MENENTUKAN INVERS DRAZIN DARI MATRIKS SINGULAR. Lisnilwati Khasanah 1 dan Bambang Irawanto 2. Jl.Prof.Soedarto, S.H Semarang 50275

137 Program Studi Matematika FMIPA UNDIP

Jl.Prof.Soedarto, S.H Semarang 50275

Abstract. A singular matrix A with size nxn has a inverse be called Drazin inverse and denoted by AD. This inverse can be obtained by specifying a generalized Modal matrix M and Jordan canonical form J of matrix A. Generalized Modal matrix M is a matrix where its columns consisting of generalized eigen vectors x_m from the matrix A, while the Jordan canonical form

J is a matrix which entries on its main diagonal consisting of Jordan block matrix J_k

( )

λ . Next, two matrices were used to determine Drazin inverse of matrix A.

Keywords: Drazin inverse, Jordan block matrix, Jordan canonical form, Modal matrix M .

1. PENDAHULUAN

Sebuah matriks atas ring dengan ukuran nxn dikatakan mempunyai invers jika dan hanya jika matriks tersebut non singular. Dalam perkembangannya dibutuhkan sebuah invers matriks yang diperumum untuk mengetahui invers dari suatu matriks jika matriks tersebut singular.

Ada beberapa jenis invers matriks yang diperumum diantaranya yaitu invers kiri dan invers kanan ( invers satu sisi ), invers Drazin, invers grup, invers Bott-Duffin, dan invers Moore-Penrose.

Invers Drazin pertama kali dikenalkan oleh Michael P Drazin pada tahun 1958. Invers Drazin adalah invers dari matriks singular A dengan ukuran nxn dituliskan dengan A . Ada D

beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan invers Drazin diantaranya metode Leverrier Faddeev,metode semi iterative tipe BI-CG. Pada penulisan ini dibahas penentuan invers Drazin dengan menggunakan matriks bentuk kanonik Jordan.

.

2. BENTUK KANONIK JORDAN

Matriks bentuk kanonik Jordan adalah sebuah matriks yang berbentuk :

( )

( )

( )

             = p k k k p J J J J λ λ λ L O M M L 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2 Jika J∈M_n

( )

C , maka k1+k2 +K+k_p =n. Submatriks _k

( )

_i i

J λ adalah matriks blok Jordan berukuran k_ixk_i yang bersesuaian dengan nilai eigen λ_i ∈C dimana

p

i=1, K2, , . Matriks blok Jordan adalah matriks yang berbentuk :

( )

            = λ λ λ λ L O M M L 0 0 1 0 0 1 k J

Menurut Ricard Bronson dan Gabriel B. Costa, untuk menentukan matriks bentuk kanonik Jordan maka langkah awal yaitu menentukan vektor-vektor eigen yang diperumum.

Definisi 2.1 [5] Suatu vektor tak nol x _m

disebut sebuah vektor eigen yang diperumum dengan tipe m dan bersesuaian dengan nilai eigen λ dari matriks A jika :

(

A−λI

)

mx_m =0 dan

(

A−λI

)

m−1x_m ≠0

Berdasarkan Definisi 2.1 diatas, dapat dikatakan bahwa x_m∈ker

(

A−λI

)

m. Dimensi dari ker

(

A−λI

)

m−1 adalah m−1. Sedangkan dimensi dari ker

(

A−λI

)

m adalah m . Karena

138

m adalah bilangan integer positif, maka

dimensi dari ker

(

A−λI

)

m−1 kurang dari dimensi dari ker

(

A−λI

)

m atau nulitas

(

A−λI

)

m−1 kurang dari nulitas

(

A−λI

)

m. Sehingga, rank

(

A−λI

)

m kurang dari rank

(

)

−1

λ − m

A I . Jika selisih antara rank

(

_−λ

)

m−1

A I dengan

rank

(

A−λI

)

mdinyatakan dengan ρ_m, maka :

(

)

m

(

)

m

m = A−λI − A−λI

ρ rank −1 rank ...(1)

dengan m adalah bilangan integer positif. Persamaan (1) menyatakan banyaknya vektor-vektor eigen yang diperumum dengan tipe m dan bersesuaian dengan nilai eigen λ untuk matriks A. Untuk m≥1, maka :

(

)

m m A Ι x x ₋1 = −λ

(

)

(

)

1 2 2 − − = −λ m = −λ m m A Ι x A Ι x x M

(

)

(

)

2 1 1 Ι x Ι x x = A−λ m− _m = A−λ (2)

Persamaan (2) jika dituliskan dalam bentuk umum menjadi :

(

)

(

)

+1 − _{= −λ} λ − = m j j m j A Ι x A Ιx x (3) dengan j =1, K2, ,m−1.

Definisi 2.2 [5] Himpunan

vektor-vektor

{

x_m,x_m−1,K,x₁

}

disebut rantai vektor eigen yang diperumum dan bersesuaian dengan nilai eigen λ.

Contoh 2.3 Matriks singular A dengan ukuran 5x5                 − − − − − − − = 4 8 1 2 2 0 2 0 1 0 0 2 0 0 0 0 2 0 1 0 2 5 0 2 0 A

Nilai eigen dari matriks A adalah λ₁ =1 , 0 3 2 =λ = λ , danλ₄ =λ₅ =2. Untuk λ=1, maka :

(

)

(

)

rank

(

(

)

)

5 4 1 rank 0 1 1 = − − − = − = ρ A I A I

(

)

(

)

rank

(

(

)

)

4 4 0 rank 1 2 2 = − − − = − = ρ A I A I

Agar memenuhi

(

A−I

)

x₁ =0 dan

(

A−λI

)

0x₁ ≠0, maka :

[

_{− − − −}

]

Τ = 2 2 4 2 4 1 x Untuk λ=0, maka :

( )

rank

( )

5 4 1 rank 0 1 1 = − = − = ρ A A

( )

rank

( )

4 3 1 rank 1 2 2 = − = − = ρ A A

( )

rank

( )

3 3 0 rank 2 3 3 = − = − = ρ A A

Agar memenuhi

( )

A 2y₂ =0 dan Ay₂ ≠0, maka :

[

]

Τ − = 2 3 1 1 2 3 2 y , sehingga

[

]

Τ = 1 0 2 0 0 1 y Untuk λ=2, maka :

(

)

(

)

rank

(

(

)

)

5 4 1 rank 0 1 1 = − − − = − = ρ A 2I A 2I

(

)

(

)

rank

(

(

)

)

4 3 1 rank 1 2 2 = − − − = − = ρ A 2I A 2I

(

)

(

2

)

rank

(

(

2

)

)

3 3 0 rank 2 3 3= − − − = − = ρ A I A I

Agar memenuhi

(

A−2Ι

)

2z₂ =0 dan

(

A−2Ι

)

z2 ≠0, maka :

[

]

Τ = -2 0 0 0 -2 1 z , sehingga

[

]

Τ = 5 0 0 4 2 0 z

Hubungan antara rantai vektor-vektor eigen yang diperumum dengan subruang

invariant akan diberikan pada dua teorema

selanjutnya.

Teorema 2.4 [2] Sebuah rantai merupakan

himpunan vektor-vektor yang bebas linier.

Bukti :

Misalkan

{

x_m,x_m−1,K,x₁

}

adalah sebuah rantai. Kombinasi linier sebagai berikut :

0 x x

x +c _{−1 −1} + +c_{1 1} =

c_{m m m m} K (4)

mempunyai solusi tunggal yaitu 0

1

1 = = =

=c ₋ c

c_{m m} ... .

Jika persamaan (2.8) dikalikan dengan

(

)

−1 λ − m A Ι , maka diperoleh :

(

−λ

)

− + ₋

(

−λ

)

− ₋1+K 1 1 1 m m m m m m A c A c Ι x Ι x

(

−λΙ

)

x =0 + − 1 1 1 m A c (5)

139 dimana untuk j=1, K2, ,m−1, diperoleh :

(

−λΙ

)

m− x_j =0 j A c 1 untuk j=1, K2, ,m−1 Sehingga,

(

−λΙ

)

m− x_m +0+K+0=0 m A c 1 c_m

(

A−λΙ

)

m−1x_m =0

Karena x_m adalah vektor eigen yang diperumum dengan tipe m, maka

(

A−λΙ

)

m−1x_m ≠0, sehingga c_m =0. Langkah tersebut dilakukan sampai diperoleh c₁ =0, sehingga rantai diatas bebas linier karena solusi yang diperoleh merupakan solusi tunggal yaitu c_m =c_m−1 =...=c₁ =0. ■

Terorema 2.6 [2] Rentang dari suatu

himpunan vektor-vektor sehingga

membentuk rantai vektor eigen yang diperumum untuk matriks A dan

bersesuaian dengan nilai eigen λ

adalah subruang invariant dibawah A.

Bukti :

Rentang dari himpunan vektor-vektor dalam suatu ruang vektor atas lapangan C adalah subruang.

Misalkan

{

x_m,x_m−1,K,x₁

}

adalah rantai vektor eigen yang diperumum, maka :

(

−λ

)

+1

= j

j A Ι x

x (6)

dimana j =1, K2, ,m−1.

Persamaan (2.10) dapat juga ditulis dalam bentuk :

j j j

Ax ₊₁ =λx ₊₁ +x (7) Sebuah vektor eigen yang diperumum dengan tipe 1 adalah sebuah vektor eigen, maka : 1 1 x x =λ A (8) Jika v∈Rentang

{

x_m,x_m−1,K,x₁

}

, maka Av∈Rentang

{

x_m,x_m−1,K,x₁

}

, sehingga Rentang

{

x_m,x_m−1,K,x₁

}

invariant dibawah A. ■ Contoh 2.7 Misalkan

{ }

1 Rentang x = P ,

{

1 2

}

Rentang y ,y Q= ,dan

{

1 2

}

Rentang z ,z R= ,

maka P,Q, dan R adalah subruang invariant dibawah T atau dibawah A (matriks transformasi linier T), sehingga basis untuk

5 R adalah

{

x ,1 y1,y2,z1,z2

}

R Q P B= ∪ ∪ = .

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

                +                 − − +                 − +                 +                 − − − − =                 = 4 0 0 0 5 0 2 0 0 0 2 0 1 1 3 2 2 3 0 0 0 2 0 1 0 4 2 4 2 2 1 0 0 0 0 1 1 x T

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

                +                 − − +                 − +                 +                 − − − − =                 = 4 0 0 0 5 0 2 0 0 0 2 0 1 1 3 2 2 3 0 0 0 2 0 1 0 4 2 4 2 2 0 0 0 0 0 0 1 y T

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

                +                 − − +                 − +                 +                 − − − − =                 = 4 0 0 0 5 0 2 0 0 0 2 0 1 1 3 2 2 3 0 0 0 2 0 1 1 4 2 4 2 2 0 0 0 2 0 1 2 y T

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

                +                 − − +                 − +                 +                 − − − − =                 − − = 4 0 0 0 5 0 2 0 0 0 2 0 1 1 3 2 2 3 2 0 0 2 0 1 0 4 2 4 2 2 0 4 0 0 0 4 1 z T

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

                +                 − − +                 − +                 +                 − − − − =                 = 4 0 0 0 5 2 2 0 0 0 2 1 1 1 3 2 2 3 0 0 0 2 0 1 0 4 2 4 2 2 0 6 0 0 0 8 2 z T

Jadi, matriks transformasi linier T yang bersesuaian dengan basis B adalah

                = 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 G

140

Matriks G di atas merupakan matriks bentuk kanonik Jordan dimana matriks-matriks blok Jordannya adalah

( )

_{1 1}

( )

1

[ ]

1 1 λ = J = J

( )

( )

      = = λ 0 0 1 0 0 2 2 2 J J

( )

( )

      = = λ 2 0 1 2 2 3 3 3 J J

Selanjutnya akan dibahas mengenai basis kanonik dari vektor eigen yang diperumum untuk A. Misalkan

{

x1,x2,K,x_n

}

adalah basis

kanonik dari vektor eigen yang diperumum untuk A dan M adalah matriks Modal yang diperumum dimana kolom-kolomnya merupakan vektor-vektor pada basis kanonik, maka :

[

n

]

M = x1 x2 K x

Dari persamaan (8), diketahui bahwa : j j j Ax ₊1 =λx ₊1+x dimana j=1, K2, ,m−1. Sehingga, 1 1 x x =λ A 1 2 2 x x x =λ + A M 1 − + λ = _{n n} n Ax x x

Misalkan A adalah matriks dari sebuah dan J adalah matriks diagonalnya, maka matriks A dapat didiagonalisasi jika matriks A dapat dinyatakan dalam bentuk :

J AM

M−1 =

dengan M adalah matriks Modal yang diperumum dimana kolom-kolomnya merupakan rantai-rantai vektor eigen yang diperumum, dan J adalah matriks bentuk kanonik Jordan.

Jika persamaan diatas dikalikan dengan

1

−

M , maka akan diperoleh : MJ AM =

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa AM = MJ dimana J adalah matriks bentuk kanonik Jordan.

[

A A A n

]

AM = x₁ x₂ L x

[

λ 1 λ 1 + 2 λ + −1

]

= n n AM x x x L x x

[

]

            λ λ λ = L O M M L L 0 0 1 0 0 1 2 1 n AM x x x

( )

λ =MJ_n AM

Jika terdapat λ₁,λ₂,K,λ_p, maka akan terdapat rantai-rantai vektor eigen yang diperumum dan bersesuaian dengan

p

λ λ

λ1, 2,K, sehingga AM =MJ. Jika kedua ruas persamaan AM =MJdikalikan dengan M−1, maka diperoleh :

1

−

=MJM A

atau dapat juga dinyatakan dalam :

AM M

J = −1 (9)

Contoh 2.8 Dari Contoh 2.7 dimana matriks                 − − − − − − − = 4 8 1 2 2 0 2 0 1 0 0 2 0 0 0 0 2 0 1 0 2 5 0 2 0 A

maka diperoleh matriks M sebagai berikut :

[

]

                − − − − − − − = = 4 2 1 0 4 0 0 1 0 2 0 0 3 2 4 0 0 2 0 2 5 2 2 3 1 2 2 1 2 1 1 y y z z x M

Dengan menggunakan persamaan (9), maka diperoleh : AM M J = −1                 = 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 J

Berdasarkan Contoh 2.7 dan 2.8, maka dapat dikatakan bahwa matriks J adalah matriks dari transformasi linier T :R5 →R5 yang bersesuaian dengan basis kanonik dari vektor eigen yang diperumum untuk matriks A.

141

3. MENENTUKAN INVERS

DRAZIN DARI MATRIKS

SINGULAR

Sebelum diberikan definisi mengenai invers Drazin, terlebih dahulu akan diberikan definisi index dari suatu matriks.

Definisi 3.1 [3] Jika A adalah matriks

berukuran nxn dengan entri bilangan kompleks, maka index dari A yang dituliskan dengan Ind

( )

A adalah bilangan integer non negatif terkecil k sedemikian sehingga :

( )

( )

1

rank rank Ak = Ak+

Contoh 3.2 Index dari matriks A pada Contoh 3 adalah 2 karena

( )

2

( )

3

A

A rank

rank = .

Definisi 3.3 [3] Invers Drazin dari

suatu matriks bujur sangkar A yang

dituliskan dengan AD merupakan

sebuah invers yang memenuhi :

(i) AAD = ADA

(ii) ADAAD = AD

(iii) Ak+1AD = Ak dimana k =Ind

( )

A .

Contoh 3.4 Diberikan matriks sebagai berikut: 1 0 0 1 0 0 0 0 1 , . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D A dan A         =_{ } =_{ }        

Selanjutnya akan dibahas mengenai cara menentukan invers Drazin dari suatu matriks dengan menggunakan matriks bentuk kanonik Jordan. telah diketahui bahwa sebuah matriks A dapat dinyatakan dalam bentuk :

1

−

=MJM A

dengan M adalah matriks Modal yang diperumum dimana kolom-kolomnya merupakan rantai-rantai vektor eigen yang diperumum, dan J adalah matriks bentuk kanonik Jordan.

Teorema 3.4 [1] Misalkan A∈M_n

( )

C dan mempunyai bentuk :

( )

( )

( )

1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 2 1 − −               λ λ λ = = M J J J M MJM A p k k k p L O M M L maka,

( )

[

]

( )

[

]

( )

[

]

1 1 1 2 1 1 D 0 0 0 0 0 0 2 1 − − − −               λ λ λ = M J J J M A p k k k p L O M M L dimana k₁+k₂ +K+k_p =n dan C ∈ λ λ λ1, 2,K, p . Jika λp =0, maka

( )

[

_k λ_p

]

−1 =

[ ]

0 p J . Bukti : Karena A=MJM−1, maka A−1 =MJ−1M−1 dengan

( )

[

]

( )

[

]

( )

[

]

             λ λ λ = − − − − 1 1 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 2 1 p k k k p J J J J L O M M L Sehingga,

( )

[

]

( )

[

]

( )

[

]

1 1 1 2 1 1 D 0 0 0 0 0 0 2 1 − − − −               λ λ λ = M J J J M A p k k k p L O M M L

Misalkan J dan ₁ J berturut-turut ₀

adalah matriks blok Jordan yang bersesuaian dengan λ≠0 dan λ=0, maka :

1 0 1 0 0 ₋       = M J J M A dan 1 1 0 1 1 D 0 0 ₋ − −         = M J J M A

Misalkan invers Drazin dari A adalah B, maka :

142 1 22 21 12 11 ₋       = M B B B B M B sehingga, B₁₂ = B₂₁ =

[ ]

0 .

Karena B adalah invers Drazin dari A, maka : BA AB= 1 0 22 1 21 0 12 1 11 1 22 0 21 0 12 1 11 1 − −       =       M J B J B J B J B M M B J B J B J B J M Karena J₁B₁₂ =B₁₂J₀, maka 11 1 1 1 J B Jk = k+ sehingga B₁₁ =J₁−1. Dari persamaan J₀B₂₂ =B₂₂J₀, diperoleh B₂₂ =

[ ]

0 .

Jadi, jika λ_p =0, maka

( )

[

_k λ_p

]

−1 =

[ ]

0

p

J . ■

Contoh 3.5 Berikut ini adalah invers dari matriks blok Jordan yang diperoleh pada Contoh 2.7.

( )

[ ] [ ]

J

₁

1

−1

=

1

,

[

( )

]













=

−

0

0

0

0

0

1 2

J

, dan

( )

[

]

        − = − 2 1 0 4 1 2 1 2 1 3 J Sehingga,

( )

[ ]

( )

[

]

( )

[

]

1 1 3 1 2 1 1 D 2 0 0 0 0 0 0 0 1 − − − −           = M J J J M A 1 4 2 1 0 4 0 0 1 0 2 0 0 3 2 4 0 0 2 0 2 5 2 2 3 1 2 2 1 0 0 0 0 4 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 2 1 0 4 0 0 1 0 2 0 0 3 2 4 0 0 2 0 2 5 2 2 3 1 2 −                 − − − − − − −                 −                 − − − − − − − =                   − − − − − = 0 4 4 1 2 2 1 0 2 0 1 0 0 4 0 2 0 0 2 0 1 0 2 1 2 7 2 1 2 3 1 3. PENUTUP

Suatu matriks singular A berukuran

nxn dengan entri-entri bilangan kompleks

mempunyai invers yaitu invers Drazin dan dituliskan dengan A . Invers ini dapat dicari D

dengan menentukan matriks Modal M yang diperumum dan matriks bentuk kanonik Jordan J dari matriks A. Matriks Modal M yang diperumum merupakan matriks yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor-vektor eigen yang diperumum x_m dari matriks A sedangkan matriks bentuk kanonik Jordan J merupakan matriks yang entri pada diagonal utamanya berupa matriks blok Jordan J_k

( )

λ . Selanjutnya, dua matriks tersebut digunakan untuk menentukan invers Drazin dari matriks

A.

4. DAFTAR PUSTAKA

[1] Ben-Israel, et. Al, (2003), Generalized

Inverses Theory and Applications,

Second Edition, Springer-Verlag, New York

http://www.mediafire.com/ (24 Januari 2010)

[2] Bronson, Ricard dan Gabriel B. Costa, (2007), Linear Algebra An Introduction, Second Edition, Elsevier Inc, Amsterdam.

[3] Cambel, Stephen L, Meyer, Carl D., JR., and Rose, Nicholas J, (1976), Aplication

of Drazin Inverse to Linear System of Differential Equetion with Singular Constant Coefficient, SIAM J. Appl.

Math. Vol 31(2) : hal. 411-425. http://benisrael.net/CAMPBELL-MEYER-ROSE-76.pdf

( 31 Januari 2010 )

[4] Finkbeiner, Daniel T., (1960),

Introduction to Matrices and Linear Transformation, Second Edition, W.H.

Freeman, San Fansisco.

[5] Kwuk, et.al, (2004), Linear Algebra, Second Edition, Springer-Verlag, New York.

[6] Leon, Steven J., (1998), Aljabar Linear

dan Aplikasinya, Edisi Kelima.