.5 2.75 3.00 ) ( P 0.458 0.562 0.618 0.690 0.742 0.783 0.800 0.847 0.875 ( 1) P 0.619 0.715 0.790 0.845 0.882 0.911 0.938 0.953 0.978 ( 2) P 0.706 0.794 0.859 0.907 0.942 0.961 0.979 0.988 0.995 ( 3) P 0.771 0.837 0.895 0.941 0.970 0.981 0.991 0.997 0.999 ( 4) P 0.810 0.873 0.924 0.959 0.982 0.992 0.998 0.998 1.000 ( 5) P 0.835 0.898 0.938 0.978 0.988 0.995 1.000 1.000 ( 6) P 0.860 0.913 0.960 0.986 0.995 0.997 ( 7) P 0.909 0.937 0.978 0.991 0.999 1.000 ( 8) P 0.924 0.947 0.984 0.992 1.000 ( 9) P 0.938 0.960 0.987 0.993 ( 10) P 0.948 0.966 0.991 0.995 ( 11) P 0.954 0.972 0.994 0.995 ( 12) P 0.958 0.980 0.997 0.996 ( 13) P 0.960 0.982 0.998 0.997 ( 14) P 0.968 0.985 0.999 0.999 ( 15) P 0.972 0.990 1.000 1.000
Secara keseluruhan Tabel 3 sampai dengan Tabel 8 menunjukkan bahwa hasil pendugaan untuk semua dimensi dan semua pergeseran sama baiknya menunjukkan hasil yang sesuai dengan kenyataan. Tabel 3, Tabel 5 dan Tabel 7 menunjukkan bahwa secara rata-rata pendugaan perubahan rata-rata proses untuk semua dimensi dan semua pergeseran sudah dekat dengan perubahan rata-rata proses yang sebenarnya. Tabel 4, Tabel 6 dan Tabel 8 menunjukkan bahwa distribusi empiris pendugaan waktu perubahan parameter proses terhadap waktu perubahan parameter proses yang sebenarnya bergantung pada besarnya pergeseran. Artinya bahwa semakin besar pergeserannya dari rata-rata proses yang terkontrol maka hasil pendugaan akan semakin tepat mendekati nilai yang sebenarnya. Distribusi empiris untuk semua dimensi variabel mempunyai distribusi yang sama.
40
Lebih lanjut, Tabel 3 sampai dengan Tabel 8 menunjukkan bahwa rata-rata pendugaan parameter waktu perubahan proses bisa mendekati waktu perubahan yang sebenarnya dengan tanpa memperhatikan dimensi variabel, besarnya pergeseran dan arah pergeseran. Distribusi empiris dari pendugaan parameter waktu perubahan proses terhadap waktu perubahan yang sebenarnya bergantung pada besarnya pergeseran, tidak bergantung pada arah pergeseran maupun banyaknya dimensi variabel.
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
1. Penduga parameter waktu pertama kalinya terjadi perubahan proses adalah
t t M max arg ˆ dengan Mt (T t)(Xt,T 0)' 01(Xt,T 0) dan t = 0, 1, …,T-1
2. Secara rata-rata penduga waktu perubahan proses mendekati waktu perubahan yang sebenarnya, dan tidak dipengaruhi oleh banyaknya variabel, besarnya pergeseran serta arah pergeseran.
3. Distribusi empiris dari penduga waktu perubahan proses terhadap waktu perubahan yang sebenarnya bergantung pada besarnya pergeseran tapi
tidak bergantung pada arah pergeseran maupun banyaknya variabel.
Saran
Untuk penelitian yang lebih lanjut perlu dicoba jika asumsi datanya tidak berasal dari sebaran normal.
42
Lampiran 1 Bukti Persamaan 1
Karena T adalah peubah acak yang berdistribusi Geometrik maka ARL = nilai
harapan dari T mempunyai persamaan ARL = ET = T = 1
q
Bukti:
Misalkan X adalah peubah acak yang berdistribusi Geometrik dengan parameter q maka P X( x) P xX( ) q(1 q)x 1 ( ) ( tx) X M t E e = 1 1 (1 ) tx x i e q q = 1 (1 ) 1 tx x x q e q q = (1 ) 1 1 (1 ) t t q e q q e q = 1 (1 ) t t qe e q = 1 t t qe re , dengan r = 1 – q ( ) E X = M X' (0) ' 2 (1 ) ( ) ( ) (1 ) t t t t X t re qe qe re M t re ' ( ) X M t =(1 ) 2 (1 ) t t t t t re qe qe re re ' (0) X M =(1 ) 2 (1 ) r q qr r ' (0) X M = 1 (1 ) 2(1 ) 1 (1 ) q q q q q ' (0) X M = 2 2 2 q q q q ' (0) X M =1 q
44
Lampiran 2 Bukti persamaan 8
Pendugaan rata-rata sampel dilakukan dengan penduga kemungkinan maksimum. Misalkan X1, ..., X berdistribusi normal n N (0,1) yang masing-masing peubah acaknya iid mempunyai fungsi Likelihood
2 1 2 1 1 ( ) 2 i n x i L x e = 2 1 1 2 1 2 n i i n x e
( ) Ln L x 2 1 1 ( ) 2 n i i x + 1 2 n Ln 1 ( ( )) ( ) 0 n i i d L x x d 1 0 n i i x n 1 1 ˆ n i i x n
Lampiran 3 Bukti persamaan 9
Pendugaan rata-rata sampel dilakukan dengan maximum likelihood estimation. Misalkan X1, ..., X berdistribusi normal n N( , 2) yang masing-masing peubah acaknya iid mempunyai fungsi Likelihood
2 2 1 ( ) 1 2 2 2 2 1 , 2 n i i x n L x e 2 2 2 2 1 ( ) 1 , ln 2 ln 2 2 2 n i i x n n Ln L x 2 2 2 2 4 1 (ln( , )) 1 ( ) 0 2 2 n i i x n x 2 4 2 1 1 ( ) 2 2 n i i n x 2 2 1 1 ( ) n i i x n 2 2 1 1 ˆ ( ) n i i x n
Lampiran 4 Membangkitkan bilangan acak yang disimpan dalam file untuk variabel dua (p = 2) clear all clc r=100; n=5; fid=fopen('iikx.dat','wt'); x=105+3*randn(r,n); fprintf (fid,' %11.4f %11.4f %11.4f %11.4f %11.4f\n',... x); status=fclose(fid) fid=fopen('iiky.dat','wt'); y=150+3*randn(r,n); fprintf (fid,' %11.4f %11.4f %11.4f %11.4f %11.4f\n',... y); status=fclose(fid)
Lampiran 5 Membuat 100 data yang in control untuk variabel dua (p = 2)
clear;clc
k=100; % banyaknya sub grup n=5; % ukuran sub grup v=2; % banyaknya variabel x=load('iikx.dat'); % memanggil data x rata_x = mean(x,2); % rata-rata data x ratatotx=mean(rata_x); % rata-rata total data x varx = var(x'); % varians x tiap subgrup ratavarx=mean(varx); % rata-rata varians x
y=load('iiky.dat'); % keterangan sama dengan atas rata_y = mean(y,2);
ratatoty=mean(rata_y); vary = var(y');
ratavary=mean(vary);
% menghitung kovarians antara x dan y ha=zeros(2, 2,k); for h=1:k ha(:,:,h)=cov(x(h,:),y(h,:)); end C1=zeros(k,1); for t=1:k C1(t)=[ha(4*t-2)]; end cova=mean(C1);
C=[ratavarx cova;cova ratavary] ; % matrix varians kovarian Cinv=inv(C) % invers matrix varians kovarian
46 rata=[rata_x rata_y];
m0=repmat(ratatotx,[k 1 1]); % matrix yang isinya rata-rata x pada kondisi in control
m1=repmat(ratatoty,[k 1 1]); % matrix yang isinya rata-rata y pada kondisi in control
m=[m0 m1] ; % rata-rata pada in control p1=rata_x-m0;
p2=rata_y-m1;
p=[p1 p2] ; % rata-rata tiap subgrup - rata2 in control disp(' k nilai xi ')
disp(sprintf('\n=============================== ')) xi=zeros(k,1);
for i=1:k;
xi=n*p((i),:)*Cinv*p((i),:)' ; % penghitungan chi kuadrat disp(sprintf('%5.0f %25.15f ', i, xi))
if xi >=11.83 disp('stop')
end end
t =sum(sum(Cinv)); % menghitung jumlah entri-entri dalam matrix covarian
for lamda=1:0.25:3
s=sqrt(lamda^2/(n*t)) % besarnya shift/pergeseran end
Lampiran 6 Monitoring data untuk 1.00 untuk variabel dua (p = 2)
% Untuk monitoring data dengan variabel dua (p = 2), n = 5, k = 3000 dan 1.00
% UCL(2, 0.0027) = 11.83 clear all
clc
q=1000; % p = banyaknya pengulangan atau looping tau=zeros(q,1);
u=zeros(q,1); E=zeros(q,1); for o=1:q
k=3000; % banyaknya subgrup n=5; % ukuran tiap subgrup v=2;
r=100;
tauseb=100; % nilai tau sebenarnya yaitu 100 shift=0.9571 ;
inv=[ 0.1204 -0.0060
-0.0060 0.1100]; % invers matriks kovarian x=load('iikx.dat'); % memanggil data x
xx=(105+shift) +3*randn(k,n); % membangkitkan data x yang sudah mengalami pergeseran sebesar lamda=1
% dengan standart deviasi 3 dan berukuran
k n
xseb=[x;xx]; % menggabungkan data x yang terkontrol dan data xx yang bergeser
rataxseb=mean(xseb,2); % rata-rata ke-i untuk data gabungan ratax=mean(x,2); % rata-rata data x yang terkontrol ratatotx=mean(ratax); % rata-rata total data x
y=load('iiky.dat'); % keterangan sama dengan atas yy=(150+shift) +3*randn(k,n);
yseb=[y;yy];
ratayseb=mean(yseb,2); ratay=mean(y,2); ratatoty=mean(ratay);
rata = [rataxseb ratayseb]; m0=repmat(ratatotx,[r+k 1 1]); m1=repmat(ratatoty,[r+k 1 1]);
m=[m0 m1] ; % rata-rata pada in control p1=rataxseb-m0;
p2=ratayseb-m1;
p=[p1 p2] ; % rata-rata tiap subgrup - rata2 in control xi=zeros(k+r,1);
for i=1:k+r;
xi(i)=n*p((i),:)*inv*p((i),:)' ; end
u(o)=length(find(xi > 11.83))/(k+r);
T=min(find(xi >11.83)); % T adalah data ke... yang pertama kali out of control
E(o)=T; xr=zeros(T,v); for t=1:T-1
xr(t,[1 2])=(1/(T-t+1))*sum(rata(t:T,:)); % jumlah rata-rata end for m=T xr(m,[1 ,2 ])=rata(T,:); end mu0=repmat([ratatotx ratatoty],[T 1 1]); c=xr-mu0 ; c1=c'; M=zeros(T,1); for j=1:T M(j)=(T-j+1)*c(j,:)*inv*c1(:,j);; end
tau(o)=find(M==max(M))-1; % menghitung nilai tau end
48
ARL=1/ratau % menghitung ARL EE=mean(E) % rata-rata dari E atau T ratatau=mean(tau)
vartau=var(tau);
standerror=sqrt(vartau)/sqrt(q) tauseb1=repmat(100,[q 1 1]); e=abs(tau-tauseb1);
disp(' s nilai proporsi ')
disp(sprintf('\n=============================== ')) pe = zeros(30,1);
for s = 1:30;
pe = length(find(e<=s))/length(e); % menghitung distribusi empiris disp(sprintf('%5.0f %25.3f ', s, pe)) end disp(sprintf('\n=============================== ')) for s = 0; pe = length(find(e==s))/length(e); disp(sprintf('%5.0f %25.3f ', s, pe)) end
% untuk lamda ( ) yang lain caranya sama dengan di atas.
Lampiran 7 Hasil running program pembuatan 100 data yang in control untuk variabel dua (p = 2)
Cinv = 0.1204 -0.0060 -0.0060 0.1100 k nilai xi 1 0.149250216533069 2 1.413198749780916 3 1.318796604721450 4 0.644677490407404 5 0.050933491034406 6 0.885279653249202 7 2.514872910385886 8 2.091600403786655 9 1.988412591860769 10 0.950562070058827
11 6.833994378414928 12 2.336187748167804 13 3.862004116201090 14 1.265517089191017 15 0.385439746871815 16 4.288341253496466 17 1.441018902961192 18 0.781757564328798 19 2.011872803220806 20 1.284297971107408 21 0.071104117220779 22 1.856490807079846 23 0.577814863553097 24 1.047402104939975 25 2.123778761028576 26 0.573883927141592 27 0.277430720816887 28 0.036345234734373 29 1.898289050371363 30 0.702723017744440 31 5.531232828488745 32 0.304531111590867 33 0.490965692910518 34 1.001898620630833 35 0.371827368452428 36 0.832094310777190 37 6.837654181061309 38 0.331300817273591 39 1.946998459990279 40 3.451719231704408 41 2.449406355556111 42 0.519419413207563
50 43 0.818365313646235 44 1.008614130016894 45 0.047056052941491 46 0.472998842989757 47 1.795014811361336 48 0.611027125455145 49 0.880265645781400 50 1.527176995571348 51 0.666731433203316 52 0.443581590607339 53 4.822988795792593 54 0.587571646586466 55 4.659329039473836 56 2.145532380905256 57 0.803131092759130 58 4.250125802620101 59 4.083308230743283 60 0.886836749602324 61 2.651261395718198 62 0.132653727548456 63 0.282443834335340 64 1.017871535690672 65 0.232485072133538 66 0.757769166264525 67 0.849035179718915 68 7.595109672632169 69 2.891130495469690 70 0.135721016905735 71 3.093463306283621 72 0.994978725890237 73 3.416986478714900 74 2.840445684186476
75 0.552007852561265 76 0.680824242464821 77 2.294479195943255 78 7.613804004178593 79 3.415813143397929 80 0.225395411140019 81 1.772697049563091 82 0.947794815099344 83 1.625118464129837 84 6.346234964677187 85 3.272947149211773 86 1.387907544881120 87 2.422302966278371 88 0.944598162421340 89 9.052811069443632 90 1.696738786325605 91 3.693349335823626 92 1.862275683909092 93 2.606364912049052 94 1.170390793799397 95 1.842397680257919 96 2.929770388075234 97 3.155331763872642 98 1.155239978799022 99 0.280968467741770 100 10.481511288385107
52 lamda nilai s 1.00 0.95710 1.25 1.19638 1.50 1.43565 1.75 1.67493 2.00 1.91420 2.25 2.15348 2.50 2.39275 2.75 2.63203 3.00 2.87131
Lampiran 8 Hasil monitoring untuk variabel dua (p = 2) dan 1.00
ARL = 66.8046 ET = 165.0440 ratatau = 102.4820 standerror = 0.1493
s nilai proporsi ===================== 1 0.597 2 0.675 3 0.734 4 0.785 5 0.825 6 0.858 7 0.886 8 0.901 9 0.923 10 0.938 11 0.948 12 0.951 13 0.956 14 0.966 15 0.977 16 0.979 17 0.984 18 0.984 19 0.986 20 0.986 21 0.988 22 0.990 23 0.992 24 0.994 25 0.997 26 0.997 27 0.998 28 0.998
